等價無窮小量替換定理的推廣數(shù)學專業(yè)本科畢業(yè)論文

1、 學號2009311010107編號2013110107研究類型理論研究分類號O17 文理學院CollegeofArtsand Science ofHubeiNormalUniversity學士學位論文Bachelors Thesis論文題目等價無窮小量替換定理的推廣作者姓名朱澤飛指導教師張金娥所在院系文理學院數(shù)學系專業(yè)名稱數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學完成時間2013年5月10日湖北師范學院文理學院學士學位論文（設(shè)計）誠信承諾書中文題目:等價無窮小量替換定理的推廣外文題目:Generalization of the Equivalent Infinitesimal Substitution Theorem學

2、生姓名朱澤飛學 號2009311010107院系專業(yè)文理學院數(shù)學系班 級0901學 生 承 諾我承諾在畢業(yè)論文（設(shè)計）活動中遵守學校有關(guān)規(guī)定,恪守學術(shù)規(guī)范,本人畢業(yè)論文（設(shè)計）內(nèi)容除特別注明和引用外,均為本人觀點,不存在剽竊、抄襲他人學術(shù)成果,偽造、篡改實驗數(shù)據(jù)的情況.如有違規(guī)行為,我愿承擔一切責任,接受學校的處理.學生（簽名）:年月日指導教師承諾我承諾在指導學生畢業(yè)論文（設(shè)計）活動中遵守學校有關(guān)規(guī)定,恪守學術(shù)規(guī)范,經(jīng)過本人核查,該生畢業(yè)論文（設(shè)計）內(nèi)容除特別注明和引用外,均為該生本人觀點,不存在剽竊、抄襲他人學術(shù)成果,偽造、篡改實驗數(shù)據(jù)的現(xiàn)象.指導教師（簽名）:年 月 日目錄1引言12無窮小

3、量以及等價無窮小量23等價無窮小量替換定理34等價無窮小量替換定理的推廣44.1 有限個函數(shù)積或商運算的等價無窮小量替換44.2 在極限式中有加或減運算的等價無窮小量替換54.3 乘方運算下的等價無窮小量替換84.4 變上限定積分函數(shù)的等價無窮小量替換125應(yīng)用舉例146結(jié)束語207參考文獻21等價無窮小量替換定理的推廣朱澤飛（指導老師:張金娥）（湖北師范學院文理學院 中國 黃石 435002）摘要:等價無窮小量替換是計算極限的一種重要方法.在目前流行使用的許多版本的數(shù)學分析教材中,只給出了兩個無窮小量積與商形式的等價無窮小量替換定理.然而該定理只適用于兩個無窮小量積與商的形式,這對于其它形式

4、例如:有限個無窮小量積與商;兩個以及有限個無窮小量之和與差;形如的冪指函數(shù)以及被積函數(shù)是無窮小量的變限積分,該定理就不適用了.本文把用等價無窮小量替換定理求兩個無窮小量積與商的極限形式進行了推廣,從而擴大了該定理的使用范圍,使得應(yīng)用更加靈活方便.關(guān)鍵詞:無窮小量;等價無窮小量;極限;推廣定理.分類號:O17Generalization of the Equivalent Infinitesimal Substitution TheoremZHU Zefei (Tutor: ZHANGJine)(College of Arts & Science of HubeiNormalUniver

5、sity,Huangshi,435002,China)Abstract: The equivalent infinitesimal substitution is an important method in calculating limit. Atpresent, in many versions of the popular use of mathematical analysis textbook,it only gives two infinitesimalproduct and quotient in the form of equivalent infinitesimal sub

6、stitution theorem. whereas the theorem only applies to the two infinitesimal product and quotients form,which in regard to other forms , for example: a finite infinitesimal product and quotient; two and the finite infinitesimal sum and difference; like the exponential function of.besides,the integra

7、nd is infinitesimal variable-ranged integral, the theorem is not applicable. In this thesis, by using the equivalent infinitesimal substitution theorem for solving two infinitesimal product and quotients limit formof the generalization, it expands the scope of application of the theorem, leading to

8、more flexible and convenient application.Key words: Infinitesimal; equivalent infinitesimal; limit; generalized theorem.等價無窮小量替換定理的推廣朱澤飛（指導老師:張金娥）（湖北師范學院文理學院 中國 黃石435002）1引言在數(shù)學分析中,求函數(shù)的極限是最基本的問題之一,也是數(shù)學分析學習的重點.在這些求極限的問題中,最不好掌握的便是型這類不定式的極限,一般見到這一類型的問題,最容易想到的便是洛比達法則.事實上,洛必達法則也不是萬能的,一些問題可能會越用越復(fù)雜,并且出現(xiàn)循環(huán),求

