第2章測(cè)量誤差理論與數(shù)據(jù)處理

1、21 測(cè)量誤差的基本概念211 有關(guān)誤差的概念1 真值A(chǔ)一個(gè)量在被觀測(cè)時(shí)，該量本身所具有的真實(shí)大小稱為真值。在不同的時(shí)間和空間，被測(cè)量的真值往往是不同的。在一定的時(shí)間和空間環(huán)境條件下，某被測(cè)量的真值是一個(gè)客觀存在的確定數(shù)值。要想得到真值，必須利用理想的測(cè)量?jī)x器或量具進(jìn)行無誤差的測(cè)量，由此可以推斷，真值實(shí)際上是無法得到的。這是因?yàn)椤袄硐搿钡臏y(cè)量?jī)x器或量具即測(cè)量過程的參考比較標(biāo)準(zhǔn)（或叫計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)）只是一個(gè)純理論值，盡管隨著科技水平的提高，可供實(shí)際使用的測(cè)量參考標(biāo)準(zhǔn)可以愈來愈接近理想的理論定義值，但誤差總是存在的，而且在測(cè)量過程中還會(huì)受到各種主觀和客觀因素的影響，所以，做到無誤差的測(cè)量是不可能的。2

2、實(shí)際值A(chǔ)滿足規(guī)定準(zhǔn)確度要求，用來代替真值使用的量值稱為實(shí)際值或叫約定真值。由于真值是無法絕對(duì)得到的，在誤差計(jì)算中，常常用一定等級(jí)的計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)作為實(shí)際值來代替真值。實(shí)際測(cè)量中，不可能都與國(guó)家計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)相比對(duì)，所以國(guó)家通過一系列的各級(jí)實(shí)物計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)成量值傳遞網(wǎng)，把國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)所體現(xiàn)的計(jì)量單位逐級(jí)比較傳遞到日常工作儀器或量具上去，在每一級(jí)的比較中，都以上一級(jí)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)所測(cè)量的值當(dāng)作準(zhǔn)確無誤的值，一般要求高一等級(jí)測(cè)量器具的誤差為本級(jí)測(cè)量器具誤差的1/31/10。在實(shí)際值中，把由國(guó)家設(shè)立的盡可能維持不變的各種實(shí)物標(biāo)準(zhǔn)作為指定值或叫約定真值，例如指定國(guó)家計(jì)量局保存的鉑銥合金圓柱體質(zhì)量原器的質(zhì)量為1kg，指定國(guó)家天文

3、臺(tái)保存的銫鐘組所產(chǎn)生的特定條件下銫133原子基態(tài)的兩個(gè)超精細(xì)能級(jí)之間躍遷所對(duì)應(yīng)的輻射的9192631770個(gè)周期的持續(xù)時(shí)間為1s（秒）等。3 標(biāo)稱值測(cè)量器具上標(biāo)定的數(shù)值稱為標(biāo)稱值，如標(biāo)準(zhǔn)電阻上標(biāo)出的1，標(biāo)準(zhǔn)電池上標(biāo)出來的電動(dòng)勢(shì)1.0186V，標(biāo)準(zhǔn)砝碼上標(biāo)出的1kg等。標(biāo)稱值并不一定等于它的真值或?qū)嶋H值，由于制造和測(cè)量水平的局限及環(huán)境因素的影響，它們之間存在一定的誤差，因此，在標(biāo)出測(cè)量器具的標(biāo)稱值時(shí)，通常還要標(biāo)出它的誤差范圍或準(zhǔn)確度等級(jí)，例如某電阻的標(biāo)稱值為1k，誤差±1%，即意味著該電阻的實(shí)際值在990到1010之間；某信號(hào)發(fā)生器頻率刻度的工作誤差±1%±1Hz，

4、如果在額定條件下該儀器頻率刻度是100Hz，這就是它的標(biāo)稱值，而實(shí)際值是100±100×1%±1Hz，即實(shí)際值在98到102之間。4 示值由測(cè)量器具指示的被測(cè)量的量值稱為測(cè)量器具的示值，也稱測(cè)量?jī)x器的測(cè)量值或測(cè)得值。一般來說，測(cè)量?jī)x器的示值和讀數(shù)是有區(qū)別的，讀數(shù)是儀器刻度盤上直接讀到的數(shù)字，對(duì)于數(shù)字顯示儀表，通常示值和讀數(shù)是一致的，對(duì)于模擬指示儀器，示值需要根據(jù)讀數(shù)值和所用的量程進(jìn)行換算。例如以100分度表示量程為50mA的電流表，當(dāng)指針在刻度盤上的50位值時(shí)，讀數(shù)是50，而示值應(yīng)是25mA。5 測(cè)量誤差在實(shí)際測(cè)量中，由于測(cè)量器具的不準(zhǔn)確，測(cè)量手段的不完善，測(cè)量環(huán)

5、境的影響，對(duì)客觀規(guī)律認(rèn)識(shí)的局限性以及工作中的疏忽或錯(cuò)誤等因素，都會(huì)導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量真值不同。測(cè)量?jī)x器與被測(cè)量真值之間的差別稱為測(cè)量誤差。測(cè)量誤差的存在具有必然性和普遍性，人們只能根據(jù)需要和可能，將其限制在一定的范圍內(nèi)而不可能完全加以消除。不同的測(cè)量，對(duì)其測(cè)量誤差的大小，也就是測(cè)量準(zhǔn)確度的要求往往是不同的。人們進(jìn)行測(cè)量的目的，通常是為了獲得盡可能接近真值的測(cè)量結(jié)果，如果測(cè)量誤差超過一定的限度，測(cè)量工作及由此產(chǎn)生的測(cè)量結(jié)果將失去意義。在科學(xué)研究及現(xiàn)代化生產(chǎn)中，錯(cuò)誤的測(cè)量結(jié)果有時(shí)還會(huì)使研究工作誤入歧途甚至帶來災(zāi)難性的后果。我們研究誤差理論的目的，就是要分析誤差產(chǎn)生的原因及其發(fā)生規(guī)律，正確認(rèn)識(shí)誤差

6、的性質(zhì)，尋找減小或消除測(cè)量誤差的方法，學(xué)會(huì)測(cè)量數(shù)據(jù)的處理方法，使測(cè)量結(jié)果更接近于真值，在測(cè)量中，指導(dǎo)我們合理地設(shè)計(jì)測(cè)量方案，正確地選用測(cè)量?jī)x器和測(cè)量方法，確保產(chǎn)品和研究課題的質(zhì)量。212 測(cè)量誤差的表示方法1絕對(duì)誤差(1)定義 由測(cè)量所得到的被測(cè)量值x與其真值A(chǔ)之差，稱為絕對(duì)誤差，即x=x-A （2-1） 式中，x為絕對(duì)誤差。 前面已提到，真值A(chǔ)一般無法得到，所以用實(shí)際值A(chǔ)代替A，因而絕對(duì)誤差更有實(shí)際意義的定義是x=xA （2-2）絕對(duì)誤差表明了被測(cè)量的測(cè)量值與被測(cè)量的實(shí)際值之間的偏離程度和方向，對(duì)于絕對(duì)誤差，應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：第一，絕對(duì)誤差是有單位的量，其單位與測(cè)得值和實(shí)際值相同；第二，絕對(duì)誤

