二項式解題中常用的構造策略

1、二項式解題中常用的構造策略 在數(shù)學解題中，分析題中的條件和結論，構造一個與原問題相關的輔助模型，通過對輔助模型的研究達到解題目的，這種轉(zhuǎn)化方法稱之為構造法。構造法是數(shù)學解題中最富有活力的數(shù)學轉(zhuǎn)化方法之一，如能恰當?shù)剡\用，不僅能把問題變繁雜為簡明、變隱晦為直觀、變離散為集中、變抽象為具體，達到難題巧解的目的，而且還能大大豐富學生的想象能力，培養(yǎng)學生解題的整體意識和創(chuàng)造性思維能力。1、聯(lián)想問題背景 有些數(shù)學問題，孤立地運用題設條件難以求解時，不妨把問題于特定的背景下，構造問題的原型，尋求解題的入口。例1設n為正整數(shù)，證明：分析：變換組合數(shù)，圖通過演算得出結論，繁難。聯(lián)想問題的背景，為二項式系數(shù)，于

2、是顯現(xiàn)出解題入口，構造二項式來證明。為(x+y)2n展開式中的最大的二項式系數(shù)，令x=y=1，則有(1+1)2n=，在此大背景下，問題立即獲證。2、構建恒等式有的問題，不能從已知條件中作局部調(diào)整就可導出結論，必須從要求的結論出發(fā)，作整體設計，構造某一恒等式，經(jīng)推理、運算、多次轉(zhuǎn)化，才能湊配出解題所需的條件。例2 求證：()2+()2+()2=分析：構造恒等式(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n。左邊展開式中xn的系數(shù)是：+=()2+()2+()2右邊展開式中xn的系數(shù)是：=，即命題成立。（也可構造集合，有個n白球和n個黑球，從這2n個球中取出n個球的方法有種；另一方面，又可以這樣分類：這n

3、個球的取法可分為取個i白球和n-i個黑球，取法為種(i=0,1,2,n)，由加法得。）3、構建集合模型集合中數(shù)學的基本概念之一。它為數(shù)學提供了一種廣泛的理論基礎，利用集合論方法，我們可以看出表面上彼此很不相近的數(shù)學問題的共性。因此，很多問題可建立“集合模型”解決。例3求證：分析；是集合A=a1，a2，a3，an的子集的個數(shù)，而子集無非是由元素組成，確定A的子集的個數(shù)可以分為如下幾個步驟：第一步：確定子集中是否包含a1，有2種；第二步：確定子集中是否包含a2，有2種；第n步：確定子集中是否包含an，有2種；根據(jù)乘法原理知，A的子集個數(shù)共有2n，故原等式成立。4、構建排列組合模型 排列、組合在中學

4、數(shù)學中占有重要位置，其分析問題，解決問題的方法獨特，利用這種方法，建立使用“排列組合模型”，可使一些問題得到較為新穎的解法。例4求證：(1+m)n=1+m+m2+ +mn，m，n都是自然數(shù)。分析：本題可建立這樣的模型：n名旅客到(1+m)家旅館投宿，問有多少種不同的投宿方法：這個問題可以這樣解決：一方面逐人考慮，安排n名旅客分n步驟，每名旅客都有(1+m)種投宿方法，由乘法原理共有(1+m)n方法；另一方面按到某家旅館可能的人數(shù)0，1，2，n?？紤]安排分為（n+1）類，從n名旅客中任選r名到某家旅館投宿有種選法，剩下的（n-r）名到另外的m家旅館投宿有mn-r種方法，根據(jù)乘法原理到某家旅館投宿

5、為r的分配方法有mn-r= mn-r（r=0，1，2，n）種；再由加法原理共有1+m+m2+ +mn種分配方法。兩種考慮方法，結果一樣，所以等式成立。5、構建復數(shù)模型法 復數(shù)模型法，就是將所求命題的元素用復數(shù)來表示，然后用復數(shù)的性質(zhì)求解命題。例5若(1+x+x2)1000的展開式為a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn，求a0+a3+a6+a1998的值。分析： 令x=1可得31000=a0+a1+a2+a3+a2000；令x=可得0=a0+a1+a22+a33+a20002000；（其中=-+，則3=1且2+1=0） 令x=2可得 0=a0+a12+a24+a36+a20004000。以

