抗匹配與史密斯圓圖的基本原理

1、抗匹配與史密斯圓圖的基本原理摘要:本文利用史密斯圓圖作為 RF 阻抗匹配的設(shè)計指南。文中給出了反射 系數(shù)、阻抗和導(dǎo)納的作圖范例,并用作圖法設(shè)計了一個頻率為 60MHz 的匹配網(wǎng) 絡(luò)。實(shí)踐證明:史密斯圓圖仍然是計算傳輸線阻抗的基本工具。在處理 RF 系統(tǒng)的實(shí)際應(yīng)用問題時,總會遇到一些非常困難的工作,對各部 分級聯(lián)電路的不同阻抗進(jìn)行匹配就是其中之一。 一般情況下, 需要進(jìn)行匹配的電 路包括天線與低噪聲放大器 (LNA之間的匹配、功率放大器輸出 (RFOUT與天線 之間的匹配、 LNA/VCO輸出與混頻器輸入之間的匹配。匹配的目的是為了保證 信號或能量有效地從 “ 信號源 ” 傳送到 “ 負(fù)載 ”

2、。在高頻端,寄生元件 (比如連線上的電感、板層之間的電容和導(dǎo)體的電阻 對 匹配網(wǎng)絡(luò)具有明顯的、 不可預(yù)知的影響。 頻率在數(shù)十兆赫茲以上時, 理論計算和 仿真已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足要求, 為了得到適當(dāng)?shù)淖罱K結(jié)果, 還必須考慮在實(shí)驗室中 進(jìn)行的 RF 測試、并進(jìn)行適當(dāng)調(diào)諧。需要用計算值確定電路的結(jié)構(gòu)類型和相應(yīng)的 目標(biāo)元件值。有很多種阻抗匹配的方法,包括 :計算機(jī)仿真 :由于這類軟件是為不同功能設(shè)計的而不只是用于阻抗匹配,所 以使用起來比較復(fù)雜。 設(shè)計者必須熟悉用正確的格式輸入眾多的數(shù)據(jù)。 設(shè)計人員 還需要具有從大量的輸出結(jié)果中找到有用數(shù)據(jù)的技能。 另外, 除非計算機(jī)是專門 為這個用途制造的,否則電路仿真

3、軟件不可能預(yù)裝在計算機(jī)上。手工計算 :這是一種極其繁瑣的方法,因為需要用到較長 (“ 幾公里 ” 的計算公 式、并且被處理的數(shù)據(jù)多為復(fù)數(shù)。經(jīng)驗 :只有在 RF 領(lǐng)域工作過多年的人才能使用這種方法?？傊?它只適合 于資深的專家。史密斯圓圖 :本文要重點(diǎn)討論的內(nèi)容。本文的主要目的是復(fù)習(xí)史密斯圓圖的結(jié)構(gòu)和背景知識, 并且總結(jié)它在實(shí)際中 的應(yīng)用方法。討論的主題包括參數(shù)的實(shí)際范例,比如找出匹配網(wǎng)絡(luò)元件的數(shù)值。 當(dāng)然, 史密斯圓圖不僅能夠為我們找出最大功率傳輸?shù)钠ヅ渚W(wǎng)絡(luò), 還能幫助設(shè)計 者優(yōu)化噪聲系數(shù),確定品質(zhì)因數(shù)的影響以及進(jìn)行穩(wěn)定性分析。 圖 1. 阻抗和史密斯圓圖基礎(chǔ)基礎(chǔ)知識在介紹史密斯圓圖的使用之前

4、,最好回顧一下 RF 環(huán)境下 (大于 100MHzIC 連線的電磁波傳播現(xiàn)象。這對 RS-485傳輸線、 PA 和天線之間的連接、 LNA 和 下變頻器 /混頻器之間的連接等應(yīng)用都是有效的。大家都知道, 要使信號源傳送到負(fù)載的功率最大, 信號源阻抗必須等于負(fù)載 的共軛阻抗,即: Rs+jXs=RL-jXL圖 2. 表達(dá)式 Rs+jXs=RL-jXL的等效圖在這個條件下,從信號源到負(fù)載傳輸?shù)哪芰孔畲?。另?為有效傳輸功率, 滿足這個條件可以避免能量從負(fù)載反射到信號源,尤其是在諸如視頻傳輸、 RF 或微波網(wǎng)絡(luò)的高頻應(yīng)用環(huán)境更是如此。史密斯圓圖史密斯圓圖是由很多圓周交織在一起的一個圖。 正確的使用它

