概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第四版習(xí)題答案第四版盛驟浙江大學(xué)出版

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題答案第四版盛驟(浙江大學(xué))浙大第四版（高等教育出版社）第一章概率論的基本概念1.一 寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間（1）記錄一個(gè)小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)（充以百分制記分）（一 1），n表小班人數(shù)（3）生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。（一 2）S=10，11，12，n，（4）對(duì)某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的蓋上“正品”，不合格的蓋上“次品”，如連續(xù)查出二個(gè)次品就停止檢查，或檢查4個(gè)產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。查出合格品記為“1”，查出次品記為“0”，連續(xù)出現(xiàn)兩個(gè)“0”就停止檢查，或查滿4次才停止檢查。（一 (3)）S=00，100，0100，0101，1

2、010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，2.二 設(shè)A，B，C為三事件，用A，B，C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件。（1）A發(fā)生，B與C不發(fā)生。表示為：或A(AB+AC)或A(BC)（2）A，B都發(fā)生，而C不發(fā)生。表示為：或ABABC或ABC（3）A，B，C中至少有一個(gè)發(fā)生表示為：A+B+C（4）A，B，C都發(fā)生，表示為：ABC（5）A，B，C都不發(fā)生，表示為：或S(A+B+C)或（6）A，B，C中不多于一個(gè)發(fā)生，即A，B，C中至少有兩個(gè)同時(shí)不發(fā)生相當(dāng)于中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為：。（7）A，B，C中不多于二個(gè)發(fā)生。相當(dāng)于：中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為：（8）A，B，

3、C中至少有二個(gè)發(fā)生。相當(dāng)于：AB，BC，AC中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為：AB+BC+AC6.三 設(shè)A，B是兩事件且P (A)=0.6，P (B)=0.7. 問(1)在什么條件下P (AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么條件下P (AB)取到最小值，最小值是多少？解：由P (A) = 0.6，P (BAB，（否則AB = 依互斥事件加法定理，P(AB)=P (A)+P (B)=0.6+0.7=1.3>1與P (AB)1矛盾）.從而由加法定理得P (AB)=P (A)+P (B)P (AB)(*)（1）從0P(AB)P(A)知，當(dāng)AB=A，即AB時(shí)P(AB)取到最大值，最大值為P(A

4、B)=P(A)=0.6，（2）從(*)式知，當(dāng)AB=S時(shí)，P(AB)取最小值，最小值為P(AB)=0.6+0.71=0.3 。7.四 設(shè)A，B，C是三事件，且，. 求A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生的概率。解：P (A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生)=P (A+B+C)= P(A)+ P(B)+ P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+ P(ABC)= 8.五 在一標(biāo)準(zhǔn)英語字典中具有55個(gè)由二個(gè)不相同的字母新組成的單詞，若從26個(gè)英語字母中任取兩個(gè)字母予以排列，問能排成上述單詞的概率是多少？記A表“能排成上述單詞”從26個(gè)任選兩個(gè)來排列，排法有種。每種排法等可能。字典中的二個(gè)不同字母組成的單詞：55個(gè)9. 在

5、電話號(hào)碼薄中任取一個(gè)電話號(hào)碼，求后面四個(gè)數(shù)全不相同的概率。（設(shè)后面4個(gè)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)都是等可能性地取自0，1，29）記A表“后四個(gè)數(shù)全不同”后四個(gè)數(shù)的排法有104種，每種排法等可能。后四個(gè)數(shù)全不同的排法有10.六 在房間里有10人。分別佩代著從1號(hào)到10號(hào)的紀(jì)念章，任意選3人記錄其紀(jì)念章的號(hào)碼。（1）求最小的號(hào)碼為5的概率。記“三人紀(jì)念章的最小號(hào)碼為5”為事件A10人中任選3人為一組：選法有種，且每種選法等可能。又事件A相當(dāng)于：有一人號(hào)碼為5，其余2人號(hào)碼大于5。這種組合的種數(shù)有（2）求最大的號(hào)碼為5的概率。記“三人中最大的號(hào)碼為5”為事件B，同上10人中任選3人，選法有種，且每種選法等可能，

6、又事件B相當(dāng)于：有一人號(hào)碼為5，其余2人號(hào)碼小于5，選法有種11.七 某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，紅漆3桶。在搬運(yùn)中所標(biāo)箋脫落，交貨人隨意將這些標(biāo)箋重新貼，問一個(gè)定貨4桶白漆，3桶黑漆和2桶紅漆顧客，按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少？記所求事件為A。在17桶中任取9桶的取法有種，且每種取法等可能。取得4白3黑2紅的取法有故12.八 在1500個(gè)產(chǎn)品中有400個(gè)次品，1100個(gè)正品，任意取200個(gè)。（1）求恰有90個(gè)次品的概率。記“恰有90個(gè)次品”為事件A在1500個(gè)產(chǎn)品中任取200個(gè)，取法有種，每種取法等可能。200個(gè)產(chǎn)品恰有90個(gè)次品，取法有種（2）至少有2個(gè)次品