7、差是有符號(hào)的量，其符號(hào)表示出了測(cè)量值與實(shí)際值的大小關(guān)系，若測(cè)量值大于實(shí)際值，則絕對(duì)誤差為正值，反之為負(fù)值。在一般測(cè)量工作中，只要按規(guī)定的要求，達(dá)到誤差可以忽略不計(jì)，就可以認(rèn)為該值接近于真值，并用它來代替真值。除了實(shí)際值以外，還可以用已修正過的多次測(cè)量的算術(shù)平均值來代替真值使用。（2） 修正值 與絕對(duì)誤差的絕對(duì)值大小相等，但符號(hào)相反的量值，稱為修正值，用C表示 C= x=Ax (2-3) 測(cè)量?jī)x器的修正值可以通過上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)的校準(zhǔn)給出，修正值可以是數(shù)值表格、曲線或函數(shù)表達(dá)式等形式。在日常測(cè)量中，利用其儀器的修正值C和該已檢儀器的示值x，可以求得被測(cè)量的實(shí)際值 A=x+C （2-4）例如用某電流表測(cè)

8、電流，電流表的示值為10mA，該表在檢定時(shí)10mA刻度處的修正值是+0.04mA，則被測(cè)電流的實(shí)際值為10.04mA。在自動(dòng)測(cè)量?jī)x器中，修正值還可以先編成程序貯存在儀器中，測(cè)量時(shí)儀器可以對(duì)測(cè)量結(jié)果自動(dòng)進(jìn)行修正。2相對(duì)誤差絕對(duì)誤差雖然可以說明測(cè)量結(jié)果偏離實(shí)際值的情況，但不能完全科學(xué)地說明測(cè)量的質(zhì)量(測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確程度)。因?yàn)橐粋€(gè)量的準(zhǔn)確程度，不僅與它的絕對(duì)誤差的大小有關(guān)，而且與這個(gè)量本身的大小有關(guān)。當(dāng)絕對(duì)誤差相同時(shí)，這個(gè)量本身的絕對(duì)值越大，測(cè)量準(zhǔn)確程度相對(duì)越高；這個(gè)量本身的絕對(duì)值越小，測(cè)量準(zhǔn)確程度相對(duì)越低。例如測(cè)量?jī)蓚€(gè)電壓量，其中一個(gè)電壓為V=10V，其絕對(duì)誤差V=0.1V；另一個(gè)電壓為V=1V

9、，其絕對(duì)誤差V=0.1V。盡管兩次測(cè)量的絕對(duì)誤差皆為0.1V，但是我們不能說兩次測(cè)量的準(zhǔn)確度是相同的，顯然，前者測(cè)量的準(zhǔn)確度高于后者測(cè)量的準(zhǔn)確度。因此，為了說明測(cè)量的準(zhǔn)確程度，又提出了相對(duì)誤差的概念。絕對(duì)誤差與被測(cè)量的真值之比，稱為相對(duì)誤差(或稱為相對(duì)真誤差)，用表示=×100 (2-5)相對(duì)誤差是兩個(gè)有相同量綱的量的比值，只有大小和符號(hào)，沒有單位。（1） 實(shí)際相對(duì)誤差由于真值是不能確切得到的，通常用實(shí)際值A(chǔ)代替真值A(chǔ)來表示相對(duì)誤差，用表示=×100% (2-6)式中，為實(shí)際相對(duì)誤差。（2）示值相對(duì)誤差在誤差較小、要求不太嚴(yán)格的場(chǎng)合，用測(cè)量值x代替實(shí)際值A(chǔ)來表示相對(duì)誤差,

10、用表示=×100 (2-7)式中，稱為示值相對(duì)誤差或測(cè)得值相對(duì)誤差。當(dāng)x很小時(shí)，xA，此時(shí)，。測(cè)得值相對(duì)誤差的概念在誤差合成中具有重要意義。(3)分貝誤差相對(duì)誤差的對(duì)數(shù)表示在電子學(xué)及聲學(xué)測(cè)量中，常用分貝來表示相對(duì)誤差，稱為分貝誤差。分貝誤差是用對(duì)數(shù)形式(分貝數(shù))表示的一種相對(duì)誤差，單位為分貝（dB），用表示。下面以有源網(wǎng)絡(luò)電壓增益為例，引出分貝誤差的表示形式。設(shè)雙口網(wǎng)絡(luò)(如故大器或衰減器)的電壓增益實(shí)際值為A，電壓增益的測(cè)量值為A，其分貝值G=20lgA。其誤差為A= A-A，即A=A+A,則增益測(cè)得值的分貝值為 G=20lg（A+A）=20lg A1+ =20lgA+20lg1+設(shè)

11、電壓增益實(shí)際值A(chǔ)的分貝值為G，則G=20lgA，由此得到分貝誤差為= GG= 20lg1+=20lg（1+） (2-8)(2-8)式即為相對(duì)誤差的對(duì)數(shù)表現(xiàn)形式，式中，只與增益的相對(duì)誤差有關(guān)，由于是帶有正負(fù)符號(hào)的，因而也是有符號(hào)的。若，則（2-8）式可寫成=20lg（1+） （2-9）式(2-9)即為分貝誤差的一般定義式。若測(cè)量的是功率增益，分貝誤差定義為=10lg（1+） （2-10）例2-1 某電流表測(cè)出的電流值為96A，標(biāo)準(zhǔn)表測(cè)出的電流值為100A，求測(cè)量的相對(duì)誤差和分貝誤差。解： 測(cè)量的絕對(duì)誤差為 x=96100= 4A測(cè)量的實(shí)際相對(duì)誤差為 =×100%= 4%分貝誤差為 =2

12、0lg1+（0.04）= 從上面分貝誤差的公式和例子可以看出，當(dāng)相對(duì)誤差為正值時(shí)，分貝誤差也為正值；反之亦然。3滿度相對(duì)誤差(引用相對(duì)誤差)前面介紹的相對(duì)誤差較好地反映了某次測(cè)量的準(zhǔn)確程度，但是，在連續(xù)刻度的儀表中，用相對(duì)誤差來表示整個(gè)量程內(nèi)儀表的準(zhǔn)確程度就感到不便。因?yàn)槭褂眠@種儀表時(shí)，在某一測(cè)量量程內(nèi)，被測(cè)量有不同的數(shù)值，若用式（2-5）計(jì)算相對(duì)誤差，隨著被測(cè)量的不同，式中的分母相應(yīng)變化，求得的相對(duì)誤差也將隨著改變。因此，為了計(jì)算和劃分儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)，在用（2-5）式求相對(duì)誤差時(shí)，用電表的量程作為分母，從而引出了滿度相對(duì)誤差(引用相對(duì)誤差)的概念。實(shí)際中常用測(cè)量?jī)x器在一個(gè)量程范圍內(nèi)出現(xiàn)的最

