每日一題型7恒成立之分離全參數(shù)最值法

1、每日一題型 7 恒成立之分離參數(shù)最值法 在數(shù)學問題研究中經(jīng)常碰到在給定條件下 某些結論恒成立問題這類問題涉及到一次函 數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、 圖象 ,滲透著換元、 化歸、 數(shù)形結合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考 查學生的綜合解題能力， 在培養(yǎng)思維的靈活性、 創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用因此也成為 歷年高考的一個熱點分離參數(shù)最值法主要通過兩個基本思想解 決“恒成立問題”思路 1、 xD, f(x) a,bmf (x)在xD上恒成立mbmf (x)在 xD上恒成立mamf (x)在 xD上恒成立mbmf (x)在 xD上恒成立ma思路 2、 xD, f(x) a,bmf (x)在xD上恒成立mbm

2、f (x)在 xD上恒成立mamf (x)在 xD上恒成立mbmf (x)在 xD上恒成立ma先看看幾道例題：2二X亠2斗盤K己決)1 .函數(shù)：，若對任意-門，恒成立，數(shù)一;的取值圍。解：若對任意* 卩皿)，畑 。恒成立，,、xJ +-2x 十 a即對，八 x “恒成立， 考慮到不等式的分母-,只需 工在二L廠時恒成立而得.2 2即a x 2x而x 2x 3所以a 32. 已知當 x三R 時，不等式 a+cos2x (a - 2)解得:注：注意到題目中出現(xiàn)了sinx及cos2x,而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx換元成t,則可把原不等式轉化成關于t的二次函數(shù)類型。另解：a+cos2

3、x5-4sinx+即a+1-2sin2x0,(壇卜1,1)恒成立。 設f(t)= 2t2-4t+4-a+八則二次函數(shù)的對稱軸 為t=1,f(x)在-1 , 1單調(diào)遞減。只需 f(1)0,即 a-2.(下同)3. (2016 一模)已知函數(shù)1f(x) = lnx ax2 2x.(1) 若函數(shù)f(x)在x = 2處取得極值，數(shù) a的值;(2) 若函數(shù)f(x)在定義域單調(diào)遞增，數(shù)a的取 值圍；1 1(3) 當a= 2時，關于x的方程f(x) = 2x + b在1 , 4上恰有兩個不相等的實數(shù)根，數(shù) b 的取值圍.比/ax2 + 2x 1解：(1)f (x) = -(x0) , x = 2x3 時，f

4、(x)取得極值， f (2) = 0,解得 a= 3, 經(jīng)檢驗知符合題意.(2)函數(shù)f(x)的定義域為(0 ,+ ),依題意f(x) 0在x0時恒成立，即ax2 + 2x11 0 恒成立，即 a 0),1當=1時，(丄一1)2 1取最小值一1, a的取值圍是(一， 1.1113(3)a= , f(x) = 2 + b,即4x2 2 + lnx b= 0.1 設 g()=42 -3-2 + lnx b(0),則 g(x)c(x 2)( 1)0 =2當 x(0,1),g(x)0,g(x)單調(diào)遞增.當 x(1,2), g(x)0 ,g(x)單調(diào)遞減.當 x(2,4), g(x)0,g(x)單調(diào)遞增.

5、-g(x) 極小值= g(2) = ln2- b 2, g(x) 極大值= g(i)=又 g(4) = 2ln2- b-2.方程g(x) = 0在1 ,4上恰有兩個不相等的實g (i) 0,5 數(shù)根，則 g (2) 0,解得 ln2 - 2b 0,4. (2016 一模)已知函數(shù) f(x) = ax3- 3x +1對x (0, 1總有f(x) 0成立，貝U實數(shù)a的取值圍是.解析：當 x (0, 1時不等式 ax3- 3x + 13x 13x 1玄0可化為 a x3 ，設 g(x) = x3 , x (0,1,1 3x3-( 3x - 1) 3x2 6x - 2g(x)=x6=-x4x (0,1

6、),2g(x)0,g(x)單調(diào)遞增.1x(21),g(x)0,g(x)單調(diào)遞減.1因此g(x)的最大值為g(b 4,則實數(shù)a的取值I / 圍是4 ,+ ).5. (13分)(2016 模擬)已知函數(shù) 錯誤！未找 到引用源。(a0).(1) 若x=1是函數(shù)f(x)的一個極值點，求a的 值.(2) 若f(x) 0在0,+ a)上恒成立，求a的取值 圍.提示：(1)x=1是函數(shù)f(x)的一個極值點，即 f(1)=0.f(x) 0在0,+)上恒成立，即 f(X)min0.解：(1)因為 f(x) ln(1 x)axx 1(a0), f (x)x 1 a(x 1)2錯誤!未找到引用源。因為x=1是函數(shù)f

7、(x)的一 個極值點，所以f (1)=0,即a=2.經(jīng)檢驗a=2滿足題意.(2)因為f(x) 0在0,+)上恒成立，所以f(x) min0.當0 0在0,+)上恒成立，即f(x)在0,+ a)上為增函數(shù)，所以 f(x) min =f(0)=0 成立，即 0a1 時，令 f(x)0,則 xa-1,令 f (x)0,則0 xf(a-1),矛盾. 綜上,a的取值圍為(0,1.下面完成幾道練習：1. (2016 模擬)已知函數(shù) f(x)=x-2lnx-錯誤！ 未找到引用源。+1,(1) 若函數(shù)f(x)在定義域上是增函數(shù)，求a的 取值圍.(2) 求g(x)的最大值.答案：(1) a的取值圍是1,+ 8).(2) g(x)最大值 g(1)=-e.2. 已知函數(shù)f (x) =xlnx(1) 求函數(shù)f (x)的最小值；(2) 若對一切 x ( 0, +8),都有 f(x) 0 對于 t 1,2恒成立，數(shù) m的取值圍t 2t 1t 1、2 (22t) m(2r) 0解：當 t 1,2時，(22t)(2t)即 m(22t 1)(24t 1) , 22t 1