5、, 可以在不作任何計算的前提下得到一個表面上看非常復(fù)雜的系統(tǒng)的匹配阻抗, 唯一需要作的 就是沿著圓周線讀取并跟蹤數(shù)據(jù)。史密斯圓圖是反射系數(shù) (伽馬,以符號 表示 的極座標(biāo)圖。反射系數(shù)也可以 從數(shù)學(xué)上定義為單端口散射參數(shù),即 s11。史密斯圓圖是通過驗證阻抗匹配的負(fù)載產(chǎn)生的。這里我們不直接考慮阻抗, 而是用反射系數(shù) L ,反射系數(shù)可以反映負(fù)載的特性 (如導(dǎo)納、增益、跨導(dǎo) ,在處 理 RF 頻率的問題時 L 更加有用。我們知道反射系數(shù)定義為反射波電壓與入射波電壓之比 :圖 3. 負(fù)載阻抗負(fù)載反射信號的強(qiáng)度取決于信號源阻抗與負(fù)載阻抗的失配程度。 反射系數(shù)的 表達(dá)式定義為:由于阻抗是復(fù)數(shù),反射系數(shù)也是

6、復(fù)數(shù)。為了減少未知參數(shù)的數(shù)量, 可以固化一個經(jīng)常出現(xiàn)并且在應(yīng)用中經(jīng)常使用的 參數(shù)。這里 Zo(特性阻抗 通常為常數(shù)并且是實(shí)數(shù),是常用的歸一化標(biāo)準(zhǔn)值,如 50 、 75 、 100 和 600 。于是我們可以定義歸一化的負(fù)載阻抗: 據(jù)此,將反射系數(shù)的公式重新寫為:從上式我們可以看到負(fù)載阻抗與其反射系數(shù)間的直接關(guān)系。 但是這個關(guān)系式 是一個復(fù)數(shù),所以并不實(shí)用。我們可以把史密斯圓圖當(dāng)作上述方程的圖形表示。為了建立圓圖,方程必需重新整理以符合標(biāo)準(zhǔn)幾何圖形的形式 (如圓或射 線 。首先,由方程 2.3 求解出;并且令等式 2.5 的實(shí)部和虛部相等,得到兩個獨(dú)立的關(guān)系式:重新整理等式 2.6,經(jīng)過等式 2

7、.8至 2.13得到最終的方程 2.14。這個方程 是在復(fù)平面 (r, i 上、圓的參數(shù)方程 (x-a2+(y-b²=R²,它以 (r/r+1,0為圓心,半 徑為 1/1+r.更多細(xì)節(jié)參見圖 4a 。 圖 4a. 圓周上的點(diǎn)表示具有相同實(shí)部的阻抗。例如, r =1的圓,以 (0.5,0為 圓心, 半徑為 0.5。 它包含了代表反射零點(diǎn)的原點(diǎn) (0,0(負(fù)載與特性阻抗相匹配 。 以 (0, 0 為圓心、 半徑為 1的圓代表負(fù)載短路。 負(fù)載開路時, 圓退化為一個點(diǎn) (以 1, 0為圓心,半徑為零 。與此對應(yīng)的是最大的反射系數(shù) 1,即所有的入射波都 被反射回來。在作史密斯圓圖時,

8、有一些需要注意的問題。下面是最重要的幾個方面:所有的圓周只有一個相同的,唯一的交點(diǎn) (1,0。代表 0 、也就是沒有電阻 (r=0的圓是最大的圓。無限大的電阻對應(yīng)的圓退化為一個點(diǎn) (1,0實(shí)際中沒有負(fù)的電阻,如果出現(xiàn)負(fù)阻值,有可能產(chǎn)生振蕩。選擇一個對應(yīng)于新電阻值的圓周就等于選擇了一個新的電阻。作圖經(jīng)過等式 2.15至 2.18的變換, 2.7式可以推導(dǎo)出另一個參數(shù)方程, 方程 2.19 。同樣, 2.19也是在復(fù)平面 (r, i 上的圓的參數(shù)方程 (x-a²+(y-b²=R²,它的圓心 為 (1,1/x,半徑 1/x。更多細(xì)節(jié)參見圖 4b 。 圖 4b. 圓周上的

