西安電子科技大學電磁場大作業(yè)

1、電磁場與電磁波大作業(yè) 學院：電子工程學院 班級：021231 指導老師：侯建強 組長： 組員：基于MATLAB的電磁場數(shù)值分析摘 要 使用計算機進行電磁場數(shù)值分析已成為電磁場的工程開發(fā)、科研和教學的重要手段。本文介紹了電磁場數(shù)值分析的基本理論，并且基于MATLAB PDE工具箱實現(xiàn)了的靜態(tài)場的邊值型問題的求解。實驗結(jié)果表明，MATLAB使電磁場問題的求解迅速、簡單、方便。關鍵詞：MATLAB 數(shù)值分析法 邊值型問題Electromagnetic Field Numerical Analysis Based on MATLABAbstract: Using computers to analyz

2、e electromagnetic field has been an important method of the development of projects, research and teaching. The essay introduces some basic theories of electromagnetic field numerical analysis. And basing on MATLAB PDE tool, the electromagnetic field boundary value problem has been solved. Furthermo

3、re, the results show that it is easier, more prompt and more convenient to figure it out with the software, MATALAB.Keywords: MATLAB, Electromagnetic Field Numerical Analysis, boundary value problem目錄0 引言.21 數(shù)值分析法基本原理.2 1.1 泊松方程和拉普拉斯方程.2 1.2 邊值問題的分類.3 1.3 直角坐標系中的分離變量法.32 例題分析.53 MATLAB實現(xiàn).64 結(jié)論.75 結(jié)束

4、語.86 參考文獻.80 引 言 MATLAB 是一種用于數(shù)值計算、可視化及編程的高級語言和交互式環(huán)境。使用 MATLAB，可以分析數(shù)據(jù)，開發(fā)算法，創(chuàng)建模型和應用程序。借助其語言、工具和內(nèi)置數(shù)學函數(shù)，您可以探求多種方法，比電子表格或傳統(tǒng)編程語言（如 C/C+ 或 Java）更快地求取結(jié)果。MATLAB 應用廣泛，其中包括信號處理和通信、圖像和視頻處理、控制系統(tǒng)、測試和測量、計算金融學及計算生物學等眾多應用領域。在各行業(yè)和學術(shù)機構(gòu)中，有一百多萬工程師和科學家使用 MATLAB 這一技術(shù)計算語言。MATLAB偏微分方程工具箱(PDE toolbox)可以實現(xiàn)對二維問題高速、準確的求解過程，通過使用

5、用戶界面或者M文件，畫出所需要的任何區(qū)域，輸入方程類型和有關系數(shù)，可以顯示解的圖形和數(shù)值解。1 數(shù)值分析法基本原理當電荷或者電流分布已知時，可以通過積分來計算電場或磁場。但實際上我們通常要處理兩種類型的靜電場問題。一種是已知場源（電荷、電流分布）直接計算空間個點的場強或位函數(shù)，這類問題叫做分布型問題。另一種是已知空間某給定區(qū)域內(nèi)的長遠分布和該區(qū)域邊界上的位函數(shù)（或其法向?qū)?shù)），求區(qū)域內(nèi)位函數(shù)的分布，這類問題叫作邊值型問題。求解這些邊值型問題空間電場、磁場的分布可以化為求解給定邊界條件下的位函數(shù)的拉普拉斯方程或泊松方程，即求解邊值問題。1.1 泊松方程和拉普拉斯方程拉普拉斯方程是一個二階偏微分方

6、程，可以用解析法、數(shù)值分析法、實驗模擬和圖解法等求解。電場的位函數(shù)是一個標量函數(shù)，簡稱為電位，電位的定義由下式確定 （式1.1.1）電位的單位是伏（V），因此電場強度的單位是伏/米（V/m）。，得 （式1.1.2）（式1.1.2）稱為泊松方程，若討論的區(qū)域，則電位微分方程為 （式1.1.3）二階微分方程（式1.1.3）稱為拉普拉斯方程。其中在直角坐標中為 （式1.1.4）1.2 邊值問題的分類靜電場的計算通常是求場內(nèi)任一點的電位，一旦電位確定，電場強度和其他的物理量都可由電位求得。在無界空間，如果已知分布電荷的體密度，可以通過積分公式計算任意點的電位。但計算有限區(qū)域的電位時，必須使用所討論區(qū)域

