直方圖和其他頻率分布圖histogram and other frequency distributions

1、 包括多邊形圖、莖葉圖、點圖、分位圖、CDF圖、累積多邊形圖。 概述 頻率分布表明了一組數(shù)據(jù)不同數(shù)值出現(xiàn)的頻數(shù)。直方圖是最常用的頻率分布圖，與條形圖很相似，但是兩者之問有些重要的區(qū)別。 這部分也包含了其他的頻率分布圖。多邊形圖和直方圖的形狀一樣，但是用線而不是條柱連接頻率值；莖葉圖通過運用單個數(shù)值作為數(shù)據(jù)點的標識來保存單個數(shù)值：點圖是在一條垂線上用小圓圈表示每個數(shù)據(jù)點；分位圖和累積點線圖表示有多少測量值（或測量值的百分比）小于或等于每個值。 適用場合數(shù)據(jù)是數(shù)值型時；想弄清楚數(shù)據(jù)分布的形狀；確定一個過程的輸出是否近乎符合正態(tài)分布；分析一個過程是否滿足顧客的要求；分析供應(yīng)商的過程輸出的分布情況；檢

2、查兩個時間段內(nèi)過程是否發(fā)生交化；確定兩個或多個過程輸出是否不同；將分布情況快速簡單地表示出來。決策樹（圖表5. 68）有助于確定最適合于表示不同的數(shù)據(jù)和目的的圖形。 實施步驟構(gòu)建 1從一個過程中搜集至少50個連續(xù)的數(shù)據(jù)點。如果沒有那么多數(shù)據(jù)，就使用點圖。 2用直方圖計算表（參閱圖表5.81）建立直方圖。通過填寫計算表確定組數(shù)，組距和組邊界值。計算完步驟2的組距(W)后，判斷并將其調(diào)整到一個方便計算的數(shù)比如，.0。W的小數(shù)位不能比圖中數(shù)的小數(shù)位多。 3在圖紙上畫x軸和y軸。y軸表示數(shù)據(jù)出現(xiàn)的個數(shù)。用計算表中計算得到的L值在x軸標刻度。這些數(shù)值之差是組距。條柱間不要留空隙。 4對于每個數(shù)據(jù)，準確找

3、出其落入的組，并在該組上增加一個x或涂上一段條柱。如果數(shù)據(jù)剛好落在組限處，則將該數(shù)據(jù)記入其右側(cè)的一組內(nèi)。分析 1在從直方圖得到任何結(jié)論之前，保證所研究的時段內(nèi)過程穩(wěn)定。如果在直方圖表示的時段內(nèi)有任何異常情況發(fā)生，那么所分析的直方圖的形狀可能無效。 2分析直方圖形狀表示的意義。參閱一些典型形狀及其意義的注意事項部分。過程名稱：計算人員：數(shù)據(jù)日期：制表日期：步驟1確定組數(shù)確定數(shù)據(jù)分組數(shù)。下面是一些經(jīng)驗估計，供參考。數(shù)據(jù)個數(shù) 組數(shù)(B)50 789100 10B 11150 12 13200 14步驟2確定組距數(shù)據(jù)范圍R最大值最小值 組距WRB組距便于調(diào)整，組距不宜有太多小數(shù)位 W步驟3計算組限 選

4、擇一個方便計算的L1作為第一個組的下邊界，并且這個數(shù)要比數(shù)據(jù)中的最小值略小。第二個組的下邊界是L1+W，其余組的下邊界依次加W：L1L2L3L4L5L6L7L8L9L10L11L12L13L14圖表5.81直方圖計算表 示例 公牛犬保齡球隊想提高他們在團隊中的聲望。隊員決定研究一下他們上個月的成績。55個保齡球成績?nèi)缦拢?103 107 111 115 115 118 119 121 122 124 124 125126 127 127 129 134 135 137 138 139 141 142 144 145 146 147 148 148 149 150 151 152 153 153

5、 154 155 155 155 156 157 159 160 161 163 163 165 165 167 170 172 176 177 183 198使用直方圖計算表，估計B值為7。最大值為198，最小值為103，所以值的范圍是：R最大值最小值19810395組距是：W =RB =957=13. 6保齡球分數(shù)沒有小數(shù)點，所以組距也沒有小數(shù)部分。13.6近似為14。因為14在計算時不方便，所以調(diào)整為15。選擇第一個組的下邊界為100，所以其他組的邊界為： 100+15 =115115+15=130，依此類推 圖表5. 82是他們畫的直方圖。從圖上看是雙峰分布：一部分隊員的成績是在100

