勾股定理的證明方法探究

1、學習好資料歡迎下載勾股定理的證明方法探究勾股定理是初等幾何中的一個基本定理。所謂勾股定理， 就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方等于斜邊的平方。數(shù)學公式中常寫作：a2 + b2=c2 （直角三角形兩直角邊分別為a ， b ，斜邊為c ）。那么勾股定理是怎么證明的呢？方法很多很多。 1940 年出版過一本名為 畢達哥拉斯命題 的勾股定理的證明專輯， 其中收集了 367 種不同的證明方法。 實際上還不止于此， 有資料表明， 關(guān)于勾股定理的證明方法已有 500 余種，僅我國清末數(shù)學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。在這數(shù)百種證明方法中， 有的十分精彩， 有的十分簡潔， 有的因為證明者身份的特殊而

2、非常著名。在國外，尤其在西方，勾股定理通常被稱為畢達哥拉斯定理這是由于，他們認為最早發(fā)現(xiàn)直角三角形具有“勾2 股2弦 2（即如上所說： a22 2）”這+=+ b =c一性質(zhì)并且最先給出嚴格證明的是古希臘的數(shù)學家畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前 580公元前 500）實際上，在更早期的人類活動中， 人們就已經(jīng)認識到這一定理的某些特性 除我國在公元前 1000 多年前發(fā)現(xiàn)勾股定理外， 據(jù)說古埃及人也曾利用 “勾三股四弦五 ”的法則來確定直角但是，這一傳說引起過許多數(shù)學史家的懷疑比如，美國的數(shù)學史家 M·克萊因教授曾經(jīng)指出： “我們也不知道埃及人是否認識到畢達哥拉斯定理我們知道

3、他們有拉繩人， 但所傳他們在繩上打結(jié)， 把全長分成長度為3、4、5 的三段，然后用來形成直角三角形之說， 則從未在任何文件上得到證實 ” 不過，考古學家們發(fā)現(xiàn)了幾塊大約完成于公元前 2000 年左右的古巴比倫的泥版書，據(jù)專家們考證，其中一塊上面刻有如下問題： “一根長度為 30 個單位的棍子直立在墻上，當其上端滑下 6 個單位時，請問其下端離開墻角有多遠？ ”這是一個三邊為 3:4:5 三角形的特殊例子；專家們還發(fā)現(xiàn)，在另一塊版板上面刻著一個奇特的數(shù)表， 表中共刻有四列十五行數(shù)字，這是一個勾股數(shù)表： 最右邊一列為從1 到 15 的序號，而左邊三列則分別是股、勾、弦的數(shù)值，一共記載著 15 組勾

4、股數(shù)這說明，勾股定理實際上早已開始在人們的知識土地中“萌芽”了。因為勾股定理的證明方法太多，不可能全數(shù)敘述。所以，我們就來了解一下較簡潔、易懂的幾種方法。方法一：課本內(nèi)的方法如圖所示， S 大正方形 =S 三角形× 4+S 小正方形。即 (a+b) 2= 4(1/2ab)+c2，化簡后為： a2 + b2=c2。學習好資料歡迎下載方法二：以 a,b 為直角邊（ ba），以 c 為斜邊作 4 個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積為1/2ab。把這 4 個三角形拼成如圖所示的正方形。 RtDAH RtABE HDA= EAB HDA+ HAD=90 ° HAD+ EAB=

5、90 ° ABCD 是個邊長為 c 的正方形，面積為 c2又 HEF+ BEA=180° HEF=90° EFGH 是一個邊長為 b-a 的正方形，面積為（ b-a）2 4× 1/2ab+（ b-a）2 =c2222 a + b =c方法三：C以 a、b 為直角邊，以 c 為斜邊做兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等于 1/2ab。把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使 A,E,B 三點在一條直線上。 RtEAD RtCBE ADE= BEC AED+ ADE=90° AED+ BEC=90° DEC=180° 9

6、0° =90°學習好資料歡迎下載2 DEC 是一個等腰直角三角形，面積為1/2 c ADBC ABCD 是個直角梯形，面積為 1/2（a+b）2 1/2（ a+b）2=2×1/2ab+1/2 c2222 a + b =c方法四：作三個變長分別為 a,b,c 的正方形，把它們拼成如圖所示的形狀，是 H,C,B 三點在一條直線上，連接 BF,CD.過 C 作 CL DE，交 AB 于點 M ，交 DE 于點 L 。 AF=AC , AB=AD FAB=GAD FAB GAD FAB GAD FAB 的面積為 1/2a2.GAD 的面積等于矩形 ADLM 的面積的一半。矩形 ADLM 的面積為 a2 ，同理可得，矩形 MLEB 的面積為 b2矩形 ADL