概率論總復(fù)習(xí)提綱

1、第一塊隨機(jī)事件及其概率內(nèi)容提要基本內(nèi)容：隨機(jī)事件與樣本空間，事件的關(guān)系與運(yùn)算，概率的概念和基本性質(zhì)，古典概率，幾何概率，條件概率，與條件概率有關(guān)的三個(gè)公式，事件的獨(dú)立性，貝努里試驗(yàn).1、隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間與隨機(jī)事件（1）隨機(jī)試驗(yàn)：具有以下三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)，記為.1） 試驗(yàn)可在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；2） 每次試驗(yàn)的結(jié)果具有多種可能性，但試驗(yàn)之前可確知試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；3） 每次試驗(yàn)前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).（2）樣本空間：隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果組成的集合稱為的樣本空間記為；試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果，即中的元素，稱為樣本點(diǎn)，記為.（3）隨機(jī)事件：在一定條件下，可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事件稱

2、為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件；也可表述為事件就是樣本空間的子集，必然事件（記為）和不可能事件（記為）.2、事件的關(guān)系與運(yùn)算（1）包含關(guān)系與相等：“事件發(fā)生必導(dǎo)致發(fā)生”，記為或；且.（2）互不相容性：；互為對(duì)立事件且.（3）獨(dú)立性：（1）設(shè)為事件，若有，則稱事件與相互獨(dú)立. 等價(jià)于：若().（2）多個(gè)事件的獨(dú)立：設(shè)是n個(gè)事件，如果對(duì)任意的，任意的，具有等式，稱個(gè)事件相互獨(dú)立3、事件的運(yùn)算（1）和事件（并）：“事件與至少有一個(gè)發(fā)生”，記為.（2）積事件（交）：“事件與同時(shí)發(fā)生”，記為或.（3）差事件、對(duì)立事件(余事件)：“事件發(fā)生而不發(fā)生”，記為稱為與的差事件；稱為的對(duì)立事件；易知：.4、事件的運(yùn)算法則1

3、) 交換律：，；2) 結(jié)合律：，；3) 分配律：，；4) 對(duì)偶(De Morgan)律：，可推廣5、概率的概念（1）概率的公理化定義：（了解）（2）頻率的定義：（了解）事件在次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)次，則比值稱為事件在次重復(fù)試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率，記為，即.（3）概率的統(tǒng)計(jì)定義：（了解）頻率具有穩(wěn)定性，即隨的增大越來越靠近某個(gè)常數(shù)，稱為事件的（統(tǒng)計(jì)）概率.在實(shí)際問題中，當(dāng)很大時(shí)，?。?）古典概率（有限等可能型）：若試驗(yàn)的基本結(jié)果數(shù)為有限個(gè)，且每個(gè)事件發(fā)生的可能性相等，則（試驗(yàn)對(duì)應(yīng)古典概型）事件發(fā)生的概率為：.（5）幾何概率（無限等可能型）：（了解）若試驗(yàn)基本結(jié)果數(shù)無限，隨機(jī)點(diǎn)落在某區(qū)域g的概率與區(qū)域g的測(cè)度

4、(長度、面積、體積等)成正比，而與其位置及形狀無關(guān)，則（試驗(yàn)對(duì)應(yīng)幾何概型），“在區(qū)域中隨機(jī)地取一點(diǎn)落在區(qū)域中”這一事件發(fā)生的概率為：.（6）主觀概率：（了解）人們根據(jù)經(jīng)驗(yàn)對(duì)該事件發(fā)生的可能性所給出的個(gè)人信念.6、概率的基本性質(zhì)（1）不可能事件概率為零：.（2）有限可加性：設(shè)是n個(gè)兩兩互不相容的事件，即，（），則有.（3）單調(diào)不減性：若事件，且.（4）互逆性：且.（5）加法公式：對(duì)任意兩事件，有；此性質(zhì)可推廣到任意個(gè)事件的情形.（6）可分性：對(duì)任意兩事件，有，且7、條件概率與乘法公式（1）條件概率：設(shè)是兩個(gè)事件，若則稱為事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率（2）乘法公式：設(shè)則.稱為事件的概率乘法公

