中國人民大學(xué)出版社高等數(shù)學(xué)一課后習(xí)題詳解

1、第一章函數(shù)、極限與連續(xù)內(nèi)容概要名稱 主要內(nèi)容（1.1、1.2）函數(shù)鄰域（即 ）（）函數(shù)兩個要素：對應(yīng)法則以及函數(shù)的定義域由此，兩函數(shù)相等兩要素相同；（與自變量用何字母表示無關(guān)）解析表示法的函數(shù)類型：顯函數(shù)，隱函數(shù)，分段函數(shù)；特性局部有界性對集合，若存在正數(shù)，使對所有，恒有，稱函數(shù)在上有界，或是上的有界函數(shù)；反之無界，即任意正數(shù)（無論多大），總存在（能找到），使得局部單調(diào)性區(qū)間，對區(qū)間上任意兩點，當(dāng)時，恒有：，稱函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)增加函數(shù)；反之，若，則稱函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)減小函數(shù)；奇偶性設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱；若，恒有，則稱是偶函數(shù)；若，恒有，則稱是奇函數(shù)；周期性若存在非零常數(shù)，使得對，有，

2、且，則稱是周期函數(shù)；初等函數(shù)幾類基本初等函數(shù)：冪函數(shù)；指數(shù)函數(shù)；對數(shù)函數(shù)；三角函數(shù)；反三角函數(shù)；反函數(shù)求法和性質(zhì)；復(fù)合函數(shù)性質(zhì)；初等函數(shù)課后習(xí)題全解習(xí)題1-1 1求下列函數(shù)的定義域：知識點：自然定義域指實數(shù)范圍內(nèi)使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量x的取值的集合；思路：常見的表達(dá)式有 ,（ ） , （ ） （）等解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； 2下列各題中，函數(shù)是否相同？為什么？（1） 與；（2）與知識點：函數(shù)相等的條件；思路：函數(shù)的兩個要素是（作用法則）及定義域D（作用范圍），當(dāng)兩個函數(shù)作用法則相同（化簡 后代數(shù)表達(dá)式相同）且定義域相同時，兩函數(shù)相同；解：（1）的定義域D=，的定

3、義域，雖然作用法則相同，但顯然兩者定義域不同，故不是同一函數(shù)； （2），以為自變量，顯然定義域為實數(shù)；，以為自變量，顯然定義域也為實數(shù)；兩者作用法則相同“”與自變量用何記號表示無關(guān)，故兩者為同一函數(shù)； 3設(shè)，求，并做出函數(shù)的圖形知識點：分段函數(shù)； 思路：注意自變量的不同范圍；解：，；如圖：圖1-1-3 4試證下列各函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性 ： （1） （2），知識點：單調(diào)性定義。單調(diào)性是局部性質(zhì)，函數(shù)在定義域內(nèi)不一定有單調(diào)性，但是可以考查定義域的某個子區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性的問題 。思路：利用單調(diào)性的定義即可。解： （1）設(shè)，當(dāng)時，由單調(diào)性的定義知是單調(diào)增函數(shù)；（2）設(shè)，由，知，故（對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

4、），則有， 得結(jié)論是單調(diào)增函數(shù)； 5設(shè)為定義在內(nèi)的奇函數(shù)，若在內(nèi)單調(diào)增加，證明：在內(nèi)也單調(diào)增加知識點：單調(diào)性和奇偶性的定義。思路：從單調(diào)增加的定義出發(fā)，證明過程中利用奇函數(shù)的條件；證明：設(shè)， 則，由在內(nèi)單調(diào)增加得，又為定義在內(nèi)的奇函數(shù)，則（1）式變形為，即，則結(jié)論成立。 6設(shè)下面所考慮函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，證明：（2） 兩個偶函數(shù)的和仍然是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù)；（3） 兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。知識點：函數(shù)奇偶性定義，奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)。 本題可作為結(jié)論應(yīng)用。思路：按定義證明即可。證明：設(shè)函數(shù)定義域分別是（是關(guān)于原點對稱

5、區(qū)間）；（1）設(shè)，定義域為，顯然也關(guān)于原點對稱，當(dāng)均為偶函數(shù)時， 得為偶函數(shù)；當(dāng)均為奇函數(shù)時，得為奇函數(shù)；（2）令，定義域為，關(guān)于原點對稱， 當(dāng)均為奇函數(shù)時，得為偶函數(shù)； 當(dāng)均為偶函數(shù)時，得為 偶函數(shù)；當(dāng)為一奇一偶時， 得為奇函數(shù)； 7下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù)，哪些是奇函數(shù)，哪些既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)？（1）； （2）； （3）；（4） 。知識點：函數(shù)奇偶性定義，奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)； 思路：按定義證明，尤其先判斷函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱，并利用基本初等函數(shù)的性質(zhì)；解： （1），顯然既不等于，也不等于，故是非奇非偶函數(shù)；下面三個函數(shù)的定義域為全體實數(shù)，關(guān)于原點對稱（2），故是偶函數(shù)；（3），故

