彈性力學(xué)第三章：直角坐標(biāo)解答ppt課件

1、Northeastern university第三章第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答平面問題的直角坐標(biāo)解答Northeastern university第三章第三章 平面問題的直角坐標(biāo)解答平面問題的直角坐標(biāo)解答 3-13-1逆解法與半逆解法逆解法與半逆解法 多項式解答多項式解答 3-23-2矩形梁的純彎曲矩形梁的純彎曲 3-33-3位移分量的求出位移分量的求出 3-43-4簡支梁受均布載荷簡支梁受均布載荷 3-53-5楔楔xiexie形體受重力和液體壓力形體受重力和液體壓力Northeastern university3-13-1逆解法與半逆解法逆解法與半逆解法 多項式解答多項式解答逆解法的根本

2、思緒：逆解法的根本思緒：1設(shè)定各種方式的應(yīng)力函數(shù)設(shè)定各種方式的應(yīng)力函數(shù) ，要求：滿足相容方程，要求：滿足相容方程444422420 xxyy402-252由由2-24式求得應(yīng)力分量式求得應(yīng)力分量2-2422xxf xy22yyf yx2xyx y 3由應(yīng)力邊境條件由應(yīng)力邊境條件2-15式和彈性體的邊境外形找到應(yīng)力分量對應(yīng)的面力，式和彈性體的邊境外形找到應(yīng)力分量對應(yīng)的面力， 從而得知所選取的應(yīng)力函數(shù)從而得知所選取的應(yīng)力函數(shù) 可以處理的問題?？梢蕴幚淼膯栴}。Northeastern university3-13-1逆解法與半逆解法逆解法與半逆解法 多項式解答多項式解答半逆解法的根本思緒：半逆解法的

3、根本思緒：1 1針對所要求解的問題，根據(jù)邊境外形和受力情況，假設(shè)部分或全部應(yīng)力針對所要求解的問題，根據(jù)邊境外形和受力情況，假設(shè)部分或全部應(yīng)力分量的函數(shù)方式；分量的函數(shù)方式；2 2推出應(yīng)力函數(shù)的方式；推出應(yīng)力函數(shù)的方式；3 3代入相容方程，求出應(yīng)力函數(shù)的詳細(xì)表達(dá)方式；代入相容方程，求出應(yīng)力函數(shù)的詳細(xì)表達(dá)方式；4 4再按再按2-242-24式由應(yīng)力函數(shù)求得應(yīng)力分量；式由應(yīng)力函數(shù)求得應(yīng)力分量；5 5調(diào)查應(yīng)力分量能否滿足全部邊境條件多連體還要滿足位移單值；調(diào)查應(yīng)力分量能否滿足全部邊境條件多連體還要滿足位移單值；6 6滿足是問題的解，不滿足重新假設(shè)求解。滿足是問題的解，不滿足重新假設(shè)求解。Northea

4、stern university3-13-1逆解法與半逆解法逆解法與半逆解法 多項式解答多項式解答000 xyxyyx例例1 1調(diào)查能否滿足相容方程調(diào)查能否滿足相容方程2-252-25，滿足，滿足 ! !2由由2-24式求得應(yīng)力分量式求得應(yīng)力分量3根據(jù)應(yīng)力邊境條件根據(jù)應(yīng)力邊境條件0 xyff1線性應(yīng)力函數(shù)對應(yīng)于無膂力、無面力、無應(yīng)力的形狀；線性應(yīng)力函數(shù)對應(yīng)于無膂力、無面力、無應(yīng)力的形狀；2把平面問題的應(yīng)力函數(shù)加上一個線性函數(shù)，并不影呼應(yīng)力。把平面問題的應(yīng)力函數(shù)加上一個線性函數(shù)，并不影呼應(yīng)力。1設(shè)：設(shè)：abxcy膂力不計Northeastern university3-13-1逆解法與半逆解法逆

5、解法與半逆解法 多項式解答多項式解答020 xyxyyxa例例2 2調(diào)查能否滿足相容方程調(diào)查能否滿足相容方程2-252-25，滿足，滿足 ! !2由由2-24式求得應(yīng)力分量式求得應(yīng)力分量2ax1設(shè)：設(shè)：膂力不計3根據(jù)應(yīng)力邊境條件，在上下邊境上分別根據(jù)應(yīng)力邊境條件，在上下邊境上分別 遭到向上和向下的均布面力遭到向上和向下的均布面力2a。2a2axy0Northeastern university3-13-1逆解法與半逆解法逆解法與半逆解法 多項式解答多項式解答00 xyxyyxb例例3 3調(diào)查能否滿足相容方程調(diào)查能否滿足相容方程2-252-25，滿足，滿足 ! !2由由2-24式求得應(yīng)力分量式求