5、式.其可推廣成有即個(gè)的情形,詳見書上第16頁，其主要的意義在說明了前面的事件對(duì)后面的事件發(fā)生的概率產(chǎn)生影響.8、全概率公式與貝葉斯(Bayes)公式（1）全概率公式：設(shè)是的一個(gè)劃分，且，則對(duì)任何事件，有稱為全概率公式.應(yīng)用背景：若影響某一事件（“結(jié)果”）發(fā)生有幾種不同的情況（“原因”），那么計(jì)算結(jié)果的概率就要用全概率公式, 相當(dāng)于其是由原因計(jì)算結(jié)果. （2）貝葉斯(Bayes)公式：設(shè)是的一個(gè)劃分，且，則對(duì)任何事件，有稱為貝葉斯公式或逆概率公式. 應(yīng)用背景：若影響某一事件（“結(jié)果”）發(fā)生有幾種不同的情況（“原因”），那么若告訴你結(jié)果已發(fā)生，那么要計(jì)算某一種情況（“原因”）發(fā)生的概率時(shí)，就要用到

6、貝葉斯公式，相當(dāng)其主要的應(yīng)用是要由結(jié)果計(jì)算原因.9、貝努里(Bernoulli)概型（1）只有兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)稱為貝努里試驗(yàn)，常記為也叫做“成功失敗”試驗(yàn),“成功”的概率常用表示，其中“成功”.（2）把重復(fù)獨(dú)立地進(jìn)行次，所得的試驗(yàn)稱為重貝努里試驗(yàn)，記為（3）把重復(fù)獨(dú)立地進(jìn)行可列多次，所得的試驗(yàn)稱為可列重貝努里試驗(yàn)，記為以上三種貝努里試驗(yàn)統(tǒng)稱為貝努里概型（4）中成功次的概率是：其中.疑難分析1、必然事件與不可能事件 必然事件是在一定條件下必然發(fā)生的事件，不可能事件指的是在一定條件下必然不發(fā)生的事件.它們都不具有隨機(jī)性，是確定性的現(xiàn)象，但為研究的方便，把它們看作特殊的隨機(jī)事件.2、互逆事件與互斥

7、（不相容）事件如果兩個(gè)事件與必有一個(gè)事件發(fā)生，且至多有一個(gè)事件發(fā)生，則、為互逆事件；如果兩個(gè)事件與不能同時(shí)發(fā)生，則、為互斥事件.因而，互逆必定互斥，互斥未必互逆.區(qū)別兩者的關(guān)鍵是：當(dāng)樣本空間只有兩個(gè)事件時(shí)，兩事件才可能互逆，而互斥適用與多個(gè)事件的情形.作為互斥事件在一次試驗(yàn)中兩者可以都不發(fā)生，而互逆事件必發(fā)生一個(gè)且只發(fā)生一個(gè).3、兩事件獨(dú)立與兩事件互斥ABABAB兩事件、獨(dú)立，則與中任一個(gè)事件的發(fā)生與另一個(gè)事件的發(fā)生無關(guān)，這時(shí)；而兩事件互斥，則其中任一個(gè)事件的發(fā)生必然導(dǎo)致另一個(gè)事件不發(fā)生，這兩事件的發(fā)生是有影響的，這時(shí).可以用圖形作一直觀解釋.在圖1.1左邊的正方形中，表示樣本空間中兩事件的獨(dú)

8、立關(guān)系，而在右邊的正方形中，表示樣本空間中兩事件的互斥關(guān)系.4、條件概率與積事件概率是在樣本空間內(nèi)，事件的概率，而是在試驗(yàn)增加了新條件發(fā)生后的縮減的樣本空間中計(jì)算事件、都發(fā)生，但兩者是不同的，一般說來，當(dāng)、同時(shí)發(fā)生時(shí)，常用，而在有包含關(guān)系或明確的主從關(guān)系時(shí)，用.如袋中有9個(gè)白球1個(gè)紅球，作不放回抽樣，每次任取一球，取2次，求：（1）第二次才取到白球的概率；（2）第一次取到的是白球的條件下，第二次取到白球的概率.問題（1）求的就是一個(gè)積事件概率的問題，而問題（2）求的就是一個(gè)條件概率的問題.5、全概率公式與貝葉斯(Bayes)公式當(dāng)所求的事件概率為許多因素引發(fā)的某種結(jié)果，而該結(jié)果又不能簡(jiǎn)單地看作

