注冊設備師基礎公式

1、a b 的充分必要條件是 a .b =0兩向量垂直，則上式等于0（一）平面的方程設平面 過點M0（ x0 , y0 , z0 ) ，它的一個法向量 n =（A , B , C ) ，則平面的方程為此方程稱為平面的點法式方程。如，在方程 Ax By Cz + D = 0 中，當 D = 0 時，方程表示一個通過原點的平面；當 A = 0 時，方程表示一個平行于 x 軸的平面；當 A = B = 0 時，方程表示一個平行于 x Oy的平面。類似地，可得其他情形的結論。（二）兩平面的夾角由此可得1與2互相垂直相當于A1A2+B1B2+C1C2=01與2平行相當于空間一點 P 0（ x 0，y0， z

2、 0）到平面的距離，有以下公式：（二）兩直線的夾角則 L1 和 L2的夾角可由下式確定：由此可得 L 1和 L2 互相垂直相當于L 1和 L2平行相當于（三）直線與平面的夾角直線和它在平面上的投影直線的夾角稱為直線與平面的夾角，通常規(guī)定。設直線的方程是平面的方程是則直線與平面的夾角由下式確定：由此可得直線與平面垂直相當于 直線與平面平行或直線在平面上相當于 Am + Bn + CP = 0 極限（ l ） （極限的四則運算法則）利用準則I，可得一個重要極限利用準則II，可得另一個重要極限其中 e 是一個無理數， e =2 . 71828 當 x 0時，有以下常用的等價無窮?。?)一般地，對有理

3、分式函數其中P（ x ）、 Q （ x ）是多項式， 若（x）=Q（x0）0,則注意：若 Q （ x0） = 0 ，則關于商的極限運算法則不能應用，需特殊考慮。由函數在一點連續(xù)的定義可知,函數 f （ x ）在一點 x0處連續(xù)的條件是:（ 1 ） f （ xo ）有定義； （ 2 ） 存在； （ 3 ）若上述條件中任何一條不滿足, 則f （ x ）在 x 0處就不連續(xù)，不連續(xù)的點就稱函數的間斷點。間斷點分成以下兩類：第一類間斷點： x0是f （ x ）的間斷點，但f （x0-）及f （x0+）均存在；第二類間斷點：不是第一類的間斷點。三、導數曲線 y =f （ x ）在點（ x 0， f （

4、x0）處的切線方程為其中 y 0 f （ x 0）。若 f ' （ x 0）0 ，則曲線 y = f （ x ）在點（ x 0， f （x0）處的法線方程為1 基本求導公式2 函數的和、差、積、商的求導法則設 u = u（ x ）、 v = v （ x ）均可導，則（1） （u±v）=u±v（2） （Cu）=Cu（C是常數）（3）（uv）=u v+u v（4）4 復合函數的求導法則設 y = f （ u ）、 u =（ x ）均可導，則復合函數 y = f （ x ） 也可導，且5 隱函數的求導法則設方程 F （ x ，y） 0 確定一個隱函數 y = y （ x

5、） ，Fx、 Fy ，連續(xù)且Fy0，則隱函數 y = y （ x ）可導,且6 由參數方程所確定的函數的求導法則若函數y = y （ x ）由參數方程所確定，且x =（ t ）、 y =（ t 都可導， （ t ） 0，則微分: 一元函數，可導肯定連續(xù)，連續(xù)不一定可導?？蓪?，左右導數相等。函數y = f（x）在點 x0 可微分的充分必要條件是 f （ x ）在點 x0可導，且當 f （ x ） 在點 x0可導時，其微分一定是2 函數和、差、積、商的微分法則設函數 u = u （ x ）、v v （ x ）均可微，則（一）羅爾中值定理 1 若函數 f （ x ）在閉區(qū)間 a ，b上連續(xù)，在開區(qū)間

