蝴蝶定理和燕尾定理

1、燕尾定理：在三角形中，相交于同一點(diǎn)，那么梯形中比例關(guān)系(“梯形蝴蝶定理”)：；的對(duì)應(yīng)份數(shù)為等積變形等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比；如左圖夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖；反之，如果，則可知直線平行于等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等(長(zhǎng)方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)；三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；兩個(gè)平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比二、鳥頭定理兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角

2、(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比如圖在中，分別是上的點(diǎn)如圖 (或在的延長(zhǎng)線上，在上)，則如圖，求梯形的面積【鞏固】(2006年南京智力數(shù)學(xué)冬令營(yíng))如下圖，梯形的平行于，對(duì)角線，交于，已知與的面積分別為 平方厘米與平方厘米，那么梯形的面積是_平方厘米梯形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，已知梯形上底為2，且三角形的面積等于三角形面積的，求三角形與三角形的面積之比(第十屆華杯賽)如下圖，四邊形中，對(duì)角線和交于點(diǎn)，已知，并且，那么的長(zhǎng)是多少？梯形的下底是上底的倍，三角形的面積是，問(wèn)三角形的面積是多少？如下圖，一個(gè)長(zhǎng)方形被一些直線分成了若干個(gè)小塊，已知三角形的面積是，三角形的面積是，求四邊形的面積如圖，正方形面積為

3、平方厘米，是邊上的中點(diǎn)求圖中陰影部分的面積【鞏固】在下圖的正方形中，是邊的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，三角形的面積為1平方厘米，那么正方形面積是平方厘米如圖面積為平方厘米的正方形中，是邊上的三等分點(diǎn)，求陰影部分的面積如圖，在長(zhǎng)方形中，厘米，厘米，求陰影部分的面積(2008年”奧數(shù)網(wǎng)杯”六年級(jí)試題)已知是平行四邊形，三角形的面積為6平方厘米則陰影部分的面積是平方厘米【鞏固】右圖中是梯形，是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘米)，陰影部分的面積是平方厘米【鞏固】(2008年三帆中學(xué)考題)右圖中是梯形，是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘米)，陰影部分的面積是平方厘米如圖所示，、將

4、長(zhǎng)方形分成4塊，的面積是5平方厘米，的面積是10平方厘米問(wèn)：四邊形的面積是多少平方厘米？(2007年”迎春杯”高年級(jí)初賽)如圖，長(zhǎng)方形被、分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形的面積為_(kāi)平方厘米(98迎春杯初賽)如圖，長(zhǎng)方形中，是直角三角形且面積為54，的長(zhǎng)是16，的長(zhǎng)是9那么四邊形的面積是燕尾定理應(yīng)用【例 1】 2009年第七屆希望杯五年級(jí)一試試題）如圖，三角形的面積是，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，與交于點(diǎn)則四邊形的面積等于【鞏固】如圖，已知，三角形的面積是，求陰影部分面積.【鞏固】如圖，三角形的面積是， 在上，點(diǎn)在上，且,，與交于點(diǎn)則四邊形的面積等于【鞏固】如圖，

5、已知，與相交于點(diǎn),則被分成的部分面積各占 面積的幾分之幾？【鞏固】如圖，三角形的面積是，與相交于點(diǎn)，請(qǐng)寫出這部分的面積各是多少?【鞏固】如圖，在上，在上，且,，與交于點(diǎn)四邊形的面積等于，則三角形的面積三角形中，是直角，已知，那么三角形(陰影部分)的面積為多少？【鞏固】如圖，長(zhǎng)方形的面積是平方厘米，是的中點(diǎn)陰影部分的面積是多少平方厘米?如圖所示，在四邊形中，四邊形的面積是，那么平行四邊形的面積為_(kāi)       是邊長(zhǎng)為厘米的正方形，、分別是、邊的中點(diǎn)，與交于，則四邊形的面積是_平方厘米如圖所示，在中，是的中點(diǎn)，那么【鞏固】在中， ，求？【鞏固】在中， ，求？如右圖，三角形中，求如右圖，中，是的中點(diǎn)，、是邊上的四等分點(diǎn)，與交于，與交于，已知的面積比