7、的概率。記：A表“至少有2個(gè)次品”B0表“不含有次品”，B1表“只含有一個(gè)次品”，同上，200個(gè)產(chǎn)品不含次品，取法有種，200個(gè)產(chǎn)品含一個(gè)次品，取法有種且B0，B1互不相容。13.九 從5雙不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率是多少？記A表“4只全中至少有兩支配成一對(duì)”則表“4只人不配對(duì)”從10只中任取4只，取法有種，每種取法等可能。要4只都不配對(duì)，可在5雙中任取4雙，再在4雙中的每一雙里任取一只。取法有15.十一 將三個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，問杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別是1，2，3，的概率各為多少？記Ai表“杯中球的最大個(gè)數(shù)為i個(gè)”i=1,2,3,三只球放入四只杯中，放法有

8、43種，每種放法等可能對(duì)A1：必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4×3×2種。(選排列：好比3個(gè)球在4個(gè)位置做排列)對(duì)A2：必須三球放入兩杯，一杯裝一球，一杯裝兩球。放法有種。(從3個(gè)球中選2個(gè)球，選法有，再將此兩個(gè)球放入一個(gè)杯中，選法有4種，最后將剩余的1球放入其余的一個(gè)杯中，選法有3種。對(duì)A3：必須三球都放入一杯中。放法有4種。(只需從4個(gè)杯中選1個(gè)杯子，放入此3個(gè)球，選法有4種)16.十二 50個(gè)鉚釘隨機(jī)地取來用在10個(gè)部件，其中有三個(gè)鉚釘強(qiáng)度太弱，每個(gè)部件用3只鉚釘，若將三只強(qiáng)度太弱的鉚釘都裝在一個(gè)部件上，則這個(gè)部件強(qiáng)度就太弱，問發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率是多少

9、？記A表“10個(gè)部件中有一個(gè)部件強(qiáng)度太弱”。法一：用古典概率作：把隨機(jī)試驗(yàn)E看作是用三個(gè)釘一組，三個(gè)釘一組去鉚完10個(gè)部件（在三個(gè)釘?shù)囊唤M中不分先后次序。但10組釘鉚完10個(gè)部件要分先后次序）對(duì)E：鉚法有種，每種裝法等可能對(duì)A：三個(gè)次釘必須鉚在一個(gè)部件上。這種鉚法有×10種法二：用古典概率作把試驗(yàn)E看作是在50個(gè)釘中任選30個(gè)釘排成一列，順次釘下去，直到把部件鉚完。（鉚釘要計(jì)先后次序）對(duì)E：鉚法有種，每種鉚法等可能對(duì)A：三支次釘必須鉚在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，或“28，29，30”位置上。這種鉚法有種17.十三 已知。解一：注意. 故有P (AB)=P (A)P

10、(A)=0.70.5=0.2。再由加法定理，P (A)= P (A)+ P ()P (A于是18.十四 。解：由由乘法公式，得由加法公式，得19.十五 擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7，求其中有一顆為1點(diǎn)的概率（用兩種方法）。解：（方法一）（在縮小的樣本空間SB中求P(A|B)，即將事件B作為樣本空間，求事件A發(fā)生的概率）。擲兩顆骰子的試驗(yàn)結(jié)果為一有序數(shù)組（x, y）（x, y=1,2,3,4,5,6）并且滿足x,+y=7，則樣本空間為S=(x, y)| (1, 6 ), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)每種結(jié)果（x, y）等可能。A=擲二骰子，

11、點(diǎn)數(shù)和為7時(shí)，其中有一顆為1點(diǎn)。故方法二：（用公式S=(x, y)| x =1,2,3,4,5,6; y = 1,2,3,4,5,6每種結(jié)果均可能A=“擲兩顆骰子，x, y中有一個(gè)為“1”點(diǎn)”，B=“擲兩顆骰子，x,+y=7”。則，故20.十六 據(jù)以往資料表明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：P(A)=P孩子得病=0.6，P (B|A)=P母親得病|孩子得病=0.5，P (C|AB)=P父親得病|母親及孩子得病=0.4。求母親及孩子得病但父親未得病的概率。解：所求概率為P (AB)（注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是隨機(jī)事件，這里不是求P (|AB)P (AB)= P(A)

12、=P(B|A)=0.6×0.5=0.3, P (|AB)=1P (C |AB)=10.4=0.6.從而P (AB)= P (AB) · P(|AB)=0.3×0.6=0.18.21.十七 已知10只晶體管中有2只次品，在其中取二次，每次隨機(jī)地取一只，作不放回抽樣，求下列事件的概率。（1）二只都是正品（記為事件A）法一：用組合做在10只中任取兩只來組合，每一個(gè)組合看作一個(gè)基本結(jié)果，每種取法等可能。法二：用排列做在10只中任取兩個(gè)來排列，每一個(gè)排列看作一個(gè)基本結(jié)果，每個(gè)排列等可能。法三：用事件的運(yùn)算和概率計(jì)算法則來作。記A1，A2分別表第一、二次取得正品。（2）二只都