6、（ a , b ）內可導，且 f （ a ） = f （ b ） ，則至少有一點（ a， b ） ，使得 f ' （） 0。2 拉格朗日中值定理若函數 f （ x ）在閉區(qū)間 a ，b上連續(xù)，在開區(qū)間（ a , b ）內可導，則至少有一 點（ a， b ），使得下式成立未定式與的情形則 其他尚有 0 ·、-、 00 、 1、0 型的未定式，它們均可通過變形化成或的情形。如 0 ·型可變形成或，-型通過通分，00、1、0通過取對數變形。一階導數為零的點稱為駐點，對于連續(xù)函數，極值點必定是駐點，駐點不一定是極值點。4 曲線的漸近線(liao jie )若 =y0，則曲線

7、 y = f （ x ）有水平漸近線 y = y0 ; 若 =,則曲線 y f （ x ） 有鉛直漸近線 x = x 0；六、偏導數全微分函數z = f（ x,y ）對 x、y ,的偏導數依次記作（或 fx（ x ,y ） ， （或 fy , （ x, y ） ） ，它們的定義如下：多元復合函數的求導法則由此可見，掌握多元復合函數的求導法則的關鍵是弄清函數的復合結構，哪些是中間變量，哪些是自變量。為直觀地顯示變量之間的復合結構，可用結構圖（或稱樹形圖） 1-2 -1 來表示出因變量 z 經過中間變量u 、 v 再通向自變量 x 、 y 的各條途徑。按照上述標準法則的三個特征，我們可以將多元復合

8、函數的求導法則推廣。3 隱函數求導法則設方程 F （ x , y , z ） = 0 確定一個隱函數 z = f （ x ，y），函數 F （ x , y , z ）具有連續(xù)偏導數且Fz0 ，則有5全微分概念:對于一元函數來說，函數可導必定連續(xù)，而可導與可微分兩者是等價的。（三）偏導數的應用 1 空間曲線的切線與法平面空間曲線：在對應參數 t = t0 的點（ x0 , y0，z0）處的切線方程為法平面方程為2 曲面的切平面與法線曲面： F （x，y , z ） = 0 在其上一點 M （ x0 , y0 , z0 ）處的切平面方程為法線方程是4 多元函數的極值設 z = f （ x ，y）在

9、點（ x0 , y0 ）具有偏導數，則它在點（ x0, y0 ）取得極值的必要條件是設 z = f （ x ，y）在點（ x0 , y0 ）的某鄰域內具有二階連續(xù)偏導數，且則有 （1）當 AC-B2 > 0 時，具有極值f（x0,y0），且當 A < 0 時，f（x0,y0）為極大值，當 A > 0 時， f（x0,y0）為極小值； （2）當 AC-B 2< 0 時，f（x0,y0）不是極值。積分學定積分具有如下性質：3 分部積分法分部積分法適用于被積函數是兩類不同函數的乘積的情形。選取 u 和v的一般原則是：（二）積分法 1 基本積分表由此可得微積分基本公式：若在 a

10、 , b 上有 F( x ）=f（x ) ，則幾個常用的定積分公式 ( l ）若 f （x）在 - a , a （ a > 0 )連續(xù)且為偶函數，則( 2 ）若 f （x）在- a , a （ a > 0 )上連續(xù)且為奇函數，則2 換元積分法對不定積分，有第一類換元法：(湊微法)第二類換元法：其中是的反函數，且。對定積分，有其中。當被積函數含有時，可采用第二類換元法，依次令，可消去被積函數中的根號。二重積分計算公式:( 1 ）利用直角坐標若積分區(qū)域 D （圖 1-3-1 ）可表成則二重積分可化成先對y后對x的二次積分，即( 2 ）利用極坐標直角坐標和極坐標的關系是積分的變換公式是若

