相似三角形拔高練習(xí)三點(diǎn)定型法

1、一類：直接利用“左看、右看、上看、下看” 加“三點(diǎn)定型”例1， 已知：ACB=900，CDAB。求證：AC2=ADAB分析：要證AC2=ADAB，可先證，這時(shí)看等號(hào)的左邊A、C、D三點(diǎn)可確定一個(gè)三角形，而等號(hào)右邊A、C、B三點(diǎn)也可確定一個(gè)三角形，即證ACDABC。都看上面的分子為A、B、C及都看下面的分母為A、C、D也可確定去證ACDABC。例2， 已知：等邊三角形ABC中，P為BC上任一點(diǎn)，AP的垂直平分線交AB、AC于M、N兩點(diǎn)。求證：BPPC=BMCN 分析：要證BPPC=BMCN，只需證看等號(hào)的左邊B、P、M和等號(hào)右邊C、N、P可確定證PBMNCP。二類：當(dāng)不能直接用“左看、右看、上看

2、、下看” 加“三點(diǎn)定形”時(shí)，如果有相等的線段時(shí)，可用相等的線段去替換。例1， 已知；AD平分BAC，EF垂直平分AD與BC的延長線交于F。求證：DF2=BFCF分析：由已知可得DF=AF，直接證DF2=BFCF找不出相似三角形，可改證AF2=BFCF，即證，這時(shí)用“左看、右看”或“上看、下看”定出ABFCAF例2， 已知；在RtABC中，A=900，四邊形DEFG為正方形。求證：EF2=BEFC分析：要證EF2=BEFC，可證，這時(shí)我們不論是“左看、右看”還是“上看、下看”B、E、F、C都在同一直線上，不能確定兩個(gè)三角形。但在圖形中有相等的線段DE=EF=FG，這時(shí)用相等的線段去替換即證即可。

3、再用“左看、右看”的方法確定證BDEGCF從而完成證明。三類：既不能直接用“三點(diǎn)定形”，又沒有相等的線段可以替換時(shí)，可以找中間比或中間量來轉(zhuǎn)化搭橋，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。例1，已知：梯形ABCD中，AD/BC，AC與BD相交于O點(diǎn)，作BE/CD,交CA的延長線于點(diǎn)E.求證：OC2分析：要證OC2,這時(shí)我們不論是“左看、右看”還是“上看、下看”都發(fā)現(xiàn)O,C,A,E在同一直線上，并且沒有相等的線段可以替換，怎么辦呢？這時(shí)，我們可以利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，先證，用“上看、下看”定出OBCODC,然后再證,用同樣的方法確定證OBEODC相似即可。例2，已知：BD、CE是ABC的兩個(gè)高，DGB

4、C，與CE交于F，GD的延長線與BA的延長線交于H。求證：GD2=GFGH分析：要證GD2=GFGH,這時(shí)我們發(fā)現(xiàn)G、D、E、F在同一直線上，并且沒有相等的線段可以替換，這時(shí)，我們可以利用直角三角形斜邊上的高分的兩個(gè)三角形和原三角形相似得出GD2=BGCG，從而把原題轉(zhuǎn)化為證BGCG=GFGH，再用“左看、右看、上看、下看”的方法確定證BGHFGC相似即可。一、等積式、比例式的證明： 等積式、比例式的證明是相似形一章中常見題型。因?yàn)檫@種問題變化很多，同學(xué)們常常感到困難。但是，如果我們掌握了解決這類問題的基本規(guī)律，就能找到解題的思路。 （一）遇到等積式（或比例式）時(shí)，先看是否能找到相似三角形。

5、等積式可根據(jù)比例的基本性質(zhì)改寫成比例式，在比例式各邊的四個(gè)字母中如有三個(gè)不重復(fù)的字母，就可找出相似三角形。 例1、已知：如圖，ABC中，ACB=900，AB的垂直平分線交AB于D，交BC延長線于F。求證：CD2=DE·DF。 分 析：我們將此等積式變形改寫成比例式得： ，由等式左邊得到CDF，由等式右邊得到EDC，這樣只要證明這兩個(gè)三角形相似就可以得到要證的等積式了。因?yàn)镃DE是公共角，只需證明DCE=F就可證明兩個(gè)三角形相似。 （二）若由求證的等積式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，則需要進(jìn)行等線段代換或等比代換。有時(shí)還需添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造平行線或相似三角形。例2如圖

6、，已知ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，CFBA，BF交AD于P點(diǎn)，交AC于E點(diǎn)。求證：BP2=PE·PF。 分析：因?yàn)锽P、PE、PF三條線段共線，找不到兩個(gè)三角形，所以必須考慮等線段代換等其他方法，因?yàn)锳B=AC，D是BC中點(diǎn)，由等腰三角形的性質(zhì)知AD是BC的垂直平分線，如果我們連結(jié)PC，由線段垂直平分線的性質(zhì)知PB=PC，只需證明PECPCF，問題就能解決了。 證明：連結(jié)PC 在ABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)， AD垂直平分BC，PB=PC， 1=2，AB=AC，ABC=ACB， ABC-1=ACB-2，3=4， CFAB，3=F，4=F， 又EPC=CPF，PCEPFC，PC2=PE·PF，PC=PB， PB2=PE·PF。（等線段代換） 例3如圖，已知：在ABC中，BAC=900，ADBC，E是AC的中點(diǎn)，ED交AB的延長線于F。求證： 。 分析：比例式左邊AB，AC在ABC中，右邊DF、AF在ADF中，這兩個(gè)三角形不相似，因此本題需經(jīng)過中間比進(jìn)行代換。通過證明兩套三角形分別相似證得結(jié)論。 證明：BAC=90°，A