13、是次品（記為事件B）法一：法二：法三：（3）一只是正品，一只是次品（記為事件C）法一：法二：法三：（4）第二次取出的是次品（記為事件D）法一：因?yàn)橐⒁獾谝?、第二次的順序。不能用組合作，法二：法三：22.十八 某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而隨機(jī)的撥號(hào)，求他撥號(hào)不超過三次而接通所需的電話的概率是多少？如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？記H表撥號(hào)不超過三次而能接通。Ai表第i次撥號(hào)能接通。注意：第一次撥號(hào)不通，第二撥號(hào)就不再撥這個(gè)號(hào)碼。如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)（記為事件B）問題變?yōu)樵贐已發(fā)生的條件下，求H再發(fā)生的概率。24.十九 設(shè)有甲、乙二袋，甲袋中裝有n只白球m只紅球，乙

14、袋中裝有N只白球M只紅球，今從甲袋中任取一球放入乙袋中，再?gòu)囊掖腥稳∫磺?，問取到（即從乙袋中取到）白球的概率是多少？（此為第三?9題(1)）記A1，A2分別表“從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋”再記B表“再?gòu)囊掖腥〉冒浊颉?。B=A1B+A2B且A1，A2互斥P (B)=P (A1)P(B| A1)+ P (A2)P (B| A2)=十九(2) 第一只盒子裝有5只紅球，4只白球；第二只盒子裝有4只紅球，5只白球。先從第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后從第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。記C1為“從第一盒子中取得2只紅球”。C2為“從第一盒子中取得2只白球”。C3為“從第一盒子中取

15、得1只紅球，1只白球”，D為“從第二盒子中取得白球”，顯然C1，C2，C3兩兩互斥，C1C2C3=S，由全概率公式，有P (D)=P (C1)P (D|C1)+P (C2)P (D|C2)+P (C3)P (D| C3)26.二十一 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？解：A1=男人，A2=女人，B=色盲，顯然A1A2=S，A1 A2=由已知條件知由貝葉斯公式，有二十二 一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為P，若第一次及格則第二次及格的概率也為P；若第一次不及格則第二次及格的

16、概率為（1）若至少有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。（2）若已知他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及格的概率。解：Ai=他第i次及格，i=1,2 已知P (A1)=P (A2|A1)=P，（1）B=至少有一次及格所以（2）（*）由乘法公式，有P (A1 A2)= P (A1) P (A2| A1) = P2由全概率公式，有將以上兩個(gè)結(jié)果代入（*）得28.二十五 某人下午5:00下班，他所積累的資料表明：到家時(shí)間5:355:395:405:445:455:495:505:54遲于5:54乘地鐵到家的概率乘汽車到家的概率某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車，結(jié)果他是5:47到家的，試求

17、他是乘地鐵回家的概率。解：設(shè)A=“乘地鐵”，B=“乘汽車”，C=“5:455:49到家”，由題意,AB=,AB=S已知：P (A)=0.5, P (C|A)=0.45, P (C|B)=0.2, P (B由貝葉斯公式有29.二十四 有兩箱同種類型的零件。第一箱裝5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。試求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。解：設(shè)Bi表示“第i次取到一等品”i=1，2Aj表示“第j箱產(chǎn)品”j=1,2，顯然A1A2=SA

18、1A2=（1）（B1= A1B +A2B由全概率公式解）。（2）（先用條件概率定義，再求P (B1B2)時(shí)，由全概率公式解）32LR132.二十六（2） 如圖1，2，3，4，5表示繼電器接點(diǎn)，假設(shè)每一繼電器接點(diǎn)閉合的概率為p，且設(shè)各繼電器閉合與否相互獨(dú)立，求L和R是通路的概率。45記Ai表第i個(gè)接點(diǎn)接通記A表從L到R是構(gòu)成通路的。A=A1A2+ A1A3A5+A4A5+A4A3A2四種情況不互斥P (A)=P (A1A2)+P (A1A3A5) +P (A4A5)+P (A4A3A2)P (A1A2A3A5)+ P (A1A2 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4) +P (A1A3 A4

19、A5)+ P (A1A2 A3A4A5) P (A2 A3 A4A5)+ P (A1A2A3 A4A5)+ P (A1A2 A3 A4A5)+(A1A2 A3 A4A5) + P (A1A2 A3 A4A5)P (A1A2 A3 A4A5)又由于A1，A2，A3，A4，A5互相獨(dú)立。故 P (A)=p2+ p3+ p2+ p3p4+p4+p4+p4+p5+p4+ p5+ p5+ p5+ p5p5=2 p2+3p35p4+2 p5二十六（1）設(shè)有4個(gè)獨(dú)立工作的元件1，2，3，4。它們的可靠性分別為P1，P2，P3，P4，將它們按圖（1）的方式聯(lián)接，求系統(tǒng)的可靠性。記Ai表示第i個(gè)元件正常工作，i

