口算的本真意義 - 成長(zhǎng)博客

1、口算的本真意義浙江省新昌縣城關(guān)鎮(zhèn)三聯(lián)小學(xué)（312500）王永鋒摘要：本文對(duì)口算的本真意義作一些粗淺的討論。通過(guò)二個(gè)典型案例，并結(jié)合國(guó)內(nèi)外理論，分析口算的源頭；口算的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)；口算的思考（解題）策略；口算的心理機(jī)制。1992年頒布的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用）提出：“培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力，要重視基本的口算訓(xùn)練。口算既是筆算、估算和簡(jiǎn)便計(jì)算的基礎(chǔ)，也是計(jì)算能力的重要組成部分。要引導(dǎo)學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握基本的口算方法，堅(jiān)持經(jīng)常練習(xí)，逐步達(dá)到熟練。”2000年小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（試用修訂本）提出：“重視口算，加強(qiáng)估算，淡化筆算?！?001年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）提出：“重視口算，加強(qiáng)估算，提倡算法多

2、樣化，以及理解運(yùn)算的實(shí)際意義?！睆男W(xué)課程目標(biāo)的歷史沿革可以看到，一直以來(lái)口算教學(xué)是我們?cè)絹?lái)越關(guān)注的焦點(diǎn)內(nèi)容。這種被普遍關(guān)注的狀況，一方面反映出它在數(shù)學(xué)教育、及教育者心目中的重要地位，另一方面，它又似乎在人們的泛用中成了教學(xué)日常用語(yǔ)中含義不言自明、也無(wú)需考究的“常識(shí)”?？谒闶鞘裁?？好像很清楚，又覺(jué)得不大清楚。在這樣清楚與不大清楚之間的徘徊，小學(xué)數(shù)學(xué)教育工作者慢慢對(duì)口算的本真意義在教學(xué)中應(yīng)用產(chǎn)生了異化吳曉紅等. 口算的本真意義及其在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的異化 【J】。 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)， 2005（5）。實(shí)際上，這個(gè)看似基本的教學(xué)問(wèn)題有著十分豐富的內(nèi)涵需要探討。筆者曾對(duì)近5年的小學(xué)數(shù)學(xué)教育專業(yè)雜志進(jìn)行資料

3、整理，發(fā)現(xiàn)對(duì)該問(wèn)題討論的論文非常少，對(duì)其專業(yè)化、系統(tǒng)化闡述的幾乎沒(méi)有。我們呼吁數(shù)學(xué)教育工作者共同參與討論。我們將系統(tǒng)整理小學(xué)數(shù)學(xué)教育的專業(yè)書籍，并結(jié)合國(guó)外的一些研究成果。對(duì)口算的本真意義作一些粗淺的討論。為了清楚地說(shuō)明問(wèn)題，在此舉二則案例。請(qǐng)讀者思考，口算的源頭是什么？口算的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是什么？口算的思考（解題）策略是什么？口算的心理機(jī)制是什么？案例1臺(tái)灣一位小學(xué)教師對(duì)自己親身體驗(yàn)的一段口述鄭毓信. 數(shù)學(xué)教育：從理論到實(shí)踐【M】. 上海：上海教育出版社， 2001年.“記得二年前，我的女兒幼稚園大班，我兒子小學(xué)三年級(jí)，有一天帶他們兩人去吃每客199元的比薩。付賬時(shí)，我問(wèn)兒子和女兒：媽媽一共要付多少

4、元??？?jī)鹤幼彀袜钪喝?，二十七進(jìn)二，三九，二十七進(jìn)二，女兒卻低頭著數(shù)著手指頭，一會(huì)兒，兒子喊著：媽媽！你有沒(méi)有紙和筆，我需要紙和筆來(lái)寫進(jìn)位，否則會(huì)忘。兒子還未算出。女兒卻小聲地告訴我：媽媽！你蹲下來(lái)一點(diǎn)，我告訴你，我知道要付多少錢了。哦！真的，要付多少錢？你拿600元給柜臺(tái)的阿姨，她會(huì)找你3元。付完錢后，牽著女兒的手走向店外，再問(wèn)：小妹！你怎么知道給阿姨600元，還會(huì)找3元呢？我用數(shù)的??！199再過(guò)去就是200、400、600，三個(gè)人共要給600元，但是阿姨一定要再找3元給我們才可以，她多拿了3元嘛！”案例2小學(xué)二年級(jí)學(xué)生口算352+149的描述與筆算解題根據(jù)Resnick對(duì)美國(guó)兒童口算

