文科立體幾何知識點(diǎn)方法總結(jié)高三復(fù)習(xí)04968

1、一 直線和平面的三種位置關(guān)系：1. 線面平行符號表示：2. 線面相交 符號表示：3. 線在面內(nèi)符號表示：二 平行關(guān)系：1. 線線平行：方法一：用線面平行實(shí)現(xiàn)。方法二：用面面平行實(shí)現(xiàn)。方法三：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。若，則。方法四：用向量方法： 若向量和向量共線且l、m不重合，則。2. 線面平行：方法一：用線線平行實(shí)現(xiàn)。方法二：用面面平行實(shí)現(xiàn)。方法三：用平面法向量實(shí)現(xiàn)。若為平面的一個(gè)法向量，且,則。3. 面面平行：方法一：用線線平行實(shí)現(xiàn)。方法二：用線面平行實(shí)現(xiàn)。三垂直關(guān)系：1.線面垂直：方法一：用線線垂直實(shí)現(xiàn)。方法二：用面面垂直實(shí)現(xiàn)。2.面面垂直：方法一：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。方法二：計(jì)算所成二面角為直角。3

2、. 線線垂直：方法一：用線面垂直實(shí)現(xiàn)。方法二：三垂線定理及其逆定理。方法三：用向量方法： 若向量和向量的數(shù)量積為0，則。三 夾角問題。(一) 異面直線所成的角：(1) 范圍：(2)求法：方法一：定義法。步驟1：平移，使它們相交，找到夾角。步驟2：解三角形求出角。(常用到余弦定理)余弦定理：(計(jì)算結(jié)果可能是其補(bǔ)角)方法二：向量法。轉(zhuǎn)化為向量的夾角(計(jì)算結(jié)果可能是其補(bǔ)角)：(二) 線面角(1)定義：直線l上任取一點(diǎn)P（交點(diǎn)除外），作PO于O,連結(jié)AO，則AO為斜線PA在面內(nèi)的射影，(圖中)為直線l與面所成的角。(2)范圍：當(dāng)時(shí)，或當(dāng)時(shí)，(3)求法：方法一：定義法。步驟1：作出線面角，并證明。步驟2

3、：解三角形，求出線面角。(三) 二面角及其平面角(1)定義：在棱l上取一點(diǎn)P，兩個(gè)半平面內(nèi)分別作l的垂線（射線）m、n，則射線m和n的夾角為二面角l的平面角。(2)范圍：(3)求法：方法一：定義法。步驟1：作出二面角的平面角(三垂線定理)，并證明。步驟2：解三角形，求出二面角的平面角。方法二：截面法。步驟1：如圖，若平面POA同時(shí)垂直于平面，則交線(射線)AP和AO的夾角就是二面角。步驟2：解三角形，求出二面角。方法三：坐標(biāo)法(計(jì)算結(jié)果可能與二面角互補(bǔ))。步驟一：計(jì)算步驟二：判斷與的關(guān)系，可能相等或者互補(bǔ)。四 距離問題。1點(diǎn)面距。方法一：幾何法。步驟1：過點(diǎn)P作PO于O，線段PO即為所求。步驟

4、2：計(jì)算線段PO的長度。(直接解三角形；等體積法和等面積法；換點(diǎn)法)2線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距。3異面直線之間的距離方法一：轉(zhuǎn)化為線面距離。如圖，m和n為兩條異面直線，且，則異面直線m和n之間的距離可轉(zhuǎn)化為直線m與平面之間的距離。方法二：直接計(jì)算公垂線段的長度。方法三：公式法。如圖，AD是異面直線m和n的公垂線段，則異面直線m和n之間的距離為：ABCD高考題典例考點(diǎn)1 點(diǎn)到平面的距離例1如圖，正三棱柱的所有棱長都為，為中點(diǎn)（）求證：平面；（）求二面角的大?。唬ǎ┣簏c(diǎn)到平面的距離解答過程（）取中點(diǎn)，連結(jié)為正三角形，ABCDOF正三棱柱中，平面平面，平面連結(jié)，在正方形中，分別為的中點(diǎn)，在正方

5、形中，平面（）設(shè)與交于點(diǎn)，在平面中，作于，連結(jié)，由（）得平面，為二面角的平面角在中，由等面積法可求得，又，所以二面角的大小為（）中，在正三棱柱中，到平面的距離為設(shè)點(diǎn)到平面的距離為由，得，點(diǎn)到平面的距離為考點(diǎn)2 異面直線的距離例2已知三棱錐，底面是邊長為的正三角形，棱的長為2，且垂直于底面.分別為的中點(diǎn)，求CD與SE間的距離.解答過程：如圖所示，取BD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，SF，CF，為的中位線，面,到平面的距離即為兩異面直線間的距離.又線面之間的距離可轉(zhuǎn)化為線上一點(diǎn)C到平面的距離，設(shè)其為h，由題意知，,D、E、F分別是AB、BC、BD的中點(diǎn)，在Rt中，在Rt中，又由于，即，解得故CD與SE間的距