11、積分區(qū)域 D （圖1-3-3 ）可表成則二重積分可化成先對、后對的二次積分，即三重積分的計算 ( l ）利用直角坐標計算三重積分( 2 ）利用柱面坐標計算三重積分直角坐標與柱面坐標的關系是( 3 ）利用球面坐標計算三重積分直角坐標與球面坐標的關系是1 ）直角坐標情形設平面圖形由曲線 y = f （ x ）、y = g （ x ) （f（ x ) g （ x ) ）和直線 x = a 、 x = b所圍成（圖 1-3 - 8 ) ，則其面積2 ）極坐標情形設平面圖形由曲線 （ )及射線a、所圍成（圖 1-3-9 ) ，則其面積 l ）旋轉體的體積設旋轉體由曲線 y = f （ x ）與直線 x

12、= a 、 x = b 及 x 軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周而成（圖 1-3 -10 ) ，則其體積（ 3 ）平面曲線的弧長 l ）直角坐標情形設曲線的方程為 y = f （ x ) （ a x b ) , f （ x ）在 a ，b上具有一階連續(xù)導數，則其弧長2 ）參數方程情形設曲線的參數方程為 x （ t ) , y （ t ) （at ）,（ t ）、（ t ）在 a, 上具有連續(xù)導數，則其弧長3 ）極坐標情形設曲線的極坐標方程為（） （ a ），（ ）在 a ，上具有連續(xù)導數，則其弧長 s =（ 2 ）水壓力設有平面薄板，鉛直放置水中，取薄板所在平面與水平面的交線為 y 軸，x 軸

13、鉛直向下（圖 1-3 -12 ) ，設薄板的形狀為則薄板一側所受的水壓力為（二）二重積分的應用1 曲面的面積（比較重要）設曲面的方程為 z = f （ x ，y)，在 x Oy面上的投影區(qū)域為 D , f （x，y）在 D 上具有一階連續(xù)偏導數，則曲面的面積（ 5 ）若級數收斂，則 0；反之，不一定成立。3 典型級數（ l ）幾何級數aqn-1，當q < 1 時，收斂于，當q 1 時，級數發(fā)散； （ 2 ） p-級數（p > 0 ) ，當p > 1 時，級數收斂，當0p 1 時，級數發(fā)散.（ l ）收斂準則：正項級數收斂的充分必要條件是其部分和有界。（ 3 ）比值審斂法：設為

14、正項級數，若 = l ，則當l < l 時，級數收斂；當 l > 1 或 l = +時，級數發(fā)散；當 l = 1 時，級數可能收斂也可能發(fā)散。（ 4) 根值審斂法：設為正項級數，若= l,則當l < l 時，級數收斂;當 l > 1 或 l = + 時，級數發(fā)散；當 l = 1 時，級數可能收斂也可能發(fā)散。（很重要）若級數為任意項級數，而級數un收斂，則稱級數絕對收斂；若收斂，而un發(fā)散，則稱級數條件收斂。（ l ）萊布尼茲判別法：若交錯級數（- l ） n u n（ u n 0 ）滿足： 1 ）u n u n+1（n 1 , 2 ） ; 2 ） u n = 0 ，則級

15、數（- 1 ）nun收斂，且有余項rn u n+1（n 1 , 2, ）（ 3 ）設為任意項級數，若 = l （或 l ） ，則當l < 1 時，級數絕對收斂；當 l > 1 或 l = + 時，級數發(fā)散；當 l = 1 時，級數可能收斂也可能發(fā)散。注意對正項級數來說，部分和數列有界是級數收斂的充分必要條件，而對一般的非正項級數來說，部分和數列有界僅是級數收斂的必要條件，而不是充分條件。 二、冪級數泰勒級數對冪級數若則它的收斂半徑若冪級數的收斂半徑為 R ，則稱開區(qū)間（- R , R ）為冪級數的收斂區(qū)間。3 常用函數的冪級數展開式2 狄利克雷收斂定理設 f （ x ）是周期為 2