5、152+149的描述，作了一定的改動(dòng)?？谒忝枋霾捎每陬^調(diào)查研究的方式，對(duì)城鎮(zhèn)小學(xué)（新昌縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)、城東小學(xué)）、城區(qū)小學(xué)（新昌縣三聯(lián)小學(xué)、大明市小學(xué)）、農(nóng)村小學(xué)（長(zhǎng)征鄉(xiāng)中心小學(xué)）的25名學(xué)生進(jìn)行隨機(jī)調(diào)查。有18名學(xué)生采用口算筆算化形式，這二種口算描述是從另外7位中選了有代表性的二種。：“學(xué)生1：300加100，是400； 50和40，是90；再是9加上2是11；然后400加90是490，490加11是501；所以總共是501。學(xué)生2：350加上140一共是490，再加上2加9的11，總共是總共是501?！倍绻捎霉P算解題，則有如下的列堅(jiān)式計(jì)算：3 5 2+ 1 4 9 1 1 5 0 1其計(jì)算

6、法則為：相同數(shù)位對(duì)齊，從個(gè)位加起，滿十向前一位進(jìn)一。讀了這二則案例后，我想大多數(shù)讀者都會(huì)有所感想。我們對(duì)口算本真意義的探討主要建立在與估算、筆算的對(duì)比分析上。為了避免誤解，在這里先對(duì)三個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)作一下說(shuō)明。這里“口算”主要指不借助任何計(jì)算工具，直接通過(guò)思維活動(dòng)計(jì)算出結(jié)果的計(jì)算方法，又稱心算。“估算”也叫做概算。一般認(rèn)為，估算是人們運(yùn)用各種運(yùn)算技巧根據(jù)實(shí)際情況和有關(guān)知識(shí)進(jìn)行快速近似的計(jì)算。估算可以看作是不需要進(jìn)行精確計(jì)算的口算。“筆算”主要指小學(xué)生在學(xué)校學(xué)習(xí)算術(shù)運(yùn)算所接受的程式化算法，簡(jiǎn)單說(shuō)就是用堅(jiān)式進(jìn)行計(jì)算。1口算的起源。在“關(guān)于數(shù)學(xué)（和數(shù)學(xué)教育）的人類文化學(xué)研究”中，提出數(shù)學(xué)是多元化數(shù)學(xué)文化

7、。學(xué)校數(shù)學(xué)和日常數(shù)學(xué)都是數(shù)學(xué)存在的形式。具體在算術(shù)運(yùn)算上，同樣存在不同的算術(shù)體系。巴西學(xué)者的以下發(fā)現(xiàn)就引起了人們的普遍重視，即來(lái)自貧困家庭的巴西兒童在數(shù)學(xué)上具有兩種截然不同的表現(xiàn)：他們有課后通常從事街頭的叫賣工作，并在這種交易活動(dòng)中表現(xiàn)出了熟練的計(jì)算能力；然而，同樣是這些學(xué)生，他們?cè)趯W(xué)校中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)卻往往只是失敗的記錄?？疾毂砻鳎寒?dāng)作為街頭小販時(shí)，他們運(yùn)用口算進(jìn)行計(jì)算；而作為學(xué)校學(xué)生時(shí)，則使用紙和筆進(jìn)行解題，即采用筆算。從而，我們可以客觀的追隨到，口算來(lái)源于人們的現(xiàn)實(shí)生活。案例1能有力說(shuō)明這一觀點(diǎn)?？谒闶桥c各種具體情景直接相聯(lián)系的；是與個(gè)體的生活經(jīng)驗(yàn)直接相聯(lián)系的。這兩方面的保障，確保口算內(nèi)容的

8、教學(xué)有效性。即口算能被個(gè)體所理解、口算對(duì)個(gè)體是有意義的。同時(shí)，我們是否要提醒自己，口算這種起源于“日常數(shù)學(xué)”的自發(fā)的數(shù)學(xué)能力在進(jìn)入學(xué)校以后被所學(xué)到的數(shù)學(xué)能力所異化。筆者在整理案例2時(shí)，就碰到這一問(wèn)題，在下面將作具體說(shuō)明。2口算的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一種文化的發(fā)展的強(qiáng)弱，我們通常要看這種文化是否有扎實(shí)的基礎(chǔ)。口算的發(fā)展同樣顯示其意義?？谒惆l(fā)源于“日常數(shù)學(xué)”后，它融合了數(shù)學(xué)的特征與數(shù)學(xué)教育的規(guī)律?？谒愕淖钜话慊A(chǔ)是數(shù)意義上的“湊整”。在此基礎(chǔ)上，其加、減運(yùn)算建立在結(jié)合率基礎(chǔ)上，乘、除運(yùn)算建立在分配率及分解因數(shù)基礎(chǔ)上。例如：7×5220。做法分步是：第一步是將某個(gè)因數(shù)轉(zhuǎn)換成兩個(gè)數(shù)的和或差；第二步再用分