6、是偶函數(shù)； （4），故是奇函數(shù)； 8下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？并指出其周期：（1）； （2）； （3）。知識點：函數(shù)周期性。思路： 利用定義，及基本初等函數(shù)性質(zhì)，或已知結(jié)論，可按已知結(jié)論（如弦函數(shù)，則最小正周期，切函數(shù)也有類似結(jié)論）。解： （1）由弦函數(shù)周期公式知最小正周期；（2）對正數(shù) ，而切函數(shù)周期是的整數(shù)倍，故本題函數(shù)不是周期函數(shù)；（3），則最小正周期9證明：在上是無界函數(shù)；知識點：無界函數(shù)定義。思路：證明函數(shù)在某區(qū)間上是無界的，只需證對（無論有多大），使其函數(shù)值即可。證明：對于任意正數(shù)，要使， 考慮當(dāng)， 要使，只要），取（無論有多大），使得 ，在上是無界函數(shù)（注1：取值只要并且確保即

7、可，因此取也可；注2：數(shù)學(xué)符號“”表示“任意”；“”表示“存在”；“”表示“使得”。） 10火車站行李收費規(guī)定如下：當(dāng)行李不超過50kg時，按每千克3/20元收費，當(dāng)超出50kg時，超重部分按每千克1/4元收費，試建立行李收費（元）與行李重量之間的函數(shù)關(guān)系式。知識點：函數(shù)關(guān)系的建立。思路：認(rèn)清變量，關(guān)鍵是找出等量關(guān)系。解：。 11收音機(jī)每臺售價為90元，成本為60元，廠方為鼓勵銷售商大量采購，決定凡是訂購超過100臺的，每多訂一臺，售價就降低一分，但最低價為每臺75元a) 將每臺的實際售價表示為訂購量的函數(shù)；b) 將廠方所獲得利潤表示成訂購量的函數(shù)；c) 某一商行訂購了1000臺，廠方可獲利潤

8、多少？ 知識點：函數(shù)關(guān)系的建立，以及經(jīng)濟(jì)函數(shù)； 。思路：分清變量及函數(shù)關(guān)系，經(jīng)濟(jì)函數(shù)關(guān)系總利潤（總收入）(總成本)。解：售價恰好降到75元時需訂購的臺數(shù)位，則（1）：。（2）：（3）（元）。習(xí)題1-2 1求下列函數(shù)的反函數(shù)：（1） ； （2） ；知識點：反函數(shù)求法；思路：解出的過程即為求反函數(shù)的過程，直接函數(shù)的因變量變?yōu)榉春瘮?shù)的自變量；解：（1）（習(xí)慣上自變量用字母表示）（2）。 2設(shè)，求，；知識點：分段函數(shù)的定義；思路：代入即可；解： 3設(shè)函數(shù)，求，知識點：復(fù)合函數(shù)定義；思路：逐層代入即可：解： ，；，4設(shè)，求和。知識點：函數(shù)的復(fù)合；思路：同上題，逐層代入即可。解： ， （）； ，定義域 。

9、 5已知，求。知識點：函數(shù)復(fù)合；思路：換元法令（此種方法要求易解），、分別用、代；換元法將的表達(dá)式化成用表達(dá)的式子（需要技巧），再令代換；解： 用法：，令（自變量與用何字母表示無關(guān)）。 6設(shè)的定義域是，求：（1） ; （2）； （3） （） （4）知識點：復(fù)合函數(shù)的定義域；思路：的定義域是，表明若有，則；解：（1）；（2）（3），當(dāng)時，即時，結(jié)果為； 當(dāng)時，結(jié)果為； （4） 7設(shè)，求：（1）的定義域； （2）知識點：函數(shù)定義域及函數(shù)復(fù)合；思路：略。解：（1） ，故定義域為全體實數(shù)； （2） 8 ， ，求 及其定義域； 知識點：函數(shù)的復(fù)合及定義域； 解： ， 的自然定義域為，即 內(nèi)容概要名稱 主

10、要內(nèi)容（1.3，1.4，1.5）1.3數(shù)列極限數(shù)列極限定義（）：任意給定正數(shù)（無論多?。?，總存在正整數(shù)，使得對于時的一切，總有成立，則；數(shù)列極限的性質(zhì)： 極限的唯一性；收斂數(shù)列必有界；收斂數(shù)列的保號性；子數(shù)列收斂性；1.4函數(shù)的極限函數(shù)極限定義函數(shù)當(dāng)大于某正數(shù)時有定義，如果對任意給定正數(shù)（無論多?。偞嬖谡龜?shù)，使對滿足的一切，總有函數(shù)在的某一去心鄰域有定義，如果對任意給定正數(shù)（無論多么小），總存在正數(shù)，使對滿足的一切，總有單側(cè)極限且單邊極限且函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性，有界性，保號性，子序列的收斂性；1.5無窮小與無窮大（以）為例無窮小定義：極限為零的變量（函數(shù)）；定理：定理函數(shù)表示：無窮小性質(zhì)