16、 的周期函數，如果它滿足條件： （ 1 ）在一個周期內連續(xù)，或只有有限個第一類間斷點；（ 2 ）在一個周期內至多只有有限個極值點，則 f （ x ）的傅立葉級數收斂，且當 x 是f （ x ）的連續(xù)點時，級數收斂于f（ x ） ；當 x 是f（ x ）的間斷點時，級數收斂于設 g （y）、 f （ x ）的原函數依次為 G （y）與 F（x），即得方程（ 1-5 - 2 ）的通解一階線性方程的通解公式全微分方程這是不顯含 y 的二階方程，令，則，代入即得這樣就把二階方程降為一階方程。設求得此一階方程的通解為，則原方程的通解為這是不顯含 x 的二階方程，令，則代入方程得即把二階方程降為一階方程。

17、設求得此一階方程的通解為，即，分離變量并積分得原方程的通解為線性微分方程解的性質及解的結構定理設有二階齊次線性方程則有二階常系數線性齊次方程Mij稱為 Dn的對應于元素 aij 的余子式。令Aij稱為 Dn的對應于元素 aij 的代數余子式。2 階行列式3 階行列式計算 2 階和 3 階行列式的值時，有“對角線法則” :2 階行列式時，即把 a11 a 22的連線稱主對角線， a12 a21 的連線稱次對角線。主對角線上各元素的乘積冠， “ + ”號，次對角線上各元素的乘積冠“”號，然后作代數和，所得結果即為 2 階行列式的值。3 階行列式時，主對角線上各元素的乘積冠， “ + ”號，次對角線

18、上各元素的乘積冠“”號，然后作代數和，所得結果即為3階行列式的值。（二）行列式的性質2. 互換行列式中的兩行（列），則行列式的值變號。 3. 行列式中任一行（列）的元素與它對應的代數余子式的乘積之和等于行列式的值。式（ 1-82 ）稱為行列式按第 i 行展開公式和按第 j 列展開公式。4. 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數然后加到另一行（列）的對應元素上，行列式的值不變。例如以數 k 乘第 i 行加到第 j 行上，有5. 行列式中如果有兩行（列）的元素相同，則行列式的值為 0。6. 行列式中任一行（列）的元素與另一行（列）對應元素的代數余子式乘積之和等于0。即7. 以數 k 乘行列式的

19、某一行（列）的所有元素，等于 k 乘這個行列式。 8. 行列式中如果有兩行（列）的元素對應成比例，則行列式的值為 0。9. 如果行列式中某行（列）的元素都表為兩數之和，例如第 k 行的元素都是兩數之和：則 D 等于下列兩個行列式之和：（三）計算 2 階和 3 階行列式的值常用對角線法則，計算 n 階（n4 ）行列式的值常用下述兩種方法：1 應用性質 7 ，把主對角線以下的元素全化為 0 ，成為上三角行列式它的值等于 b11b22···bnn2 選定一行（列），把該行（列）除一個非零元素外其余，n-1 個元素全化為0，然后按這一行（列）展開公式（1-8-2），就把行

20、列式降為n-1階行列式。元素全為0的矩陣稱零矩陣，記作 O 。注意不同型的零矩陣是不相等的。數乘矩陣滿足：矩陣相乘不滿足交換律，即一般ABBA。還要注意兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣。主對角線上的元素都是 1 ，其他元素都是 0 的方陣稱為單位陣，記作 E，階單位陣也記作 En。單位陣滿足：4 方陣的冪設 A 為，n階方陣，規(guī)定方陣的冪滿足：AB是 A 左乘 B ，BA是 A 右乘 B ，AB有意義時， BA 可以沒有意義.又，矩陣 A 0 , B0時卻可有BA=0 。而 A 0 , A ( ZY ）=0 不能得出 Z = Y 的結論。6 方陣的行列式由 n 階方陣 A 的元素所構成的 n 階