13、大絕對(duì)誤差x與該量程的滿刻度值(該量程的上限值與下限值之差)x之比來表示，即=×100% （2-11）式中為滿度相對(duì)誤差(或稱引用相對(duì)誤差)。對(duì)于某一確定的儀器儀表，它的最大引用相對(duì)誤差是確定的。滿度相對(duì)誤差在實(shí)際測(cè)量中具有重要意義。(1)用滿度相對(duì)誤差來標(biāo)定儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)。我國(guó)電工儀表就是按引用相對(duì)誤差之值進(jìn)行分級(jí)的，是儀表在工作條件下不應(yīng)超過的最大引用相對(duì)誤差，它反映了該儀表的綜合誤差大小。我國(guó)電工儀表共分七級(jí)：0 .1、0 .2、0. 5、1.0、l. 5、2 .5及5 .0，共七級(jí)。其中，準(zhǔn)確度等級(jí)在0.2級(jí)以上的儀表屬于精密儀表,使用時(shí)要求較高的工作環(huán)境及嚴(yán)格的操作步驟，

14、一般作為標(biāo)準(zhǔn)儀表使用。如果儀表準(zhǔn)確度等級(jí)為s級(jí)，則說明該儀表的最大滿度相對(duì)誤差不超過s，即|s。 例 2-2 某電流表的量程為100mA，在量程內(nèi)用待定表和標(biāo)準(zhǔn)表測(cè)量幾個(gè)電流的讀數(shù)為表2-1表2-1 例 2-2的數(shù)據(jù)待定表x(mA)標(biāo)準(zhǔn)表A(mA)絕對(duì)誤差x(mA)從以上測(cè)量數(shù)據(jù)大致標(biāo)定該儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)。解： 由x=x A計(jì)算出各點(diǎn)如表2-1因?yàn)?x=80 78=2mA x=100mA由式（2-11）求得該表的最大滿度相對(duì)誤差為 =×100%=×100%=2%所以該表大致為2.5級(jí)表。當(dāng)然，在實(shí)際中，標(biāo)定一個(gè)儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)是要通過大量的測(cè)量數(shù)據(jù)并經(jīng)過一定的計(jì)算和分析后才

15、能完成。(2)用滿度相對(duì)誤差來檢定儀表是否合格。例 2-3 檢定一個(gè)1.5級(jí)100mA的電流表，發(fā)現(xiàn)在50mA處的誤差最大，為1.4mA，其它刻度處的誤差均小于1.4mA，問這塊電流表是否合格？解： 由式（2-11）求得該表的最大滿度相對(duì)誤差為=×100%=×100%=1.4%1.5%所以，這塊表是合格的。實(shí)際中，要判斷該電流表是否合格，應(yīng)在整個(gè)量程內(nèi)取足夠多的點(diǎn)進(jìn)行檢定。（3） 指導(dǎo)我們?cè)谑褂枚嗔砍虄x表時(shí)，合理的選擇儀表的量程。由式(2-11)可知，滿度相對(duì)誤差實(shí)際上給出了儀表各量程內(nèi)絕對(duì)誤差的最大值x=x （2-12）若某儀表的等級(jí)是s級(jí)，被測(cè)量的真值為A，那么測(cè)量的最

16、大絕對(duì)誤差xxs% （2-13）通常取 x=xs% (2-14)一般講，測(cè)量?jī)x器在同一量程不同示值處的絕對(duì)誤差實(shí)際上未必處處相等，但對(duì)使用者來講，在沒有修正值可資利用的情況下，只能按最壞的情況來處理，即認(rèn)為儀器在同一量程各處的絕對(duì)誤差是個(gè)常數(shù)且等于x，把這種處理叫做誤差的整量化。由式（2-13）可知，測(cè)量的最大相對(duì)誤差s% 即 s% (2-15)通常取 =s% （2-16）由式（2-14）可知，當(dāng)一個(gè)儀表的等級(jí)s確定后，測(cè)量中的最大絕對(duì)誤差與所選儀表的上限x成正比，所以，在測(cè)量中，所選儀表的滿刻度值不應(yīng)比真實(shí)值A(chǔ)大太多。同樣，在式（2-16）中，因Ax，可見當(dāng)儀表等級(jí)s選定后, A越接近x時(shí)，

17、測(cè)量中相對(duì)誤差的最大值越小，測(cè)量越準(zhǔn)確。因此，在用多量程儀表測(cè)量時(shí)，應(yīng)合理地選擇量程，一般情況下應(yīng)盡量使被測(cè)量的數(shù)值在儀表滿刻度的三分之二以上。在實(shí)際測(cè)量時(shí)，一般應(yīng)先在大量程下，測(cè)得被測(cè)量的大致數(shù)值，然后選擇合適的量程再進(jìn)行測(cè)量，以盡可能減小相對(duì)誤差。例 2-4 某1.0級(jí)電流表，滿度值 x=100A，求測(cè)量值分別為x=100A，x=80A，x=20A時(shí)的絕對(duì)誤差和示值相對(duì)誤差。解： 由式（2-14）得最大絕對(duì)誤差為x=xs%=100×（±1.0%）=±1A前面說過，絕對(duì)誤差是不隨測(cè)量值改變而變化的。而測(cè)得值分別為100A、80A、20A時(shí)的示值相對(duì)誤差是各不相同

18、的，分別為=×100%=×100%=×100%=±1%=×100%=×100%=×100%=±1.25%=×100%=×100%=×100%=±5%以上可見，在同一量程內(nèi)，測(cè)得值越小，示值相對(duì)誤差越大。由此可知，在測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度并不等于所用儀器的準(zhǔn)確度。只有在示值與滿度值相同時(shí)，二者才相等（僅考慮儀器誤差而不考慮其它因素造成的誤差）。通常，測(cè)得值的準(zhǔn)確度低于所用儀表的準(zhǔn)確度。（4）在一定量的測(cè)量中，用滿度相對(duì)誤差指導(dǎo)我們合理選擇儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)。例 2-5 欲測(cè)量一

19、個(gè)10V左右的電壓，現(xiàn)有兩塊電壓表，其中一塊量稱為100V，1.5級(jí)；另一塊量程為15V，2.5級(jí)，問選用那一塊表好些？解： 用1. 5級(jí)量程為100V電壓表測(cè)量10V電壓時(shí)，最大相對(duì)誤差為=s%=×1.5%=15%用2. 5級(jí)量程為15V電壓表測(cè)量10V電壓時(shí)，最大相對(duì)誤差為=s%=×2.5=3.75通過計(jì)算得知，用2. 5級(jí)量程為15V電壓表測(cè)量10V電壓的準(zhǔn)確度高于用1. 5級(jí)量程為100V電壓表測(cè)量10V電壓的準(zhǔn)確度，且2. 5級(jí)量程為15V電壓表經(jīng)濟(jì)實(shí)用，所以選擇2. 5級(jí)量程為15V電壓表。上例說明，如果選擇合適的量程，即使使用較低等級(jí)的儀表進(jìn)行測(cè)量，也可以取得