20、=1，2，3，4，2314A表示系統(tǒng)正常。A=A1A2A3+ A1A4兩種情況不互斥P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4)P (A1A2A3 A4) (加法公式)= P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)P (A1) P (A2)P (A3)P (A4)= P1P2P3+ P1P4P1P2P3P4(A1, A2, A3, A4獨(dú)立)34.三十一 袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣，（次品硬幣的兩面均印有國(guó)徽）。在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國(guó)徽。問這只硬幣是正品的概率為多少？解：設(shè)“出現(xiàn)r次國(guó)徽面”=Br“任取一只是正品”=A由全概率公

21、式，有（條件概率定義與乘法公式）35甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人擊中的概率分別為0.4，0.5，0.7。飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.2，被兩人擊中而被擊落的概率為0.6，若三人都擊中，飛機(jī)必定被擊落。求飛機(jī)被擊落的概率。解：高Hi表示飛機(jī)被i人擊中，i=1，2，3。B1，B2，B2分別表示甲、乙、丙擊中飛機(jī)，三種情況互斥。 三種情況互斥又B1，B2，B2獨(dú)立。P (H3)=P (B1)P (B2)P (B3又因：A=H1A+H2A+H3A三種情況互斥故由全概率公式，有P (A)= P(H1)P (A|H1)+P (H2)P (A|H2)+P (H3)P (AH3)36.三十三設(shè)

22、由以往記錄的數(shù)據(jù)分析。某船只運(yùn)輸某種物品損壞2%（這一事件記為A1），10%（事件A2），90%（事件A3）的概率分別為P (A1)=0.8, P (A2)=0.15, P (A2)=0.05，現(xiàn)從中隨機(jī)地獨(dú)立地取三件，發(fā)現(xiàn)這三件都是好的（這一事件記為B），試分別求P (A1|B) P (A2|B), P (A3|B)（這里設(shè)物品件數(shù)很多，取出第一件以后不影響取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相獨(dú)立地）B表取得三件好物品。B=A1B+A2B+A3B三種情況互斥由全概率公式，有P (B)= P(A1)P (B|A1)+P (A2)P (B|A2)+P (A3)P (B|A3)=0.8&

23、#215;(0.98)3+0.15×(0.9)3+0.05×(0.1)337.三十四 將A，B，C三個(gè)字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為，而輸出為其它一字母的概率都是(1)/2。今將字母串AAAA，BBBB，CCCC之一輸入信道，輸入AAAA，BBBB，CCCC的概率分別為p1, p2, p3 (p1 +p2+p3=1)，已知輸出為ABCA，問輸入的是AAAA的概率是多少？（設(shè)信道傳輸每個(gè)字母的工作是相互獨(dú)立的。）解：設(shè)D表示輸出信號(hào)為ABCA，B1、B2、B3分別表示輸入信號(hào)為AAAA，BBBB，CCCC，則B1、B2、B3為一完備事件組，且P(Bi)=Pi, i=1

24、, 2, 3。再設(shè)A發(fā)、A收分別表示發(fā)出、接收字母A，其余類推，依題意有P (A收| A發(fā))= P (B收| B發(fā))= P (C收| C發(fā))=，P (A收| B發(fā))= P (A收| C發(fā))= P (B收| A發(fā))= P (B收| C發(fā))= P (C收| A發(fā))= P (C收| B發(fā))=又P (ABCA|AAAA)= P (D | B 1) = P (A收| A發(fā)) P (B收| A發(fā)) P (C收| A發(fā)) P (A收| A發(fā))=，同樣可得P (D | B 2) = P (D | B 3) =于是由全概率公式，得由Bayes公式，得P (AAAA|ABCA)= P (B 1 | D ) =二十

25、九 設(shè)第一只盒子裝有3只藍(lán)球，2只綠球，2只白球；第二只盒子裝有2只藍(lán)球，3只綠球，4只白球。獨(dú)立地分別從兩只盒子各取一只球。（1）求至少有一只藍(lán)球的概率，（2）求有一只藍(lán)球一只白球的概率，（3）已知至少有一只藍(lán)球，求有一只藍(lán)球一只白球的概率。解：記A1、A2、A3分別表示是從第一只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球，B1、B2、B3分別表示是從第二只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球。（1）記C=至少有一只藍(lán)球C= A1B1+ A1B2+ A1B3+ A2B1+ A3B1，5種情況互斥由概率有限可加性，得（2）記D=有一只藍(lán)球，一只白球，而且知D= A1B3+A3B1兩種情況互斥（3）三十 A，B，