6、得應(yīng)力分量bxy1設(shè)：設(shè)：膂力不計3根據(jù)應(yīng)力邊境條件，在左右兩邊分別根據(jù)應(yīng)力邊境條件，在左右兩邊分別 有向下和向上的均布面力；在上下兩有向下和向上的均布面力；在上下兩 邊分別有向右和向左的均布面力。邊分別有向右和向左的均布面力。xy0bbNortheastern university3-13-1逆解法與半逆解法逆解法與半逆解法 多項式解答多項式解答020 xyxyyxa例例4 4調(diào)查能否滿足相容方程調(diào)查能否滿足相容方程2-252-25，滿足，滿足 ! !2由由2-24式求得應(yīng)力分量式求得應(yīng)力分量2cy1設(shè)：設(shè)：膂力不計3根據(jù)應(yīng)力邊境條件，在左右邊境上分別根據(jù)應(yīng)力邊境條件，在左右邊境上分別 遭到

7、向左和向右的均布面力遭到向左和向右的均布面力2c。2c2cxy0注：當(dāng) 時，面力分布就是以上三種情況的組合。22axbxycyNortheastern university3-13-1逆解法與半逆解法逆解法與半逆解法 多項式解答多項式解答600 xyxyyxay例例5 5調(diào)查能否滿足相容方程調(diào)查能否滿足相容方程2-252-25，滿足，滿足 ! !2由由2-24式求得應(yīng)力分量式求得應(yīng)力分量3ay1設(shè)：設(shè)：膂力不計3根據(jù)應(yīng)力邊境條件根據(jù)應(yīng)力邊境條件xy0可見，應(yīng)力函數(shù) 可以處理矩形梁受純彎曲的問題。3ayNortheastern university3 32 2 矩形梁的純彎曲矩形梁的純彎曲Nor

8、theastern university32 矩形梁的純彎曲矩形梁的純彎曲xyMM1hh/2h/20yl1資料力學(xué)怎樣解矩形梁純彎曲問題？資料力學(xué)怎樣解矩形梁純彎曲問題？1給出平截面假定和單項受力假設(shè)。2幾何方面：y3物理方面：Ey4靜力學(xué)方面：zMyI5撓曲線的近似微分方程： 22M xd wdxEI Northeastern university32 矩形梁的純彎曲矩形梁的純彎曲xyMM1hh/2h/20yl2彈性力學(xué)怎樣處理矩形梁的純彎曲問題？彈性力學(xué)怎樣處理矩形梁的純彎曲問題？上節(jié)討論了，應(yīng)力函數(shù) 可以處理矩形梁受純彎曲的問題。3ay利用邊境條件確定常數(shù)利用邊境條件確定常數(shù)a600 x

9、yxyyxya問題問題 應(yīng)力分量能否滿足邊境條件？應(yīng)力分量能否滿足邊境條件？ 怎樣導(dǎo)出應(yīng)力分量？即怎樣確定常數(shù)怎樣導(dǎo)出應(yīng)力分量？即怎樣確定常數(shù)a？怎樣導(dǎo)出位移分量？怎樣導(dǎo)出位移分量？Northeastern university32 矩形梁的純彎曲矩形梁的純彎曲220,0,220,hhhhxxlxxldyydyM檢驗?zāi)芊駶M足邊境條件及利用邊境條件確定常數(shù)檢驗?zāi)芊駶M足邊境條件及利用邊境條件確定常數(shù)a a220,0hhyxyyy1上下兩個主要邊境：滿足00,0 xyxyxx l2左右兩個次要邊境切應(yīng)力：滿足3左右兩個次要邊境正應(yīng)力：引入圣維南原理前式自動滿足，后式導(dǎo)出32MahNortheaste