9、點(diǎn)表示具有相同虛部 x 的阻抗。例如, x=1的圓以 (1,1為圓 心,半徑為 1。所有的圓 (x為常數(shù) 都包括點(diǎn) (1,0。與實(shí)部圓周不同的是, x 既可 以是正數(shù)也可以是負(fù)數(shù)。 這說明復(fù)平面下半部是其上半部的鏡像。 所有圓的圓心 都在一條經(jīng)過橫軸上 1點(diǎn)的垂直線上。完成圓圖為了完成史密斯圓圖, 我們將兩簇圓周放在一起。 可以發(fā)現(xiàn)一簇圓周的所有 圓會與另一簇圓周的所有圓相交。若已知阻抗為 r+jx,只需要找到對應(yīng)于 r 和 x 的兩個圓周的交點(diǎn)就可以得到相應(yīng)的反射系數(shù)?？苫Q性上述過程是可逆的, 如果已知反射系數(shù), 可以找到兩個圓周的交點(diǎn)從而讀取 相應(yīng)的 r 和 x 的值。過程如下:確定阻抗

10、在史密斯圓圖上的對應(yīng)點(diǎn)找到與此阻抗對應(yīng)的反射系數(shù) (已知特性阻抗和 ,找出阻抗將阻抗轉(zhuǎn)換為導(dǎo)納找出等效的阻抗找出與反射系數(shù)對應(yīng)的元件值 (尤其是匹配網(wǎng)絡(luò)的元件,見圖 7推論因為史密斯圓圖是一種基于圖形的解法, 所得結(jié)果的精確度直接依賴于圖形 的精度。下面是一個用史密斯圓圖表示的 RF 應(yīng)用實(shí)例:例 :已知特性阻抗為 50 ,負(fù)載阻抗如下:Z1=100+j50 Z2=75-j100 Z3=j200 Z4=150Z5= (開路 Z6=0(短路 Z7=50 Z8=184-j900對上面的值進(jìn)行歸一化并標(biāo)示在圓圖中 (見圖 5 :z1=2+jz2=1.5-j2z3=j4z4=3 z5=8z6=0z7=

11、1z8=3.68-j18S圖 5. 史密斯圓圖上的點(diǎn)現(xiàn)在可以通過圖 5的圓圖直接解出反射系數(shù) 。畫出阻抗點(diǎn) (等阻抗圓和等 電抗圓的交點(diǎn) ,只要讀出它們在直角坐標(biāo)水平軸和垂直軸上的投影,就得到了 反射系數(shù)的實(shí)部 r 和虛部 i(見圖 6 。該范例中可能存在八種情況, 在圖 6所示史密斯圓圖上可以直接得到對應(yīng)的 反射系數(shù) :1=0.4+0.2j2=0.51-0.4j3=0.875+0.48j4=0.55=16=-17=08=0.96-0.1j 圖 6. 從 X-Y 軸直接讀出反射系數(shù) 的實(shí)部和虛部用導(dǎo)納表示史密斯圓圖是用阻抗 (電阻和電抗 建立的。一旦作出了史密斯圓圖,就可以 用它分析串聯(lián)和并聯(lián)

12、情況下的參數(shù)。 可以添加新的串聯(lián)元件, 確定新增元件的影 響只需沿著圓周移動到它們相應(yīng)的數(shù)值即可。 然而, 增加并聯(lián)元件時分析過程就 不是這么簡單了,需要考慮其它的參數(shù)。通常,利用導(dǎo)納更容易處理并聯(lián)元件。我們知道,根據(jù)定義 Y=1/Z, Z=1/Y。導(dǎo)納的單位是姆歐或者 -1(早些時候 導(dǎo)納的單位是西門子或 S 。并且,如果 Z 是復(fù)數(shù),則 Y 也一定是復(fù)數(shù)。所以 Y=G+jB(2.20,其中 G 叫作元件的 “ 電導(dǎo) ” , B 稱 “ 電納 ” 。在演算的時候 應(yīng)該小心謹(jǐn)慎,按照似乎合乎邏輯的假設(shè),可以得出:G=1/R及 B=1/X,然而 實(shí)際情況并非如此,這樣計算會導(dǎo)致結(jié)果錯誤。用導(dǎo)納表

