質(zhì)心系在近似處理中的特殊作用-質(zhì)量懸殊的兩體問題的近似處理

1、玉林師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文質(zhì)心系在近似處理中的特殊作用 質(zhì)量懸殊的兩體問題的近似處理Special Function of Center-of-Mass Frame in the Approximate Disposal- the Approximate Disposal of Two-Body System with Great Disparity in Mass院 系 物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院專 業(yè) 物理學(xué)學(xué) 生 班 級(jí) 2008級(jí) 2班姓 名 覃 惠學(xué) 號(hào) 200805401230指導(dǎo)教師單位 物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院指導(dǎo)教師姓名 關(guān)小蓉指導(dǎo)教師職稱 副教授質(zhì)心系在近似處理中的特殊作用質(zhì)量懸

2、殊的兩體問題的近似處理物理學(xué) 2008級(jí) 2班 覃惠指導(dǎo)老師 關(guān)小蓉摘要質(zhì)心參考系是一種重要的參照系, 本文主要闡述在實(shí)驗(yàn)室參考系與質(zhì)心參考系 下對(duì)質(zhì)量懸殊的兩體問題近似處理進(jìn)行比較,分析在進(jìn)行近似處理時(shí),質(zhì)心參考下 的特點(diǎn)以及其特殊作用。關(guān)鍵詞:兩體問題,質(zhì)心系,近似處理,質(zhì)量懸殊Special Function of Center-of-Mass Frame in the Approximate Disposal -the Approximate Disposal of Two-BodySystem with Great Disparity in MassPhysics Science 2

3、008-2 QinHuiSupervisor Guan XiaorongAbstractThe centroid reference frame is an important reference system. This paper mainly analyzes the characteristics of the reference system and its special effects, By giving approximatr treatment to two bodies of different quality under the Laboratory frame of

4、reference and centroid reference frame.Key words: great disparity in mass, two-body problem, frame of center of mass, approximate disposal目錄1前言 . 12 質(zhì)心參考系 . 2 2.l 質(zhì)心的引進(jìn)及意義 . 22.2質(zhì)心參考系的定義 . 23 兩體問題的動(dòng)力學(xué)分析 . 2 3.1質(zhì)點(diǎn)組的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程 . 23.2質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能和相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)能 . 44 實(shí)例討論 . 65 質(zhì)心系的優(yōu)越性分析 . 10 5.1 質(zhì)心系及其特點(diǎn) . 105.2質(zhì)心系的優(yōu)越性 .

5、116 結(jié)束語 . 127 致謝 . 12 參考文獻(xiàn) . 14玉林師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文1前言自 18世紀(jì)以來, 經(jīng)典力學(xué)已逐漸發(fā)展成為一門理論嚴(yán)謹(jǐn)、 體系完整的科學(xué), 其中 單體問題通常都能精確求解, 而多體問題中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況各不相同, 一般不能 精確求解, 而我們研究的多數(shù)為兩體問題, 原因是許多實(shí)際的力學(xué)問題都可近似為兩 體問題。 所謂兩體問題就是指兩個(gè)物體也就是兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng), 它們彼此以內(nèi)力 相互作用, 并不受外力作用而運(yùn)動(dòng)的問題。 它包括的范圍較廣, 如單個(gè)行星繞太陽(yáng)的 運(yùn)動(dòng)問題; 粒子受原子核的散射問題、 氫原子問題、 雙原子問題以及兩體彈性相互 作用問題等 1。兩體問

6、題是天體力學(xué),衛(wèi)星空間運(yùn)動(dòng)理論的基礎(chǔ),也是粒子碰撞和散 射理論的基礎(chǔ), 在物理理論和物理方法上處于十分重要的地位, 是基礎(chǔ)物理開向、 通 往近代物理的窗口和橋梁。兩體問題的研究有重要的實(shí)際意義, 不但太陽(yáng)、 行星和天體力學(xué)中其它許多天體 的運(yùn)動(dòng)屬兩體問題, 而且許多微觀粒子間的相互作用和運(yùn)動(dòng)也屬兩體問題, 碰撞問題 也可以看成兩體問題, 同時(shí), 兩體問題為解決多體問題打下了基礎(chǔ), 具有方法論的意 義 2。實(shí)際上,大多數(shù)多體問題,往往是其中兩個(gè)物體間的相互作用比其它作用要強(qiáng) 得多, 因而就可先將這兩個(gè)物體按兩體問題處理, 而把其它物體對(duì)它的作用看成擾動(dòng) 處于微弱外場(chǎng)或受微小外力作用對(duì)兩體問題進(jìn)行