9、不出結(jié)果.例如一個求極限問題,它是一個型的不定式極限.用洛比達法則求解如下,原式,出現(xiàn)了循環(huán),此時用洛必達法則求不出結(jié)果.怎么辦？用等價無窮小量來替換,原式,由此可見洛必達法則并不是萬能的,也不一定是最佳的,它的使用也具有局限性.在這里我們看到了等價無窮小量有著無可比擬的作用,用等價無窮小量來替換能夠很快地求出結(jié)果.等價無窮小量替換是計算極限的一種重要方法,然而在目前流行使用的許多版本的數(shù)學分析教材中,一般只給出了兩個無窮小量積和商的形式等價無窮小量替換定理,接著就強調(diào):只有對所求的極限式中相乘或相除的因式才能用等價無窮小量來替換,而對極限式中的相加或相減的部分則不能隨意替換.注意在這里,我們

10、自然就有一個疑問,不能隨意替換是不是在有些情況下可以替換？那么在什么情況下可以替換呢？對于求不定式極限形式的冪指函數(shù)各位置上的無窮小量情況,還有在求變上限積分中的被積函數(shù)為無窮小量時的情形,求極限時能否用等價無窮小量來替換呢？在文獻2中并沒有作詳細的論述,這不得不說是一種遺憾.本文所得到的結(jié)果是對等價無窮小量替換定理的進一步豐富與完善,也是對文獻2中的等價無窮小量替換定理的改進和推廣.在敘述本文的結(jié)果之前,首先要說明一下,本文的所有結(jié)論都是以的極限形式為代表來敘述并證明的.事實上,本文的結(jié)論對于其它所有的極限過程都成立,至于其它類型極限的定理及其證明,只要相應(yīng)地作些修改即可.2無窮小量以及等價

11、無窮小量定義設(shè)在某內(nèi)有定義.若,則稱為當時的無窮小量.類似的定義當時的無窮小量.定義設(shè)當時,與均為無窮小量,若,則稱與是當時的等價無窮小量.記作.不難看出等價無窮小量是等價關(guān)系,具有如下性質(zhì):性質(zhì)1 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,且,.反身性:;對稱性:若,則;傳遞性:若,則.證.3等價無窮小量替換定理定理 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,且有若則若則注3.1 定理1稱為“等價無窮小量替換定理”（證明見參考文獻2）,說明了在對所求極限式中相乘或相除的因式可用等價無窮小量來替換.注3.2應(yīng)用等價無窮小量替換,必須記住一些常用的等價無窮小量.當時,常見的等價無窮小量有:上面所列的等價無窮小量可用洛必達法則直接證明（證明從略

12、）.注3.3在利用等價無窮小量替換時,還要記住一些極限公式,如兩個重要極限和等.4等價無窮小量替換定理的推廣4.1有限個函數(shù)積或商運算的等價無窮小量替換定理2 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,且有.若則;若則.證對用數(shù)學歸納法證之.當時,由定理1可知,明題成立;假設(shè)當時命題成立,即“若則”成立,則當時,只要能證明“若則”成立即可.而這就證明了當時,若則是成立的.綜上可知命題成立. 命題的證明與命題的證明相仿,在此從略.注4.1.1定理2中的均可以為有限實數(shù),也可以為或.注4.1.2定理2顯然是定理1的直接推廣.說明了有限個函數(shù)積或商的極限若存在（或,）,則其中全部或部分無窮小量可用其等價無窮小量來替換.注4

13、.1.3 定理2在使用上把定理1局限于兩個無窮小量積或商的極限替換,擴大到任意有限個無窮小量積或商的極限情形,從而大大拓展了使用范圍.4.2 在極限式中有加或減運算的等價無窮小量替換實際上,對極限式中的兩個無窮小量相加的部分是可以使用等價無窮小量來替換的,只不過它有自身的一些限制,若要進行替換,必須滿足如下定理3:定理3 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,且.若則（可以是有限實數(shù)或）.證當為有限實數(shù)時當時,即從而當時,證法同綜上所述,定理3成立.注4.2.1定理3說明了在求極限時,若某個因子是兩個無窮小量的和時,只要這兩個無窮小量滿足定理3中的條件,則這個因子就可以用相應(yīng)的等價無窮小量之和來替換.注4.2.2