6、分左右，另一部分隊員的成績在150分左右。要提高整個球隊的水平，球員可以努力提高每個人的成績使整個直方圖向右移動，或者集中精力提高成績偏低的隊員的水平，減少分布范圍，使團隊整體具有一致性。 注意事項以下是幾種典型的直方圖形狀及其意義： 正態(tài)：一種最常見的形如鐘形的正態(tài)分布(圖表5. 83)。正態(tài)分布平均值左右兩邊的點發(fā)生的概率相等。但是要注意其他分布看起來和正態(tài)分布相似，我們可以用統(tǒng)計計算方法來證明正態(tài)分布，如正態(tài)概率圖或擬合優(yōu)度檢測。然而如果直方圖的形狀不一樣，就可以證明分布不是正態(tài)的。 不要讓“正態(tài)”這個叫法迷惑你。很多過程的輸出（或許很大一部分）不服從正態(tài)分布，但這并不意味著過程出錯。例

7、如，很多過程一側(cè)都有限制條件，就導(dǎo)致偏態(tài)分布。即便這些分布不被稱為正態(tài)，但我們可以稱這些過程是正態(tài)的（意味著典型的）。偏態(tài)：偏態(tài)分布（圖表5. 84）偏向一側(cè)是因為限制條件阻止了平均值另一側(cè)的結(jié)果。分布的峰由于限制條件而偏離中心，一段尾部延伸。比如，一項純度比較高的產(chǎn)品的純度分布肯定是偏態(tài)的，因為產(chǎn)品的純度不可能超過100%。其他例子如：洞的直徑不可能小于鉆頭的直徑，打電話的時間不可能小于零。這些分布按尾部的方向而被稱為右偏或左偏。圖表5 84屬于右偏。 雙峰：雙峰分布（圖表5. 85）的形狀像雙峰駱駝的后背，是不同分布的兩個過程結(jié)果合并在一起得到的。比如，從兩班操作中得到的生產(chǎn)數(shù)據(jù)如果每班生

8、產(chǎn)服從不同的正態(tài)分布，則結(jié)果可能是雙峰圖。分層就是為了檢查這個問題。平頂：平頂分布（圖表5.86）也叫多峰分布。由若干正態(tài)分布組合而成。因為圖形有許多峰，頂點的分布看起來像平頂。邊峰：邊峰分布（矧表5. 87）除了一端尾部有一個高峰以外很像正態(tài)分布。一般這種情況由于構(gòu)建直方圖出錯造成，比如把幾個組合并到一起成為一個組，注明“大于”。梳狀：0.1度，此時直方圖的形狀就是梳狀型。截尾或切心：截尾或切心分布（圖表5.89）是一個正態(tài)分布去掉了尾部。供方生產(chǎn)的材料可能服從正態(tài)分布，但依靠檢驗將符合與不符合標準的產(chǎn)品分開。最后裝貨給顧客的符合標準的部分就成為切心。殘尾：殘尾分布（圖表5.90）是缺少均值

9、附近的部分。如果顧客接受了這種分布，那么肯定有人接受了切心部分。盡管顧客接受的部分在規(guī)定范圍內(nèi)產(chǎn)品分成兩組：一組靠近上規(guī)定限，另一組靠近下規(guī)定限，但這些變異常常會導(dǎo)致顧客過程的變異。當數(shù)據(jù)是數(shù)值型時適合用直方圖。如果數(shù)據(jù)是分類的（示值或序數(shù)的）則用條形圖。條形圖中條柱間可有空隙，直方圖的條柱間相連也說明了數(shù)值刻度是連續(xù)的。依照根據(jù)陳舊數(shù)據(jù)作的直方圖采取措施時要謹慎，因為數(shù)據(jù)收集后過程可能已經(jīng)發(fā)生了變化。如果數(shù)據(jù)點很少，解釋直方圖要小心，任何少于50個數(shù)據(jù)得到的直方圖都應(yīng)經(jīng)過嚴格推敲。對直方圖形狀的解釋都只是理論上的，必須經(jīng)過對過程直接觀察的確認。直方圖不能明確判斷一個分布是正態(tài)分布，還有其他分

10、布和正態(tài)分布形狀相似。詳情參閱“正態(tài)概率圖”。如果過程穩(wěn)定，直方圖可以用來預(yù)測未來的情況。如果過程不穩(wěn)定，直方圖僅僅體現(xiàn)過去的情況。如果在直方圖表示的時段內(nèi)有任何異常情況發(fā)生，那么所分析的直方圖只適用于那個時段。另外一種工具，盒形圖可作為直方圖的替代，用來描述一組數(shù)據(jù)最重要的特性，尤其當沒有足夠的數(shù)據(jù)作直方圖時。參閱“盒形圖”。有關(guān)構(gòu)造清晰、實用的圖的詳情參閱“圖形方法”。 多邊形圖【polygon chart） 概述 多邊形圖和直方圖相似。不同的是：不是用條柱而是用點表示個數(shù)，用線連拉這些點，結(jié)果分布形狀的輪廓是多邊形。有時多邊形圖也被稱為直方圖，尤其當數(shù)據(jù)很多以致線條變得平滑時。 實施步驟

