初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題解題技巧--Du

1、.動(dòng)點(diǎn)問題解題技巧以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)探究幾何圖形局部規(guī)律的問題，稱之為動(dòng)態(tài)幾何問題。動(dòng)態(tài)幾何問題充分表達(dá)了數(shù)學(xué)中的“變與“不變的和諧統(tǒng)一，其特點(diǎn)是圖形中的某些元素點(diǎn)、線段、角等或某局部幾何圖形按一定的規(guī)律運(yùn)動(dòng)變化，從而又引起了其它一些元素的數(shù)量、位置關(guān)系、圖形重疊局部的面積或某局部圖形等發(fā)生變化，但是圖形的一些元素?cái)?shù)量和關(guān)系在運(yùn)動(dòng)變化的過程中卻互相依存，具有一定的規(guī)律可尋。所謂“動(dòng)點(diǎn)型問題是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn),它們在線段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開放性題目，注重對幾何圖形運(yùn)動(dòng)變化能力的考察。解決這類問題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜,靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識解決問題. 在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)“動(dòng)點(diǎn)

2、探究題的根本思路,這也是動(dòng)態(tài)幾何數(shù)學(xué)問題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì)。從變換的角度和運(yùn)動(dòng)變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過“對稱、動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。這些壓軸題題型繁多、題意創(chuàng)新，目的是考察學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，內(nèi)容包括空間觀念、應(yīng)用意識、推理能力等。從數(shù)學(xué)思想的層面上講需要具備以下思想：分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、 轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想、方程思想。常見的動(dòng)點(diǎn)問題1、 數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題離不開數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離。為了便于對這類問題的分析，先明確以下3個(gè)問題：1.數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，即為這兩點(diǎn)所

3、對應(yīng)的坐標(biāo)差的絕對值，也即用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)的差。即數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離=右邊點(diǎn)表示的數(shù)左邊點(diǎn)表示的數(shù)。2.點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于數(shù)軸向右的方向?yàn)檎较?，因此向右運(yùn)動(dòng)的速度看作正速度，而向左運(yùn)動(dòng)的速度看作負(fù)速度。這樣在起點(diǎn)的根底上加上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程就可以直接得到運(yùn)動(dòng)后點(diǎn)的坐標(biāo)。即一個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)為a，向左運(yùn)動(dòng)b個(gè)單位后表示的數(shù)為ab；向右運(yùn)動(dòng)b個(gè)單位后所表示的數(shù)為a+b。3數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，分析數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)要結(jié)合圖形進(jìn)展分析，點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)形成的路徑可看作數(shù)軸上線段的和差關(guān)系。例1 如圖A、B、C三點(diǎn)在數(shù)軸上，A表示的數(shù)為-10，B表示的數(shù)為14，點(diǎn)C在點(diǎn)A與點(diǎn)B之間，且AC=BC1求A、

4、B兩點(diǎn)間的距離； 2求C點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)；3甲、乙分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)相向運(yùn)動(dòng)，甲的速度是1個(gè)單位長度/s，乙的速度是2個(gè)單位長度/s，求相遇點(diǎn)D對應(yīng)的數(shù)練習(xí)1 數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B對應(yīng)的數(shù)分別為1，3，點(diǎn)P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，其對應(yīng)的數(shù)為x。 假設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，求點(diǎn)P對應(yīng)的數(shù)； 數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離之和為5.假設(shè)存在，請求出x的值。假設(shè)不存在，請說明理由. 當(dāng)點(diǎn)P以每分鐘一個(gè)單位長度的速度從O點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A以每分鐘5個(gè)單位長度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B一每分鐘20個(gè)單位長度向左運(yùn)動(dòng)，問它們同時(shí)出發(fā)，幾分鐘后P點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等. 二、求最值問題利用軸對稱性質(zhì)實(shí)現(xiàn)“搬點(diǎn)移

5、線求幾何圖形中一些線段和最小值問題。利用軸對稱的性質(zhì)解決幾何圖形中的最值問題借助的主要根本定理有三個(gè)： 1兩點(diǎn)之間線段最短； 2三角形兩邊之和大于第三邊； 3垂線段最短。 求線段和最小值問題可以歸結(jié)為：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的最值問題，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的最值問題。例2 如圖，正方形ABCD的面積為12，ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形內(nèi)，在對角線AC上有一動(dòng)點(diǎn)P，使PD+PE的值最小，那么其最小值是 _ . 特點(diǎn)：兩個(gè)定點(diǎn)位于一條直線的同一側(cè)，在直線上確定一動(dòng)點(diǎn)的位置，使動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)線段和最小，求出最小值。思路：解決這類題目的方法是找出其中一定點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連結(jié)這個(gè)對稱點(diǎn)與另一定點(diǎn)，交直線于一點(diǎn)，交點(diǎn)即為動(dòng)點(diǎn)

6、滿足最值的位置。練習(xí)2 如圖，等邊ABC的邊長為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，假設(shè)AE=2，當(dāng)EF+CF取得最小值時(shí)，那么ECF的度數(shù)為 A15° B.22.5° C.30° D. 45°例3 如圖，AOB=30°，內(nèi)有一點(diǎn)P且OP=6，假設(shè)M、N為邊OA、OB上兩動(dòng)點(diǎn)，那么PMN的周長最小為 A26 B.6 C. 6/2 D. 6特點(diǎn)：一個(gè)定點(diǎn)位于平面內(nèi)兩相交直線之間，分別在兩直線上確定兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)使線段和最小。思路：這類問題通過做這一定點(diǎn)關(guān)于兩條線的對稱 點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)“搬點(diǎn)移線，把線段“移到同一直線上來解決。練習(xí)3

