高數(shù)輔導(dǎo)講義（Word）

1、第七章 多元函數(shù)積分學(xué)§71 二重積分甲 內(nèi)容要點(diǎn)一二重積分的概念與性質(zhì) 1定義 設(shè)是定義在有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)，如果對(duì)任意分割為個(gè)小區(qū)域?qū)π^(qū)域上任意取一點(diǎn)都有 存在，（其中又表示為小區(qū)域的面積，為小區(qū)域的直徑，而） 則稱這個(gè)極限值為在區(qū)域上的二重積分 記以，這時(shí)就稱在上可積。 如果在上是有限片上的連續(xù)函數(shù)，則在上是可積的。 2幾何意義 當(dāng)為閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，且，則二重積分表示以曲面為頂，側(cè)面以的邊界曲線為準(zhǔn)線，母線平行于軸的曲頂柱體的體積。 當(dāng)封閉曲面它在平面上的投影區(qū)域?yàn)?，上半曲面方程為，下半曲面方程為，則封閉曲面圍成空間區(qū)域的體積為 3基本性質(zhì) （1）（為常數(shù)） （2）2

2、 / 34 （3） 其中，除公共邊界外，與不重疊。 （4）若，則 （5）若，則 其中為區(qū)域的面積。 （6） （7）積分中值定理 設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，為的面積，則存在，使得 我們也把稱為在上的積分平均值。 4對(duì)稱區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì) 定理1設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，若關(guān)于軸對(duì)稱，則 其中為在軸的上半平面部分。 定理2設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，若關(guān)于軸對(duì)稱，則 其中為在軸的右半平面部分。 定理3設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則 其中為的上半平面或右半平面。 定理4設(shè)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，若關(guān)于直線對(duì)稱，則 若，分別為在的上方與下方部分，則 二在直角坐標(biāo)系中化二重積分為累次積分以及交換積分順序問

3、題 模型：設(shè)有界閉區(qū)域 其中，在上連續(xù)，在上連續(xù)。 則 模型：設(shè)有界閉區(qū)域 其中，在上連續(xù)，在上連續(xù)。 則 關(guān)于二重積分的計(jì)算主要根據(jù)模型或模型把二重積分化為累次積分從而進(jìn)行計(jì)算，對(duì)于比較復(fù)雜的區(qū)域，如果既不符合模型中關(guān)于的要求，又不符合模型中關(guān)于的要求，那么就需要把分解成一些小區(qū)域，使得每一個(gè)小區(qū)域能夠符合模型或模型中關(guān)于區(qū)域的要求，利用二重積分性質(zhì)，把大區(qū)域上二重積分等于這些小區(qū)域上二重積分之和，而每個(gè)小區(qū)域上的二重積分則可以化為累次積分進(jìn)行計(jì)算。 在直角坐標(biāo)系中，兩種不同順序的累次積分的互相轉(zhuǎn)化是一種很重要的手段，具體做法是先把給定的累次積分反過來化為二重積分，求出它的積分區(qū)域，然后根據(jù)

4、再把二重積分化為另外一種順序的累次積分。三在極坐標(biāo)系中化二重積分為累次積分 在極坐標(biāo)系中一般只考慮一種順序的累次積分，也即先固定對(duì)進(jìn)行積分，然后再對(duì)進(jìn)行積分，由于區(qū)域的不同類型，也有幾種常用的模型。 模型：設(shè)有界閉區(qū)域 其中，在上連續(xù)，在上連續(xù)，則 模型：設(shè)有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)，在上連續(xù)，則 模型：設(shè)有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)，在上連續(xù)，則 模型：設(shè)有界閉區(qū)域 其中在上連續(xù)，在上連續(xù)，則 四二重積分在幾何上的應(yīng)用 1空間物體的體積 其中為閉曲面在平面上投影區(qū)域?yàn)樯习肭?，為下半曲面?2空間曲面的面積 其中為曲面在平面上投影，曲面的方程乙 典型例題一直角坐標(biāo)系中二重積分的計(jì)算 例1計(jì)算，其中