14、在定理3的條件中若,則結(jié)論不真（求這類等價無窮小量之和的運算問題,可以利用泰勒公式,亦可用洛必達法則結(jié)合其它方法來求解）.由定理3可導出對極限式中的兩個無窮小量相減的因子使用等價無窮小量替換的條件,若要進行替換,必須滿足如下推論1:推論1 設(shè)函在內(nèi)有定義,且有.若則（可以是有限實數(shù)或）.推論1的證明與定理3的證明相仿,在此從略.注4.2.3推論1說明了在求極限時,若某個因子是兩個無窮小量的差時,只要這兩個無窮小量滿足推論1中的條件,則這個因子就可以用相應(yīng)的等價無窮小量之差來替換.注4.2.4在推論1的條件中若,則結(jié)論不真（求這類等價無窮小量之差的運算問題,可以利用泰勒公式,亦可用洛必達法則結(jié)合

15、其它方法來求解）.推論2 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,且（可以是有限實數(shù)或）,則.證對用數(shù)學歸納法證之.當時,由定理3可知,結(jié)論成立;假設(shè)時結(jié)論成立,即有成立,那么當時, 由可知即有所以當時,結(jié)論也成立.綜上可知,對都有.注4.2.5顯然推論2是定理3的直接推廣.在使用上把定理3中局限于兩個無窮小量和的極限替換,擴大到任意有限個無窮小量和的極限替換情形,從而大大拓展了適用范圍.注4.2.6在推論2中當中的一部分無窮小量前面用減號相連接時,此時可以把這一部分無窮小量改寫為加上這個無窮小量的相反數(shù),使得這部分無窮小量前面均用加號相連接,這時只要滿足推論2的條件則仍然有成立.注4.2.7 在推論2的條件中若,

16、則結(jié)論不真（求這類等價無窮小量的代數(shù)和的運算問題,可以利用泰勒公式,亦可用洛必達法則結(jié)合其它方法來求解）.4.3 乘方運算下的等價無窮小量替換在利用等價無窮小量替換定理求函數(shù)極限的過程中,常常會碰到一類不定式極限的問題,對于這些冪指函數(shù)的情形現(xiàn)對其作進一步的探究.作為準備,先證引理1引理設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,且有則證次證引理2 引理設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,且有則.證 由對數(shù)函數(shù)的連續(xù)性及重要極限可知從而有同理 又由性質(zhì)1的等價無窮小量的“傳遞性”和“對稱性”可知有.再證引理3引理3 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,且有.若則;若則.證（由定理1）（由引理1）注4.3.1 引理3說明了對于冪指函數(shù)中的底數(shù)和指數(shù)中的無窮

17、小量均可用其等價無窮小量來替換.由此來證明定理4設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,且有.若則(它是型);若則(它是型);若則(它是型).證由引理3可知（由引理3）（由引理1）(由定理1和引理2)注4.3.2 定理4說明了在求冪指函數(shù)不定式的極限時,可以同時直接地對指數(shù),底數(shù)中的無窮小量應(yīng)用等價無窮小量來替換.注4.3.3 對于求型不定式極限,當?shù)诪?指數(shù)為時,和可分別用其等價無窮小量來替換.注4.3.4均可以為有限實數(shù),也可以為或.對于定理4中的命題為了計算上的方便,現(xiàn)證明一個重要的性質(zhì).性質(zhì)2 若.則.證4.4 變上限定積分函數(shù)的等價無窮小量替換在求解不定式極限時,常常會遇到一種含有變限積分函數(shù)的不定式極限

18、,通常是型或型,一般地用洛必達法則及變限積分的性質(zhì)來去掉積分號,但是在用此方法求解比較復(fù)雜的函數(shù)時,因需多次求導,計算繁瑣且易出錯.事實上,對于此類型的求極限問題,當滿足一定的條件時,可以根據(jù)以下定理來求解.定理5 設(shè)且與在上連續(xù),則有證 由“微積分學基本定理”和“洛必達法則”可知從而注4.4.1由定理5可得常用的變上限定積分的等價無窮小量有:當時,;.注4.4.2利用定理5在求解有關(guān)變上限的定積分時,若被積函數(shù)滿足此定理的條件,則被積函數(shù)可用它的等價無窮小量來替換,替換后可使問題轉(zhuǎn)化為簡單易求的極限形式.當變上限的定積分中的上限由自變量變?yōu)楹瘮?shù)時,被積函數(shù)能否再用其等價無窮小量替換來求解極限