9、這諸多事件之和時(shí)，可考慮用全概率公式，在對(duì)樣本空間進(jìn)行劃分時(shí)，一定要注意它必須滿足的兩個(gè)條件.貝葉斯公式用于試驗(yàn)結(jié)果已知，追查是何種原因（情況、條件）下引發(fā)的概率.第二塊 隨機(jī)變量及其分布內(nèi)容提要基本內(nèi)容：隨機(jī)變量，隨機(jī)變量的分布的概念及其性質(zhì)，離散型隨機(jī)變量的概率分布，連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布，常見隨機(jī)變量的分布，隨機(jī)變量函數(shù)的分布.1、隨機(jī)變量設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，如果對(duì)于試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果，都有唯一的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱為定義在上的隨機(jī)變量，簡(jiǎn)記為.隨機(jī)變量通常用大寫字母等表示.根據(jù)其取值的情形可以分成為2、離散型隨機(jī)變量及其分布列如果隨機(jī)變量只能取有限個(gè)或可列個(gè)可能值，則稱的一切可能

10、值為，并且取的概率為，則稱為離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù)（概率分布或分布律）.也稱分布列，常記為其中.常見的離散型隨機(jī)變量的分布有：（1）兩點(diǎn)分布（0-1分布）：記為，分布列為或 （2）二項(xiàng)分布：記為，概率函數(shù)（3）泊松分布，記為，概率函數(shù)泊松定理： 設(shè)是一常數(shù)，是任意正整數(shù)，設(shè)，則對(duì)于任一固定的非負(fù)整數(shù)，有.根據(jù)泊松定理可得，當(dāng)很大(大于50)且很?。ㄒ话闶切∮?.05）時(shí)，二項(xiàng)分布可以用泊松分布近似代替，即，其中3、分布函數(shù)及其性質(zhì)分布函數(shù)的定義：設(shè)為隨機(jī)變量，為任意實(shí)數(shù)，函數(shù)稱為隨機(jī)變量的分布函數(shù).分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，具有以下性質(zhì)：（1）有界性： ；（2）單調(diào)性：

11、如果，則；（3）右連續(xù)： 即；（4）極限性： ；（5）完美性： .4、連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布如果對(duì)于隨機(jī)變量的分布函數(shù)，存在非負(fù)函數(shù)，使對(duì)于任一實(shí)數(shù)，有，則稱稱為的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱為概率密度.概率密度函數(shù)具有以下性質(zhì)：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）如果在處連續(xù)，則.常用連續(xù)型隨機(jī)變量的分布：（1）均勻分布：記為，概率密度為分布函數(shù)為 性質(zhì)：若，則（2）指數(shù)分布：記為，概率密度為分布函數(shù)為 無記憶性質(zhì)：對(duì)于任意有.（3）正態(tài)分布：記為，概率密度為，相應(yīng)的分布函數(shù)為 當(dāng)時(shí)，即時(shí)，稱和表示的密度函數(shù)和分布函數(shù)，即性質(zhì)：若,則其密度函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，從而. 若,則，即一般正態(tài)分布的分布函數(shù)與

12、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)有關(guān)系：.5、隨機(jī)變量函數(shù)的分布（1）離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)為離散型隨機(jī)變量，其分布列為(表2-2)：表2-2則任為離散型隨機(jī)變量，其分布列為(表2-3)：表2-3有相同值時(shí)，要合并為一項(xiàng)，對(duì)應(yīng)的概率相加.（2）連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)為離散型隨機(jī)變量，概率密度為，則的概率密度有兩種方法可求.1）定理法：若在的取值區(qū)間內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且單調(diào)時(shí)，是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為.其中是的反函數(shù).2）分布函數(shù)法：先求的分布函數(shù)然后求 . 結(jié)論：若，則.疑難分析1、隨機(jī)變量與普通函數(shù)隨機(jī)變量是定義在隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間上，對(duì)試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果，都有唯一的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng).從定義可