5、是由曲線，所圍區(qū)域。 解： 例2計(jì)算其中是以，和為邊的平行四邊形區(qū)域。 例3計(jì)算其中是由擺線，的第一拱和軸所圍區(qū)域。 例4計(jì)算 例5計(jì)算 例6計(jì)算，其中由，和軸所圍區(qū)域。 例7計(jì)算其中由和所圍區(qū)域。二極坐標(biāo)系中二重積分的計(jì)算 例1計(jì)算其中由與軸圍成上半圓區(qū)域。 解：在極坐標(biāo)系里， 三交換積分順序 例1交換的積分順序 解：原式 其中由，和所圍的區(qū)域。 按另一積分順序把二重積分化累次積分 原式 例2交換的積分順序 例3交換的積分順序 例4交換的積分順序 例5交換的積分順序 四二重積分在幾何上的應(yīng)用 1求空間物體的體積 例1求兩個(gè)底半徑為的正交圓柱面所圍立體的體積 答案： 例2求球面和圓柱面所圍（包

6、含原點(diǎn)那一部分）的體積 解：根據(jù)對(duì)稱性可知 其中為平面上與軸所圍平面區(qū)域用極坐標(biāo)系進(jìn)行計(jì)算 例3求曲面，所圍立體的體積。 §72 三重積分（數(shù)學(xué)一）甲 內(nèi)容要點(diǎn)一三重積分的概念與性質(zhì) 1定義 設(shè)是定義在空間有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)，如果對(duì)任意分割為個(gè)小區(qū)域且對(duì)小區(qū)域上任意取一點(diǎn)都有存在（其中又表示為小區(qū)域的體積，為小區(qū)域的直徑，而）則稱這個(gè)極限值為在空間區(qū)域上的三重積分，記以。這時(shí)就稱函數(shù)在上是可積的。 上的連續(xù)函數(shù)一定是可積的。 2基本性質(zhì) （1）（為常數(shù)） （2） （3） 其中，除公共邊界外，與不重疊 （4）若，則 （5）若，則 其中V為區(qū)域的體積 （6） （7）積分中值定理 設(shè)在

7、空間有界閉區(qū)域上連續(xù)，為的體積，則存在，使得 我們也把稱為在上的積分平均值。 3對(duì)稱區(qū)域上奇偶函數(shù)的積分性質(zhì) 定理：設(shè)在空間有界閉區(qū)域上連續(xù)，而關(guān)于平面對(duì)稱，則 其中是在平面上方的那一部分區(qū)域。 至于關(guān)于平面對(duì)稱，或關(guān)于平面對(duì)稱有類似的結(jié)果。二三重積分的計(jì)算方法 1直角坐標(biāo)系中三重積分化為累次積分 （1）設(shè)是空間的有界閉區(qū)域， 其中是平面上的有界閉區(qū)域，在上連續(xù)，函數(shù)在上連續(xù)，則 （2）設(shè) 其中為豎坐標(biāo)為的平面上的有界閉區(qū)域，則 2柱坐標(biāo)系中三重積分的計(jì)算 相當(dāng)于把化為極坐標(biāo)而保持不變。 3球坐標(biāo)系中三重積分的計(jì)算 然后再根據(jù)把三重積分化為關(guān)于的累次積分。 乙 典型例題（強(qiáng)化班時(shí)再討論）

8、67;73 曲線積分（數(shù)學(xué)一）甲 內(nèi)容要點(diǎn)一第一類曲線積分（對(duì)弧長的曲線積分） 1定義 平面情形：設(shè)平面上逐段光滑曲線上定義函數(shù)把曲線任意分割為段，在上任取一點(diǎn)，如果對(duì)任意分割，任意取點(diǎn)，下列極限皆存在并且相等。 （這里又表示第段曲線的弧長，） 則稱此極限值為在曲線上的第一類曲線積分也稱為對(duì)弧長的曲線積分，記以 如果曲線是封閉曲線，則記以 空間情形：空間一條逐段光滑曲線上定義函數(shù)，把曲線任意分割為段，在上任取一 點(diǎn)，如果對(duì)任意分割，任意取點(diǎn)，下列極限皆存在并且相等。 （這里又表示第段曲線的弧長，） 則稱此極限值為在曲線上的第一類曲線積分，也稱為對(duì)弧長的曲線積分，記以 如果曲線是封閉曲線，也記以