13、示時,第一件要做的事是歸一化, y=Y/Yo,得出 y=g+jb。但是如 何計算反射系數(shù)呢?通過下面的式子進(jìn)行推導(dǎo): 結(jié)果是 G 的表達(dá)式符號與 z 相反,并有 (y=-(z.如果知道 z ,就能通過將的符號取反找到一個與 (0, 0 的距離相等但在反方 向的點(diǎn)。圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn) 180°可以得到同樣的結(jié)果 (見圖 7 。 圖 7.180°度旋轉(zhuǎn)后的結(jié)果當(dāng)然, 表面上看新的點(diǎn)好像是一個不同的阻抗, 實(shí)際上 Z 和 1/Z表示的是同 一個元件。 (在史密斯圓圖上,不同的值對應(yīng)不同的點(diǎn)并具有不同的反射系數(shù), 依次類推 出現(xiàn)這種情況的原因是我們的圖形本身是一個阻抗圖,而新的點(diǎn)代表 的

14、是一個導(dǎo)納。因此在圓圖上讀出的數(shù)值單位是姆歐。盡管用這種方法就可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換, 但是在解決很多并聯(lián)元件電路的問題時仍 不適用。導(dǎo)納圓圖在前面的討論中, 我們看到阻抗圓圖上的每一個點(diǎn)都可以通過以 復(fù)平面原 點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn) 180°后得到與之對應(yīng)的導(dǎo)納點(diǎn)。于是,將整個阻抗圓圖旋轉(zhuǎn) 180°就得到了導(dǎo)納圓圖。 這種方法十分方便, 它使我們不用建立一個新圖。 所有圓周 的交點(diǎn) (等電導(dǎo)圓和等電納圓 自然出現(xiàn)在點(diǎn) (-1,0。 使用導(dǎo)納圓圖, 使得添加并聯(lián) 元件變得很容易。在數(shù)學(xué)上,導(dǎo)納圓圖由下面的公式構(gòu)造: 解這個方程 接下來,令方程 3.3的實(shí)部和虛部相等,我們得到兩個新的獨(dú)立的關(guān)系

15、: 從等式 3.4,我們可以推導(dǎo)出下面的式子: 它也是復(fù)平面 (r, i 上圓的參數(shù)方程 (x-a²+(y-b²=R²(方程 3.12 ,以(-g/g+1,0為圓心,半徑為 1/(1+g。從等式 3.5 ,我們可以推導(dǎo)出下面的式子:同樣得到 (x-a²+(y-b²=R²型的參數(shù)方程 (方程 3.17 。求解等效阻抗當(dāng)解決同時存在串聯(lián)和并聯(lián)元件的混合電路時,可以使用同一個史密斯圓 圖,在需要進(jìn)行從 z 到 y 或從 y 到 z 的轉(zhuǎn)換時將圖形旋轉(zhuǎn)?？紤]圖 8所示網(wǎng)絡(luò) (其中的元件以 Zo=50 進(jìn)行了歸一化 。 串聯(lián)電抗 (x對電 感元

16、件而言為正數(shù),對電容元件而言為負(fù)數(shù)。而電納 (b對電容元件而言為正數(shù),對電感元件而言為負(fù)數(shù)。 圖 8.一個多元件電路 這個電路需要進(jìn)行簡化(見圖 9。從最右邊開始，有一個電阻和一個電感， 數(shù)值都是 1，我們可以在 r1 的圓周和 I1 的圓周的交點(diǎn)處得到一個串聯(lián)等效 點(diǎn)， 即點(diǎn) A。 下一個元件是并聯(lián)元件， 我們轉(zhuǎn)到導(dǎo)納圓圖(將整個平面旋轉(zhuǎn) 180°， 此時需要將前面的那個點(diǎn)變成導(dǎo)納，記為 A'?，F(xiàn)在我們將平面旋轉(zhuǎn) 180°，于是 我們在導(dǎo)納模式下加入并聯(lián)元件，沿著電導(dǎo)圓逆時針方向(負(fù)值移動距離 0.3， 得到點(diǎn) B。然后又是一個串聯(lián)元件?，F(xiàn)在我們再回到阻抗圓圖。