6、上三式相加可得31000= 3（a0+a3+a6+a1998） 所以 a0+a3+a6+a1998=3999。6、構建組合對偶式 配偶是解題的一種重要策略，它能使原來較難的問題得以巧妙的解決，有著變繁為簡、化難為易之功效。在教學中，有意識的注意這方面的訓練，使學生較好的掌握這一解題策略。對于培養(yǎng)學生的思維品質(zhì)、解題能力的提高無疑是的益的。例6設n=1990，求(1-3)的值。分析：將所求式子變形為A=(1-)。顯然它是(-1+i)n的展開式的部分之和，即復數(shù)的實部。不妨取展開式的其余的項的和為A的對偶式B=i(-)。則A+B=(-1+i)n=n=-+，所以A=-。7、構建基本不等式 基本不等式

7、是證不等式的常用手段，有的二項式問題可轉(zhuǎn)化基本不等式來求。例7 若nN，且n1，求證：!分析：左邊的“n次冪”與右邊的“n個數(shù)的積”是一個和諧因素，考慮到解題的突破口將問題改述為，求證：，顯見，“和” “積”，再將問題改述為，求 n，即為=1+2+3+n ，這樣由基本不等式公式得“1+2+3+n n”。命題成立。（本題也可構造特殊配偶形式分析：n!=123(n-1)n ，倒排配偶n!=n(n-1)321，則(n!)2=(1n)2(n-1) (n-1)2(n1)()2()2()2=()2n，命題成立。）8、構建組合數(shù)性質(zhì) 應用組合數(shù)理論，對有關自然數(shù)命題的證明可達到意想不到的效果。例8是否存在常

8、數(shù)a、b、c，使得等式122+232 +n(n+1)2=n(n+1)(an2+bn+c)對于一切自然數(shù)都成立，并證明你的結論。分析：這是一個特殊數(shù)列求和問題。初看難求其和，但根據(jù)其各項的特點，逆用組合數(shù)公式進行探求，n(n+1)2= n(n+1)(n+2)-1= n(n+1)(n+2)- n(n+1)=6-2根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)，原式左邊122+232 +n(n+1)2=（6-2）+（6-2）+（6-2）=6（+）-2（+）=6-2=n(n+1)(3n2+11n+10)，對照右邊知存在常數(shù)a=3，b=11，c=10，滿足題設要求。9、構建倒序相加 構造一些特殊的對偶形式（如倒序），再加以挖掘、顯示、

9、或稍加變形即可應用，就能探求最佳解題方案。例9設a、bR+，且=1。求證：對于一切自然數(shù)n，有(a+b)n-an-bn22n-2n+1分析：令P=(a+b)n-an-bn作為本體。則P=Can-1b+an-2b2+abn-1倒序排序得孿體P=abn-1+a2bn-2+ Can-1b 相加得2P= C(an-1b+ abn-1)+ (an-2b2 +a2bn-2)+ +(abn-1 +an-1b) 2C+2+ +2 =2( C+)=2 (2n-2)，P(2n-2) 又知=1，ab=a+b2，ab4，故P(2n-2) 即P22n-2n+110、構建分組或圖形 分組思想，其核心是根據(jù)問題的實際情況，

10、以分組后組與組之間的共性更利于分離和顯示為原則，以分組后更便于簡化運算、運用有關概念和結論。例10求證：1！2！3！n!=分析：只需證明1！2！3！n!（34253nn-2）=(n!)n-1，針對一端n-1個n!之積的特點，將它分組而拆項，有(12)( 345n) (123)( 45n)(12345n)= 2！3！n!（34253nn-2）=(n!)n-1。即命題得證。（圖形法）345n 45n 5n n12 123 1234 12345(n-1) (n-1)行11、構建一個中間目標建立一個與初始條件和最終目標都比較接近的中間目標，以中間目標作為跳板從初始條件過渡到最終目標。例11 已知i、m