21、行列式叫做方陣 A 的行列式記作| A|或 detA 。|A|=0 時稱 A 為奇異（方）陣，|A|0 時稱 A 為非奇異（方）陣。注意長方陣沒有行列式。（三）逆陣對于 n 階方陣 A ，若存在 n 階方陣 B ，使則稱方陣 A 是可逆的， B 是 A 的逆陣，記作 A -1 。對于可逆矩陣有：當 A 可逆時，規(guī)定 A0 E ,A -k = ( A -l ) k 。由|A|的代數余子式Aij所構成的n階方陣稱為方陣 A 的伴隨陣。根據行列式性質 8 和 9 ，可得定理 n 階方陣 A 可逆的充分必要條件是|A|0。當|A|0 時，由定理可知，可逆陣就是非奇異陣，不可逆矩陣就是奇異陣。下列三種變

22、換稱為矩陣的初等行變換：若矩陣 A 經初等變換變?yōu)?B ，則稱矩陣 A 與 B 等價，記作 A B 。Am×nB m×n，的充分必要條件是：存在m 階可逆陣P和 n 階可逆陣 Q ，使PAQ = B。方陣 A 可逆的充分必要條件是 A E 。2 行階梯形及標準形矩陣經初等行變換可變?yōu)樾须A梯形和行最簡形，再經初等列變換可變?yōu)闃藴市?。例如：上面最后一個矩陣稱為行階梯形，它的特點是每個階梯只有一行。繼續(xù)施行初等行變換，可把它化成行最簡形：上面最后一個矩陣稱為行最簡形，它的特點是行階梯形中非零行的第一個非零元素為1，且含這些元素的列的其他元素都是零。再施行初等列變換，可把它變?yōu)闃藴?/p>

23、形：上面最后一個矩陣稱為標準形，它的特點是：左上角是一個單位矩陣，其余元素都是零。把矩陣化為行階梯形和行最簡形，是矩陣求秩和解線性方程組的有效手段。矩陣的許多運算都可以通過初等變換來實現。3 用初等變換求逆陣當方陣 A 可逆時， A 可經初等行變換變?yōu)?E ，因此對n ×2n矩陣（ A | E ）施行行變換，當把 A 化為 E 時， E 就化為 A-1。定義如果在矩陣 A 中有一個 r 階非零子式 Dr ，而所有 r + 1 階子式全等于 0 ，那么 Dr 稱為矩陣 A 的最高階非零子式，數r稱為 A 的秩，記作 R ( A ）。零矩陣沒有非零子式，規(guī)定零矩陣的秩為 0。定理若 A

24、B ，則 R ( A ) = R ( B ）。這一定理說明初等變換不改變矩陣的秩，因此，當把矩陣變?yōu)樾须A梯形，即可看出矩陣的秩，因為行階梯形的秩就等于非零行的行數。由此還可知，若 R ( A ) = r ，則 A 的標準形左上角為 r 階單位陣，矩陣的標準形由其行數 m 、列數n及秩 r 所完全確定。定義 設有向量組 A : 1, 2， ，m 與向量 ，如果有一組數 kl , k2， ， km使則稱向量是向量組1, 2， ，m的線性組合，或稱可由1, 2， ，m，線性表出定義設有向量組 A : 1, 2， ，m，如果有一組不全為 0 的數 kl , k2， ，km使則說向量組 A 是線性相關的

25、，否則說向量組 A 是線性無關的。向量組 A 線性相關的充分必要條件是 A 的秩小于 A 所含向量的個數；線性無關的充分必要條件是 A 的秩等于 A 所含向量的個數。一個向量組與它自己的最大無關組等價定理 若向量組 A 能由向量組 B 線性表示，則向量組 A 的秩不大于向量組 B 的秩。若向量組 A 與 B 等價，則它們的秩相等。注意向量組等價與矩陣等價是兩個不同的概念，不要混淆。定理 若矩陣 A 經行變換變?yōu)榫仃?B ，則 A 的行向量組與B的行向量組等價；若矩陣 A 經列變換變?yōu)?B ，則 A 與 B 的列向量組等價；矩陣 A 的行向量組的秩以及列向量組的秩都等于矩陣 A 的秩。由上述兩定