20、比較高等級(jí)儀表還高的準(zhǔn)確度。因此，在選用儀表時(shí)，不要單純追求儀表的級(jí)別，而應(yīng)根據(jù)被測(cè)量的大小兼顧儀表的級(jí)別和測(cè)量上限，合理地選擇儀表。22 測(cè)量誤差的來源與分類221 測(cè)量誤差的來源為了減小測(cè)量誤差，提高測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度，必須明確測(cè)量誤差的主要來源，并采取相應(yīng)的措施減小測(cè)量誤差。測(cè)量誤差的主要來源有以下五個(gè)方面：1儀器誤差儀器誤差是由于測(cè)量?jī)x器及其附件的設(shè)計(jì)、制造、裝配、檢定等環(huán)節(jié)不完善，以及儀器使用過程中元器件老化、機(jī)械部件磨損、疲勞等因素而使儀器設(shè)備帶有的誤差。例如，儀器內(nèi)部噪聲引起的內(nèi)部噪聲誤差；儀器相應(yīng)的滯后現(xiàn)象造成的動(dòng)態(tài)誤差；儀器儀表的零點(diǎn)漂移、刻度的不準(zhǔn)確和非線性，讀數(shù)分辨率有限而

21、造成的讀數(shù)誤差以及數(shù)字儀器的量化誤差等都屬儀器誤差。為了減小儀器誤差的影響，應(yīng)根據(jù)測(cè)量任務(wù)，正確地選擇測(cè)量方法和儀器，并在額定的工作條件下按使用要求進(jìn)行操作使用等。2使用誤差使用誤差也稱操作誤差，是由于對(duì)測(cè)量設(shè)備操作使用不當(dāng)而造成的。比如有些儀器設(shè)備要求測(cè)量前進(jìn)行預(yù)熱而未預(yù)熱；有些測(cè)量設(shè)備要求實(shí)際測(cè)量前必須進(jìn)行校準(zhǔn)（例如普通萬用表測(cè)量電阻時(shí)應(yīng)進(jìn)行校零，用示波器觀測(cè)信號(hào)的幅度前應(yīng)進(jìn)行幅度校準(zhǔn)等）而未校準(zhǔn)等。減小使用誤差的方法就是要嚴(yán)格按照測(cè)量?jī)x器使用說明書中規(guī)定的方法步驟進(jìn)行操作使用。3影響誤差影響誤差是指由于各種環(huán)境因素(溫度、濕度，振動(dòng)、電源電壓、電磁場(chǎng)等)與測(cè)量要求的條件不一致而引起的誤差

22、。影響誤差常用影響量來表征。所謂影響量，是指除了被測(cè)的量以外，凡是對(duì)測(cè)量結(jié)果有影響的量，即測(cè)量系統(tǒng)輸入信號(hào)中的非被測(cè)量值信息的參量。影響誤差可以是來自系統(tǒng)外部環(huán)境(如環(huán)境溫度、濕度、電源電壓等)的外界影響，也可以是來自儀器系統(tǒng)內(nèi)部(如噪聲、漂移等)的內(nèi)部影響，通常影響誤差是指來自外部環(huán)境困素的影響。當(dāng)環(huán)境條件符合要求時(shí)，影響誤差可不予考慮，但在精密測(cè)量中，須根據(jù)測(cè)量現(xiàn)場(chǎng)的溫度、濕度、電源電壓等影響數(shù)值求出各項(xiàng)影響誤差，以便根據(jù)需要做進(jìn)一步的處理。4理論誤差和方法誤差理論誤差是指測(cè)量所依據(jù)的理論不嚴(yán)密，或者由于對(duì)測(cè)量計(jì)算公式的近似等，致使測(cè)量結(jié)果出現(xiàn)的誤差稱為理論誤差。例如當(dāng)用平均值檢波器測(cè)量交

23、流電壓時(shí)，平均值檢波器的輸出正比于被測(cè)正弦電壓的平均值，而交流電壓表通常以有效值U來定度，兩者理論間關(guān)系為U=K （2-17）式中K= ，稱為定度系數(shù)。由于和均為無理數(shù)，因此當(dāng)用有效值定度時(shí)，只好取近似公式U1.11 (2-18)從而就產(chǎn)生了誤差，這種由于計(jì)算公式的簡(jiǎn)化或近似造成的誤差就是一種理論誤差。由于測(cè)量方法不合理(如用低輸人阻抗的電壓表去測(cè)量高阻抗電路上的電壓)而造成的誤差稱為方法誤差。理論誤差和方法誤差通常以系統(tǒng)誤差的形式表現(xiàn)出來，在掌握了具體原因及有關(guān)量值后通過理論分析與計(jì)算，或者改變測(cè)量方法，這類誤差是可以消除或修正的。對(duì)于內(nèi)部帶有微處理器的智能儀表，做到這一點(diǎn)是很方便的。5人身

24、誤差人身誤差是由于測(cè)量人員感官的分辨能力、反應(yīng)速度、視覺疲勞、固有習(xí)慣、缺乏責(zé)任心等原因，而在測(cè)量中使用操作不當(dāng)、現(xiàn)象判斷出錯(cuò)或數(shù)據(jù)讀取疏失等而引起的誤差。比如 指針式儀表刻度的讀取，諧振法測(cè)量時(shí)諧振點(diǎn)的判斷等，都容易產(chǎn)生誤差。 減小或消除人身誤差的措施有：提高測(cè)量人員操作技能、增強(qiáng)工作責(zé)任心、加強(qiáng)測(cè)量素質(zhì)和能力的培養(yǎng)、采用自動(dòng)測(cè)試技術(shù)等。222 測(cè)量誤差的分類 雖然產(chǎn)生誤差的原因多種多樣，但按誤差的基本性質(zhì)和特點(diǎn)，誤差可分為三類，即系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差。 1系統(tǒng)誤差在同一測(cè)量條件下，多次重復(fù)對(duì)同一量進(jìn)行測(cè)量時(shí)，測(cè)量誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變，或在測(cè)量條件改變時(shí)按一定規(guī)律變化 的誤差，

25、稱為系統(tǒng)誤差，簡(jiǎn)稱系差。前者 為恒值系差，后者為變值系差。例如零位 誤差屬于恒值系差，測(cè)量值隨溫度的變化 而增加或減少產(chǎn)生的誤差屬于變值系差。 變值系差又可分為累進(jìn)性系差、周期性系 差和按復(fù)雜規(guī)律變化的系差。圖2-1描 述了幾種不同系差的變化規(guī)律：直線a表 示恒值系差；直線b屬變值系差中的累進(jìn) 性系差，這里表示遞增情況，也有遞減系 差；曲線c表示周期性系差；曲線d屬于 圖 2-1 系統(tǒng)誤差的特征按復(fù)雜規(guī)律變化的系差。 在我國(guó)新制訂的國(guó)家計(jì)量技術(shù)規(guī)范(JFl00l 1998通用計(jì)量術(shù)語及定義)中，系統(tǒng)誤差()的定量定義是：在重復(fù)性條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無限多次測(cè)量所得結(jié)果x，x，x（n）的平均