7、修正。近似處理在物理學(xué)中用得很普遍, 而且常能突出問題的本質(zhì), 簡(jiǎn)化運(yùn)算過程, 使 對(duì)問題的闡述變得簡(jiǎn)單明了。 對(duì)于兩體問題, 可采用一些合理的近似使之簡(jiǎn)化, 本文 通過兩種方法來對(duì)兩體問題進(jìn)行近似處理。 方法一是:在質(zhì)心參考系下對(duì)質(zhì)量懸殊的 兩體問題進(jìn)行近似處理。 方法二是:在實(shí)驗(yàn)室參考系下對(duì)質(zhì)量懸殊的兩體問題進(jìn)行近 似處理。在質(zhì)心參考系下兩體問題屬于質(zhì)點(diǎn)系問題, 可以把它分解成質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)和相對(duì)于 質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)。由于不受外力,故質(zhì)心作慣性運(yùn)動(dòng)。因而對(duì)兩體問題,只需求出兩質(zhì)點(diǎn) 相對(duì)于質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)即可。 這在知道了相互作用力之后, 是不難解決的問題。 但對(duì)于兩 體問題, 人們希望找出一個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于另

8、一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng), 即用相對(duì)運(yùn)動(dòng)來描述, 也 就是化為所謂的等效單體運(yùn)動(dòng)問題,因而顯示其特殊性。在實(shí)驗(yàn)室參考系下的兩體問題可以直接運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律來解決就可以了。 研究 發(fā)現(xiàn), 上述這兩種方法對(duì)近似處理質(zhì)量懸殊的兩體問題所得的結(jié)果是相同的, 但是質(zhì) 心參照系在處理問題時(shí)比實(shí)驗(yàn)室參考系下更加直觀、簡(jiǎn)捷和可靠。12質(zhì)心參考系2.l 質(zhì)心的引進(jìn)及意義物理學(xué)的研究,往往是從質(zhì)點(diǎn)開始的,并由此建立了一系列相應(yīng)的質(zhì)點(diǎn)力學(xué)規(guī) 律,用以描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所遵守的規(guī)律 3。但是,在實(shí)際問題中,常常會(huì)遇到被研究 對(duì)象不是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)而是共有很多相互之間有著密切聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)組。質(zhì)點(diǎn) 組是二個(gè)以上質(zhì)點(diǎn)的組合,它的每一個(gè)質(zhì)

9、點(diǎn)都遵循質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,按理來說,質(zhì) 點(diǎn)組的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,可以從每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)人手,按照質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的研究方法逐一分析,然 后根據(jù)質(zhì)點(diǎn)間所存在的聯(lián)系加以綜合、概括、抽象,從而得到整體的規(guī)律。所以質(zhì) 點(diǎn)組實(shí)際上是以質(zhì)點(diǎn)力學(xué)為基礎(chǔ),是質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的發(fā)展,使之不僅能解決單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的 力學(xué)問題,而且還能使我們認(rèn)識(shí)由多個(gè)質(zhì)點(diǎn)的組合而成的研究對(duì)象所遵守的力學(xué)規(guī) 律。按照上述討論,在質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)力學(xué)中,原則上可以用隔離體法,寫出質(zhì)點(diǎn)組中每 一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程式,由于每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)可以列出三個(gè)二階微分方程式,為此 將得出數(shù)目繁多的二階微分方程, 解題繁鎖, 難以得到一般解 4。 此外 . 內(nèi)力一般是 未知量,數(shù)目又大,更增加了問題

