函數(shù)的一致連續(xù)性

1、 §2.9 函數(shù)的一致連續(xù)性定義2.21 設(shè)是上的單變量函數(shù).若,使得當(dāng),時總成立,則稱是上的一致連續(xù)函數(shù).顯然,若是上的一致連續(xù)函數(shù),則一定是上的連續(xù)函數(shù)(反之通常不正確).命題1 (不一致連續(xù)的充要條件) 上的單變量函數(shù)不一致連續(xù)和,使得,并且.證: “”.假定不是上的一致連續(xù)函數(shù),則,滿足和.這說明右邊成立.“”.假定和,使得,并且.這時,使得.這說明不是上的一致連續(xù)函數(shù).命題2 若是區(qū)間上的一致連續(xù)函數(shù),是常數(shù),則必存在使得當(dāng),時總成立.證:對于固定的,使得當(dāng),時總成立.再取使得.當(dāng)時,.命題3 有限開區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一致連續(xù)存在有限單側(cè)極限和.證:“”.若是上的一致連續(xù)函數(shù)

2、,即,使得當(dāng)時成立,則當(dāng),時有.根據(jù)函數(shù)單側(cè)極限的Cauchy收斂原理,便知存在有限右極限.同理,存在有限左極限.“”. (反證法)假定存在有限單側(cè)極限和,但連續(xù)函數(shù)不一致連續(xù).由命題1,和,使得,并且.取的收斂一個子列,則(1)；(2)；(3)三者必居其一.這樣,便有 ,得到矛盾.例1 設(shè). (1) 若是上的連續(xù)函數(shù),則也是上的連續(xù)函數(shù)；(2) 若是上的一致連續(xù)函數(shù),則也是上的一致連續(xù)函數(shù).(3) 若都是上的一致連續(xù)函數(shù),則也是上的一致連續(xù)函數(shù).(4) 若都是一致連續(xù)函數(shù),有意義,則也是一致連續(xù)函數(shù).例2 當(dāng)常數(shù)時,冪函數(shù)是上的一致連續(xù)函數(shù).證: ,有不等式,即 .故 ,令,則當(dāng),時總成立.

3、例3 (連續(xù)但不一致連續(xù)的函數(shù)) 當(dāng)常數(shù)時,冪函數(shù)不是上的一致連續(xù)函數(shù)(這說明兩個一致連續(xù)函數(shù)的積可能不是一致連續(xù)函數(shù)).證: ,有不等式 .,令 ,則 , .由命題1便知不是上的一致連續(xù)函數(shù).例4 (連續(xù)但不一致連續(xù)的函數(shù)) 不是上的一致連續(xù)函數(shù).證: 由命題3.例5 是上的一致連續(xù)函數(shù),但卻不是上的一致連續(xù)函數(shù).證: ,有不等式.故,令,則當(dāng),時總成立.這說明是上的一致連續(xù)函數(shù). 由命題2或命題3知不是上的一致連續(xù)函數(shù).練習(xí)題2.9() 1,2,3.問題2.9() 2.§2.10 有限閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理2.22(一致連續(xù)性) 若是有限閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),則必在上一致連續(xù).

4、證:(利用有限閉區(qū)間的列緊性反證) 假定連續(xù)函數(shù)不一致連續(xù),即和,使得 ,并且,.取的一個子列收斂于,則也收斂于,從而,得到矛盾.定理2.23和2.24 (最大值和最小值的可達性) 若是有限閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),則必,使得, .作為推論,在上有界.證:(利用有限閉區(qū)間的列緊性)僅證最小值的可達性.令,由§1.9的命題2知,使得.取一個子列收斂于,便有,即.定理2.25和2.26 (介值定理和零值定理) 若是有限閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),則介于之間的實數(shù),必使得.作為推論,若,則必使得.證: (利用區(qū)間的連通性) 記,則,.由的連通性,或者可取收斂于,此時；或者可取收斂于,此時(該情形不會出現(xiàn)

5、).因而,.推論 若是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),則也是區(qū)間.證:(利用區(qū)間的連通性),要證. 取滿足,并不妨設(shè).,使得.這說明,從而.例1 任何實系數(shù)奇次多項式必有實根.證: 設(shè)是實系數(shù)奇次多項式(首系數(shù)為1), 則.故當(dāng)充分大時,有,從而使得.例2(,8)設(shè),.求證,使得.證: 考慮上的函數(shù).由于,故或者,或者,使得.由零值定理便知使得.練習(xí)題2.10() 2,4,5,7,9,10,11.問題2.10() 2,4.§2.11 函數(shù)的上極限和下極限本節(jié)內(nèi)容與數(shù)列的上極限和下極限的概念及相關(guān)結(jié)論完全一樣.定義2.22 設(shè)是上的單變量函數(shù),是的極限點,那么 .記 和 ,分別稱為當(dāng)時的上極限和下極

6、限；或稱為在處的上極限和下極限.類似地,能定義當(dāng)時的上極限和下極限.注記2.2 上的單變量函數(shù)在的極限點處的上極限和下極限一定存在,其值與在處是否有定義無關(guān),只與在的去心鄰域上的定義有關(guān).這里,是固定的正數(shù).注記2.2 設(shè)是上的單變量函數(shù),是的極限點.,記,則在上遞增, 在上遞減(注意和可能不是函數(shù)).故存在廣義右極限和.這兩個廣義右極限就是當(dāng)時的上極限和下極限.當(dāng)時的情形類似.定理2.27 設(shè)是上的單變量函數(shù),是的極限點,.則是當(dāng)時的上極限(或下極限)的充要條件是(1) ；(2) ,使得當(dāng)時成立(或).當(dāng)時的情形類似.推論 設(shè)條件如同定理2.27,則.定理2.28 設(shè)是上的單變量函數(shù),是的極限點,則有(1) ；(2) ；(3) 當(dāng)時成立.當(dāng)時的情形類似.補充定義 設(shè)是上的單變量函數(shù),是的極限點.若,則稱在處上半連續(xù)；若,則稱在處下半連續(xù).命題 設(shè)是上的單變量函數(shù),是的極限點.那么在處連續(xù)在處既上半連續(xù)又下半連續(xù).例(,問題3)設(shè)是上有界的連續(xù)函數(shù),求證,滿足 .證: 記,則.(1) 當(dāng)或時,結(jié)論顯然成立.