留數在物理學中的應用

1、摘要：留數定理是復變函數理論的一個重要定理,它與解析函數在孤立奇點處的洛朗展開式、柯西復合閉路定理等都有密切的聯(lián)系. 應用留數定理可以求解某些較難的積分運算問題, 所以它可以起到采用不同方法,相互檢驗所得結果的作用.具體的物理問題中遇到的一些積分在數學分析中沒有對應的原函數，留數定理往往是求解這些積分的有效工具。本文介紹留數概念，留數定理，對留數定理進行一定的拓展，以及留數理論在電磁學中安培環(huán)路定理、高斯定理公式推導，以及在阻尼振動、熱傳導、光的衍射等問題中積分計算上的的一些應用，大大簡化了計算過程。關鍵詞：留數定理、安培環(huán)路定理、高斯定理、阻尼振動、熱傳導目錄第1章 留數.3 1.1 引言

2、1.2 留數的定義1.3 留數定理 1.4 留數定理的計算規(guī)則 1.5 留數定理的拓展第2章 留數定理在電磁學中的應用.6 2.1 安培定理及其與留數定理的區(qū)別2.2 應用留數定理對安培環(huán)路定理的推導 2.3 留數定理在靜電學中的應用2.4 留數在電磁學中一類積分中的應用第3章 留數定理在物理學其他領域的應用.153.1 留數在有阻尼的振動的狄利克雷型積分中的 3.2 留數定理在研究光的衍射時需要計算的菲涅爾積分中的應用3.3 留數定理在用傅里葉變化法求解熱傳導問題的偏微分方程時將遇到的積分中的應用第4章 結語.18參考文獻.19第一章 留數1.1 引言留數是復變函數論中重要的概念之一，它與解

3、析函數在孤立奇點處的洛朗展開式、柯西復合閉路定理等都有密切的聯(lián)系. 留數定理是留數理論的基礎，也是復積分和復級數理論相結合的產物，利用留數定理可以把沿閉路的積分轉化為計算在孤立奇點處的留數，需要正確理解孤立奇點的概念與孤立奇點的分類和函數在孤立奇點的留數概念.掌握留數的計算法，特別是極點處留數的求法，實際中會用留數求一些實積分.現在研究的留數理論就是柯西積分理論的繼續(xù)，中間插入的泰勒級數和洛朗級數是研究解析函數的有力工具.留數在復變函數論本身及實際應用中都是很重要的它和計算周線積分（或歸結為考察周線積分）的問題有密切關系.此外應用留數理論，我們已有條件去解決“大范圍”的積分計算問題，還可以考察

4、區(qū)域內函數的零點分布狀況.1.2 留數的定義如果函數在的鄰域內是解析的，則根據柯西-古薩基本定理 （1）其中C為鄰域內的任意一條簡單閉合曲線.但是如果是的一個孤立奇點，且周線C 全在的某個去心鄰域內，并包圍點，則積分的值，一般說來，不再為零并且利用洛朗級數公式很容易計算出它的值來 （2）我們把（留下的）這個積分值除以2后所得的數為在的留數,記作Res，即 Res= （3）從而有 Res= （4）此處的是函數通過洛朗級數展開的第負一次項系數.1.3 留數定理定理一 設函數在區(qū)域D內除有限個孤立奇，.，外處處解析.C是D內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線，那么=2 （5）利用這個定理，求沿封閉曲線C

5、的積分，就轉化為求被積函數在C中的各孤立奇點處的留數.定理二 如果函數在擴充復平面內只有有限個孤立奇點，那么在所有各奇點（包括點）的留數的總和必等于零.1.4 留數求法及一般規(guī)則I 如果是的可去奇點，那么 Res=0，以為此時在的展開式是泰勒展開式，所以=0II 如果是本性奇點，那就往往只能把在展開成洛朗級數的方法來求.III 在是極點情形，有以下三種特殊情況下的規(guī)則 規(guī)則一 如果為的一級極點，那么 Res=（z-） （6） 規(guī)則二 如果為的m級極點，那么 Res= （7） 規(guī)則三 設=，P(z)及Q(z)在都解析，如果P(z)0，Q（z）=0，Q(z)0，那么為的一級極點，而 Res= （8

6、） 規(guī)則四 （9）1.5 留數定理的拓展對于復變函數積分，無論留數定理還是柯西定理、柯西公式及高階導數公式都只能處理解析函數沿內部有有限個極點的閉曲線的復積分問題，對于積分區(qū)線上有極點的情況沒有提及 如果用極限的方法，不但相當復雜且不能保證最終求出 當被積函數滿足一定的條件，即區(qū)域D 的境界線為C，函數 在D 內解析且在C 上連續(xù)并滿足Hölder 條件: ，(01 ) ，其中K 、 都是實常數，、為C 上任意兩點，此時可以推導出一個該積分的“積分主值”的計算公式: (10)鑒于留數定理和柯西公式之間的關系，可以將積分曲線上有限個極點的情況推廣到留數定理上 函數 在閉曲線 所圍的區(qū)域