26、C三人在同一辦公室工作，房間有三部電話，據(jù)統(tǒng)計(jì)知，打給A，B，C的電話的概率分別為。他們?nèi)顺Ｒ蚬ぷ魍獬?，A，B，C三人外出的概率分別為，設(shè)三人的行動(dòng)相互獨(dú)立，求（1）無人接電話的概率；（2）被呼叫人在辦公室的概率；若某一時(shí)間斷打進(jìn)了3個(gè)電話，求（3）這3個(gè)電話打給同一人的概率；（4）這3個(gè)電話打給不同人的概率；（5）這3個(gè)電話都打給B，而B卻都不在的概率。解：記C1、C2、C3分別表示打給A，B，C的電話D1、D2、D3分別表示A，B，C外出注意到C1、C2、C3獨(dú)立，且（1）P（無人接電話）=P (D1D2D3)= P (D1)P (D2)P (D3)=（2）記G=“被呼叫人在辦公室”，三

27、種情況互斥，由有限可加性與乘法公式（3）H為“這3個(gè)電話打給同一個(gè)人”（4）R為“這3個(gè)電話打給不同的人”R由六種互斥情況組成，每種情況為打給A，B，C的三個(gè)電話，每種情況的概率為于是（5）由于是知道每次打電話都給B，其概率是1，所以每一次打給B電話而B不在的概率為，且各次情況相互獨(dú)立于是P（3個(gè)電話都打給B，B都不在的概率）=第二章隨機(jī)變量及其分布1.一 一袋中有5只乒乓球，編號(hào)為1、2、3、4、5，在其中同時(shí)取三只，以X表示取出的三只球中的最大號(hào)碼，寫出隨機(jī)變量X的分布律解：X可以取值3，4，5，分布律為也可列為下表X：3，4，5P：3.三 設(shè)在15只同類型零件中有2只是次品，在其中取三次

28、，每次任取一只，作不放回抽樣，以X表示取出次品的只數(shù)，（1）求X的分布律，（2）畫出分布律的圖形。解：任取三只，其中新含次品個(gè)數(shù)X可能為0，1，2個(gè)。PO21x再列為下表X：0，1，2P：4.四 進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，設(shè)每次成功的概率為p，失敗的概率為q =1p(0<p<1)（1）將實(shí)驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止，以X表示所需的試驗(yàn)次數(shù)，求X的分布律。（此時(shí)稱X服從以p為參數(shù)的幾何分布。）（2）將實(shí)驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)r次成功為止，以Y表示所需的試驗(yàn)次數(shù)，求Y的分布律。（此時(shí)稱Y服從以r, p為參數(shù)的巴斯卡分布。）（3）一籃球運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為45%，以X表示他首次投中時(shí)累計(jì)已投籃的次數(shù)，寫出X

29、的分布律，并計(jì)算X取偶數(shù)的概率。解：（1）P (X=k)=qk1pk=1,2,（2）Y=r+n=最后一次實(shí)驗(yàn)前r+n1次有n次失敗，且最后一次成功其中q=1p，或記r+n=k，則PY=k=（3）P (X=k) = (0.55)k10.45k=1,2P (X取偶數(shù))=6.六 一大樓裝有5個(gè)同類型的供水設(shè)備，調(diào)查表明在任一時(shí)刻t每個(gè)設(shè)備使用的概率為0.1，問在同一時(shí)刻（1）恰有2個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？（2）至少有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？（3）至多有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？（4）至少有一個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？五 一房間有3扇同樣大小的窗子，其中只有一扇是打開的。有一只鳥自開著的窗子飛

30、入了房間，它只能從開著的窗子飛出去。鳥在房子里飛來飛去，試圖飛出房間。假定鳥是沒有記憶的，鳥飛向各扇窗子是隨機(jī)的。（1）以X表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，求X的分布律。（2）戶主聲稱，他養(yǎng)的一只鳥，是有記憶的，它飛向任一窗子的嘗試不多于一次。以Y表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數(shù)，如戶主所說是確實(shí)的，試求Y的分布律。（3）求試飛次數(shù)X小于Y的概率；求試飛次數(shù)Y小于X的概率。解：（1）X的可能取值為1，2，3，n，P X=n=P 前n1次飛向了另2扇窗子，第n次飛了出去=，n=1，2，（2）Y的可能取值為1，2，3P Y=1=P 第1次飛了出去=P Y=2=P 第1次飛向另2扇窗子中的一扇，

31、第2次飛了出去=P Y=3=P 第1，2次飛向了另2扇窗子，第3次飛了出去=同上，故8.八 甲、乙二人投籃，投中的概率各為0.6, 0.7，令各投三次。求（1）二人投中次數(shù)相等的概率。記X表甲三次投籃中投中的次數(shù)Y表乙三次投籃中投中的次數(shù)由于甲、乙每次投籃獨(dú)立，且彼此投籃也獨(dú)立。P (X=Y)=P (X=0, Y=0)+P (X=2, Y=2)+P (X=3, Y=3)= P (X=0) P (Y=0)+ P (X=1) P (Y=1)+ P (X=2) P (Y=2)+ P (X=3) P (Y=3)= (0.4)3× (0.3)3+ （2）甲比乙投中次數(shù)多的概率。P (X>

32、Y)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)=9.十 有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯。如果從中挑4杯，能將甲種酒全部挑出來，算是試驗(yàn)成功一次。（1）某人隨機(jī)地去猜，問他試驗(yàn)成功一次的概率是多少？（2）某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次。