11、 除步驟4外，其他的和直方圖的實施步驟相同： 4在x軸上每個區(qū)間的中點上方畫一點，此點與y軸上代表適當個數(shù)的值相對應(yīng)，在相鄰點之間畫直線，最外層的點與x軸上的上、下限點用直線連接。 示例 圖表5. 9l是公牛犬隊保齡球分數(shù)的多邊形圖。 莖葉圖( stem-and-leaf display) 概述 莖葉圖是直方圖的一種，顯示單個數(shù)據(jù)值。它使用數(shù)據(jù)中最不顯著的數(shù)字作為象征表示該數(shù)據(jù)在圖中的情況。 實施步驟 1確定數(shù)據(jù)中變化的數(shù)字，從一組序列數(shù)據(jù)中左起選擇23個最重要的數(shù)，最右邊的位即為葉，左邊的1或2位是莖。 2在紙上畫一條垂直的線，線的左邊按從小到大的順序?qū)懮锨o的值。 3線的右邊與莖相對應(yīng)的位置

12、寫上這個數(shù)的葉的值，葉右邊的數(shù)字不再使用。 4在圖表中寫明圖例以方便看圖。 示例 圖表5. 92是公牛犬保齡球隊分數(shù)的莖葉圖。分數(shù)中只有右邊兩個數(shù)字在變化，但公牛隊選擇把左邊數(shù)字寫成兩位（也可以是0），以便將來使用，并且他們認為所有的數(shù)字都是重要的。右邊葉子是3、7等個位數(shù)，而其余的10，1l，12等兩位數(shù)字（十位和百位）則作為莖。第一行：103 7代表數(shù)值103和107。雖然間距不樣，但莖葉圖也呈現(xiàn)出我們在直方圖中看到的雙峰狀。 點圖( point graph) 概述 點圖用于表示數(shù)據(jù)點不多時的分布情況。每個分布用一條垂線上的小圓圈表示，當圓圈太多不能分辨有多少個圓圈重疊在一起時點圖就失效了

13、。這種情況下就要用直方圖。 實施步驟 1在一條線上標刻度來表示數(shù)據(jù)的數(shù)值范圍，可以是水平線或者垂直線，標上測量單位。 2在平行于刻度線的一條線上畫小圓圈，表示每個數(shù)據(jù)點。如果有兩個等值的點要輕微區(qū)分開以便能看得出。 3如果比較幾組數(shù)據(jù)集則分別在不同的平行線上為為每組數(shù)畫圈。 示例 圖表5.93是比較兩個分布的點圖，改進后所需的發(fā)票處理時間和改造前相比效果是明顯的。 分位點圖（percentile graph）又名：分位數(shù)圖(quantile graph) 概述 分位點圖顯示觀察值小于或等于每個值的比例。沿著x軸從左到右的比例累計，圖的最右邊描的值是100分位點。有時也把分位點標在y軸上，數(shù)值標

14、在x軸上。 適用場合比起每個值的個數(shù)而言，對數(shù)據(jù)落在或小于每個值的比例更感興趣時。 實施步驟 1將數(shù)據(jù)集的所有值按從小到大的順序排列，從最小1到最大依次標明序號。如果一共n個數(shù)，每個數(shù)的分位點是：分位點(序號0.5)/n100。當幾個數(shù)相等時，用最大的序號數(shù)來計算這個值的分位點。 2畫軸線，標記刻度，y軸是數(shù)據(jù)集的數(shù)值范圍，x軸分位點范圍是0l00。 3在圖上y軸的值與x軸上相對應(yīng)的分位點處標點。 示例 為簡便計算，示例只選10個數(shù)。這種方法在處理大量數(shù)據(jù)時很有用。10個孩子身高分別是62,57,55,56,57,53,58,60,57,55（單位為英寸），按從小到大的順序排列這些數(shù)，寫山序號并計算分位點。4所不，從圖上就可以回答諸如：“四分之三孩子的高度低于什么值？”第75個百分位點對應(yīng)58英寸，所以四分之三孩子的高度低于58英寸。中間數(shù)據(jù)比較接近，兩端數(shù)據(jù)相互分離。這說明只有幾個孩子比其他孩子高或矮。當然，只有10個點，只看數(shù)值就可以輕松比較出結(jié)果。當數(shù)據(jù)量很大時，用分位點圖很容易找到數(shù)據(jù)的集中處。 累積分布功能圖( cumulative distribution function graph)又名：CDF圖 CDF圖是觀測值小于或等于某個值的比例圖，去掉分位點圖計算公式中所乘的100而得到分數(shù)。與分位點圖不同的是用x軸表示數(shù)值，y