26、值（數(shù)學(xué)期望）與被測(cè)量的真值A(chǔ)之差。即=- A (2-19)其中 = n (2-20) 式(219)表明，在不考慮隨機(jī)誤差影響的情況下，測(cè)量值的數(shù)學(xué)期望偏離真值的大小就是系統(tǒng)誤差，即系統(tǒng)誤差表明了一個(gè)測(cè)量結(jié)果的平均值偏離真值或?qū)嶋H值的程度。系統(tǒng)誤差越小，平均值越靠近真值，測(cè)量越正確。所以，系統(tǒng)誤差常用來表征測(cè)量結(jié)果正確度的高低。 需要說明的是，由于上述技術(shù)規(guī)范定義中的測(cè)量是在重復(fù)性條件下進(jìn)行的，即測(cè)量條件不改變，故這里的是定值系統(tǒng)誤差。此外重復(fù)測(cè)量實(shí)際上只能進(jìn)行有限次，測(cè)量的真值也只能用實(shí)際值代替，所以實(shí)際中的系統(tǒng)誤差也只是一個(gè)近似的估計(jì)值。系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素造成的，

27、這些因素主要有： （1)測(cè)量?jī)x器方面的因素：儀器機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)原理的缺陷；儀器零件制造偏差和安裝不當(dāng)；元器件性能不穩(wěn)定等。如把運(yùn)算放大器當(dāng)作理想運(yùn)放，而被忽略的輸人阻抗、輸出阻抗引起的誤差；刻度偏差及使用過程中的零點(diǎn)漂移等引起的誤差。 （2)環(huán)境方面的因素：測(cè)量時(shí)的實(shí)際環(huán)境條件(溫度、濕度、大氣壓、電磁場(chǎng)等)相對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)環(huán)境條件的偏差，測(cè)量過程中溫度、濕度等按一定規(guī)律變化引起的誤差。 （3）測(cè)量方法的因素：采用近似的測(cè)量方法或近似的計(jì)算公式等引起的誤差。 （4)測(cè)量人員方面的因素：由于測(cè)量人員的個(gè)人特點(diǎn)，在刻度上估計(jì)讀數(shù)時(shí)，習(xí)慣偏于某一方向；動(dòng)態(tài)測(cè)量時(shí)，記錄快速變化信號(hào)有滯后的傾向。系統(tǒng)誤差的主要特點(diǎn)

28、是，只要測(cè)量條件不變，誤差即為確切的數(shù)值，用多次測(cè)量取平均值的辦法不能改變和消除系差，而當(dāng)條件改變時(shí)，誤差也隨著遵循某種確定的規(guī)律而變化，具有可重復(fù)性，較易修正和消除。2隨機(jī)誤差 在同一測(cè)量條件下(指在測(cè)量環(huán)境、測(cè)量人員、測(cè)量技術(shù)和測(cè)量?jī)x器等相同的條件下)，多次重復(fù)對(duì)同一量值進(jìn)行等精度測(cè)量時(shí)，每次測(cè)量誤差的絕對(duì)值和符號(hào)以不可預(yù)知的方式變化的誤差，稱為隨機(jī)誤差或偶然誤差，簡(jiǎn)稱隨差。 在我國(guó)新制定的國(guó)家計(jì)量技術(shù)規(guī)范(JGl00l1998通用計(jì)量術(shù)語及定義)中，參照并采了1993年幾個(gè)國(guó)際權(quán)威組織提出的隨機(jī)誤差定義：隨機(jī)誤差()是測(cè)量結(jié)果x與在重復(fù)條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值

29、（數(shù)學(xué)期望）之差。即= x- (2-21)式中，按式（2-20）計(jì)算隨機(jī)誤差是測(cè)量值與數(shù)學(xué)期望之差，它表明了測(cè)量結(jié)果的分散性，經(jīng)常用來表征測(cè)量精密度的高低。隨機(jī)誤差愈小，精密度愈高。 同樣，在實(shí)際中，由于測(cè)量次數(shù)有限，不可能進(jìn)行無限多次測(cè)量，因此，實(shí)際中的隨機(jī)誤差只是一個(gè)近似的估計(jì)值。隨機(jī)誤差主要由對(duì)測(cè)量值影響微小但卻互不相關(guān)的大量因素共同造成，這些因素主要包括以下幾個(gè)方面：（1） 測(cè)量裝置方面的因素 儀器元器件產(chǎn)生的噪聲、零部件配合的不穩(wěn)定、摩擦、接觸不良等。（2） 環(huán)境方面的因素 溫度的微小波動(dòng)、濕度與氣壓的微量變化、光照強(qiáng)度變化、電源電壓的無規(guī)則波動(dòng)、電磁干擾、振動(dòng)等。（3） 測(cè)量人員感

30、覺器官的無規(guī)則變化而造成的讀數(shù)不穩(wěn)定等。隨機(jī)誤差的特點(diǎn)是：雖然某一次測(cè)量結(jié)果的大小和方向不可預(yù)知，但多次測(cè)量時(shí)，其總體服從統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律。在多次測(cè)量中，誤差絕對(duì)值的波動(dòng)有一定的界限，即具有有界性；當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)，正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)幾乎相同，即具有對(duì)稱性；同時(shí)隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值趨于零，即具有抵償性。由于隨機(jī)誤差的這些特點(diǎn)，可以通過對(duì)多次測(cè)量取平均值的辦法來減小隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，或者用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的辦法對(duì)隨機(jī)誤差加以處理。3粗大誤差在一定測(cè)量條件下，測(cè)量結(jié)果明顯偏離實(shí)際值所形成的誤差稱為粗大誤差，簡(jiǎn)稱粗差，也稱疏失誤差。產(chǎn)生粗差的主要原因有： (1)測(cè)量操作疏忽和失誤，如測(cè)錯(cuò)、讀錯(cuò)、記錯(cuò)以及

31、實(shí)驗(yàn)條件未達(dá)到預(yù)定的要求而匆忙實(shí)驗(yàn)等。 (2)測(cè)量方法不當(dāng)或錯(cuò)誤，如用普通萬用表電壓擋直接測(cè)量高內(nèi)阻電源的開路電壓，用普通萬用表交流電壓擋測(cè)量高頻交流信號(hào)的幅值等。 (3)測(cè)量環(huán)境條件的突然變化， 如電源電壓突然增高或降低，雷電干擾、機(jī)械沖擊等引起測(cè)量?jī)x器示值的劇烈變化等。這類變化雖然也帶有隨機(jī)性，但由于它造成的示值明顯偏離實(shí)際值，因此將其列人粗差范疇。含有粗差的測(cè)量值稱為壞值或異常值，由于壞值不能反映被測(cè)量的真實(shí)性，所以在數(shù)據(jù)處理時(shí)，應(yīng)予以剔除掉。4測(cè)量誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響測(cè)量中若發(fā)現(xiàn)粗大誤差，數(shù)據(jù)處理時(shí)應(yīng)予以剔除，這樣要考慮的誤差就只有系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差兩類。 將式(2-19)和式(2-2