9、 2參數(shù)計(jì)算公式 我們只討論空間情形（平面情形類似） 設(shè)空間曲線的參數(shù)方程， 則 （假設(shè)和，皆連續(xù)）這樣把曲線積分化為定積分來進(jìn)行計(jì)算。二第二類曲線積分（對(duì)坐標(biāo)的曲線積分） 1定義 平面情形：設(shè)平面一條逐段光滑有定向的曲線，函數(shù)和皆在上有定義，把任意分成段，在上起點(diǎn)坐標(biāo)為，終點(diǎn)坐標(biāo)為（按的定向決定起點(diǎn)和終點(diǎn)）令， ，再在上任取一點(diǎn)，考慮極限 其中仍然是段弧長中的最大值，如果對(duì)任意分割，任意取點(diǎn)，上述極限皆存在并且相等，則稱此極限值為和對(duì)曲線的第二類曲線積分，也稱對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，記以 第二類曲線積分有時(shí)也用向量形式表示，這時(shí)向量 ，用向量點(diǎn)乘概念 另外，平面曲線是封閉曲線時(shí)，它的定向用逆時(shí)針方

10、向或順時(shí)針方向加以指明。 空間情形：設(shè)空間一條逐段光滑有定向的曲線，函數(shù)，在上皆有定義，把任意分成段，在上起點(diǎn)坐標(biāo)為，終點(diǎn)坐標(biāo)（按的定向決定起點(diǎn)和終點(diǎn)）令，再在上任意一點(diǎn)考慮極限 其中仍是段弧長中最大值，如果對(duì)任意分割，任意取點(diǎn)，上述極限皆存在并且相等，則稱此極限值為，和對(duì)空間曲線的第二類曲線積分，也稱對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，記以 它的向量形式為 其中 如果是空間封閉曲線也要說明的定向，在空間不能簡單地說逆時(shí)針方向或順時(shí)針方針，必須用其他方式加以說明。 2參數(shù)計(jì)算公式 我們只討論空間情形（平面情形類似） 設(shè)空間有向曲線的參數(shù)方程，起點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為，終點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)為（注意：現(xiàn)在和的大小不一定）如果，皆連續(xù)

11、，又，也都連續(xù)，則 這樣把曲線積分化為定積分來計(jì)算。值得注意：如果曲線積分的定向相反，則第二類曲線積分的值差一個(gè)負(fù)號(hào)，而第一類曲線積分的值與定向無關(guān)，故曲線不考慮定向。三兩類曲線積分之間的關(guān)系 1平面情形 設(shè)平面上一個(gè)逐段光滑有定向的曲線，在上連續(xù)，則 其中，為曲線弧在點(diǎn)處沿定向到方向的切線的方向余弦。 2空間情形 設(shè)為空間一條逐段光滑有定向的曲線，在上連續(xù)，則 其中，為曲線弧上點(diǎn)處沿定向到方向的切線的方向余弦。四格林公式 關(guān)于平面區(qū)域上的二重積分和它的邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系有一個(gè)十分重要的定理，它的結(jié)論就是格林公式。 定理1（單連通區(qū)域情形） 設(shè)平面上有界閉區(qū)域由一條逐段光滑閉曲線所

12、圍成的單連通區(qū)域。當(dāng)沿正定向移動(dòng)時(shí)區(qū)域在的左邊，函數(shù)，在上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有 定理2（多連通區(qū)域情形） 設(shè)平面上有界閉區(qū)域是連通區(qū)域（也即有個(gè)“洞”），它的邊界，其中的定向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，定向皆為順時(shí)針方向，仍符合沿的正定向移動(dòng)時(shí)區(qū)域在它的左邊這個(gè)原則。 函數(shù)，在上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則 五平面上第二類曲線積分與路徑無關(guān)的幾個(gè)等價(jià)條件 設(shè)的分量，在單連通區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則下面幾條彼此等價(jià)。 1對(duì)內(nèi)任意一條逐段光滑閉曲線，都有 2任意在內(nèi)，則只依賴于起點(diǎn)和終點(diǎn)，與曲線的取法無關(guān)，稱為曲線積分與路徑無關(guān)。 3成立。 4內(nèi)處處有成立。 5向量場(chǎng)是有勢(shì)場(chǎng)，即存在二元函數(shù)，具有，稱為勢(shì)函數(shù)，