10、的復(fù)雜性。因此對(duì)質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)力學(xué)的研究,采取了 整體性的方法。即第一,找出具有反映整體運(yùn)動(dòng)特征的物理量,例如總動(dòng)量、總角 動(dòng)量總功、總動(dòng)能、總機(jī)械能等,并建立了它們的動(dòng)力學(xué)方程,由這些方程求出系 統(tǒng)作為一個(gè)整體的運(yùn)動(dòng)特征 5。第二,為了描述質(zhì)點(diǎn)組的整體的大體位置,我們引 進(jìn)質(zhì)心的概念,它是質(zhì)點(diǎn)組中恒存在的一個(gè)特殊點(diǎn),它的運(yùn)動(dòng)是很容易確定的,如 果以這個(gè)特殊點(diǎn)作為參考點(diǎn),又能使問題簡(jiǎn)單化。2.2質(zhì)心參考系的定義在研究質(zhì)量懸殊的兩體碰撞問題時(shí),人們常運(yùn)用兩種不同的坐標(biāo)系 . 一種叫實(shí) 驗(yàn)室坐標(biāo)系,這時(shí)觀測(cè)者在靜止坐標(biāo)系中觀測(cè)兩體問題的碰撞過程,常為實(shí)驗(yàn)工作 者所采用 . 另一種是隨著質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系來

11、觀察,叫質(zhì)心坐標(biāo)系,常為理論工作 者所采用。下面分別采用兩種參考系解決一些兩體問題,并分析討論運(yùn)用質(zhì)心參考 系時(shí)的優(yōu)越性 6。3 兩體問題的動(dòng)力學(xué)分析3.1質(zhì)點(diǎn)組的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程下面分別運(yùn)用兩種方法來求出質(zhì)點(diǎn)組的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程,一是采用實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo) 系來求出質(zhì)點(diǎn)組的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程,二是采用質(zhì)心坐標(biāo)系來求出質(zhì)點(diǎn)組的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方 程。比較通過兩種方法求出的動(dòng)能,說明采用質(zhì)心坐標(biāo)系這一方法更為簡(jiǎn)便。設(shè)質(zhì)點(diǎn) 1和質(zhì)點(diǎn) 2的質(zhì)量分別為 1m 和 2m ,它們不受外力的作用,只有內(nèi)力相互作用。設(shè)質(zhì)點(diǎn) 2對(duì)質(zhì)點(diǎn) 1的作用力用 12f 表示,質(zhì)點(diǎn) 1對(duì)質(zhì)點(diǎn) 2的作用力用 21f表 示。 這是一對(duì)作用力與反作用力, 即

12、1221f f =-, 某時(shí)刻兩質(zhì)點(diǎn)的位置和圖 3.1所示, o 為靜止坐標(biāo)系的原點(diǎn), 兩質(zhì)點(diǎn)相對(duì) o 的位置分別由位置矢 1r 和 2r 表示。 相對(duì)原點(diǎn) o 而言,兩點(diǎn)的牛頓運(yùn)動(dòng)方程為 7:1112m r f ''=(3.1.1 2221m r f ''= (3.1.21212r r r ''''''=- 212112r r r r ''''''''=-=- (3.1.3 1221f f =-(3.1.4具體計(jì)算,還得考慮當(dāng)兩物體運(yùn)動(dòng)時(shí),相互作用

13、12f 、 21f的大小和方向隨時(shí)間 的變化, (例如,相互吸引的兩物體 1m 、 2m 之間引力的大小和方向會(huì)隨 1r 、 2r 的變 化而改變 ,因而實(shí)際上是解算由六個(gè)二階微分方程所組成的微分方程組。此外, 內(nèi)力一般是未知量,更增加了問題的復(fù)雜性。但如果利用動(dòng)力學(xué)基本定理,則對(duì)兩 個(gè)物體組成的質(zhì)點(diǎn)組來講,常可將這些未知的內(nèi)力消去(動(dòng)能定理除外 ,而得到兩個(gè)物體組成的質(zhì)點(diǎn)組在外力作用下運(yùn)動(dòng)的某些特征。下面就是運(yùn)用質(zhì)心坐標(biāo)系來 求出質(zhì)量懸殊的兩體問題的相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。在質(zhì)心參考系下處理兩體問題在做等效單體而把物體 1m 相對(duì)于實(shí)際上 2m 的 運(yùn)動(dòng), 簡(jiǎn)化成問題處理后, 把物體 2m 視為靜量