10、rn university32 矩形梁的純彎曲矩形梁的純彎曲30012xyxyyxyMh因此，應(yīng)力分量為：討論：討論：1 1彈性力學(xué)的解和資料力學(xué)的解完全一致；彈性力學(xué)的解和資料力學(xué)的解完全一致；2只需在純彎曲的情況下，解才是完全準(zhǔn)確的；3兩端的面力按其它分布時，根據(jù)圣維南原理，在梁兩端附近時 有顯著誤差，在分開梁較遠(yuǎn)處，誤差可以忽略不計。問題：怎樣導(dǎo)出位移分量？問題：怎樣導(dǎo)出位移分量？Northeastern university33位移分量的求出位移分量的求出Northeastern university33位移分量的求出位移分量的求出問題：知道應(yīng)力分量，怎樣求出位移分量？、問題：知道應(yīng)力

11、分量，怎樣求出位移分量？、根本思緒：根本思緒：1把應(yīng)力分量帶入物理方程把應(yīng)力分量帶入物理方程2-12求得應(yīng)變分量；求得應(yīng)變分量；2把應(yīng)變分量帶入幾何方程把應(yīng)變分量帶入幾何方程2-8得到用應(yīng)變分量表示的位移方程組；得到用應(yīng)變分量表示的位移方程組；3求解偏微分方程組，根據(jù)位移邊境條件確定積分常數(shù)。求解偏微分方程組，根據(jù)位移邊境條件確定積分常數(shù)。Northeastern university33位移分量的求出位移分量的求出1把應(yīng)力分量帶入物理方程把應(yīng)力分量帶入物理方程2-12求得應(yīng)變分量；求得應(yīng)變分量；2把應(yīng)變分量帶入幾何方程把應(yīng)變分量帶入幾何方程2-8得到用應(yīng)變分量表示的位移方程組；得到用應(yīng)變分量

12、表示的位移方程組；前兩式積分前兩式積分,0uMvMvuyyxEIyEIxy b,0 xyxyMMyyEIEI a 212;2MMuxyfyvyfxEIEI cNortheastern university3 33 3位移分量的求出位移分量的求出 210dfxdfyMxdxEIdy 21020,2MfyyufxxxvEI 把把c帶入帶入b的最后一式的最后一式用分別變量法用分別變量法位移分量：位移分量：其中：其中： 是表示剛體位移的常量，可由位移約束條件求出。是表示剛體位移的常量，可由位移約束條件求出。, ,u v w022022MuxyyuEIMMvyxxvEIEI dNortheastern

13、university33位移分量的求出位移分量的求出oMMxyAl 000000;0;0 xxx lyyyuvv例例1 1：兩邊簡支梁如圖：兩邊簡支梁如圖位移邊境條件位移邊境條件022022MuxyyuEIMMvyxxvEIEI d把位移邊境條件帶入把位移邊境條件帶入d簡支梁的位移分量：簡支梁的位移分量：2,222MlMMuxyvlx xyEIEIEI3-3 02yMvlx xEI令令 簡支梁的撓度方程簡支梁的撓度方程0y Northeastern university33位移分量的求出位移分量的求出oMxylM例例2 2：懸臂梁如圖：懸臂梁如圖位移邊境條件近似位移邊境條件近似000000,0

14、,0 x lx lyyx lyvuvx把位移邊境條件帶入把位移邊境條件帶入d，求得，求得200,0,2MlMluvEIEI 懸臂梁的位移分量：懸臂梁的位移分量：梁軸線的撓度方程梁軸線的撓度方程 202yMvlxEI 22,22MMMulx yvlxyEIEIEI 34Northeastern university33位移分量的求出位移分量的求出小結(jié)：小結(jié)：022022MuxyyuEIMMvyxxvEIEI d1彈性力學(xué)驗證了資料力學(xué)的平截面假定是正確的；uMxyEI鉛直線段的轉(zhuǎn)角2梁縱向纖維的曲率 和資料力學(xué)完全一樣；221vMxEI 3相對于資料力學(xué)而言，彈性力學(xué)的位移分量更全面的表 示了梁

15、的變形情況；4對于平面應(yīng)變情況，只需 。2,11EENortheastern university34簡支梁受均布載荷Northeastern universityh/2h/2oxyqqlqlll圖圖 35I I資料力學(xué)怎樣處理簡支梁受均布資料力學(xué)怎樣處理簡支梁受均布 載荷的問題？可以求解那些量？載荷的問題？可以求解那些量？3-4 3-4 簡支梁受均布載荷簡支梁受均布載荷1求內(nèi)力3求撓度2求應(yīng)力3341122424qlqqlwxxxEI ;sFxqx 222qMlxzMyI*szzF SI bNortheastern university3-4 3-4 簡支梁受均布載荷簡支梁受均布載荷2半逆解