11、：1.的充要條件是，其中是當(dāng) 時的無窮小；2.有限個無窮小的和仍是無窮??；3.有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮?。粺o窮大定義：任意給定正數(shù)(無論多大),當(dāng)(即存在正數(shù),當(dāng) 時),總有；正無窮大，負(fù)無窮大統(tǒng)稱為無窮大；無窮大一定是無界變量，但無界不一定是無窮大；習(xí)題1-3 1觀察一般項如下的數(shù)列的變化趨勢，寫出它們的極限：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）知識點：數(shù)列定義。思路：寫出前幾項，觀察規(guī)律。解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5） 。2利用數(shù)列極限定義證明：（1） （為正常數(shù)）； （2）； （3）。知識點：極限定義。思路：按定義即可。證明：（1） ：對任意給定的正數(shù)，要

12、使，即，只要取，則對任意給定的，當(dāng)時，就有，即（注，只要保證的取值能夠讓以后的所有項的值滿足式即可，因此可取大于或等于的整數(shù)）；（2）：對任意給定的正數(shù)，要使，只要，取，則對任意給定的，當(dāng)時，就有， （3） 證明：由于，因此對任意給定的正數(shù)，要使，只要，即（計算時為方便不妨設(shè)，因為前面的有限項對極限無影響）取，則對任意給定的，當(dāng)時，就有， 3設(shè)數(shù)列的一般項。問求出，使得當(dāng)時，與其極限之差的絕對值小于正數(shù)。當(dāng)時，求出。知識點：數(shù)列極限定義思路：按極限定義即可解： 觀察可得： ，證明該結(jié)果如下：由于，因此對任意給定的正數(shù)，要使，只要，即，?。ㄈ〈笥诨虻扔诘恼麛?shù)都可以），則對任意給定的，當(dāng)時，就有

13、，。 當(dāng)時，可取。 4設(shè)，證明數(shù)列沒有極限。知識點：判定數(shù)列極限不存在的方法思路：若某數(shù)列極限為，則其任意子列的極限都為，因此，若某兩個子列極限不同，則說明原數(shù)列極限不存在。證明：令，則得子列，當(dāng)時，；則；取另一個子列，得，當(dāng)時，則；綜上，原極限不存在。 5設(shè)數(shù)列有界，又，證明：。知識點：數(shù)列有界及數(shù)列極限定義思路：有條件可知；，如何讓兩者結(jié)合，證明成立，是解決問題的關(guān)鍵。證明：數(shù)列有界，則存在正常數(shù)，使對任意，都有，則； ，則對任意正數(shù)，存在，當(dāng)時，有； 則對于任意正數(shù)，取,由可知：存在自然數(shù)，當(dāng)時，有，從而有：， 6對數(shù)列，若，證明。知識點：子列極限和原數(shù)列極限的對應(yīng)關(guān)系；思路：對，根據(jù)條

14、件，尋找使成立的的范圍。證明：對于，由，則存在，當(dāng)時，； 由，則存在，當(dāng)時，；取，當(dāng)時，（無論還是）都有，即。習(xí)題1-4 1在某極限過程中，若有極限，無極限，試判斷：是否必?zé)o極限。知識點：函數(shù)極限性質(zhì)思路：舉例說明即可解：可能有極限，舉例如下： 令，不存在，但；2用函數(shù)的極限定義證明：（1）； （2） （3）； （4）知識點：函數(shù)極限定義思路：對于，找出符合要求（比如（1）中要求）的范圍，即找到描述自變量范圍的或；為了找到或，有時需要對不等式作適當(dāng)?shù)姆趴s。證明：（1）任意正數(shù)，要使即； 只要取， 當(dāng)時，有，即；（2） 任意正數(shù)，當(dāng) ，即時，取，當(dāng)時（因為已知），有，即 （3）由于 （為找到中的

15、，不妨將范圍限制在內(nèi)，因為時的極限，只和附近的所對應(yīng)的函數(shù)值有關(guān)）不妨設(shè)，則，則，對任意正數(shù)，要使，只要， 取，當(dāng)時，與同時成立，有 （4） ，不妨設(shè)，則，則，對任意正數(shù)，要使，只要，取，當(dāng)時， 3當(dāng)時，問等于多少，使得當(dāng)時，？知識點：函數(shù)極限定義思路：由于考察的是時函數(shù)的極限，所以不妨在（即）范圍內(nèi)討論，這樣的方法在極限證明中經(jīng)常用到。解： （不妨設(shè)），則 ，要使只要 取，則當(dāng)時，（注：還可選取比小的數(shù)，只要保證即可） 4求知識點：數(shù)列極限；解：（所用到的性質(zhì)見第六節(jié)）； 5討論函數(shù)當(dāng)時的極限。知識點：左右極限；思路：求分段函數(shù)在分段點處的極限，首先要分別求出左右極限；又且解： ，； ；不存

16、在 6證明：如果函數(shù)當(dāng)時的極限存在，則函數(shù)在的某個去心鄰域內(nèi)有界。知識點：函數(shù)極限和局部有界的定義證明：設(shè)，則對于任意正數(shù)，存在正數(shù)，當(dāng)時，有 ， 即，取，則；當(dāng)時，。 7判斷是否存在，若將極限過程改為呢？ 知識點：函數(shù)極限，以及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)（圖像）解：；（嚴(yán)格來說要再用極限定義證明，但可省略，下同）；，故不存在習(xí)題1-5 1判斷題：（1） 非常小的數(shù)是無窮?。唬?）零是無窮??；（3） 無窮小是一個函數(shù)； （4）兩個無窮小的商是無窮?。?（5） 兩個無窮大的和一定是無窮大； 知識點：無窮小，無窮大的定義和性質(zhì)；思路：略。解：（1）錯，因為無窮小是指極限為0的變量，而不是非常小的數(shù)。（2）對，因