14、止質(zhì)為 1212( u m m m m =+的物體在靜 止力心的作用下運(yùn)動(dòng),其微分方程為 8:1212m m r r f m m ''''=+(3.1.5式中 1212( u m m m m =+是折合質(zhì)量 , r為由 2m 向 1m 所作的矢徑,由于這一簡(jiǎn)化是 取 2m 為參照系 r 與 12f共線, 這樣計(jì)算就簡(jiǎn)單很多了, 由于 21m m >>, 則方程可變成 112m r f ''= (3.1.6綜上可以看出,采用質(zhì)心系來求出兩物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程較實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系更為 方便、快鍵。3.2質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能和相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)能下面分別運(yùn)用兩種方

15、法來求出質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能,一是采用實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系來求出質(zhì) 點(diǎn)組的動(dòng)能,二是采用質(zhì)心坐標(biāo)系來求出質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能。比較通過兩種方法求出的 動(dòng)能,說明采用質(zhì)心坐標(biāo)系這一方法更為簡(jiǎn)便。已知兩個(gè)質(zhì)點(diǎn) 1m 和 2m , 21m m >>, 1r 是質(zhì)點(diǎn) 1m 對(duì)實(shí)驗(yàn)室參考系坐標(biāo)原點(diǎn) o 的 位矢 , 2r 是質(zhì)點(diǎn) 2m 對(duì)同一實(shí)驗(yàn)室參考系坐標(biāo)原點(diǎn) o 的位矢 , 4r 是質(zhì)心 c 對(duì)質(zhì)點(diǎn) 1m 的 位矢, 5r 是質(zhì)心 c 對(duì)質(zhì)點(diǎn) 2m 的位矢 。 如下圖(3.2.1 134r r r =+(3.2.1 235r r r =+(3.2.2對(duì)(3.2.1 、 (3.2.2求一階導(dǎo)134r r r &#

16、39;''=+(3.2.3 235r r r '''=+ (3.2.4令 11v r '= , 22v r '= , 33v r '= , 44v r '= , 55v r '= , 1v 、 2v分別為質(zhì)點(diǎn) 1m 、 2m 相對(duì)靜止參 考系的速度, 4v 、 5v 分別是 1m 、 2m 相對(duì)質(zhì)心的速度, 3v為質(zhì)心相對(duì)于靜止參照系 的速度。在實(shí)驗(yàn)室參考系下求質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能 k E :2211221122k E m v m v =+ 134342353511( ( ( ( 22m v v v v m v v v v

17、 =+ 222213141422525311112222m v m v m v m m v m v v =+ 222123142514253111( ( 222m m v m v m v m v m v v =+2221425314251312111( 222c m v m v m v m v m v m m v m m +=+ (3.2.5 因?yàn)橘|(zhì)心位置 1122312m r m r r m m +=+ ,所以質(zhì)心速度 1122312m v m v v m m +=+而 142512m v m v m m + 顯然是質(zhì)心相對(duì)質(zhì)心的速度,故為零。質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能則為22231425111222c

18、m v m v m v =(3.2.6 由 (3.2.6 式知, 質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能由兩部分組成, 一部分是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)動(dòng)能 2312c c E m v =,另一部分是兩質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心 c 的動(dòng)能之和 2214251122k E m v m v '=+。在質(zhì)心參考系下求質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能 k E ': 由于413v v v =- , 523v v v =- , 1122312m v m v v m m +=+所以11224112121m v m v v v v m m m +=-=+11225212122m v m v v v v m m m +=-=-+式中, 1212v v v =-是 1m

19、 對(duì) 2m 的速度。則221122121221211( ( 2212kE m v m v m m v '=+-=(3.2.7當(dāng) 21m m >>時(shí), 1m ,則 211212k E m v '=(3.2.8 從上面式子可以看得出來采用質(zhì)心參考系來處理質(zhì)量懸殊的兩體問題的時(shí)候 可以忽略質(zhì)量大的物體的動(dòng)能變化,而在實(shí)驗(yàn)室參考系下處理質(zhì)量懸殊的兩體問題 時(shí)則不能忽略。 4實(shí)例討論下面運(yùn)用幾個(gè)例題來證明上面所討論的內(nèi)容。例一, 一質(zhì)量為 M 的貨車車尾載著一質(zhì)量 m 的小車以速度 v 行駛在比較光滑 (假設(shè)車受到路面的作用力可以忽略的路面上,開始時(shí),小車靜止在貨車上,某 一