19、呢？事實上,當滿足一定的條件時答案是肯定的.定理6 設(shè)為連續(xù)函數(shù),為可導函數(shù),且可行復(fù)合與.若,則證 由“微積分學基本定理”,“洛必達法則”和“復(fù)合函數(shù)的極限運算法則”可得所以有5應(yīng)用舉例例1 求解由定理1的注3.2可知當時,;由定理2可得原式.例2 求解原式（由定理1）（令）例3 求解當時,;由定理3可知原式.令則當時,原式而當時,;而由定理3的推論1可知原式.例4 求解又由定理3的推論2可知: 原式.例5 求;解這是個型不定式極限,當時,而（由定理1的注3.3）由定理3和定理4的命題可知原式它是型不定式極限,由定理4的命題可知原式（令） 它是型不定式極限,由定理4的命題可知原式例6 求解原

20、式（由定理4的命題）（由性質(zhì)2）注5.1 在求解型不定式極限時,運用定理4的命題并且結(jié)合性質(zhì)2可減少計算量起到簡化的作用.但并不是所有的型不定式極限都要化為的形式,在使用中要綜合分析,選擇適當而簡單的方法.例7 求解由定理5可知當時,有原式例8 求解當時,;.滿足定理6的條件,從而由定理6可得原式注5.2 上面的8個例題若改用洛必達法則來求解,因需多次求導,并且求導的過程十分繁瑣,很難求出結(jié)果.再一次說明了洛必達法則并不是萬能的,也不一定是最佳的方法.使用本文中推廣后的等價無窮小量替換定理則只需幾步即可求出結(jié)果,且不易出錯.只要充分的掌握好洛必達法則和等價無窮小量的性質(zhì),再把本文中的這些定理結(jié)

21、合起來,會使這些原來十分復(fù)雜的求極限問題變得非常簡單.6 結(jié)束語本文把文獻2中只適用于求兩個無窮小量積或商極限形式的等價無窮小量替換定理推廣到:有限個無窮小量積與商;兩個以及有限個無窮小量之和與差;形如該定理的適用范圍，而且把該定理進行了豐富與完善，使得在應(yīng)用上更加靈活方便.7參考文獻1魏曉娜,李曼生.等價無窮小的應(yīng)用研究J.數(shù)學教學研究,2010,29(10):5961.2華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(上冊)M.第三版.北京:高等教育出版社,2001:5657,59,6162.3同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學(上冊)M.第六版.北京:高等教育出版社,2007:60.4錢吉林等.數(shù)學分析題解精粹M.

22、第二版.武漢:崇文書局,2009:85.5同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學(上冊)M.第四版.北京:高等教育出版社,1996:56.6儲亞偉,劉敏.等價無窮小在極限運算中的應(yīng)用J.阜陽師范學院學報,2005,22(3):7172.7任全紅.等價無窮小量代換求函數(shù)極限的應(yīng)用J.數(shù)學教學與研究,2009,上卷(40):81.8裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法M.第二版.北京:高等教育出版社,2006:36.9屈紅萍.等價無窮小代換求極限的方法推廣J.保山學院學報,2011,(2):5657.8 致謝光陰似箭,日月如梭,在畢業(yè)論文定稿之際,我的大學四年本科生活也即將畫上了句號.遙想初入湖北師范學院文理學院之時,還歷歷在目,恍如隔日,不免感嘆時光易逝,韶華難追.然而,艱辛而快樂的求學之路,也給我留下了很多難以忘懷的欣慰和幸福.在此,向四年來陪伴我一起走過,給予我無私幫助和關(guān)心的老師、朋友以及親人們致以最為誠摯的感謝！首先,我要衷心的感謝我的指導老師張金娥,她在我畢業(yè)論文設(shè)計的題目選擇上給予了非常大的幫助,并且在整個論文設(shè)計的過程中一直指導、鼓勵著我,使我能夠順利地完成畢業(yè)論文的設(shè)計工作.也要感謝吳愛龍老師,他在我的論文設(shè)計中,提出了許多中肯而寶貴的意見,他不憚其煩,為我復(fù)審修改了全部稿件,使稿件