7、上除具有有限個奇點外是解析的，此時，留數定理的結論可改寫為 （11）經過這樣的推廣后，直接可以用到積分區(qū)間上有極點的實變函數無窮積分上，無需針對實軸上的極點取輔助曲線，使得這類積分的求解過程得以簡化 第二章 留數定理在電磁學中的應用2.1 安培環(huán)路定理及其與留數定理的區(qū)別電磁學中安培環(huán)路定理的表述：磁感應強度B沿任何閉合琦璐L的線積分，等于穿過這環(huán)路所有電流強度的代數和的 倍.即 （12）其中電流I的正負規(guī)定如下；當穿過回路L的電流方向與回路L的環(huán)路方向服從右手法則時，I>O，反之，I<O.該定理與留數定理雖然是屬于不同領域中的定理但是它們在數學形式上有著極其相似的形式.(12)式

8、和(5)式的左邊都是沿著某一閉合回路的線積分，面其右邊又都是表示某些標量的代數和而這些量都直接同方程左邊的函數有著某種內在的聯(lián)系.從以上的分析我們能否得出；直接利用復變函數的方法導出電磁學中的安培環(huán)路定理而不要直接計算線積分？ 回答是肯定的.2.2 應用留數定理對安培環(huán)路定理的推導我們知道留數定理是適用于復數領域，而安培環(huán)路定理中的磁感應強度是矢量，因此不能直接將留數定理應用于電磁學中的安培環(huán)路定理，必須重新構造一個復數場才能應用.為此我們考慮一無限長截流導線周圍空間的磁場分布，如圖1所示. 圖1 無限長截流導線周圍空間的磁場分布設無限長載流導體中的電流為I，電流的方向指向紙面的外部由電磁學知

9、，空間的磁感應強度為 （13）其中 為極徑。在直角坐標系中B可以寫成分量形式，如下： （14）其中和分別為軸和軸的單位矢量.我們可以構造一個下面的復變量來代替（14）式. （15）函數和為滿足柯希 里曼方程的解析函數于是可以改寫成如下形式： （16）設回路中有個電流源通過.如圖2所示,在C內除去點外的所有區(qū)域上是解析的.對于這個個點分別用回路包圍，則按照按照柯希 里曼定理有； （17）圖2 回路C中有個電流源而根據留數定理有 (18)又 （19）考慮到(17)式和（18 )式，則可得 （20）和 （21）以上是我們討論回路中只有一個電流源的情況，下面我們將導出回路中包含有個電流源的情況：于是

10、即 （22）到此為止，我們利用復變函數的方法推導出了電磁學中的安培環(huán)路定理，其方法比較簡便，避免了一些教材中的復雜推導.從以上的推導過程我們可以看出只要選擇合適的復數來表示電磁學中的電學量和磁學量，便可以利用留數定理推導出電磁學中的一些有用結論.在前面的推導過程中，利用復數和留數定理得到方程(20)式和(21)式.(21)式即為安培環(huán)路定理.但方程(21)式我們還沒有給出它們的物理意義.方程(20)式可以改寫成=0對于二維情況表示的是一個“二維通量 ”，即表示通過長度的磁通量。因此方程(20)式可以看作磁學中的磁高斯定理，它表示通過環(huán)路C的總“二維磁通量”為零 這表明B線應該是閉合環(huán)線，這也就

11、是我們通常所說的磁場為渦旋場。2.3 留數定理在靜電學中的應用同磁學中的討論方法相同，現在我們考慮二維平面靜電場問題，這里選擇線電荷分布其電荷線密度為（>0）.考慮線電荷在空間產生電場的軸對稱性選取線電荷沿z軸分布，它所產生的電場E在平面內成徑向分布，如圖四所示.由電磁學知: (23)在直角坐標系中分量形式為現在我們構造一個復函數=那么除z=0外在空問各點都處處解析在z=0處，由留數定理有 （24）又 （25）由(24)式和(25)式可得即 （26）和 （27）有以上推導可知，利用復數 和留數定理得到方程(26)式和（27)式，(26)式即為電磁學中的靜電場環(huán)路定理，它表明靜電場是保守場

12、，且靜電場中電力線不可能是閉合線。(27)式與電磁學中的靜電場高斯定理相對應，只不過這里是二維情況，因此，我們僅需利用一個復數便可以導出靜電學中的兩個基本方程。2.4 留數在電磁學中一類積分中的應用應用留數定理求解定積分問題時, 一般先進行解析延拓。解析延拓主要有兩種方法:(1 ) 將原來的積分區(qū)間變換為新復數平面的一條閉合回路(+) , (2) 選擇另一段積分與原積分區(qū)間, 構成復數平面的閉合回路(+) , 如圖l所示 圖3 積分區(qū)間變換圖即： （28）利用留數定理求出(1) 式左邊的值及右邊的第二項復變函數積分, 則即可求得待求積分的值.下面結合電磁學中的間題,利用留數定理進行求解,問題如