20、時(shí)刻小車向貨車頭駛?cè)?經(jīng)過一段時(shí)間后小車的速度達(dá)到 1v (為簡(jiǎn)便,設(shè) 1v 為小 車相對(duì)于貨車與小車質(zhì)心系的速度大小現(xiàn)分別在實(shí)驗(yàn)室參考系和質(zhì)心系討論貨車 與小車動(dòng)能的改變。 (M m >>解法一: 在實(shí)驗(yàn)室參考下解答,由于兩車這一系統(tǒng)所受的合外力為零,所以 其質(zhì)心的速度 v 將保持不變。 小車動(dòng)能的增量:22111( 22m E m v v mv =+-整理得:21112M E mv mvv =+ (4.1 貨車動(dòng)能的增量: 2221122M E Mv Mv =- (4.2 其中 2v 為小車的速度達(dá)到 1v時(shí)貨車相對(duì)地面的速度由動(dòng)量守恒有: 12( ( m v v Mv m M

21、 v +=+ 整理得:2mvv v M=- (4.3 由(4.3代入(4.2并整理得1M E mvv =- (4.4很顯然, (4.4與(4.1比較不能被忽略,也就是說貨車的動(dòng)能變化不能忽略。解法二: 在質(zhì)心系中解答,設(shè) 3v 為小車以速度 1v 相對(duì)于兩者質(zhì)心系運(yùn)動(dòng)時(shí), 貨車相對(duì)于質(zhì)心系的速度,則有 小車動(dòng)能的增量21102m E m v =- 2112mv = (4.5貨車的動(dòng)能增量23102M E Mv =- 2312Mv = (4.6 由動(dòng)量守恒有130mv Mv += 得13mv v M=- (4.7 把(4.7代入(4.6并整理得 2112M m E mv M =m mE M= (

22、4.8 所以/1M m E E M =<<所以在質(zhì)心系下貨車的動(dòng)能變化可以忽略。例二,下面我們來分析地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng),我們可以將太陽(yáng)和地球看著一個(gè)兩體 問題,太陽(yáng)的質(zhì)量是地球質(zhì)量的 33萬倍,分別采用用兩種方法討論地球繞太陽(yáng)運(yùn) 動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程 10。首先討論由行星和太陽(yáng)組成的兩體相對(duì)于靜止參考系的動(dòng)力學(xué)問題。 如圖 1所示,令 S 代表太陽(yáng), P 代表某一行星。 并設(shè) p r是行星 P 對(duì)某一慣性坐標(biāo)系原點(diǎn) O 的位矢, 而 s r 是太陽(yáng)對(duì)同一慣性坐標(biāo)系原點(diǎn) O 的位矢。以 M 及 m 分別代表太陽(yáng)和行星的質(zhì)量。 圖 4.1 兩體系統(tǒng)Fig. 4.1 two-body system

23、解法一: 運(yùn)用實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系來力求地球?qū)μ?yáng)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程,則有r rGMm dt r d M s322= (4.9式中 r =, G 為萬有引力常數(shù),而行星對(duì)同一坐標(biāo)系的動(dòng)力學(xué)方程為: r r GMm dt r d mp322-=(4.10 求地球?qū)μ?yáng)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程,由方程(4.9 、 (4.10得: r m M rGMmdt r d dt r d Mm s p( (32222+-=- (4.11代入固有關(guān)系 r r r s p=-,得;r r GMm dt r d m M Mm322-=+ (4.12 令 mM Mm+=, 叫做折合質(zhì)量,則(4.12可寫成: r rGMm dt r d32

24、2-= (4.13由于太陽(yáng)的質(zhì)量是地球質(zhì)量的 33萬倍,則 M m >>,所以 m 。則地球?qū)μ?yáng)的 動(dòng)力學(xué)方程為:223d r GMm m r dt r=-(4.14解法二: 在質(zhì)心系來求地球?qū)μ?yáng)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程 . 在做等效單體處理后, 可 直接得出方程:r rGMm dt r d322-= (4.15由于 M m >>,所以m ,則地球?qū)μ?yáng)的動(dòng)力學(xué)方程為: 223 d r GMm m r dt r=-(4.16 由于質(zhì)心的性質(zhì) , 使得質(zhì)心參照系在解決質(zhì)量懸殊的天體組成的兩體問題中具 有重要的地位 , 這是上述所討論的。 . 此外 , 在近似處理這類的兩體碰撞問