11、、n是正整數(shù)，且1im (1+n)m。分析：如何建立中間目標呢？先找到組合數(shù)與2n-1之間的關系。想到(1+m)n=，(1+n)m=展開式中的mi= mi，ni= ni，構造中間目標是否成立（1im），由mn(m-1)；m(n-2)n(m-2)； m(n-i+1)n(m-i+1)即中間目標 成立。所以mi ni（1im 。又m0=n0=1， m1=n1=mn，所以即(1+m)n (1+n)m成立?？傊鲜鰩桌荚诮忸}教學中，教師要有意識地給學生創(chuàng)設構建的新異情境，鼓勵學生不依常規(guī)，不受教材或教師傳授內(nèi)容的束縛，善于從新的角度去探索數(shù)學問題，追求奇特、新穎的解法，這樣，對造就一大批探索創(chuàng)造型人

12、才大有裨益。例6 化簡 =一道課本習題的探究與應用證明： 解法探究思考1 等式左邊為“和”的形式，結合數(shù)列的求和方法，可先考察其通項，由組合數(shù)公式，可得 ，由此，等式左邊可轉(zhuǎn)化為思考2 考慮組合數(shù)的性質(zhì)，可知，這樣，左邊式子中的第一項與倒數(shù)第二項、第二項與倒數(shù)第三項、可合并在一起，又有，由此對等式左邊進行倒序相加 + = 思考3 從等式右邊的出發(fā)，因為 ，所以等式右邊可轉(zhuǎn)化為，比較等式兩邊的式子，不難發(fā)現(xiàn)，問題的關健是只要證，通項的轉(zhuǎn)化目標進一步明確，由證法1可知此式成立。2 結構探究2.1 “通項”探究等式左邊是和的形式，其通項為 ，在證法1中，將 利用組合數(shù)公式轉(zhuǎn)化為，使得每一項的組合數(shù)前

13、的系數(shù)相同，出現(xiàn)二項式系數(shù)和的形式。那么能否改變通項的形式，使之達到這一相同的效果呢？不妨試一試？由，可得，以此作為轉(zhuǎn)化途徑，可以得到：變式：剛才的轉(zhuǎn)化利用的是這一組合數(shù)的性質(zhì)，有沒有類似的性質(zhì)，找一找，再試一試？（課本第99頁：（1）；（2）由（） 得到：變式：由 （），得到：變式：由（），結合得到：變式：由（），得到：變式：由變式和變式可得：變式：以上各式雖然形式各異，但實質(zhì)相同，都是利用組合數(shù)的性質(zhì)對其通項進行變形，從而達到轉(zhuǎn)化為二項式系數(shù)和的形式。具體解題中，應對出現(xiàn)的通項利用組合數(shù)的性質(zhì)進行變形，看能否轉(zhuǎn)化為組合數(shù)前的系數(shù)相同的形式。2.2 “系數(shù)”探究等式左邊和的形式中，前的系數(shù)分

14、別為1，2，在證法2中，由，倒序相加后，對應項的組合數(shù)形式相同，更主要的由于，使得相加后的每一個組合數(shù)前的系數(shù)相同，問題得到解決。由此，聯(lián)想等差數(shù)列的性質(zhì)，對系數(shù)進行推廣：推廣：設成等差數(shù)列，公差為，則證明：思路將等式左邊倒序相加得到。（略）思路（證明過程中利用了的結論）推廣體現(xiàn)出系數(shù)為等差數(shù)列的情形，類比到等比數(shù)列，若系數(shù)成等比數(shù)列，情況又如何呢？不妨試一試。推廣：設成等比數(shù)列，公比為，則證明：推廣則直接反映出二項展開式的形式。3 應用舉例對式左邊“和”式的探究，將通項的形式及各組合數(shù)前的系數(shù)進行了變式與推廣，使得問題可以出現(xiàn)多種呈現(xiàn)方式。想一想，找一找，是否遇到過類似的問題？題1：求證 （