17、為0的極限為0，所以0是無窮小，只有零作為常函數(shù)的的時候才是無窮小，其他常數(shù)都不可能是無窮小 （3）對 （4）錯，兩個無窮小的商未必是，例如 （5）錯，如：時，及，都是無窮大，但是無窮小，而是無窮大 2指出下列哪些是無窮小量，哪些是無窮大量（1） ； （2）； （3）知識點：無窮小，無窮大的定義；思路：求出極限即可（并利用無窮小倒數(shù)是無窮大的結(jié)論）解：（1）是無窮小量； （2）是無窮小量； （3），則是無窮大量； 3根據(jù)極限定義證明：為時的無窮?。恢R點：函數(shù)極限定義； 思路：按定義證明；證明：即要證：由于，對任意正數(shù)，當(dāng)時，就有，則取，當(dāng)時，證畢。 4求下列極限并說明理由：（1）； （2）

18、； （3） ；知識點：無窮小和無窮大的關(guān)系；思路：先將函數(shù)作一定的化簡；解：（1） （依據(jù)無窮大的倒數(shù)是無窮?。?）（3），又無窮小的倒數(shù)是無窮大，故。5函數(shù)在內(nèi)是否有界？當(dāng)時，函數(shù)是否為無窮大？為什么？知識點：函數(shù)有界的定義及無窮大的定義；無窮大一定是無界的，但無界未必?zé)o窮大；本題為無界變量不是無窮大的典型例子。思路：證明不是無窮大，只需要找到時，函數(shù)的一個無窮子列，其極限不是無窮大即可。解：對任意，總可以取，有在上是無界的； 又因為當(dāng)時，；此時，不是時的無窮大6設(shè)時，是有界量，是無窮大量，證明：是無窮大量。知識點：函數(shù)局部有界和無窮大的定義。思路：可利用不等式，及已知條件：是有界量，是無

19、窮大量，證明結(jié)論。證明：時，是有界量，知存在正常數(shù)及，當(dāng)時，； 對任意常數(shù)（無論有多大），不妨設(shè)，時，是無窮大量，對于，存在正常數(shù)，當(dāng)時， ； 綜上，無論多大，總可以取，當(dāng)時，和同時成立；則有成立，即是無窮大量。 7設(shè)時，（是一個正的常數(shù)），是無窮大量，證明：是無窮大。知識點：無窮大的定義；證明：是無窮大量，則對任意，存在正常數(shù)，當(dāng)時， ，又，這時，由的任意性，知是無窮大。內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容（1.6,1.7,1.8,1.9）1.6極限運算法則1極限四則運算性質(zhì)；2復(fù)合函數(shù)極限運算法則； 3求極限的其他技巧：如約掉非零的無窮小或分子（分母）有理化；利用定理：有界量與無窮小的乘積為無窮小1.7極

20、限存在準(zhǔn)則，兩個極限準(zhǔn)則1夾逼準(zhǔn)則2單調(diào)有界準(zhǔn)則：單調(diào)有界數(shù)列必有極限；極限，（或）；柯西極限存在準(zhǔn)則1.8無窮小的比較無窮小的比較（定義）：高階；低階；同階及等價；階無窮小。幾個等價無窮小公式：（內(nèi)可填變量或函數(shù)，如：當(dāng)時）當(dāng)時， ； ；定理：充要條件是1.9函數(shù)的連續(xù)與間斷定義1函數(shù)在的某鄰域有定義，若在處取得微小增量時，函數(shù)的增量也很小，且，則稱在連續(xù)；2若有，則稱則稱在連續(xù)；左連續(xù)：在連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)在既左連續(xù)又右連續(xù)右連續(xù)：基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的；初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的；間斷點分類 第一類：左右極限都存在當(dāng)，稱為可去間斷點，此時可重新補充函數(shù)的定義：，使之在連續(xù)；當(dāng)，稱為跳

21、躍間斷點； 第二類：左右極限至少有一個不存在當(dāng)或，時，稱為無窮間斷點當(dāng)?shù)臉O限過程中，函數(shù)值不斷震蕩，稱為振蕩間斷點習(xí)題1-6 1計算下列極限： （1）； （2） ； （3） ；（4） ； （5） ; （6） ； （7） ； （8）； （9） ；（10） ； （11）； （12） ； （13） ； （14）； （15）； （16） ；知識點：極限求法思路：參照本節(jié)例題給出的幾種極限的求法解：（1）， （2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ；（8）（9） ， 說明是無窮小，而是有界量，（10） （11），；（12） ；（13） ，而是有界量，故；（14）；（15），本題利用本節(jié)