13、知：普通函數(shù)的取值是按一定法則給定的，而隨機(jī)變量的取值是由統(tǒng)計(jì)規(guī)律性給出的，具有隨機(jī)性；又普通函數(shù)的定義域是一個(gè)區(qū)間，而隨機(jī)變量的定義域是樣本空間.2、分布函數(shù)的連續(xù)性左連續(xù)，但大多數(shù)書籍定義分布函數(shù)為右連續(xù). 左連續(xù)與右連續(xù)的區(qū)別在于計(jì)算時(shí)，點(diǎn)的概率是否計(jì)算在內(nèi).對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，由于，故定義左連續(xù)或右連續(xù)沒有什么區(qū)別；對(duì)于離散型隨機(jī)變量，由于，則定義左連續(xù)或右連續(xù)時(shí)值就不相同，這時(shí)，就要注意對(duì)定義左連續(xù)還是右連續(xù).第三塊 多維隨機(jī)變量及其分布內(nèi)容提要基本內(nèi)容：多維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列，二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)和聯(lián)合密度函數(shù)，邊際分布，隨機(jī)變量的獨(dú)立性

14、和不相關(guān)性，常用多維隨機(jī)變量，隨機(jī)向量函數(shù)的分布.1、二維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布函數(shù)為n維(n元)隨機(jī)變量或隨機(jī)向量.聯(lián)合分布函數(shù)的定義：設(shè)隨機(jī)變量,為隨機(jī)向量的聯(lián)合分布函數(shù)二維聯(lián)合分布函數(shù)具有以下基本性質(zhì)：（1）單調(diào)性： 是變量或的非減函數(shù)；（2）有界性： ；（3）極限性：，但注意，其中與分別表示與的分布函數(shù).（4）連續(xù)性: 關(guān)于右連續(xù)，關(guān)于也右連續(xù)；（5）非負(fù)性: 對(duì)任意點(diǎn)，若，則.上式表示隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)的概率為：.2、二維離散型隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布列如果二維隨機(jī)變量所有可能取值是有限對(duì)或可列對(duì)，則稱為二維離散型隨機(jī)變量.設(shè)為二維離散型隨機(jī)變量,它的所有可能取值為將的聯(lián)合分布列.聯(lián)合分布列

15、具有下列性質(zhì)：（1）；（2）.3、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)如果存在一個(gè)非負(fù)函數(shù),使得二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)有 ，則稱是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱為的聯(lián)合密度函數(shù)（或概率密度函數(shù)）.聯(lián)合密度函數(shù)具有下列性質(zhì)：（1）非負(fù)性 對(duì)一切實(shí)數(shù)，有；（2）規(guī)范性 ；（3）在任意平面域上，取值的概率；（4）如果在處連續(xù)，則.常用連續(xù)型隨機(jī)變量的分布：(1) 設(shè)是平面上的一個(gè)有界區(qū)域，其面積為.若二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為則稱服從區(qū)域上的二維均勻分布. (2) 二元正態(tài)分布：其密度函數(shù)不要求背，具體的請(qǐng)見課本P67.4、二維隨機(jī)變量的邊緣分布設(shè)為二維隨機(jī)變量，則稱分別為關(guān)于和關(guān)于的邊緣（邊際）

16、分布函數(shù).當(dāng)為離散型隨機(jī)變量，則稱分別為關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布列.當(dāng)為連續(xù)型隨機(jī)變量，則稱分別為關(guān)于和關(guān)于的邊緣密度函數(shù). 性質(zhì)：，則，.5、隨機(jī)變量的獨(dú)立性設(shè)及分別是有則稱隨機(jī)變量與相互獨(dú)立.設(shè)為二維離散型隨機(jī)變量，與相互獨(dú)立的充要條件是.設(shè)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，與相互獨(dú)立的充要條件是對(duì)幾乎一切實(shí)數(shù)，有.性質(zhì)：，則6、兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為，是的函數(shù)，則的分布函數(shù)為.對(duì)于一般的函數(shù),求通過分布函數(shù)的方法，如第三章，習(xí)題29就是使用這種方法. 但對(duì)于以下的幾個(gè)，更加常用的是公式的方法. 若為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)為.（1）的分布:. 特別地，若與相互獨(dú)立，