16、法怎樣求解這個問題？半逆解法怎樣求解這個問題？半逆解法的根本思緒：半逆解法的根本思緒：1 1針對所要求解的問題，根據(jù)邊境外形和受力情況，假設(shè)部分或全部應(yīng)力針對所要求解的問題，根據(jù)邊境外形和受力情況，假設(shè)部分或全部應(yīng)力分量的函數(shù)方式；分量的函數(shù)方式；2 2推出應(yīng)力函數(shù)的方式；推出應(yīng)力函數(shù)的方式；3 3代入相容方程，求出應(yīng)力函數(shù)的詳細(xì)表達(dá)方式；代入相容方程，求出應(yīng)力函數(shù)的詳細(xì)表達(dá)方式；4 4再按再按2-242-24式由應(yīng)力函數(shù)求得應(yīng)力分量；式由應(yīng)力函數(shù)求得應(yīng)力分量；5 5調(diào)查應(yīng)力分量能否滿足全部邊境條件多連體還要滿足位移單值；調(diào)查應(yīng)力分量能否滿足全部邊境條件多連體還要滿足位移單值；6 6滿足是問題

17、的解，不滿足重新假設(shè)求解。滿足是問題的解，不滿足重新假設(shè)求解。Northeastern universityh/2h/2oxyqqlqlll圖圖 353-4 3-4 簡支梁受均布載荷簡支梁受均布載荷1 1假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)方式假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)方式2根據(jù)應(yīng)力分量導(dǎo)出應(yīng)力函數(shù)的表達(dá)式根據(jù)應(yīng)力分量導(dǎo)出應(yīng)力函數(shù)的表達(dá)式 yfy yfy將將 帶入帶入224式式 22fyx 2122xfyxfyfyb3由相容方程求解應(yīng)力函數(shù)將由相容方程求解應(yīng)力函數(shù)將b帶入相容方程帶入相容方程 444212244421202d fyd fyd fyd fyxxdydydydyNortheastern university

18、3-4 3-4 簡支梁受均布載荷簡支梁受均布載荷4由應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量由應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量4232325322106xAByAyByCyDx EyFyGyyHyKye 23232226262226223232xyxyxAyBxEyFAyByHyKAyByCyDxAyByCEyFyG fgh5調(diào)查邊境條件包括對稱性求解待定常數(shù)調(diào)查邊境條件包括對稱性求解待定常數(shù)a對稱性0EFGb主要邊境條件必需全部準(zhǔn)確滿足2220,0hhhyxxyyyyq Northeastern university3-4 3-4 簡支梁受均布載荷簡支梁受均布載荷將邊境條件代入g和h3232220842842304304h

19、hhABCDhhhABCDqh AhBCh AhBC 320322qAhBqChqD 將求得的常數(shù)代入2333332364622322632xyxyqqx yyHyKhhqqqyyhhqqxyxhh ikjNortheastern university3-4 3-4 簡支梁受均布載荷簡支梁受均布載荷c次要邊境條件可以在圣維南意義上滿足調(diào)查梁的右端：當(dāng) 時，在y定義域內(nèi) ,都有 。這不能夠準(zhǔn)確滿足，利用圣維南原理：xl2,2hh0 x主矢量：2220hlhxxdyl主矩：2220hlhxxydym33010KqlqHhh32333364610 xqqqlqx yyyhhhh n調(diào)查梁右端切應(yīng)力能

20、否滿足邊境條件22hhxyx ldyql 滿足，由對稱性，左端也滿足邊境條件滿足，由對稱性，左端也滿足邊境條件Northeastern university3-4 3-4 簡支梁受均布載荷簡支梁受均布載荷6 6所以以下應(yīng)力分量就是該問題的解所以以下應(yīng)力分量就是該問題的解2223222236345211264xyxyqyylxyqhhhqyyhhqhxyh o3 3討論討論對于淺梁， ：lh正彎應(yīng)力 與 同階，為主要應(yīng)力；x22lqh切應(yīng)力 與 同階，為次要應(yīng)力；xylqh正擠壓應(yīng)力 與 階，為更次要應(yīng)力； yqNortheastern university3-4 3-4 簡支梁受均布載荷簡支梁