13、下:如圖4 所示, 一無限長載流直導線與一半徑為R 的圓電流處于同一平面內, 它們的電流強度分別為與 , 直導線與圓心相距為a , 求作用在圓電流上的磁力。分析: 這是有關載流導線在不均勻磁場中受力的電動力學問題. 利用安培定律和畢奧薩伐爾定律, 可求得載流圓線圈所受磁場力在x 軸和y 軸上的分量分別為=（29）= （30）= 經計算得： =0= （31）在的表示式中出現定積分, 此積分的被積函數為三角函數形式, 在以往求解這類積分時,采用的方法為先進行三角函數式的萬能變換, 然后進行積分, 而這種方法在計算此類積分時顯得非常麻煩,不易求出正確答案。為了避免這種情況, 這里我們將用留數定理來計

14、算此積分, 計算方法如下: 先作變換使定積分的積分區(qū)間變?yōu)閺推矫嫔系拈]合回路, 即這里采用第一種變換方法, 作變換為: Z= 取值在之間, 對應的復變數z 取值在=1范圍內, 所以有關系：cos=（z+） sin=(z-) (32) d=dz 圖4 直導線與圓導線通電后受力分析圖當變量從0變至2時, z從z=1 沿復平面上的單位圓 =1逆時針旋轉一圈回到z=1 , 此時定積分化為復變函數回路積分= = = (33)(33) 式中參數=, (33) 式中的被積復變函數形式為= 判斷的極點有三個，=0，=，=，且三個極點都是一階極點, 其中在、在=1的單位圓內。應用留數定理可求得 （34）所以 =

15、 = (35)將(34) 、(35 ) 式代入(31) 式即可求出:= (36)以上計算有以下有幾點：（1） 思路清晰（2） 較少涉及到計算技巧，極易掌握（3） 和其他方法起到互補作用 第三章 留數定理在物理學其他領域的應用3.1 留數在有阻尼的振動的狄利克雷型積分中的應用.該積分屬于 類型的積分 不妨假設0，設由 所唯一確定的解析函數 在復平面的上半平面及實軸上僅有有限個極點 若滿足當z時0( 一致地趨于零) ，根據推廣的留數定理，只需取圖3所示的輔助閉曲線，即得：圖5由實軸上直線段（-R,R）和所圍的閉曲線 （m>0）屬于在積分路徑上有單極點的實變函數積分，即由所唯一確定的解析函數在

16、整個平面上僅有實軸上一個單極點z = 0，則根據上式有:3.2 留數定理在研究光的衍射時需要計算的菲涅爾積分中的應用設=，=在研究菲涅爾衍射時，其光場中某點的振動可為下面公式表示: （37）該式稱為菲涅爾衍射公式，一般來說計算式相當復雜的，但在傍軸近似下，可以利用二項式近似簡化，通過求解菲涅爾積分 圖6閉曲線由實軸上（0，R）,圓弧z=及z=（r從R變化到0）組成取圖6 所示輔助曲線構成復平面上的閉合曲線，當R時，沿實軸的積分即待求積分 在此極限下沿圓弧的積分根據若爾當引理其值為零，沿射線的積分可以通過第二類歐拉積分( x) =,由() = ， t = ，可得 則:從而 =3.3 留數定理在用

17、傅里葉變化法求解熱傳導問題的偏微分方程時將遇到的積分中的應用對于一維無源導熱問題，各點在任意時刻的溫度可以用定解問題描述: （38）用傅里葉變換法求解該方程時， 得到的像函數的一部分為， 其原函數需要通過求解積分 得到輔助曲線取矩形，即: 實軸上(N,N) ，: 平行于虛軸的( N，0 )( N，) ， : 平行于實軸的( N,)(N，) 及: 平行于虛軸的(N，)( N,0) 四段構成閉曲線，如圖5 所示:圖7 矩形閉曲線圖7 矩形閉曲線由于在該閉曲線內函數無奇點，根據留數定理可知函數沿閉曲線積分的值為零:當N時，可以證明沿， 的積分值為零，沿的積分在h =時可以借助第二類歐拉積分在=時的值求出，即，則因此，利用留數定理求解實變函數反常積分，一般要通過取適當的輔助曲線，將實變函數積分轉化為求解沿閉曲線的復變函數積分這種方法的前提是被積函數要滿足一定的條件，即并非所有的實變函數反常積分都能通過這種方法來求解 對于物理問題的積分，由于有明確的物理意義，一般是滿足數學上求解的條件的第四章 結語留數定理是復變函數論具體應用于積分計算和一些公式推導中的一個非常有力的工具 本文闡述了留數的定義，留數定理及計算一般規(guī)則，就區(qū)域上及區(qū)域境界線上有極點的情況對留數定理進行了推廣，并將留數定理及留數定理及推廣了的留數定理應用于電磁學、阻尼振動、菲涅爾衍射及熱傳導等具體的物理問題所遇