32、1)等號(hào)兩邊分別相加,得+=A+ x= x A=x， i=l，2， ，n (2-22 )式中，x為各次測(cè)得值的絕對(duì)誤差。式(2-22)表明，各次測(cè)得值的絕對(duì)誤差等于系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的代數(shù)和。由式(2-22)可得 x= A+ (2-23) 或 A= x (2-24) 式(2-23)說明了測(cè)得值x為測(cè)量值的真值、系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的代數(shù)和，可用圖2-2表示。其中E(X)為多次測(cè)量的數(shù)學(xué)期望。圖2-2測(cè)量誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響從式（2-19）、（2-21）及（2-23）可以總結(jié)出以下幾點(diǎn)結(jié)論：（1） 從系統(tǒng)誤差大小看： E(X)A 說明測(cè)量越正確，即系統(tǒng)誤差反映了測(cè)量的正確度，或測(cè)量的正確度是系統(tǒng)誤

33、差大小的反映。（2） 從隨機(jī)誤差大小看： xE(X) 說明測(cè)量越精密，即隨機(jī)誤差反映了測(cè)量的精密度，或測(cè)量的精密度是隨機(jī)誤差大小的反映。（3） 從系統(tǒng)誤差大小和隨機(jī)誤差大小共同看：說明測(cè)量越準(zhǔn)確（或越精確），即系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差共同反映了測(cè)量的準(zhǔn)確度（或精確度），或準(zhǔn)確度是系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的綜合反映。正確度、精密度與準(zhǔn)確度的概念也可用圖2-3所示的打靶結(jié)果來描述測(cè)量誤差的影響。子彈著靶點(diǎn)有三種情況：在圖（a）中，著靶點(diǎn)圍繞靶心均勻分散，但分散程度大，這種情況對(duì)應(yīng)于測(cè)量中的系統(tǒng)誤差小，隨機(jī)誤差大，即正確度高，精密度低；在圖(b)中，子彈著靶點(diǎn)很集中，但著靶點(diǎn)的中心位置偏離靶心較遠(yuǎn)，這種情況相當(dāng)

34、于測(cè)量中測(cè)量值雖然很集中但由于系統(tǒng)誤差的影響偏離真值（或?qū)嶋H值）較遠(yuǎn)，說明了系統(tǒng)誤差大，隨機(jī)誤差小，即正確度低，精密度高；在圖(c)中，著靶點(diǎn)既集中又距離靶心較近，這種情況對(duì)應(yīng)于測(cè)量中的系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都小，即準(zhǔn)確度高。圖 2-3 射擊誤差示意圖 值得注意的是，正確度、精密度與準(zhǔn)確度都是定性概念，如要定量給出，則應(yīng)用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差和測(cè)量不準(zhǔn)確度等概念。定量分析將在下面幾節(jié)中進(jìn)行。在任何一次測(cè)量中，系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差一般都是同時(shí)存在的，而且兩者之間并不存在嚴(yán)格的界限。由于認(rèn)識(shí)不足或受測(cè)試條件所限時(shí)，常把系統(tǒng)誤差當(dāng)作隨機(jī)誤差，并在數(shù)據(jù)上進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析處理。隨著人們對(duì)誤差來源及其變化規(guī)律認(rèn)識(shí)的提高，就

35、有可能把以往因認(rèn)識(shí)不到而歸為隨機(jī)誤差的某項(xiàng)誤差明確為系統(tǒng)誤差進(jìn)行分析和處理。此外，系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差之間在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的，對(duì)某一具體誤差，在一種場(chǎng)合下為系統(tǒng)誤差，在另外一種場(chǎng)合下有可能為隨機(jī)誤差，反之亦然。掌握了誤差轉(zhuǎn)換的特點(diǎn)，在有些情況下就可以將系統(tǒng)誤差轉(zhuǎn)化為隨機(jī)誤差，用增加測(cè)量次數(shù)并進(jìn)行數(shù)據(jù)處理的方法減小誤差的影響；或者將隨機(jī)誤差轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)誤差，用修正的方法減小其影響。測(cè)量誤差分為隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差和粗大誤差三類，由于每類誤差的性質(zhì)、特點(diǎn)各不相同，因此處理方法也不一樣。下面分別討論這三類誤差的特性和判別方法，以及怎樣減少或消除它們，并給出測(cè)量結(jié)果的處理步驟。 隨機(jī)誤差的分析與處

36、理 隨機(jī)誤差是在相同條件下對(duì)同一量進(jìn)行多次測(cè)量時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)均發(fā)生變化，而且這種變化沒有確定的規(guī)律也不能事先預(yù)知。隨機(jī)誤差使測(cè)量數(shù)據(jù)產(chǎn)生分散，即偏離它的數(shù)學(xué)期望。雖然對(duì)單次測(cè)量而言，隨機(jī)誤差的大小和符號(hào)都是不確定的，沒有規(guī)律性，但是，在進(jìn)行多次測(cè)量后，隨機(jī)誤差服從概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律。我們的任務(wù)就是要研究隨機(jī)誤差使測(cè)量數(shù)據(jù)按什么規(guī)律分布，多次測(cè)量的平均值有什么性質(zhì)，以及在實(shí)際測(cè)量中對(duì)于有限次的測(cè)量，我們?nèi)绾胃鶕?jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的分布情況，估計(jì)出被測(cè)量的數(shù)學(xué)期望、方差以及被測(cè)量的真值出現(xiàn)在某一區(qū)間的概率等?？傊覀兪怯酶怕收摵蛿?shù)理統(tǒng)計(jì)的方法來研究隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)的影響，并用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)

37、行統(tǒng)計(jì)處理，從而克服或減少隨機(jī)誤差的影響。 1隨機(jī)變量的數(shù)字特征由于隨機(jī)誤差的存在，測(cè)量值也是隨機(jī)變量。在測(cè)量中，測(cè)量值的取值可能是連續(xù)的，也可能是離散的。從理論上講，大多數(shù)測(cè)量值的可能取值范圍是連續(xù)的，而實(shí)際上由于測(cè)量?jī)x器的分辨力不可能無限小，因而得到的測(cè)量值往往是離散的。此外，一些測(cè)量值本身就是離散的。例如測(cè)量單位時(shí)間內(nèi)脈沖的個(gè)數(shù)，其測(cè)量值本身就是離散的。實(shí)際中要根據(jù)離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量的特征來分析測(cè)量值的統(tǒng)計(jì)特性。在概率論中，不管是離散型隨機(jī)變量還是連續(xù)型隨機(jī)變量都可以用分布函數(shù)來描述它的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。但實(shí)際中較難確定概率分布，且不少情況下也不需求出概率分布規(guī)律，只需知道某些數(shù)字特