25、題時(shí) , 質(zhì)心系 仍發(fā)揮特殊的作用 , 是實(shí)驗(yàn)室參考系系所不及的 . 下面從實(shí)例出發(fā)對(duì)質(zhì)量懸殊的兩體 碰撞問題進(jìn)行討論。例三, 一質(zhì)量為 M 的大球與一質(zhì)量為 m 的小球在水平方向發(fā)生完全彈性正碰 , 碰前 , 大球的速度為 v (相對(duì)于地 , 小球處于靜止?fàn)顟B(tài) . 現(xiàn)分別在實(shí)驗(yàn)室參考系和質(zhì) 心系討論大球和小球的能量改變情況 11。 在實(shí)驗(yàn)室參考系下討論大球能量的變化:設(shè)碰后大球的速度為 M v , 大球的速度改變量為 m v ,大球的能量改變量為k E 。則2211( 22k M M M E M v v Mv =+- 212M M M M v M v v =+ (4.17 在質(zhì)心系參考下討論

26、大球能量的變化:在質(zhì)心系來看大球幾乎是靜止的,而小球是以速度為 v 朝大球碰來的,設(shè)碰撞前大球的速度為 M v ,碰撞后大球的速度改變量 M v ,則大球的能量改變量為 K E '. 則2211( 22kM M M E M v v Mv '=+- 212KM M M E M v Mv v '=+ 212M M v = =0 (4.18上式(4.17中 M v 一般不為零且不一定是數(shù)值小,而式(4.18中的 0M v ,0M M v v =。在 K E 中,第一項(xiàng)與 K E '相同,為一高階小量,可以忽略。第二項(xiàng) 則由于 M 較大,一般不可以忽略。綜上幾道例題可以

27、看出:質(zhì)量懸殊的兩體問題,在質(zhì)心坐標(biāo)系下,大質(zhì)量物體 M 的動(dòng)能改變量近似為零, 而在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系下, 盡管大質(zhì)量物體的速度改變一小 量,但其動(dòng)能的改變不可忽略。5 質(zhì)心系的優(yōu)越性分析5.1 質(zhì)心系及其特點(diǎn)在質(zhì)心系中,質(zhì)點(diǎn)組受到的合外力不管是否為零,對(duì)于質(zhì)點(diǎn)組總存在如下 12:11220m r m r ''+=11220m v m v ''+= (5.1 表明在質(zhì)心坐標(biāo)系中,兩質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)心的位矢方向總是相反,速度方向也總是相 反,動(dòng)量也總是等值反向。通過上文的推導(dǎo)看出,質(zhì)點(diǎn)組的能量守恒定律與實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系具有相同的形式。但對(duì)于質(zhì)心而言,不管其是否做慣性運(yùn)動(dòng),力學(xué)規(guī)律

28、形式不變。而實(shí)驗(yàn)室參考 系則不具有這一點(diǎn), 由此可見質(zhì)心是一特殊點(diǎn), 質(zhì)心參考系就是一個(gè)特殊參考系 13。 5.2質(zhì)心系的優(yōu)越性質(zhì)心系在處理力學(xué)問題上表現(xiàn)出的優(yōu)越性很多, 下面僅列出其在處理質(zhì)量懸殊 的兩體問題時(shí)表現(xiàn)出的優(yōu)越性的幾個(gè)重要物理量 14質(zhì)量懸殊的兩體問題相對(duì)于實(shí)驗(yàn)室參考系下的運(yùn)動(dòng)微分方程為:11( m r f r ''=22( m r f r ''=-(5.2.1 上面兩式就是在實(shí)驗(yàn)室參考系下求解兩體問題的基本方程, 而兩體系統(tǒng)對(duì)于該 慣性系的質(zhì)心位置矢量為:112212( /( c R m r m r m m=+(5.2.2 由(5.2.1 、 (