7、 如圖，AOB的大小為，P是AOB內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，且OP=2，點(diǎn)E、F分別是OA、OB上的動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)PEF周長的最小值等于2，那么= A30° B.45° C.60° D.90°例4 在銳角三角形ABC中，AB=4，BAC=60°，BAC的平分線BC于D，M、N分別是AD與AB上動(dòng)點(diǎn)，那么BM+MN的最小值是 _ 特點(diǎn)：兩動(dòng)點(diǎn)在兩條直線上，定點(diǎn)和其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)共 線，求不共線動(dòng)點(diǎn)分別到定點(diǎn)和另一動(dòng)點(diǎn)的距 離和最小值。思路：1利用軸對稱變換，使不共線動(dòng)點(diǎn)在另一動(dòng)點(diǎn)的對稱點(diǎn)與定點(diǎn)的連線段上兩點(diǎn)之間線段最短.2這條線段垂直于另一動(dòng)點(diǎn)的對稱點(diǎn)所在直線時(shí)，

8、兩線段和最小，最小值等于這條垂線段的長。練習(xí)4 如圖，在ABC中，C=90°，CB=CA=4，A的平分線交BC于點(diǎn)D，假設(shè)點(diǎn)P、Q分別是AC和AD上的動(dòng)點(diǎn)，那么CQ+PQ的最小值是_.三、動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成特殊圖形問題此類問題背景是特殊圖形,考察問題也是特殊圖形,所以要把握好一般與特殊的關(guān)系;分析過程中,特別要關(guān)注圖形的特性(特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置).分析圖形變化過程中變量和其他量之間的關(guān)系，或是找到變化中的不變量，建立方程或函數(shù)關(guān)系解決。1 把握運(yùn)動(dòng)變化的形式及過程;思考運(yùn)動(dòng)初始狀態(tài)時(shí)幾何元素的關(guān)系，以及可求出的量。2 先確定特定圖形中動(dòng)點(diǎn)的位置,畫出符合題意的圖形化動(dòng)為靜。

9、3 根據(jù)條件，將動(dòng)點(diǎn)的移動(dòng)距離以及解決問題時(shí)所需要的條件用含t的代數(shù)式表示出來。4 根據(jù)所求,利用特殊圖形的性質(zhì)或相互關(guān)系，找出等量關(guān)系列出方程來解決動(dòng)點(diǎn)問題。例5 如圖，在RtABC中，B=90°，AB=5 ，C=30°.點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停頓運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒t0.過點(diǎn)D作DFBC于點(diǎn)F，連接DE、EF.1求證：AE=DF；2當(dāng)t為何值時(shí)，DEF為直角三角形.請說明理由.例6 如圖，點(diǎn)A在Y軸上，點(diǎn)B在X軸上，

10、且OA=OB=1，經(jīng)過原點(diǎn)O的直線L交線段AB于點(diǎn)C，過C作OC的垂線，與直線X=1相交于點(diǎn)P，現(xiàn)將直線L繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使交點(diǎn)C從A向B運(yùn)動(dòng)，但C點(diǎn)必須在第一象限內(nèi)，并記AC的長為t，分析此圖后，對以下問題作出探究：（1） 當(dāng)AOC和BCP全等時(shí)，求出t的值。2通過動(dòng)手測量線段OC和CP的長來判斷它們之間的大小關(guān)系.并證明你得到的結(jié)論。穩(wěn)固提升1.如圖在銳角ABC中，AB=42,BAC=45°，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,M、N分別是AD、AB上的動(dòng)點(diǎn)，那么BM+MN的最小值是 _.2.，數(shù)軸上點(diǎn)A在原點(diǎn)左邊，到原點(diǎn)的距離為8個(gè)單位長度，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右邊，從點(diǎn)A走到點(diǎn)B，要經(jīng)過32個(gè)單

11、位長度1求A、B兩點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)；2假設(shè)點(diǎn)C也是數(shù)軸上的點(diǎn)，點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離是點(diǎn)C到原點(diǎn)的距離的3倍，求點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)；3，點(diǎn)M從點(diǎn)A向右出發(fā)，速度為每秒1個(gè)單位長度，同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)B向右出發(fā)，速度為每秒2個(gè)單位長度，設(shè)線段NO的中點(diǎn)為P，線段PO-AM的值是否變化.假設(shè)不變求其值3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(，0)，B(3，2)，C0，2)動(dòng)點(diǎn)D以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)0出發(fā)沿OC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過點(diǎn)E作EF上AB，交BC于點(diǎn)F，連結(jié)DA、DF設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(1)求ABC的度數(shù)；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，ABDF；4. 如圖，ABC是邊長為6的等邊三角形，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A向C運(yùn)動(dòng)與A、C不重合，Q是CB延長線上一點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以一樣 的速度由B向CB延長線方向運(yùn)動(dòng)Q不與B重合，過P作PE