33、試問他是猜對(duì)的，還是他確有區(qū)分的能力（設(shè)各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。）解：（1）P (一次成功)=（2）P (連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次)= 。此概率太小，按實(shí)際推斷原理，就認(rèn)為他確有區(qū)分能力。九 有一大批產(chǎn)品，其驗(yàn)收方案如下，先做第一次檢驗(yàn)：從中任取10件，經(jīng)驗(yàn)收無次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗(yàn)，其做法是從中再任取5件，僅當(dāng)5件中無次品時(shí)接受這批產(chǎn)品，若產(chǎn)品的次品率為10%，求（1）這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗(yàn)就能接受的概率（2）需作第二次檢驗(yàn)的概率（3）這批產(chǎn)品按第2次檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)被接受的概率（4）這批產(chǎn)品在第1次檢驗(yàn)未能做決定且第二次檢驗(yàn)時(shí)被通過的概率（5）這批產(chǎn)品被接受的概率解：X

34、表示10件中次品的個(gè)數(shù)，Y表示5件中次品的個(gè)數(shù)，由于產(chǎn)品總數(shù)很大，故XB（10，0.1），YB（5，0.1）（近似服從）（1）P X10（2）P X2=P X=2+ P X=1=（3）P Y=0=0.9 5（4）P 0<X2，Y=0(0<X2與 Y=2獨(dú)立)= P 0<X2P Y=0（5）P X=0+ P 0<X2，Y=012.十三 電話交換臺(tái)每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布，求（1）每分鐘恰有8次呼喚的概率法一：（直接計(jì)算）法二：P ( X= 8 )= P (X 8)P (X 9)（查= 4泊松分布表）。（2）每分鐘的呼喚次數(shù)大于10的概率。P (X>10

35、)=P (X 11)=0.002840（查表計(jì)算）十二(2)每分鐘呼喚次數(shù)大于3的概率。十六 以X表示某商店從早晨開始營(yíng)業(yè)起直到第一顧客到達(dá)的等待時(shí)間（以分計(jì)），X的分布函數(shù)是求下述概率：（1）P至多3分鐘；（2）P 至少4分鐘；（3）P3分鐘至4分鐘之間；（4）P至多3分鐘或至少4分鐘；（5）P恰好2.5分鐘解：（1）P至多3分鐘= P X3 =（2）P 至少4分鐘 P (X 4) =（3）P3分鐘至4分鐘之間= P 3<X4=（4）P至多3分鐘或至少4分鐘= P至多3分鐘+P至少4分鐘=（5）P恰好2.5分鐘= P (X=2.5)=018.十七 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為，求（1）P

36、(X<2), P 0<X3, P (2<X<)；（2）求概率密度fX (x).解：（1）P (X2)=FX (2)= ln2，P (0<X3)= FX (3)FX (0)=1，（2）20.十八（2）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為（1）（2）求X的分布函數(shù)F (x)，并作出（2）中的f (x)與F (x)的圖形。解：當(dāng)1x1時(shí)：當(dāng)1<x時(shí)：故分布函數(shù)為：解：（2）故分布函數(shù)為（2）中的f (x)與F (x)的圖形如下f (x)0x12F (x)0x2122.二十 某種型號(hào)的電子的壽命X（以小時(shí)計(jì)）具有以下的概率密度：現(xiàn)有一大批此種管子（設(shè)各電子管損壞與否相互獨(dú)立）。任

37、取5只，問其中至少有2只壽命大于1500小時(shí)的概率是多少？解：一個(gè)電子管壽命大于1500小時(shí)的概率為令Y表示“任取5只此種電子管中壽命大于1500小時(shí)的個(gè)數(shù)”。則，23.二十一 設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間X（以分計(jì)）服從指數(shù)分布，其概率密度為：某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘他就離開。他一個(gè)月要到銀行5次。以Y表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，寫出Y的分布律。并求P（Y1）。解：該顧客“一次等待服務(wù)未成而離去”的概率為因此24.二十二 設(shè)K在（0，5）上服從均勻分布，求方程有實(shí)根的概率K的分布密度為：要方程有根，就是要K滿足(4K)24×4× (K+2)

38、0。解不等式，得K2時(shí)，方程有實(shí)根。25.二十三 設(shè)XN2）（1）求P (2<X5)，P (4)<X10)，P|X|>2，P (X>3)若XN（，2），則P (<X)=P (2<X5) =(1)(0.5)P (4<X10) =(3.5)(3.5)P (|X|>2)=1P (|X|<2)= 1P (2< P<2 )= =1(0.5) +(2.5)P (X>3)=1P (X3)=1（2）決定C使得P (X > C )=P (XC)P (X > C )=1P (XC )= P (XC)得P (XC )=又P (XC