38、征就夠了。數(shù)字特征是反映隨機(jī)變量的某些特性的數(shù)值，常用的有數(shù)學(xué)期望和方差等。(1)數(shù)學(xué)期望 隨機(jī)變量(或測(cè)量值)的數(shù)學(xué)期望能反映其平均特性，其定義如下： 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x，x，x，相應(yīng)的概率為p，p，p，則X數(shù)學(xué)期望定義為(條件是絕對(duì)收斂)E(X)= (2-25) 若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為F(x)，概率密度函數(shù)為p(x)，則數(shù)學(xué)期望定義為(條件是積分收斂)E(X)= (2-26) 數(shù)學(xué)期望反映了測(cè)量值的平均特性，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，數(shù)學(xué)期望與均值是同一個(gè)概念，無窮多次的重復(fù)條件下的重復(fù)測(cè)量單次結(jié)果的平均值即為數(shù)學(xué)期望值。(2)方差和標(biāo)準(zhǔn)偏差 方差是用來描述隨機(jī)變量的可能值與其

39、數(shù)學(xué)期望的分散程度，設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)，則X的方差定義為=D(X)=EXE(X) (2-27) 對(duì)離散型的隨機(jī)變量：=D(X)=p (2-28) 或 =D(X)=p (2-29) 當(dāng)測(cè)量次數(shù)n時(shí)，用測(cè)量值出現(xiàn)的頻率代替概率p，則測(cè)量值的方差為=D(X)= (2-30) 對(duì)連續(xù)型的隨機(jī)變量：=D(X)=p(x)dx (2-31) 或 =D(X)= p(x)dx (2-32)式中，稱為測(cè)量值的樣本方差，簡(jiǎn)稱方差，取平方的目的是，不論是正是負(fù)，其平方總是正的，這樣取平方后再進(jìn)行平均才不會(huì)使正負(fù)方向的誤差相互抵消，且求和取平均后，使個(gè)別較大的誤差在式中所占的比例也較大，使得方差對(duì)較大的隨

40、機(jī)誤差反映較靈敏。 由于實(shí)際測(cè)量中都是帶有單位的（mV，V等）,因而方差是相應(yīng)單位的平方，使用不甚方便，為了與隨機(jī)誤差的單位一致，引入了標(biāo)準(zhǔn)偏差的概念，標(biāo)準(zhǔn)偏差定義為= (2-33) 測(cè)量中常常用標(biāo)準(zhǔn)偏差來描述隨機(jī)變量X與其數(shù)學(xué)期望E(X)的分散程度，即隨機(jī)誤差的大小，因?yàn)樗c隨機(jī)變量X具有相同量綱。反映了測(cè)量的精密度，小表示精密度高，測(cè)得值集中，大表示精密度低，測(cè)得值分散。2隨機(jī)誤差的分布（1） 正態(tài)分布在很多情況下，測(cè)量中的隨機(jī)誤差正是由對(duì)測(cè)量值影響較微小的、相互獨(dú)立的多種因素的綜合影響造成的，也就是說，測(cè)量中的隨機(jī)誤差通常是多種因素造成的許多微小誤差的總和。在概率論中，中心極限定理指出：

41、假設(shè)被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立的隨機(jī)變量的和，其中每一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和只起微小作用，則可認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，又叫做高斯分布。測(cè)量中隨機(jī)誤差的分布及在隨機(jī)誤差影響下測(cè)量數(shù)據(jù)的分布大多接近于服從正態(tài)分布。正態(tài)分布隨機(jī)誤差的概率密度函數(shù)為p()=exp (2-34) 測(cè)量數(shù)據(jù)X的概率密度函數(shù)為p(x)= exp (2-35)根據(jù)(2-26)和 (2-31)可分別求出服從正態(tài)分布的隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)期望E()和方差D()為E()=）d=0D()=E(0)=)d=同樣可求出服從正態(tài)分布的測(cè)量數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望) E(X)和方差D(X)E(X)=xp(x)dx= x expdx = D(X)=

42、Ex=(x)p(x)dx =(x) expdx=上面兩式說明：測(cè)量數(shù)據(jù)X的概率密度函數(shù)中的參數(shù)即為隨即變量的期望值，為其標(biāo)準(zhǔn)偏差。隨機(jī)誤差和測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的概率密度分布曲線分別如圖24中的(a)、(b)所示，可以看圖2-4 隨機(jī)誤差和測(cè)量數(shù)據(jù)的概率密度分布曲線(a) 隨機(jī)誤差 (b) 測(cè)量數(shù)據(jù)出，隨機(jī)誤差和測(cè)量數(shù)據(jù)的分布形狀相同，因?yàn)樗鼈兊臉?biāo)準(zhǔn)偏差相同(都為)，只是橫坐標(biāo)相差E(X)這一常數(shù)值。對(duì)于隨機(jī)誤差，其數(shù)學(xué)期望為零。由圖可見，隨機(jī)誤差具有以下規(guī)律：對(duì)稱性：絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同。單峰性：絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的概率大。有界性：絕對(duì)值很大的誤差出現(xiàn)的概率接近于

43、零，即隨機(jī)誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定界限。抵償性：當(dāng)測(cè)量次數(shù)n時(shí)，全部誤差的代數(shù)和趨于零。標(biāo)準(zhǔn)偏差是表示測(cè)量數(shù)據(jù)和測(cè)量誤差分布離散程度的特征值。不同，分布曲線形狀不同，圖2-5中表示了不同(的三條曲線。由圖可見，值越小，則曲線形狀越尖銳，說明測(cè)量數(shù)據(jù)越集中，隨機(jī)誤差越??；越大，則曲線形狀越平坦，說明測(cè)量數(shù)據(jù)越分散，隨機(jī)誤差越大。(2)測(cè)量誤差的非正態(tài)分布測(cè)量中的隨機(jī)誤差除了大量滿足正態(tài)分布外，還有一些不滿足正態(tài)分布，統(tǒng)稱為非正態(tài)分布。常見的非正態(tài)分布有均勻分布、三角分布、反正弦分布等。其中均勻分布的應(yīng)用僅次于正態(tài)分布。表2-2列出了三種分布的概率密度函數(shù)、數(shù)學(xué)期望、標(biāo)準(zhǔn)偏差和適用條件?？梢钥闯?，