9、配律來(lái)計(jì)算答案；第三步算出結(jié)果。小學(xué)生頭腦中會(huì)想“7乘以5000，加上7乘以200，再加7乘以20，就可以得到結(jié)果?！逼鋵?shí)，筆算也呈現(xiàn)相同的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。但它們事實(shí)上有著質(zhì)的差別，從高位算起與低位算起是其中最大的區(qū)別。3口算的思考（解題）策略從案例2可以看出，口算的解題策略為：十就是十，百就是百，即口算保持相對(duì)應(yīng)的數(shù)字和數(shù)位本身的意義，例如，352中數(shù)字“3”表示300，數(shù)字“5”表示50；而在筆算中，不考慮數(shù)字所在數(shù)位的意義，只是將數(shù)字作為最小單位進(jìn)行計(jì)算，如352中的數(shù)字“5”在豎式計(jì)算中只是作為5計(jì)算，而不考慮它所代表的是50還是500，同樣地，表達(dá)進(jìn)位的1是相同的，而不管它進(jìn)的是10還是1

10、00。我們從更一般的思考策略分析，有更廣泛的內(nèi)涵。Hope和Sherrill（1987）孔企平. 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的理論與方法【M】. 上海：華東師范大學(xué)出版社， 2005年. 對(duì)小學(xué)生用什么策略來(lái)解決一般乘除口算問(wèn)題進(jìn)行了研究。發(fā)現(xiàn)小學(xué)生們解題過(guò)程中采用了四種主要的策略：第一個(gè)策略是“類似筆算的口算”；第二個(gè)策略是“運(yùn)用分配律”；第三個(gè)策略是“分解因數(shù)”；第四個(gè)策略是“直接提取”。我們認(rèn)為，對(duì)于口算過(guò)程大致有以下幾個(gè)階段：第一，數(shù)據(jù)的簡(jiǎn)化（reformulation）。即如將8326簡(jiǎn)化成8626或8626或8026等形式。簡(jiǎn)化的前提是數(shù)據(jù)上“湊合”，以日?；究谒阕鳛榛A(chǔ)在頭腦中作快速搜索整合

11、。第二，變換（translation）。這即是指對(duì)問(wèn)題結(jié)構(gòu)進(jìn)行變形以便于運(yùn)作。如將8326變換成（833）326，再轉(zhuǎn)變成86263。第三，對(duì)所得的結(jié)果進(jìn)行調(diào)整（compensation）。如案例2學(xué)生1描述的最后步，400加90是490，490加11是501；所以總共是501。當(dāng)然，上述的三個(gè)步驟并不是給定策略的機(jī)械應(yīng)用，分步分析只是可以發(fā)現(xiàn)解題策略內(nèi)在的成份。其實(shí)在具體應(yīng)用中通常是一氣呵成的。我們?cè)诰唧w思考解題策略時(shí)，發(fā)現(xiàn)口算過(guò)程經(jīng)常受幾個(gè)具體因素所左右?？谒銉?nèi)容的數(shù)字；數(shù)的分解與重組；已知事實(shí)的應(yīng)用；改變運(yùn)算的次序。等等。口算思考策略的實(shí)際使用顯然又依賴于對(duì)相關(guān)概念和事實(shí)的深刻理解與很好

12、把握，從而才有可能靈活地、創(chuàng)造性地對(duì)此加以應(yīng)用。正因?yàn)榇?，口算被稱為建立在意義基礎(chǔ)上（Meaning-based），而筆算則被稱為以規(guī)則為基礎(chǔ)(Rule-based)。4口算的心理機(jī)制口算往往在心里進(jìn)行計(jì)算（因此也稱為心算），每一步計(jì)算結(jié)果儲(chǔ)存在大腦中。因此口算在心理機(jī)制上，一方面要關(guān)注思考（解題）策略的靈活應(yīng)用，另一方面我們更關(guān)注口算依賴于記憶。前一內(nèi)容以作了分析，我們不再累贅，下面著重從認(rèn)知神經(jīng)學(xué)的角度對(duì)后一內(nèi)容作些分析?？谒惚环Q為建立在意義基礎(chǔ)上，主要是依靠心智活動(dòng)為主的?？谒愕男畔⑹且幌盗械摹坝洃洠ㄆ鳎敝羞M(jìn)行的。記憶可分為短時(shí)記憶和長(zhǎng)時(shí)記憶。認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)家用短時(shí)記憶來(lái)描述最終將轉(zhuǎn)變到