7、邊界上電位的指定值（稱為邊值）來確定積分常數(shù)；此外，當場域中有不同介質(zhì)時，還要用到電位在邊界上的邊界條件。這些用來決定常數(shù)的條件，常統(tǒng)稱為邊界條件。我們把通過微分方程及相關邊界條件描述的問題，稱為邊值問題。實際上，邊界條件（即邊值）除了給定電位在邊界上的值以為，也可以是電位在邊界上的方向?qū)?shù)。根據(jù)不同形式的邊界條件，邊值問題通常分為三類；第一類邊值問題（Dirichlet問題）：給定整個邊界上的位函數(shù)值，即；第二類邊值問題（Neumann問題）：給定整個邊界上每一點位函數(shù)的法向函數(shù)，即；第三類邊值問題（混合問題）：給定一部分邊界上每一點的電位，同時給定另一部分邊界上每一點的電位法向函數(shù)，即，。

8、1.3 直角坐標系中的分離變量法分離變量法是數(shù)學物理方法中應用最廣的一種方法，它要求所給的邊界面與一個適當?shù)淖鴺讼档淖鴺嗣嫦嘀睾?，或分段重合；其次在此坐標系中，待求偏微分方程的解可表示成三個函數(shù)的乘積，每一函數(shù)僅是一個坐標的函數(shù)。這樣通過分離變量法就可以把偏微分方程化為常微分方程求解。在直角坐標系中，拉普拉斯方程為 （式1.3.1）設可以表示為三個函數(shù)的乘積，即 （式1.3.2）其中，X只是x的函數(shù)，同時Y只是y的函數(shù)，Z只是z的函數(shù)。將（式1.3.2）帶入（式1.3.1），得 （式1.3.3）然后（式1.3.3）各項除以XYZ，得 （式1.3.4）以上方程的第一項只是x的函數(shù)，第二項只是y的

9、函數(shù)，第三項只是z的函數(shù)，要這一方程對任一組（x,y,z）成立，這三項必須分別為常數(shù)，即 （式1.3.5a） （式1.3.5b） （式1.3.5c）這樣，就將偏微分方程化為三個常微分方程，是分離常量，都是待定常數(shù)，與邊界條件有關。它們可以是實數(shù)，也可以是虛數(shù)，且由（式1.3.4）應有 （式1.3.6）以上三個常微分方程（式1.3.5a）、（式1.3.5b）和（式1.3.5c）解的形式，與邊界條件有關（即與常數(shù)有關），以（式1.3.5a）為例說明X的形式與的關系。當時，則當時，另為正實數(shù)），則或當時，另，則或以上的a,b,c,d稱為積分常數(shù)，也由邊界條件決定。Y(y)和Z（z）的解和X（x）類似

10、。在用分離變量法求解靜態(tài)場的邊值問題時，常需要根據(jù)邊界條件來確定分離常數(shù)是實數(shù)、虛數(shù)或是零。若在某一個方向（如x方向）的邊界條件是周期的，則該坐標的分離常數(shù)必是實數(shù)，其解要選三角函數(shù)；若在某一個方向的邊界條件是非周期的，則該方向的解要選雙曲函數(shù)或者指數(shù)函數(shù)，在有限區(qū)域選雙曲函數(shù)，無限區(qū)域選取指數(shù)衰減函數(shù)；若位函數(shù)與某一坐標無關，則沿該方向的分離常數(shù)為零，其解為常數(shù)。2 例題分析設一橫截面為矩形的無限長區(qū)域的電位邊值如下圖2.1所示，求空間的電位分布。 y b0 a x圖2.1 矩形截面導體槽解：本題的電位與z無關，只是x,y的函數(shù)，即。在區(qū)域0<x<a，0<y<b內(nèi)，邊

11、界條件為設方程的解為由邊界條件可得，Y（y）的表達式為X（x）的表達式為區(qū)域內(nèi)部任意一點的電位表達式為以上的電位滿足拉普拉斯方程及條件，待定系數(shù)由條件決定。使用三角函數(shù)的正交歸一性，即用條件可以得出3 MATLAB實現(xiàn)在上題中，令V（y）=2y，設定邊界，x坐標范圍為0, 16，y坐標范圍為0, 11。利用PDETOOL，畫出圖像。圖3.1 二維圖像圖3.2 三維圖像4 結(jié)論靜態(tài)場求解問題，也稱為邊值型問題，滿足給定邊界條件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。數(shù)值分析法的重要的方法為有限差分法和有限單元法，將求場域的空間離散化，把拉普拉斯方程化為各節(jié)點上的有限差分方程，并使用迭代法或者超松弛法求解方程，從而求解各節(jié)點上的位函數(shù)值。精讀越高，求解出的各節(jié)點的位函數(shù)值越精確。5 結(jié)束語如今，計算機已經(jīng)變成了計算各種數(shù)據(jù)的一種重要手段，而熟練掌握各種仿真