22、有理分式的極限規(guī)律，只要找到分子分母的最高次項比較即可，分子的最高次項由的次方與的次方乘積所得，即，而分母的最高次項由的次方所得，即；無需確切計算分子分母；（16） ，當(dāng)時，；當(dāng)時，；故不存在 2計算下列極限：（1） ； （2） ； （3） ； （4） 。知識點：數(shù)列極限求法；思路：（1）（2）需要先化簡被求極限的式子，（3）（4）則利用有理分式極限的求法；解：（1）；（2） ；（3） ；（4） ； 3 設(shè)，分別討論及時的極限是否存在？知識點：分段點處函數(shù)的極限；左右極限；思路：分段點函數(shù)的極限要左右極限分別求；解： 當(dāng)時， ，；故不存在； 當(dāng)時，故； 4已知及，求：（1） ； （2）； （3

23、）； （4） （5） 知識點：函數(shù)極限四則運算性質(zhì)；思路：按性質(zhì)求； 解： （1）；（2）； （3）； （4）； （5） ，而無窮小的倒數(shù)是無窮大，故； 5若，求的值；知識點：函數(shù)極限；思路：分析求極限的過程，求出的值；解： ，故必有，即；方法二：可由§1-8節(jié)無窮小比較來解：當(dāng)時，；故此時必有，故； 6若，求，及的值；知識點：同上；解： ， 則由知，必有，解得：習(xí)題1-7 1計算下列極限：（1） ； （2）； （3）； （4）；（5） ；（6）； （7） ； （8） ；知識點：兩個重要極限；思路：當(dāng)函數(shù)用三角函數(shù)和冪函數(shù)表達(dá)時，可考慮變形成，其中；但本題解法不是唯一的，可用下一節(jié)的

24、等價無窮小代換來解更容易；解：（1）； （2）； （3） （4） ； （5）； （6）； （7），則； （8）； 2計算下列極限：（1） ； （2） ； （3）；（4）（5） ；（6）； （7） ； （8） 知識點：重要極限： （或）思路： 將函數(shù)表達(dá)式化成（或），并利用指數(shù)函數(shù)運算性質(zhì)（）得出結(jié)果解：（1）； （2） ； （3）； （4）； （5） ； （6） ； （7） （8） ；3設(shè)， 求 。知識點：分段函數(shù)的極限思路：可以先將化成或，以利用已知的函數(shù)表達(dá)式； 或者，由已知，求出的表達(dá)式，再求。解：方法一： 換元： ，由已知 ， 則； 方法二： 令，則，代入已知得，則； 4已知，求。知識

25、點：同題2思路： 同題2解： ；5利用極限存在準(zhǔn)則定理證明：（1） ； （2）知識點：夾逼準(zhǔn)則思路： 關(guān)鍵是將被求極限的式子放縮；可將分子或分母改變，最好改變后式子可以化簡且極限易求解：（1），而，由夾逼準(zhǔn)則，知 （2），在求時的極限時，不妨設(shè)，：當(dāng)，有，且，由夾逼準(zhǔn)則，知；：當(dāng)，有，且，由夾逼準(zhǔn)則，知；綜上，；6 利用極限存在準(zhǔn)則證明數(shù)列，的極限存在，并求出該極 限。知識點：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。思路：先證單調(diào)有界，再求極限。解：數(shù)列通項滿足，不妨設(shè)，則，即；由歸納法知，此數(shù)列單調(diào)增加，且；由單調(diào)有界數(shù)列必有極限知，此數(shù)列極限存在，設(shè)為；將左右兩邊取極限：，解得，或，顯然，由極限的保號性，知

26、極限，故；7設(shè)滿足：，證明收斂，求。知識點：同上；思路： 同上；解： ，當(dāng)時， ，設(shè)，則，得：；由數(shù)學(xué)歸納法知，此數(shù)列有界且；此時，則有，即，知數(shù)列單調(diào)減小，且有下界，故必有極限。設(shè)，則有，解得或；因數(shù)列單調(diào)減，且，故；習(xí)題1-8 1當(dāng)時，與相比，哪一個是高階無窮小？知識點：無窮小的比較思路：關(guān)鍵是求兩個無窮小商的極限，然后根據(jù)無窮小比較的定義作出判斷解：；故是的高階無窮小；2當(dāng)時，與是否為同階無窮??？知識點：無窮小的比較思路：可先利用等價無窮小代換化簡，然后再作判斷。解：當(dāng)時， ，由于（有界量乘無窮小量為無窮?。?，顯然與同階但不等價，由等價關(guān)系及同階關(guān)系的傳遞性可得：與同階，但不等價；3當(dāng)時

27、，與相比是幾階無窮??？知識點：無窮小比較思路：對作適當(dāng)?shù)淖冃?，使之可以套用常用的等價無窮小。解：，當(dāng)時，故，顯然是的三階無窮??； 4當(dāng)時，若與等價，求和的值。知識點：無窮小比較；思路： 注意利用書中所給的等價無窮小公式，及等價關(guān)系的傳遞性；解： 當(dāng)時，顯然； 5利用等價無窮小性質(zhì)求下列極限：（1）； （2）； （3）； （4）； （5） （6）知識點：等價無窮小代換求極限；思路：要活用等價無窮小公式，如當(dāng)，有，故，以及有關(guān)定理。解： （1） ； （2）；（3）當(dāng)時，故， ；（4） ；（5）方法一：方法二： （其中，表示的高階無窮小，則表示的高階無窮小，自然由，的定義有，；又由定理：與是等價無窮