13、穩(wěn)定的長(zhǎng)時(shí)記憶中的暫時(shí)記憶的所有早期階段。短時(shí)記憶主要包括瞬時(shí)記憶和工作記憶。認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)家將瞬時(shí)記憶看作剪貼板，信息只是在這里簡(jiǎn)單地存放一下，直到我們決定了如何處理它為主。與口算心理機(jī)制相關(guān)的是工作記憶。工作記憶是第二個(gè)暫時(shí)記憶。認(rèn)知神經(jīng)科學(xué)家用工作臺(tái)來(lái)表示工作記憶，在這個(gè)工作臺(tái)上我們可以構(gòu)建，也可以分解和重新處理各種想法，以便最終將其存儲(chǔ)在其他什么地方。當(dāng)工作記憶加工某些信息時(shí)，常常需要我們集中注意力。這些優(yōu)勢(shì)并不能說(shuō)明工作記憶與口算心理機(jī)制的相關(guān)性，而與之相關(guān)的恰巧是它的處理信息能力的有限性。這不僅是指它保持信息的時(shí)間不長(zhǎng)，而且更主要的是，它在某一時(shí)刻里所能容納的信息量相當(dāng)有限。我們可以

14、測(cè)試下這個(gè)觀點(diǎn)。準(zhǔn)備好紙和筆。凝視下面的數(shù)字7秒。然后，將視線移開(kāi)。把它們寫下來(lái)。現(xiàn)在開(kāi)始：9217053檢查一下你寫對(duì)了。用同樣的方法再試一試，凝視下面的數(shù)字7秒。移開(kāi)視線。把它們記錄下來(lái)。準(zhǔn)備好了嗎？現(xiàn)在開(kāi)始：4915082637再檢查一下寫下的數(shù)字，你完全按照正確順序把十個(gè)數(shù)字寫出來(lái)了嗎？當(dāng)然，迄今為止科學(xué)技術(shù)還無(wú)能力確切地知道一個(gè)人的工作記憶能同時(shí)放置多少信息。Miller(1956)提出一個(gè)假說(shuō)美David A. Sousa. 腦與學(xué)習(xí)【M】. 北京：中國(guó)輕工業(yè)出版社， 2005年. ：青春期前少年可以處理7±2個(gè)“單位”，平均是5個(gè)“單位”。這在口算研究中稱為“數(shù)字廣度”

15、張奇，林崇德等. 小學(xué)生口算能力的發(fā)展研究【J】。 心理科學(xué)， 2004，27（3）。如果工作記憶中當(dāng)前的信息是“滿” 的，而又需要有新的信息參與處理，那么，新信息將“沖”掉舊信息，舊信息將會(huì)“溢出”而被暫時(shí)遺忘。真正在頭腦中計(jì)算時(shí)，還要引進(jìn)一種所謂的“組塊”。如上面10位數(shù)字，有些人確實(shí)可以按順序正確地記住，他們的生活經(jīng)驗(yàn)幫助他們將號(hào)碼分成區(qū)號(hào)、前綴和擴(kuò)展。這樣他們看到的將是另一串?dāng)?shù)字。他們會(huì)把4915082637，看成（491）508-2637，分成三個(gè)組塊，而不是10個(gè)。在此基礎(chǔ)上，我們結(jié)合案例2對(duì)口算心理過(guò)程作具體說(shuō)明。學(xué)生1的口算心理機(jī)制：從高位算起，單位3表示300加上單位1表示1

16、00（在工作記憶基礎(chǔ)上通過(guò)心理意象加工），組合成組塊400；單位5表示50加上單位4表示40，組合成組塊90；再是單位9表示9加上單位2表示2組合成11；然后組塊400加上組塊90再組成新的組塊490，新組塊490加組塊11，得出最后結(jié)果501。如圖1。 3 5 2 1 4 9= 9 25040300100 40099011490 501 如圖 1基于上述的分析，口算常用于較小數(shù)字或相對(duì)較整的大數(shù)字計(jì)算（如1500+1400），在處理復(fù)雜大數(shù)目運(yùn)算時(shí)就有一定困難。除非是通過(guò)特殊訓(xùn)練，否則心算637和829之積幾乎不可能。與之相對(duì)，筆算作為學(xué)校正規(guī)教育的一種算法，則是一種程式化的運(yùn)算。筆算建立在印度-阿拉伯記數(shù)體系上，主要形式為列堅(jiān)式計(jì)算， 印度-阿拉伯記數(shù)體系被稱為是“計(jì)算的機(jī)器”（Calculating Machine）,即只要掌握了豎式計(jì)算方法，無(wú)論數(shù)字多么大都可以迎刃而解。從而，筆算是一種“智力放大器”（Cultural Amplifiers）,大大解放了大腦的記憶負(fù)荷吳曉紅等. 口算的本真意義及其在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的異化 【J】。 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)， 2005（5）。文獻(xiàn)參考：1張奠宙等. 數(shù)學(xué)教育學(xué)導(dǎo)論【M】. 北京：高等教育出版社， 2003年.2鄭毓信. 數(shù)學(xué)教育：從理論到實(shí)踐【M】. 上海：上海教育出版社， 2001年.