44、這三種分布都服從對(duì)稱性、有界性和低償性。表2-2 幾種常見的非正態(tài)分布分布類型均勻分布三角分布反正弦分布概率密度函數(shù)概率密度曲線數(shù)學(xué)期望(若a=-b，則為0)00標(biāo)準(zhǔn)偏差（若a=-b，則為）適用條件及應(yīng)用舉例儀器中的刻度盤回差、調(diào)諧不準(zhǔn)確及儀器最小分辨力引起的誤差等；在測(cè)量數(shù)據(jù)處理中，“四舍五入”的截尾誤差；當(dāng)只能估計(jì)誤差在某一范圍內(nèi)，而不知其分布時(shí)，一般可假定該誤差在內(nèi)均勻分布兩個(gè)具有相同誤差限的均勻分布的誤差之和，其分布服從三角分布。如在各種利用比較法的測(cè)量中，作兩次相同條件下的測(cè)量，若每次測(cè)量的誤差是均勻分布，那么兩次測(cè)量的最后結(jié)果服從三角分布若被測(cè)量x與一個(gè)量成正弦關(guān)系，即，而本身又是

45、在之間是均勻分布的，那么x服從反正弦分布。如圓形刻度盤偏心而致的刻度誤差、具有隨機(jī)相位的正弦信號(hào)有關(guān)的誤差3有限次測(cè)量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值前面所討論的被測(cè)量的數(shù)字特征都是在無窮多次測(cè)量的條件下求得的，但是在實(shí)際測(cè)量中只能進(jìn)行有限次測(cè)量，就不能按式(2-25)式(2-33)準(zhǔn)確地求出被測(cè)量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差。下面討論如何根據(jù)有限次測(cè)量結(jié)果來估計(jì)被測(cè)量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差。(1) 有限次測(cè)量的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值算術(shù)平均值若對(duì)一個(gè)被測(cè)量x進(jìn)行n次等精度測(cè)量，其中取得x的次數(shù)為n，由概率論的貝努里定理可知：事件發(fā)生的頻度nn依概率收斂于事件發(fā)生的概率p，即當(dāng)測(cè)量次數(shù)n時(shí)，可以用事件發(fā)生的頻度代

46、替事件發(fā)生的概率。這時(shí)，被測(cè)量x的數(shù)學(xué)期望為E(X)= 當(dāng) n時(shí) （2-36）若不考慮測(cè)量值相同的情況，即當(dāng)對(duì)一個(gè)被測(cè)量x進(jìn)行n次等精度測(cè)量，而獲得n個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)x(i=1，2，n，x可相同)，取得x的次數(shù)都計(jì)為l，代人式(236)，則可得被測(cè)量x的數(shù)學(xué)期望為E(X)= 當(dāng) n時(shí) （2-37）可見，被測(cè)量x的數(shù)學(xué)期望就是當(dāng)測(cè)量次數(shù)n時(shí)，各次測(cè)量值的算術(shù)平均值。在實(shí)際等精度測(cè)量中，當(dāng)測(cè)量次數(shù)n為有限次時(shí)，常用算術(shù)平均值作為被測(cè)量數(shù)學(xué)期望或被測(cè)量的估計(jì)值，用(X)表示，即(X)= （2-38）可以證明，算術(shù)平均值是被測(cè)量數(shù)學(xué)期望的無偏估計(jì)值和一致估計(jì)值。用算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果是否可以減小隨機(jī)誤差的

47、影響呢？我們可以通過計(jì)算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差來回答這個(gè)問題。當(dāng)測(cè)量次數(shù)n有限時(shí)，統(tǒng)計(jì)特征本質(zhì)上是隨機(jī)的，所以，所有算術(shù)平均值本身也是一個(gè)隨機(jī)變量。根據(jù)正態(tài)分布隨機(jī)變量之和的分布仍然是正態(tài)分布的理論，也屬于正態(tài)分布。因?yàn)槭堑染葴y(cè)量，假定測(cè)量是獨(dú)立的，那么一系列測(cè)量就具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差，又根據(jù)概率論中“幾個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的方差等于各個(gè)隨機(jī)變量方差之和”的定理可推導(dǎo)出的方差為（）= (）=（）=（x）+(x)+(x)=n(x)=(x)或 （）= （2-39）式(2-39)說明，n次測(cè)量值的算術(shù)平均值的方差是總體或單次測(cè)量值的方差的ln，或者說算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差是總體或單次測(cè)量值的標(biāo)

48、準(zhǔn)偏差的1/倍。這是由于隨機(jī)誤差的抵償性，在計(jì)算的求和過程中，正負(fù)誤差相互抵消；測(cè)量次數(shù)越多，抵消程度越太，平均值離散程度越小，這是采用統(tǒng)計(jì)平均的方法減弱隨機(jī)誤差的理論依據(jù)。所以，用算術(shù)平均值作為測(cè)量結(jié)果，減少了隨機(jī)誤差的影響。(2) 用有限次測(cè)量數(shù)據(jù)估計(jì)測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差貝塞爾公式實(shí)際測(cè)量中通常以算術(shù)平均值代替真值，以測(cè)量值與算術(shù)平均值之差即剩余誤差（簡(jiǎn)稱殘差）來代替真誤差，即=- （2-40）當(dāng)時(shí)，對(duì)求和，則得到由式（2-40）又可得到根據(jù)=0及式（2-40）有 (2-41)式（2-41）稱為貝塞爾公式，要注意的是在推導(dǎo)貝塞爾公式的過程中仍然是根據(jù)方差的定義得出的，嚴(yán)格說來仍是在的條件下推導(dǎo)

49、得出的。在n為有限值時(shí)，用貝塞爾公式計(jì)算的結(jié)果仍然是標(biāo)準(zhǔn)偏差的一個(gè)估計(jì)值，用符號(hào)(x)或s(x)表示，即或 (2-42)由于，貝塞爾公式還可表示為 (2-43)可以證明，(x)是(x)的無偏估計(jì)值。根據(jù)式（2-39），也可以把作為平均標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值。下面列出前面所定義的各種標(biāo)準(zhǔn)偏差的符號(hào)公式及所表示的不同意義，以便在使用時(shí)不致于混淆?？傮w測(cè)量值標(biāo)準(zhǔn)偏差 測(cè)量值離散程度表征總體測(cè)量值標(biāo)準(zhǔn)偏差估計(jì)值 測(cè)量平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差 平均值離散程度表征測(cè)量平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差估計(jì)值 4 .測(cè)量結(jié)果的置信度(1).置信概率與置信區(qū)間由于隨即誤差的影響，測(cè)量值均會(huì)偏離被測(cè)量真值。測(cè)量值分散程度用標(biāo)準(zhǔn)偏差表示。一個(gè)完整的測(cè)量結(jié)果，不僅要知道其量值的大小，還希望知道該測(cè)量結(jié)果的可信賴的程度。下面從兩方面來分析測(cè)量的可信度問題。1）雖然不能預(yù)先確定即將進(jìn)行的某次測(cè)量的結(jié)果，但希望知道該測(cè)量結(jié)果落在數(shù)學(xué)期望附近某一確定區(qū)間內(nèi)的可能性有多大。由于均方差表示測(cè)量值的分散程度，常用標(biāo)準(zhǔn)偏差的