13、具有，。 乙 典型例題（強(qiáng)化班再討論）§74 曲面積分（數(shù)學(xué)一）甲 內(nèi)容要點(diǎn)一第一類曲面積分（對(duì)面積的曲面積分） 1定義 設(shè)為分塊光滑曲面，在上有定義，把曲面任意分成塊小曲面，在上任取一點(diǎn)，把小曲面的面積也記以，而表示各小塊曲面直徑的最大值。如果對(duì)任意分割和任意取點(diǎn)，下列極限皆存在且相等 則稱這極限值為在曲面上的第一類曲面積分，也稱對(duì)面積的曲面積分，記以 2基本計(jì)算公式 設(shè)曲面的方程，在上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。 在上連續(xù)，則 這樣把第一類曲面積分化為二重積分進(jìn)行計(jì)算。二第二類曲面積分（對(duì)坐標(biāo)的曲面積分） 1定義 設(shè)為分塊光滑有向曲面（已指定一側(cè)為定向)，皆在上有定義，把曲面任意分成個(gè)小曲面，

14、而在平面上投影的面積記以，在平面上投影的面積記以，在平面上投影的面積記以，又在上任取一點(diǎn)，令是各小塊曲面直徑的最大值，考慮極限 如果對(duì)任意分割，任意取點(diǎn)，極限值都存在并且相等，則這個(gè)極限限稱為，在有向曲面上的第二類曲面積分，也稱為對(duì)面積的曲面積分，記以 如果令， 則向量形式為 2基本計(jì)算公式 如果曲面的方程， 在上連續(xù)，在上連續(xù)，則 若曲面指定一側(cè)的法向量與軸正向成銳角取正號(hào)，成鈍角取負(fù)號(hào)。這樣把這部分曲面積分化為平面上的二重積分。 類似地，曲面的方程表示為，則 曲面指定一側(cè)的法向量與軸正向成銳角取正號(hào)，成鈍角取負(fù)號(hào)，如果曲面的方程表示為，則 曲面指定一側(cè)的法向量與軸成銳角取正號(hào)，成鈍角取負(fù)號(hào)

15、。由此可見，第二類曲面積分用基本公式進(jìn)行計(jì)算是很麻煩的。絕大多數(shù)情形都用下面的定理進(jìn)行計(jì)算，但是當(dāng)有些為只剩下一項(xiàng)或二項(xiàng)時(shí)，也有可能用基本公式進(jìn)行計(jì)算。三兩類曲面積分之間的關(guān)系 其中為曲面在點(diǎn)處根據(jù)定向指定一側(cè)的法向量的三個(gè)方向余弦。 令， 四高斯公式 定理1（單連通區(qū)域） 設(shè)是由分塊光滑曲面圍成的單連通有界閉區(qū)域，在上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則 （外側(cè)） 其中為在點(diǎn)處的法向量的方向余弦。 定理2（多連通區(qū)域） 設(shè)是連通區(qū)域，外面邊界曲面為外側(cè)，每一個(gè)“洞”的邊界曲面為內(nèi)側(cè)，彼此不重疊，都在的內(nèi)部。這些曲面都是分塊光滑的，是有界閉區(qū)域，在上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則 （外側(cè)） （內(nèi)側(cè)）五斯托克斯公式 定理：設(shè)是逐段光滑有向閉曲線，是以為邊界的分塊光滑有向曲面，的正向與的側(cè)（即法向量的指向）符合右手法則，函數(shù)在包含的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有 也可用第一類曲面積分 六散度與旋度 討論中有三個(gè)概念很重要，就是梯度、散度和旋度。前面我們已經(jīng)討論過梯度： 設(shè) 算 稱為的梯度。 1散度 設(shè) 散度稱為的散度 高斯公式可寫成 （外側(cè)） 2旋度 設(shè) 旋度 稱為的旋度。 斯托克斯公式可寫成 其中, 乙 典型例題（強(qiáng)化班再討論）第八章 無窮級(jí)數(shù)（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三）引 言所謂無窮級(jí)數(shù)就是無窮多項(xiàng)相加，它與