28、小的充分必要條件是：所以，）（6） 習(xí)題1-91研究下列函數(shù)的連續(xù)性，并畫出函數(shù)的圖形。（1） ； （2）知識點：函數(shù)連續(xù)定義；分段點處的連續(xù)性思路：初等函數(shù)在定義域上連續(xù)，而在函數(shù)的分段點處要分別驗證左右連續(xù)性。解： （1）顯然函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，且在處右連續(xù)，在處左連續(xù)；在分段點處， ，則，函數(shù)在處連續(xù)；故函數(shù)在上連續(xù)； （2）顯然函數(shù)在上連續(xù)；在分段點處，則，函數(shù)在處連續(xù)；在分段點處：；，極限不存在，故不連續(xù)；綜上，函數(shù)在上連續(xù)。（見下圖）01圖1-9-2-2-1101圖1-9-1-121 2下列函數(shù)在處是否連續(xù)？為什么？（1） ； （2）知識點：函數(shù)連續(xù)定義；思路：左右連續(xù)分別驗證；

29、解：（1） ，則函數(shù)在處連續(xù)； （2），則函數(shù)在處連續(xù)； 3判斷下列函數(shù)的指定點所屬的間斷點類型，如果是可去間斷點，則請補充或改變函數(shù)的定義使它連續(xù)。（1） ； （2）（3）； （4）；知識點：間斷點類型及判定；思路： 間斷點類型取決于左右極限是否存在，故要分別求間斷點的左右極限；解：（1），是第二類的無窮間斷點； （2）時，左右極限相等， 是第一類中的可去間斷點，補充定義可使函數(shù)在該點處連續(xù)； 時，是第二類無窮間斷點； （3），為第一類可去間斷點，補充可使函數(shù)在該點處連續(xù)。 （4）時，的值在0到1之間來回變動，故是第二類震蕩間斷點4證明：若在點連續(xù)且，則存在的某一鄰域，當(dāng)時，。知識點：連續(xù)的

30、定義以及極限的保號性證明：由于，不妨設(shè)，在點連續(xù)，即，對，存在正數(shù)，當(dāng)時，即，故；而已知，故當(dāng)時，。同理可證，當(dāng)時，存在的某一鄰域，當(dāng)時，。 5設(shè)，應(yīng)當(dāng)如何選擇數(shù)，使得成為內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。知識點：函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性思路：關(guān)鍵是分段點處的連續(xù)問題解：由初等函數(shù)的連續(xù)性，顯然在上是連續(xù)的；故只要在分段點處連續(xù)即可；故只需在處有，代入，解得； 6設(shè)，已知在處連續(xù)，試確定及的值。知識點：左右連續(xù)；思路：在處連續(xù)，有，并據(jù)此列式求解；解：在處連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)在處既左連續(xù)又右連續(xù)；由； 7研究 在處的左右連續(xù)性。知識點：左右連續(xù)；思路：由于當(dāng)時，；當(dāng)時，故在求涉及到當(dāng)時的極限時一定要左右極限分別求。解：，而，

31、顯然在處是右連續(xù)但不左連續(xù)。8設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，且，已知，試證函數(shù)在處也連續(xù)。知識點：連續(xù)定義；證明：，故 ；由函數(shù)在處連續(xù)，則對任意正數(shù)，存在正數(shù)，當(dāng)時，即；而，所以，即在處也連續(xù)。證法二：，故 ；又，在處連續(xù)，由夾逼定理：9設(shè)，當(dāng)，取何值時，在上連續(xù)。知識點：極限求法和連續(xù)定義；思路：先將化成初等函數(shù)，才方便考察其連續(xù)性；化簡過程即是計算極限的過程，在計算極限過程中，當(dāng)時，的極限與的范圍有關(guān)：當(dāng)，；當(dāng)時，；故要分類討論，以數(shù)為分段點解：當(dāng)，； 當(dāng)，； 當(dāng) ，； 當(dāng) ，；則，顯然在上連續(xù)，故在上連續(xù)，只需要求在，處連續(xù)，而 ，知；，知；由解得：； 內(nèi)容概要名稱 主要內(nèi)容1.10連續(xù)函數(shù)運算與性

32、質(zhì)連續(xù)函數(shù)的四則運算性質(zhì)；反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性；初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的；閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì) 最值定理：閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)一定有最大最小值；有界性定理：閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)一定在該區(qū)間上有界；零點定理： 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，若與異號（），則在開區(qū)間內(nèi)至少有函數(shù)的一個零點，即至少存在一點，使得。介值定理：閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，若，則對任意，至少存在一點，使得一致連續(xù)性定理（了解）；習(xí)題1-10 1求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間，并求，。知識點：初等函數(shù)連續(xù)性及連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)思路：初等函數(shù)在定義域上連續(xù)，函數(shù)在連續(xù)點處的極限值等于該點的函數(shù)值解：本函數(shù)的定義域為：，解得或；則本函數(shù)的連續(xù)區(qū)間為；，； 2求下列極限：