39、)=C =326.二十四 某地區(qū)18歲的女青年的血壓（收縮區(qū)，以mm-Hg計(jì)）服從在該地區(qū)任選一18歲女青年，測(cè)量她的血壓X。求（1）P (X105)，P (100<X 120). （2）確定最小的X使P (X>x) 0.05.解:27.二十五 由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長(zhǎng)度（cm）服從參數(shù)為=10.05，=0.06的正態(tài)分布。規(guī)定長(zhǎng)度在范圍10.05±0.12內(nèi)為合格品，求一螺栓為不合格的概率是多少？設(shè)螺栓長(zhǎng)度為XPX不屬于(10.050.12, 10.05+0.12)=1P (10.050.12<X<10.05+0.12)=1=1(2)(2)=10.97720.0

40、22828.二十六 一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命X（以小時(shí)計(jì)）服從參數(shù)為=160，(未知)的正態(tài)分布，若要求P (120X200=0.80，允許最大為多少？P (120X200)=又對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有(x)=1(x)上式變?yōu)榻獬鲈俨楸?，?0.二十七 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：X：2， 1， 0，1，3P：， ， ， ，求Y=X 2的分布律Y=X 2：(2)2 (1)2(0)2(1)2(3)2P：再把X 2的取值相同的合并，并按從小到大排列，就得函數(shù)Y的分布律為：Y：0 1 4 9P：31.二十八 設(shè)隨機(jī)變量X在（0，1）上服從均勻分布（1）求Y=eX的分布密度X的分布密度為：Y=g (X) =eX是

41、單調(diào)增函數(shù)又X=h (Y)=lnY，反函數(shù)存在且 = ming (0), g (1)=min(1, e)=1maxg (0), g (1)=max(1, e)= eY的分布密度為：（2）求Y=2lnX的概率密度。Y= g (X)=2lnX是單調(diào)減函數(shù)又 反函數(shù)存在。且 = ming (0), g (1)=min(+, 0 )=0=maxg (0), g (1)=max(+, 0 )= +Y的分布密度為：32.二十九 設(shè)XN（0，1）（1）求Y=eX的概率密度X的概率密度是Y= g (X)=eX是單調(diào)增函數(shù)又X= h (Y ) = lnY 反函數(shù)存在且 = ming (), g (+)=min(

42、0, +)=0 = maxg (), g (+)= max(0, +)= +Y的分布密度為：（2）求Y=2X2+1的概率密度。在這里，Y=2X2+1在(+，)不是單調(diào)函數(shù)，沒有一般的結(jié)論可用。設(shè)Y的分布函數(shù)是FY（y），則FY ( y)=P (Yy)=P (2X2+1y)=當(dāng)y<1時(shí)：FY ( y)=0當(dāng)y1時(shí)：故Y的分布密度( y)是：當(dāng)y1時(shí)：( y)=FY ( y)' = (0)' =0當(dāng)y>1時(shí)，( y)=FY ( y)' =（3）求Y=| X |的概率密度。Y的分布函數(shù)為FY ( y)=P (Yy )=P ( | X |y)當(dāng)y<0時(shí)，F(xiàn)Y

43、( y)=0當(dāng)y0時(shí)，F(xiàn)Y ( y)=P (| X |y )=P (yXy)=Y的概率密度為：當(dāng)y0時(shí)：( y)=FY ( y)' = (0)' =0當(dāng)y>0時(shí)：( y)=FY ( y)' =33.三十 （1）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f (x)，求Y = X 3的概率密度。Y=g (X )= X 3是X單調(diào)增函數(shù)，又X=h (Y ) =，反函數(shù)存在，且 = ming (), g (+)=min(0, +)= = maxg (), g (+)= max(0, +)= +Y的分布密度為：( y)= f h ( h )·| h' ( y)| = （2）

44、設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求Y=X 2的概率密度。yy=x2Ox法一：X的分布密度為：Y=x2是非單調(diào)函數(shù)當(dāng)x<0時(shí)y=x2 ' 反函數(shù)是當(dāng)x<0時(shí)y=x2 &YfY (y) = =法二：YfY (y) =34.三十一 設(shè)X的概率密度為求Y=sin X的概率密度。FY ( y)=P (Yy)= P (sinXy)當(dāng)y<0時(shí)：FY ( y)=0當(dāng)0y1時(shí)：FY ( y) = P (sinXy) = P (0Xarc sin y或arc sin yX)=當(dāng)1<y時(shí)：FY ( y)=1Y的概率密度( y )為：y0時(shí)，( y )= FY ( y)&#

45、39; = (0 )' = 00<y<1時(shí)，( y )= FY ( y)' =1y時(shí)，( y )= FY ( y)' = = 036.三十三 某物體的溫度T (oF )是一個(gè)隨機(jī)變量，且有TN（98.6，2），試求()的概率密度。已知法一：T的概率密度為又是單調(diào)增函數(shù)。反函數(shù)存在。且 = ming (), g (+)=min(, +)= = maxg (), g (+)= max(, +)= +的概率密度()為法二：根據(jù)定理：若XN（1，1），則Y=aX+bN (a1+b, a22)由于TN（98.6, 2）故故的概率密度為：第三章多維隨機(jī)變量及其分布1.一