15、課本第111頁第10題）題2：證明 題3：設n為奇數(shù)，則被9除的余數(shù)為（ ） A、 1 B、 0 C、 -2 D、 7題4：滿足的最大的自然數(shù)n為（ ） A、 4 B、 5 C、 6 D、 7題5：等于（ ） A、 B、 C、 D、題6：已知數(shù)列的前n項和，是否存在等差數(shù)列，使得對一切的正整數(shù)n均成立。題8已知數(shù)列為正整數(shù)）是首項為，公比為的等比數(shù)列。（1） 求和：，；（2） 由（1）的結果歸納概括出關于正整數(shù)n的一個結論，并加以證明；（3） 設，是等比數(shù)列的前n項和，求 （03年上海高考19題改編）解：（1） ； （2）；（證明略）（）時，自己再編擬幾題，如何？拓展與延伸由題4（3）不難看出

16、，每一項的組合數(shù)前的系數(shù)并非單一的等差、等比的形式，正如給出數(shù)列的通項求數(shù)列的前n項和一樣，通項具有多種形式，那么在此問題中能否對其通項作進一步的拓展、廷伸呢？推廣3：設成等差數(shù)列，公差為，成等比數(shù)列，公比為，則推廣4：設成等差數(shù)列，公差為，成等比數(shù)列，公比為，則證明：由推廣3、推廣4，我們能編擬出相應的具體題目嗎？按此結構形式與轉(zhuǎn)化方法，我們還能得出哪些與組合數(shù)有關的數(shù)列的和式呢?！澳闳舭l(fā)現(xiàn)了一株蘑菇，便可以發(fā)現(xiàn)一群蘑菇?！?。作為教師，要善于拋出一株蘑菇，引導學生尋找一群蘑菇，讓學生在探究中感受知識的活力，在感悟中發(fā)展自己的思維與能力，真正做到走出題海，走進研究性學習。（本文發(fā)表于浙江師大中

17、學教研2004年12期）對組合數(shù)的拓展考查浦東新區(qū)教研室 惲敏霞學習排列組合知識以后，認識了組合數(shù)。在數(shù)學中，的基本含義表示從n個不同元素中任取m個不同元素的不同組數(shù)總和，其計算公式即組合數(shù)公式為：=（這里n,mN*,mn，規(guī)定）。正由于該計算公式的特征，組合數(shù)除了課本上學的兩條基本性質(zhì)，還可以有很多有趣的性質(zhì)和應用。在最近幾年的一些試卷中，對組合數(shù)的考查不僅僅限于計算，出現(xiàn)了一些對能力的拓展。一、拓展定義，考查學習探究規(guī)定，其中，且，這是組合數(shù)的一種推廣。（1）求的值；（2）組合數(shù)的兩個性質(zhì)：、是否都能推廣到（）的情景？若能推廣，則寫出推廣形式并給出證明；若不能，說明理由；（3）已知組合數(shù)是

18、正整數(shù)，證明：當時，。2002年上海市高考數(shù)學試卷出現(xiàn)的對組合數(shù)定義的推廣，為學生搭建了學習新的概念并在理解的基礎上進行探究的平臺。簡解如下：解：（1）（2）性質(zhì)不能推廣，如當時，有意義，但無意義；性質(zhì)可以推廣，它的推廣形式是：（），證明由同學自己完成；（3）當時，組合數(shù)；當時，；當時，。二、綜合知識，考查代數(shù)證明已知數(shù)列（n為正整數(shù)）是首項是a1，公比為q的等比數(shù)列.（1）求和：（2）由（1）的結果歸納概括出關于正整數(shù)n的一個結論，并加以證明.解（1） （2）歸納概括的結論為：若數(shù)列是首項為a1，公比為q的等比數(shù)列，則2003年高考將組合數(shù)與等比數(shù)列結合，歸納證明結論，進一步拓展組合數(shù)的考查、加強了對代數(shù)證明的考查。三、閱讀理解，考查探究能力閱讀下面解題過程，并證明下列各題