33、（1）； （2） ； （3） ； （4）；（5）； （6）知識點：連續(xù)函數(shù)的定義及性質(zhì)；解：（1）；（2）；（3） ； （4）； （5）； （6）； 3證明方程至少有一個根介于1和2之間。知識點：零點定理；思路：若令，則方程在某區(qū)間上是否有根的問題，化為函數(shù)在該區(qū)間是否有零點的問題。證明：設(shè)，顯然在區(qū)間上連續(xù)，由零點定理：存在， ，即是的根，介于1和2之間。 4證明方程至少有一個正根，并且它不超過。知識點：同題3；思路： 同題3；證明：設(shè)，顯然在區(qū)間上連續(xù)；：若，則，此時即是的根；：若，則，由零點定理，存在，使得，即是方程的根；綜上，結(jié)論成立。 5證明曲線在與之間至少與軸有一個交點。知識點：零

34、點定理；證明：設(shè)，顯然在上連續(xù)；由零點定理：存在，使得，即點在曲線上，則結(jié)論成立。 6設(shè)，求證在區(qū)間內(nèi)至少有一點，使得。知識點：同題3；思路：同題3；證明：設(shè)，顯然在上連續(xù)，則，由零點定理，存在，使得，即。7設(shè)函數(shù)對上任意兩點，恒有（為常數(shù)），且，試證在內(nèi)至少有一點，使得。知識點：極限的夾逼準(zhǔn)則，連續(xù)的定義及零點定理；思路：先利用定義證明函數(shù)連續(xù)，再利用零點定理證明結(jié)論。證明：設(shè)任意點，先用定義證在點連續(xù)：設(shè)，由任意兩點，恒有得：，即，而當(dāng)時，故由夾逼準(zhǔn)則，知，即在上連續(xù)，由的任意性知，在上連續(xù)；又，則由零點定理，在內(nèi)至少有一點，使得。 8若在上連續(xù)，則在上必有，使 。知識點：閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)

35、的最值定理與介值定理；思路：先證明是最小值與最大值之間的某個值；再用介值定理；證明：在上連續(xù)且，則必在上連續(xù)，且在必有最值，設(shè)為，最小值； 設(shè) ，則，即，由介值定理，必存在，使得。9設(shè)在上連續(xù)，且，證明：在上至少存在一點，使 。知識點：零點定理。思路：從結(jié)論的形式中分析找到對應(yīng)的函數(shù)：，以及對應(yīng)的閉區(qū)間，然后逐個驗證函數(shù)在此區(qū)間上滿足零點定理的條件。證明：令，當(dāng)時，由函數(shù)在上連續(xù)，故在上連續(xù)，在上連續(xù)，故在上連續(xù)，且，：當(dāng)時，取，則，此時結(jié)論成立；： 當(dāng)時，則由零點定理得，存在使得，即；此時結(jié)論成立；綜上，結(jié)論成立?？偭?xí)題一 1求函數(shù)的定義域：知識點：函數(shù)定義域。 解：由其表達(dá)式有 2設(shè)函數(shù)的

36、定義域是，求的定義域。知識點：復(fù)合函數(shù)的定義域。解：由已知的定義域是，故對有：，即，解得，所以的定義域為 3設(shè)，要使當(dāng)時，應(yīng)如何選擇鄰域的半徑。知識點：函數(shù)及鄰域定義。思路：由函數(shù)值范圍，解出的最大范圍；取值使不超過這個最大范圍。解：要使，即，即，只須，此時只須取即可（選取不是唯一的，只要選比小的正數(shù)保證即可） 4證明是奇函數(shù)。知識點：函數(shù)奇偶性；思路：按定義只需證即可；解：函數(shù)定義域為， ，故，是奇函數(shù)；5設(shè)函數(shù)，的圖形關(guān)于，均對稱，試證：是周期函數(shù)，并求其周期。知識點：周期函數(shù)定義，及對稱圖形的性質(zhì)思路：如若函數(shù)圖形關(guān)于對稱，則解：，由函數(shù)圖形關(guān)于對稱知，而，由函數(shù)圖形關(guān)于對稱，則，；則是

37、周期函數(shù)，且其周期； 6設(shè)在上有意義，求證：（1）若單調(diào)減少，則；（2）若單調(diào)增加，則。知識點：單調(diào)性思路：因為題中涉及三者對應(yīng)函數(shù)值的關(guān)系，故可按單調(diào)性比較它們的大小解：（1），；又單調(diào)減少， ， ， ，兩式相加化簡得：； （2） 同理可證。7求下列函數(shù)的反函數(shù)： （1），； （2）。知識點：求分段函數(shù)的反函數(shù)思路：從函數(shù)中解出即可，需注意范圍的對應(yīng)解：（1） ，由韋達(dá)定理，上式有實解當(dāng)且僅當(dāng)，且。當(dāng)時，與范圍不符，故舍掉；當(dāng)， （可分別驗證），故舍掉；綜上，按習(xí)慣將自變量用來記，所求函數(shù)的反函數(shù)為。（2） ，則所求函數(shù)的反函數(shù)為 8求函數(shù)的表達(dá)式：，。知識點：復(fù)合函數(shù)定義思路：用三角公式將