46、 在一箱子里裝有12只開關(guān)，其中2只是次品，在其中隨機(jī)地取兩次，每次取一只?？紤]兩種試驗(yàn)：（1）放回抽樣，（2）不放回抽樣。我們定義隨機(jī)變量X，Y如下：試分別就（1）（2）兩種情況，寫出X和Y的聯(lián)合分布律。解：（1）放回抽樣情況由于每次取物是獨(dú)立的。由獨(dú)立性定義知。P (X=i, Y=j)=P (X=i)P (Y=j)P (X=0, Y=0 )=P (X=0, Y=1 )=P (X=1, Y=0 )=P (X=1, Y=1 )=或?qū)懗蒟Y0101（2）不放回抽樣的情況P X=0, Y=0 =P X=0, Y=1 =P X=1, Y=0 =P X=1, Y=1 =或?qū)懗蒟Y01013.二 盒子里

47、裝有3只黑球，2只紅球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到白球的只數(shù)，求X，Y的聯(lián)合分布律。XY01230001020解：（X，Y）的可能取值為(i, j)，i=0，1，2，3， j=0，12，i + j2，聯(lián)合分布律為P X=0, Y=2 =P X=1, Y=1 =P X=1, Y=2 =P X=2, Y=0 =P X=2, Y=1 =P X=2, Y=2 =P X=3, Y=0 =P X=3, Y=1 =P X=3, Y=2 =05.三 設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）概率密度為（1）確定常數(shù)k。（2）求P X<1, Y<3（3）求P (X<1.5（4）

48、求P (X+Y4分析：利用P (X, Y)G=再化為累次積分，其中解：（1），（2）（3）y（4）6（1）求第1題中的隨機(jī)變量（X、Y ）的邊緣分布律。（2）求第2題中的隨機(jī)變量（X、Y ）的邊緣分布律。2解：（1）放回抽樣（第1題）xXY01x+y=410o1邊緣分布律為X01Y01Pi·P·j不放回抽樣（第1題）XY0101邊緣分布為X01Y01Pi·P·j（2）（X，Y ）的聯(lián)合分布律如下XY0123000300 解：X的邊緣分布律 Y的邊緣分布律X0123 Y13Pi·P·j7.五 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y ）的概率密度為解：8

49、.六 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為yx=y求邊緣概率密度。ox解:9.七 設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為（1）試確定常數(shù)c。（2）求邊緣概率密度。解: l=oyxy=x215. 第1題中的隨機(jī)變量X和Y是否相互獨(dú)立。解：放回抽樣的情況P X=0, Y=0 = P X=0·P Y=0 =P X=0, Y=1 = P X=0P Y=1=P X=1, Y=0 = P X=1P Y=0=P X=1, Y=1 = P X=1P Y=1=在放回抽樣的情況下，X和Y是獨(dú)立的不放回抽樣的情況：P X=0, Y=0 =P X=0=P X=0= P X=0, Y=0 + P Y=0, X=

50、1 =P X=0·P Y=0 =P X=0, Y=0 P X=0P Y=0X和Y不獨(dú)立16.十四 設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X在（0，1）上服從均勻分布。Y的概率密度為（1）求X和Y的聯(lián)合密度。（2）設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0,試求有實(shí)根的概率。解：（1）X的概率密度為y=x2Y的概率密度為1xDoy且知X, Y相互獨(dú)立，于是（X，Y）的聯(lián)合密度為（2）由于a有實(shí)跟根，從而判別式即：記19.十八 設(shè)某種商品一周的需要量是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率密度為并設(shè)各周的需要量是相互獨(dú)立的，試求（1）兩周（2）三周的需要量的概率密度。解：（1）設(shè)第一周需要量為X，它是隨機(jī)變量設(shè)

51、第二周需要量為Y，它是隨機(jī)變量且為同分布，其分布密度為Z=X+Y表示兩周需要的商品量，由X和Y的獨(dú)立性可知：z0當(dāng)z<0時(shí)，fz (z) = 0當(dāng)z>0時(shí)，由和的概率公式知（2）設(shè)z表示前兩周需要量，其概率密度為設(shè)表示第三周需要量，其概率密度為：z與相互獨(dú)立= z +表示前三周需要量則：0，當(dāng)u<0，f(u) = 0當(dāng)u>0時(shí)所以的概率密度為22.二十二 設(shè)某種型號(hào)的電子管的壽命（以小時(shí)計(jì)）近似地服從N（160，20）分布。隨機(jī)地選取4只求其中沒有一只壽命小于180小時(shí)的概率。解：設(shè)X1，X2，X3，X4為4只電子管的壽命，它們相互獨(dú)立，同分布，其概率密度為：設(shè)N=minX1，X2，X3，X4P N>180=P X1>180, X2>180, X3>180, X4>180=P X>1804=1pX<1804= (0.1587)427.二十八 設(shè)隨機(jī)變量（X，