17、圖 9.將圖 8 網(wǎng)絡(luò)中的元件拆開進(jìn)行分析 在返回阻抗圓圖之前，還必需把剛才的點(diǎn)轉(zhuǎn)換成阻抗(此前是導(dǎo)納，變換之 后得到的點(diǎn)記為 B'，用上述方法，將圓圖旋轉(zhuǎn) 180°回到阻抗模式。沿著電阻圓 周移動距離 1.4 得到點(diǎn) C 就增加了一個串聯(lián)元件，注意是逆時針移動(負(fù)值。進(jìn) 行同樣的操作可增加下一個元件(進(jìn)行平面旋轉(zhuǎn)變換到導(dǎo)納，沿著等電導(dǎo)圓順時 針方向(因為是正值移動指定的距離(1.1。這個點(diǎn)記為 D。最后，我們回到阻抗 模式增加最后一個元件(串聯(lián)電感。于是我們得到所需的值，z，位于 0.2 電阻圓 和 0.5 電抗圓的交點(diǎn)。至此，得出 z0.2+j0.5。如果系統(tǒng)的特性阻抗是

18、 50,有 Z=10+j25(見圖 10。 圖 10.在史密斯圓圖上畫出的網(wǎng)絡(luò)元件 逐步進(jìn)行阻抗匹配 史密斯圓圖的另一個用處是進(jìn)行阻抗匹配。 這和找出一個已知網(wǎng)絡(luò)的等效阻 抗是相反的過程。此時，兩端(通常是信號源和負(fù)載阻抗是固定的，如圖 12 所 示。我們的目標(biāo)是在兩者之間插入一個設(shè)計好的網(wǎng)絡(luò)已達(dá)到合適的阻抗匹配。 圖 11.阻抗已知而元件未知的典型電路 初看起來好像并不比找到等效阻抗復(fù)雜。 但是問題在于有無限種元件的組合 都可以使匹配網(wǎng)絡(luò)具有類似的效果，而且還需考慮其它因素(比如濾波器的結(jié)構(gòu) 類型、品質(zhì)因數(shù)和有限的可選元件。 實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的方法是在史密斯圓圖上不斷增加串聯(lián)和并聯(lián)元件、 直到得

19、到 我們想要的阻抗。從圖形上看，就是找到一條途徑來連接史密斯圓圖上的點(diǎn)。同 樣，說明這種方法的最好辦法是給出一個實(shí)例。 我們的目標(biāo)是在 60MHz 工作頻率下匹配源阻抗(ZS和負(fù)載阻抗(ZL(見圖 12。網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)已經(jīng)確定為低通，L 型(也可以把問題看作是如何使負(fù)載轉(zhuǎn)變成數(shù) 值等于 ZS 的阻抗，即 ZS 復(fù)共軛。下面是解的過程： 圖 12.圖 11 的網(wǎng)絡(luò)，將其對應(yīng)的點(diǎn)畫在史密斯圓圖上 要做的第一件事是將各阻抗值歸一化。如果沒有給出特性阻抗，選擇一個與 負(fù)載/信號源的數(shù)值在同一量級的阻抗值。假設(shè) Zo 為 50。于是 zS=0.5-j0.3,z*S=0.5+j0.3,ZL=2-j0.5。 下一步，在圖上標(biāo)出這兩個點(diǎn)，A 代表 zL，D 代表 Z*S 然后判別與負(fù)載連接的第一個元件(并聯(lián)電容，先把 zL 轉(zhuǎn)化為導(dǎo)納，得到 點(diǎn) A'。 確定連接電容 C 后下一個點(diǎn)出現(xiàn)在圓弧上的位置。由于不知道 C 的值，所 以我們不知道具體的位置，然而我們確實(shí)知道移動的方向。并聯(lián)的電容應(yīng)該