17、則（2）的分布：特別地，若與相互獨(dú)立，則（3）的分布：特別地，若與相互獨(dú)立，則 （4）的分布若為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)為，則的概率函數(shù)為：.性質(zhì)：若.若若，且與相互獨(dú)立的，則7最大值與最小值的分布則其中的表示的是隨機(jī)變量的分布函數(shù).疑難分析1、事件表示事件與的積事件，為什么不一定等于？如同僅當(dāng)事件相互獨(dú)立時(shí)，才有一樣，這里依乘法原理.只有事件與相互獨(dú)立時(shí)，才有，因?yàn)?2、二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布、邊緣分布及條件分布之間存在什么樣的關(guān)系？知，一個(gè)條件分布和它對(duì)應(yīng)的邊緣分布，能唯一確定聯(lián)合分布.但是，如果相互獨(dú)立，則，即.說明當(dāng)獨(dú)立時(shí)，邊緣分布也唯一確定聯(lián)合分布，從而條件分布也唯一確定聯(lián)合分布

18、.3、兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念與兩個(gè)事件相互獨(dú)立是否相同？為什么？兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，是指組成二維隨機(jī)變量的兩個(gè)分量中一個(gè)分量的取值不受另一個(gè)分量取值的影響，滿足.而兩個(gè)事件的獨(dú)立性，是指一個(gè)事件的發(fā)生不受另一個(gè)事件發(fā)生的影響，故有.兩者可以說不是一個(gè)問題.但是，組成二維隨機(jī)變量的兩個(gè)分量是同一試驗(yàn)的樣本空間上的兩個(gè)一維隨機(jī)變量，而也是一個(gè)試驗(yàn)的樣本空間的兩個(gè)事件.因此，若把“”、“”看作兩個(gè)事件，那么兩者的意義近乎一致，從而獨(dú)立性的定義幾乎是相同的.第四塊 隨機(jī)變量的數(shù)字特征內(nèi)容提要基本內(nèi)容：隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差、標(biāo)準(zhǔn)差及其性質(zhì)，隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，原點(diǎn)矩和中心矩，協(xié)方差和相關(guān)系

19、數(shù)及其性質(zhì).1、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為，如果級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱級(jí)數(shù)的和為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，如果廣義積分絕對(duì)收斂，則稱此積分值為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.數(shù)學(xué)期望有如下性質(zhì)：（1）設(shè)是常數(shù)，則；（2）設(shè)是常數(shù)，則；（3）若是隨機(jī)變量，則；對(duì)任意個(gè)隨機(jī)變量，有；（4）若相互獨(dú)立，則；對(duì)任意個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，有.2、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望（1）設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為，則的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，式中級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，則的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，式中積分絕對(duì)收斂. （2）若二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列為3、隨機(jī)變量的方差設(shè)是一個(gè)隨

20、機(jī)變量，則稱為的方差.稱為的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差.計(jì)算方差也常用公式.方差具有如下性質(zhì)：（1）設(shè)是常數(shù)，則；（2）設(shè)是常數(shù)，則；（3）=.特別地，若相互獨(dú)立，則.更加一般地，對(duì)任意個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，有；（4）的充要條件是：存在常數(shù)，使.4、幾種常見分布的數(shù)學(xué)期望與方差：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）,則；（6）.6、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)隨機(jī)變量的協(xié)方差為.它是1+1階混合中心矩，有計(jì)算公式：.隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)為.相關(guān)系數(shù)具有如下性質(zhì)：（1）；（2）存在常數(shù)，使=1，即與以概率1線性相關(guān)；（3）若獨(dú)立，則，即不相關(guān).反之，不一定成立.（4）(Schwarz inequality) 設(shè)(X,Y