29、5.2.2兩式得( r f r ''=(5.2.3其中 1212/( m m m m =+為折合質(zhì)量, 12r r r =-是 1m 相對(duì)于 2m 的位置矢量。這就是 兩體問題的動(dòng)力學(xué)方程。下面來求出兩質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)質(zhì)心坐標(biāo)系的動(dòng)量表達(dá)式:質(zhì)心是一個(gè)特殊點(diǎn),不管它是否作慣性運(yùn)動(dòng),在質(zhì)心中的質(zhì)點(diǎn)組相對(duì)于質(zhì)心的 總動(dòng)量恒等于零 15。由定義求出兩質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心坐標(biāo)系的動(dòng)量表達(dá)式,則有:1122c p m r m r ''=+(5.2.4由于在質(zhì)心坐標(biāo)系中(5.2.2恒為零,兩邊再對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得:11220m r m r ''+= 則 11220c p m r

30、 m r ''=+=(5.2.5所以兩質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)心坐標(biāo)系的動(dòng)量恒為零。對(duì)于質(zhì)量懸殊的兩體問題可作等效一體問題處理,處理后把一物體 2m 視為靜 止 , 而 把 另 一 物 體 1m 相 對(duì) 于 實(shí) 際 上 運(yùn) 動(dòng) 的 物 體 的 運(yùn) 動(dòng) , 簡(jiǎn) 化 成 質(zhì) 量 為覃惠 質(zhì)心系在近似處理中的特殊作用質(zhì)量懸殊的兩體問題的近似處理 u = m1 m 2 ( m1 = m 2 的物體在靜止力心 m 2 的作用下運(yùn)動(dòng)。則兩物體相對(duì)質(zhì)心坐標(biāo)系 的動(dòng)能表達(dá)式為： v2 v 2 Tc = ( m1 r1¢ + m 2 r2 ¢ / 2 = ( m1 m 2 / m1 + v2

31、 m 2 v / 2 = 1 2 mv v2 （5.2.6） 上式就是兩體系統(tǒng)相對(duì)坐標(biāo)系的動(dòng)能表達(dá)式。 總的來說，在近似處理質(zhì)量懸殊的兩題問題時(shí)，質(zhì)心系較實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系特殊在 于在計(jì)算質(zhì)量懸殊的兩體動(dòng)能時(shí)，在質(zhì)心系中可以被忽略的大質(zhì)量物體的動(dòng)能改 變，在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中一般是不能忽略的。質(zhì)心系較實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系的另一特殊性在 于求質(zhì)量懸殊的兩體相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，在質(zhì)心系中可以把兩體問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的單 體問題來解答，而實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系則不能。所以在解決質(zhì)量懸殊的兩體問題時(shí)，采用 質(zhì)心系來更為方便、簡(jiǎn)捷。 6 結(jié)束語 一般來說，質(zhì)心系是非慣性系，牛頓定律以及它的結(jié)論都不成立，由于質(zhì)心系 的獨(dú)特性，使得許多力學(xué)規(guī)

32、律與慣性中的規(guī)律在形式上能夠保持一致，這給我們解 決問題帶來很多方便，實(shí)際上，質(zhì)心系的優(yōu)越性不僅僅是我上面討論的那些，在研 究粒子的散射問題，微觀粒子的對(duì)碰問題等，質(zhì)心系都起了很重要的作用，隨著人 們對(duì)質(zhì)心系理解的不段加深，人們會(huì)對(duì)質(zhì)心系的運(yùn)用會(huì)更加靈活，質(zhì)心系在科學(xué)研 究中也將發(fā)揮更大作用。 7 致謝 四年的學(xué)習(xí)生活即將結(jié)束，回首往事，自己一生最寶貴的時(shí)光能于這樣的校園 之中，能在眾多學(xué)富五車、才華橫溢的老師們的熏陶下度過，實(shí)是榮幸之極。在這 四年的時(shí)間里， 我在學(xué)習(xí)上和思想上都受益匪淺。 這除了自身努力外， 與各位老師、 同學(xué)和朋友的關(guān)心、支持和鼓勵(lì)是分不開的。 論文的寫作是枯燥艱辛而又富有挑戰(zhàn)的，然而在老師