38、等式右端表達(dá)為的函數(shù)，即可求得解：令，得；故； 9設(shè)滿足方程：，求。知識點：函數(shù)定義思路：已知等式對任意成立，自然對也成立解：令，則，由函數(shù)自變量與用何字母表示無關(guān)，可化為，則解方程組 得： 10設(shè)函數(shù)，且，求及其定義域；。知識點：函數(shù)的復(fù)合；解： ，則，解得：，由，知，；顯然的定義域為； 11設(shè)，求，并做出圖形：知識點：分段函數(shù)的復(fù)合；思路： 在對應(yīng)的范圍內(nèi)代入即可；10圖1-11（1）解：， 0圖1-11（2） ，12設(shè)，求，。解：當(dāng)時，則， ；當(dāng)時，則 ；故，；13，求。知識點：數(shù)列極限；思路：多項和時，先化簡。解： 14求極限 。知識點：左右極限的求法；思路：求有絕對值的函數(shù)極限要先去

39、絕對值，另外因在處的左右極限值不同，所以需通過左右極限討論上述極限解：時，；， 時，；， ， 15用定義證明函數(shù)當(dāng)時極限為0 。知識點：函數(shù)極限定義證明： ，要使，只須取，則當(dāng)時，總有，故 16證明：若及時，函數(shù)的極限都存在且都等于，則。知識點：函數(shù)極限定義證明：對，因，當(dāng)時，總有，又因，對上述， ，當(dāng)時，總有，現(xiàn)取，當(dāng)時，總有，故； 17利用極限定義證明：函數(shù)當(dāng)時極限存在的充分必要條件是左極限，右極限各自存在并且相等。知識點：數(shù)列極限定義證明：必要性： 設(shè)，于是，當(dāng)時（即和），有，所以 充分性： 當(dāng)，則，當(dāng)時，有； ，當(dāng)時，有；取，則當(dāng)及，即時，亦有， 18根據(jù)定義證明：為時的無窮小。知識點

40、：函數(shù)極限定義；證明：，要使，只須取，于是對于，存在，當(dāng)，總有， 19已知，當(dāng)時，、取何值時為無窮小量？、取何值時為無窮大量？知識點：無窮小與無窮大的定義思路：分析、取值對極限的影響解： （1）則必有，故當(dāng)時，為無窮小量；（2）若 ，必有，為任意常數(shù)，故當(dāng)，為任意常數(shù)時，為無窮大量； 20計算下列極限：（1）（為正整數(shù)）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）知識點：極限求法；解：（1） ； （2） （3） （4）因為，而是有界量，故（5）；（6） 21設(shè)，討論及時，的極限是否存在，并且求及 。知識點：左右極限與原極限關(guān)系思路： 分段點極限要左右極限分別求證明： ， ，故不存在； ，故

41、； ， ； 22計算下列極限： （1）； （2）；（3） 知識點：極限求法；思路：求極限時，當(dāng)某一因式是有根號差的形式時，注意分式有理化；用等價代換求極限。解：（1）； （2） （3） （分子有理化） 23計算下列極限：（1） ； （2）知識點：重要極限。 思路：利用已知極限求解。解：（1）= （2）原式 ，因為 ，所以原式24設(shè)，求 。知識點：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。思路：先證明數(shù)列單調(diào)（可用歸納法），且有界，然后知必有極限，可設(shè)極限為，再求出。解：，則，假設(shè)，則，即，由數(shù)學(xué)歸納法，任意，有，可知本數(shù)列是單調(diào)增加的； 又由，知本數(shù)列有界，所以極限必存在，設(shè)等式兩邊取極限得：，解得，而，故，即；

42、 25證明：當(dāng)時，有：（1）； （2） 。知識點：等價無窮小的定義；思路：按等價定義，即要證明兩者商的極限是1；證明：（1），故；（2），故。 26利用等價無窮小性質(zhì)求下列極限：（1） （2） ；（3）；（4）；（5）；知識點：等價無窮小代換。思路：關(guān)鍵是等價無窮小公式的記憶和靈活運用，如當(dāng)，。解：（1）；（2）因為時，故（3）原式 （其中）（4）（5）原式 27試判斷：當(dāng)時，是的多少階無窮小。知識點：無窮小階數(shù)的定義以及已知的等價無窮小公式。思路： 將有理化后，利用公式。解：，故，故是的2階無窮小。28設(shè)是多項式，且，求。知識點：有理分式極限的確定以及無窮小的比較。思路：由設(shè)出的形式，由判斷取值。解：因為，則與是同是二次多項式，且二次項系數(shù)為2，故可設(shè)（其中為待定系數(shù)）；又因為，所以，從而，故； 29已知，試求，的值。知識點：無窮小的比較以及極限的求法。思路：利用無窮小的比較判斷出，再根據(jù)，求出。解：因為，所以必須有（否則），即有，將代入原式，得，故 30設(shè)，試求，的值。知識點：等價無窮小思路：先變形，再用等價無窮小解：，當(dāng)為時，這時：，當(dāng)時， ；。（該題也可用第三章的泰勒公式做） 31下列函數(shù)在處是否連續(xù)？為什么？（1） ； （2）知識點：連續(xù)的定義思路：在處連