21、受均布載荷3 3討論與材力結(jié)果比較討論與材力結(jié)果比較h/2h/2oxyqqlqlll圖圖 35取寬度為1，312hI 慣性矩：2282hyS 靜矩：內(nèi)力 ;sFxqx 222qMlx彈性力學(xué)結(jié)果彈性力學(xué)結(jié)果資料力學(xué)結(jié)果資料力學(xué)結(jié)果2223452112xysxyMyyyqIhhqyyhhF SbI ?xysxyMyIF SbINortheastern university3-4 3-4 簡支梁受均布載荷簡支梁受均布載荷3 3討論與材力結(jié)果比較討論與材力結(jié)果比較Northeastern university3-5 楔形體受重力和液體壓力Northeastern university3-5 楔形體受

22、重力和液體壓力xyo2g1g2xyxy問題：楔形體下端無線長，受重力和液體壓力，試用半逆解法求解求應(yīng)力分量問題：楔形體下端無線長，受重力和液體壓力，試用半逆解法求解求應(yīng)力分量圖37Northeastern university3-5 楔形體受重力和液體壓力半逆解法的根本思緒：半逆解法的根本思緒：1 1針對所要求解的問題，根據(jù)邊境外形和受力情況，假設(shè)部分或全部應(yīng)力針對所要求解的問題，根據(jù)邊境外形和受力情況，假設(shè)部分或全部應(yīng)力分量的函數(shù)方式；分量的函數(shù)方式；2 2推出應(yīng)力函數(shù)的方式；推出應(yīng)力函數(shù)的方式；3 3代入相容方程，求出應(yīng)力函數(shù)的詳細(xì)表達(dá)方式；代入相容方程，求出應(yīng)力函數(shù)的詳細(xì)表達(dá)方式；4 4

23、再按再按2-242-24式由應(yīng)力函數(shù)求得應(yīng)力分量；式由應(yīng)力函數(shù)求得應(yīng)力分量；5 5調(diào)查應(yīng)力分量能否滿足全部邊境條件多連體還要滿足位移單值；調(diào)查應(yīng)力分量能否滿足全部邊境條件多連體還要滿足位移單值；6 6滿足是問題的解，不滿足重新假設(shè)求解。滿足是問題的解，不滿足重新假設(shè)求解。Northeastern university3-5 楔形體受重力和液體壓力1 1假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)方式假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)方式根據(jù)量綱分析法參考書：應(yīng)力分量只能夠是：1122,A gxB gyCgxDgy四種項的組合2 2根據(jù)應(yīng)力分量給出應(yīng)力函數(shù)的表達(dá)方式根據(jù)應(yīng)力分量給出應(yīng)力函數(shù)的表達(dá)方式3223axbx ycxydy3 3驗

24、證能否滿足相容方程驗證能否滿足相容方程 滿足滿足Northeastern university3-5 楔形體受重力和液體壓力4由應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量，由由應(yīng)力函數(shù)求解應(yīng)力分量，由224式求得應(yīng)力分量式求得應(yīng)力分量222122266222xxyyxyf xcxdyyf yaxbygyxbxcyx y a5調(diào)查應(yīng)力分量能否滿足邊境條件選擇適宜的參數(shù)調(diào)查應(yīng)力分量能否滿足邊境條件選擇適宜的參數(shù)a左邊 時，應(yīng)力邊境條件0 x 200,0 xxyxxgy 2,06gdc Northeastern university3-5 3-5 楔形體受重力和液體壓力楔形體受重力和液體壓力b右邊斜邊境的邊境條件 xyx

25、xsxyyyslmfslmfs215邊境限方程： ；面力：tanxy0 xyff方向余弦：cos,coscos,sinln xmn y 把應(yīng)力表達(dá)式a帶入，求得參數(shù)b和a23212cot,cotcot262gggbaNortheastern university3-5 楔形體受重力和液體壓力2,06gdc 23212cot,cotcot262gggba代入a式應(yīng)力解答李維 M. Levy解232122122cot2cotcotcotxyxyyxgyggxgg ygx Northeastern university3-5 楔形體受重力和液體壓力結(jié)果討論結(jié)果討論232122122cot2cotcotcotxyxyyxgyggxgg ygx 對應(yīng)于實踐生活：三角形重力壩受水壓。對應(yīng)于實踐生活：三角形重力壩受水壓。1三角形重力壩受水壓，不是一個嚴(yán)厲的平面問題；2由于重力壩底部受地基約束，因此，底部解答準(zhǔn)確度不高；3壩頂有一定寬度，因此，頂部解答也不準(zhǔn)確；4較為準(zhǔn)確的應(yīng)力分析是采用有限元