6、離為.考點(diǎn)3 直線到平面的距離例3如圖，在棱長為2的正方體中，G是的中點(diǎn)，求BD到平面的距離.BACDOGH思路啟迪：把線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，再用點(diǎn)到平面距離的方法求解.解答過程：解析一平面，上任意一點(diǎn)到平面的距離皆為所求，以下求點(diǎn)O平面的距離,，平面,又平面平面，兩個(gè)平面的交線是,作于H，則有平面，即OH是O點(diǎn)到平面的距離.在中，.又.即BD到平面的距離等于.解析二平面，上任意一點(diǎn)到平面的距離皆為所求，以下求點(diǎn)B平面的距離.設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為h，將它視為三棱錐的高，則, 即BD到平面的距離等于.小結(jié)：當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線上的每一點(diǎn)到平面的距離都相等，都是線面距離.所以求線面距離關(guān)鍵是

7、選準(zhǔn)恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離.本例解析一是根據(jù)選出的點(diǎn)直接作出距離；解析二是等體積法求出點(diǎn)面距離.考點(diǎn)4 異面直線所成的角例4如圖，在中，斜邊可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角的直二面角是的中點(diǎn)（I）求證：平面平面；（II）求異面直線與所成角的大小解答過程：（I）由題意，是二面角是直二面角，又，平面，又平面平面平面（II）作，垂足為，連結(jié)（如圖），則，是異面直線與所成的角在中，又在中，異面直線與所成角的大小為小結(jié)：求異面直線所成的角常常先作出所成角的平面圖形，作法有：平移法：在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點(diǎn)”，作另一條直線的平行線，如解析一，或利用中位線，如解析二；補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成

8、熟悉的幾何體，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系，如解析三.一般來說，平移法是最常用的，應(yīng)作為求異面直線所成的角的首選方法.同時(shí)要特別注意異面直線所成的角的范圍：.考點(diǎn)5 直線和平面所成的角例5. 四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面底面已知，（）證明；（）求直線與平面所成角的大小解答過程：（）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得底面DBCAS因?yàn)?，所以，又，故為等腰直角三角形，由三垂線定理，得（）由（）知，依題設(shè)，故，由，得，的面積連結(jié)，得的面積設(shè)到平面的距離為，由于，得，解得設(shè)與平面所成角為，則所以，直線與平面所成的我為小結(jié)：求直線與平面所成的角時(shí)，應(yīng)注意的問題是（1）先判斷直線和平面的位置關(guān)

9、系；（2）當(dāng)直線和平面斜交時(shí)，常用以下步驟：構(gòu)造作出斜線與射影所成的角，證明論證作出的角為所求的角，計(jì)算常用解三角形的方法求角，結(jié)論點(diǎn)明直線和平面所成的角的值.考點(diǎn)6 二面角例6如圖，已知直二面角，ABCQP，直線和平面所成的角為（I）證明（II）求二面角的大小ABCQPOH過程指引：（I）在平面內(nèi)過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以而，所以，從而，又，所以平面因?yàn)槠矫?，故（II）由（I）知，又，所以過點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)，由三垂線定理知，故是二面角的平面角由（I）知，所以是和平面所成的角，則，不妨設(shè)，則，在中，所以，于是在中，故二面角的大小為小結(jié)：本題是一個(gè)無棱二面角的求解問題.解法一是確定二面角的棱，進(jìn)而找出二面角的平面角.無棱二面角棱的確定有以下三種途徑：由二面角兩個(gè)面內(nèi)的兩條相交直線確定棱，由二面角兩個(gè)平面內(nèi)的兩條平行直線找出棱，補(bǔ)形構(gòu)造幾何體發(fā)現(xiàn)棱；解法二則是利用平面向量計(jì)算的方法，這也是解決無棱二面角的一種常用方法，即當(dāng)二面角的平面角不易作出時(shí)，可由平面向量計(jì)算的方法求出二面角的大小.考點(diǎn)7 利用空間向量求空間距離和角例7如圖，已知是棱長為的正方體，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且（1）求證：四點(diǎn)共面；（2）若點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，垂足為，求證：平面；（3）用表示截面和側(cè)面所成的