21、)是二維隨機(jī)變量,若X與Y的方差都存在,則疑難分析1、隨機(jī)變量的數(shù)字特征在概率論中有什么意義？知道一個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)，就掌握了這個(gè)隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.但求得一個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)是不容易的，而且往往也沒有這個(gè)必要.隨機(jī)變量的數(shù)字特征則比較簡(jiǎn)單易求，也能滿足我們研究分析具體問題的需要，所以在概率論中很多的應(yīng)用，同時(shí)也刻畫了隨機(jī)變量的某些特征，有重要的實(shí)際意義.例如，數(shù)學(xué)期望反映了隨機(jī)變量取值的平均值，表現(xiàn)為具體問題中的平均長度、平均時(shí)間、平均成績、期望利潤、期望成本等；方差反映了隨機(jī)變量取值的波動(dòng)程度；偏態(tài)系數(shù)、峰態(tài)系數(shù)則反映了隨機(jī)變量取值的對(duì)稱性和集中性.因此，在不同的問題上考察不同的數(shù)

22、字特征，可以簡(jiǎn)單而切實(shí)地解決我們面臨的實(shí)際問題.2、在數(shù)學(xué)期望定義中為什么要求級(jí)數(shù)和廣義積分絕對(duì)收斂？首先，數(shù)學(xué)期望是一個(gè)有限值；其次，數(shù)學(xué)期望反映隨機(jī)變量取值的平均值.因此，對(duì)級(jí)數(shù)和廣義積分來說，絕對(duì)收斂保證了值的存在，且對(duì)級(jí)數(shù)來說，又與項(xiàng)的次序無關(guān)，從而更便于運(yùn)算求值.而由于連續(xù)型隨機(jī)變量可以離散化，從而廣義積分與無窮級(jí)數(shù)有同樣的意義.要求級(jí)數(shù)和廣義積分絕對(duì)收斂是為了保證數(shù)學(xué)期望的存在與求出.3、相關(guān)系數(shù)反映了隨機(jī)變量和之間的什么關(guān)系？相關(guān)系數(shù)是用隨機(jī)變量和的協(xié)方差和標(biāo)準(zhǔn)差來定義的，它反映了隨機(jī)變量和時(shí)，稱與依概率1線性相關(guān)；當(dāng)時(shí)，稱與不相關(guān)；當(dāng)時(shí)，又分為強(qiáng)相關(guān)與弱相關(guān).4、兩個(gè)隨機(jī)變量與

23、相互獨(dú)立和不相關(guān)是一種什么樣的關(guān)系？（1）若、相互獨(dú)立，則、獨(dú)立，則，故，從而，所以、不相關(guān).（2）若、不相關(guān)，則、不一定獨(dú)立.如： 因?yàn)椋?、?知、不獨(dú)立.（3）若、相關(guān)，則、一定不獨(dú)立.可由反證法說明.（4）若、不相關(guān)，則、不獨(dú)立，但若時(shí)，可以有，從而可以有、不相關(guān). 但是，也有特殊情況，如服從二維正態(tài)分布時(shí)，、不相關(guān)與、獨(dú)立是等價(jià)的.第五塊大數(shù)定律和中心極限定理內(nèi)容提要基本內(nèi)容：切比雪夫（Chebyshev）不等式，切比雪夫大數(shù)定律，伯努里（Bernoulli）大數(shù)定律，辛欽（Khinchine）大數(shù)定律，棣莫弗-拉普拉斯（De Moivre-Laplace）定理，列維-林維德伯格(Levy-Lindberg)定理.1、切貝雪夫不等式設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，方差，則對(duì)任意正數(shù)，有不等式 或成立.2、大數(shù)定律（了解）（1）貝努利大數(shù)定律:設(shè)是次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，是事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意給定的，有.貝努利大數(shù)定理給出了當(dāng)很大時(shí)，發(fā)生的頻率依概率收斂于的概率，證明了頻率的穩(wěn)定性.(2)辛欽大數(shù)定律：設(shè)相互獨(dú)立,服從同一分布的隨機(jī)變量序列,且(),則對(duì)任意給定的，有3、中心極限定律（1）林德貝格-勒維中心極限定理:設(shè)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，有有限的數(shù)學(xué)期望和方差，.則對(duì)任意實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量的分布函數(shù)滿足.（2）李