26、理可推知( i ）設 n 個 n 維向量構成方陣 A ，則此n個向量線性相關的充分必要條件是| A | =0。( ii ）設 Dr 是矩陣 A 的最高階非零子式，則 Dr 所對應的 r 個行向量即是 A 的行向量組的最大無關組， Dr 所對應的r個列向量即是 A 的列向量組的最大無關組。( iii ）設 C AB，則R（ C ） R ( A ) , R ( C ) （ B ）。當B可逆時， R ( C ) = R ( A ) ，當 A 可逆時， R ( C ) = R ( B ）。齊次線性方程組（ 1 8-3 ）的全體解向量所組成的向量組記作 S , S 的最大無關組稱為齊次線性方程組（ 1

27、-8-3 ）的基礎解系。定理設齊次線性方程組（ 1 8-3 ）的系數矩陣 A 的秩 R ( A ) = r , ，則其解集 S 的秩為 n - r ，即它的基礎解系含n - r 個線性無關的解向量。其中 kl ，k2， ， k n-r，為任意實數。定理 非齊次線性方程組（ 1 - 8 - 5 ）有解的充分必要條件是它的系數矩陣和增廣矩陣有相同的秩，即 R ( A ) = R ( B ）。當 R ( A ) = R ( B ) n時方程組（ 1 - 8 - 5 ）有唯一解；當 R ( A ) = R ( B ) < n 時方程組（1- 8 - 5 ）有無限多個解。2 非齊次線性方程組的通解

28、克拉默法則如果線性方程組其中Dj（ i =1 , 2 ， ，n）的是把系數行列式 D 中第 j列的元素用方程組右端的常數項代替后所得到的n階行列式。根據上述結論，可知如果線性方程組（ 1-8 - l ）無解或有無窮多個解，則它的系數行列式必為零.（四）向量的內積與范數 （不是太重要） 1 向量的內積與范數設令x ，y稱為向量 x 與 y 的內積（數量積）。當 x 、 y 為列向量時，用矩陣記號表示，有令 | x |稱為向量 x 的范數（模、長度）。范數等于 1 的向量稱單位向量。 特征值與特征向量定義 設 A 為 n 階方陣，如果數與非零列向量 x 使Ax=x（AE）x = 0則數稱為方陣 A

29、 的特征值，非零向量 x 稱為 A 的對應特征值的特征向量。記 f （）= | A E |，這是的n次多項式，稱為矩陣 A 的特征多項式。f （）= 0 稱為特征方程，特征方程的根就是 A 的特征值。 n 階方陣 A 有n個特征值（實的或復的，重根按重數計算個數）。設0是 A 的一個特征值，由于| A 0E | = 0 ，故齊次方程（ A -0E ) x= 0 必有非零解，這個非零解就是對應于特征值0的特征向量。定理設 A 是 n 階實對稱方陣，則 A 的特征值都是實數，且有n個兩兩正交的特征向量。相似矩陣定義設 A 、 B 都是n 階方陣。如果可逆陣 P 使P-1AP=B，則稱 B 是 A

30、的相似矩陣，也稱 A 與 B 相似（或稱 A 是 B 的相似矩陣，也稱 B 與 A 相似。當 A 與 B 相似時， A 與 B 的秩相等，且 A 與 B 等價。相似矩陣的特征多項式相同，從而特征值相同當n階方陣 A 與對角陣相似時，即存在可逆陣 P 使P-1AP=A，則 的主對角線上的元素恰是 A 的n個特征值，組成 P 的 n 個列向量恰是 A 的對應特征值的特征向量定理 n 階方陣 A 能與對角陣相似的充分必要條件為 A 有 n 個線性無關的特征向量。定理如果 n 階方陣 A 有 n 個不同的特征值，那么 A 必定能與對角陣相似。定理 n 階實對稱陣必定能與對角陣相似。（一）理想氣體狀態(tài)方程質量一定的理想氣體處于平衡態(tài)時的狀態(tài)參量P、V、T