離散時(shí)間系統(tǒng)頻域分析

1、離散時(shí)間系統(tǒng)頻域分析基基 本本 內(nèi)內(nèi) 容容1. 離散時(shí)間傅立葉變換；離散時(shí)間傅立葉變換；2. 常用信號(hào)的離散時(shí)間傅立葉變換對(duì)常用信號(hào)的離散時(shí)間傅立葉變換對(duì); ;3. 傅立葉變換的性質(zhì)；傅立葉變換的性質(zhì)；4. 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)與系統(tǒng)的頻域分析方法系統(tǒng)的頻率響應(yīng)與系統(tǒng)的頻域分析方法； 注釋注釋: :CFS ( The Continuous-Time Fourier Series ): 連續(xù)時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)連續(xù)時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)DFS ( The Discrete-Time Fourier Series ): 離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)離散時(shí)間傅立葉級(jí)數(shù)CTFT ( The Continuous-Time Four

2、ier Transform ): 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換連續(xù)時(shí)間傅立葉變換 DTFT ( The Discrete-Time Fourier Transform ): 離散時(shí)間傅立葉變換離散時(shí)間傅立葉變換 8.1 引言引言 Introduction 本章將采用與討論本章將采用與討論CTFT完全相同的思完全相同的思想方法，來(lái)研究離散時(shí)間非周期信號(hào)的想方法，來(lái)研究離散時(shí)間非周期信號(hào)的頻域分解問(wèn)題。頻域分解問(wèn)題。8.3離散時(shí)間信號(hào)的付里葉變換離散時(shí)間信號(hào)的付里葉變換回顧：連續(xù)時(shí)間信號(hào)回顧：連續(xù)時(shí)間信號(hào)0( )jktkkx ta e2/2/0000)(TTtjkkdtetxaT()( )j tX jx t

3、 edt01( )jktkTax t edtT1( )()2j tx tX jed 表明表明: :離散時(shí)間序列可以分解為頻率在離散時(shí)間序列可以分解為頻率在2區(qū)間上區(qū)間上分布的、幅度為分布的、幅度為 的復(fù)指數(shù)分量的的復(fù)指數(shù)分量的線(xiàn)性組合。線(xiàn)性組合。 deXj)(21deeXnxnjj2)(21)(njjenxeX)()(結(jié)論：結(jié)論：通常通常 是復(fù)函數(shù)，用它的模和相位表示是復(fù)函數(shù)，用它的模和相位表示: :0( )( ),11()1njnj njnx na u naX ea eae 8.3.2 8.3.2 常用信號(hào)的離散時(shí)間傅立葉變換常用信號(hào)的離散時(shí)間傅立葉變換1.21()12 cosjX eaa(

4、)jX e1sin()tg1cosjaX ea R01a10a 時(shí)，低通特性時(shí)，低通特性, ,時(shí)，高通特性時(shí)，高通特性, ,單調(diào)指數(shù)衰減單調(diào)指數(shù)衰減擺動(dòng)指數(shù)衰減擺動(dòng)指數(shù)衰減由圖可以得到由圖可以得到: :01a10a x n（ ）x n（ ）( ),1nx naa)()()(nuanuanxnn101022()111112 cosjnj nnj nnnn j nnj nnnjjjX ea ea ea ea eaeaaeaeaa2.可以得出結(jié)論可以得出結(jié)論: :實(shí)偶序列實(shí)偶序列實(shí)偶函數(shù)實(shí)偶函數(shù)111sin(21)2()sin2Njj nnNNX ee1,( )0,x n11NnNn3.矩形脈沖矩形

5、脈沖: :當(dāng)當(dāng)12N 時(shí)，可得到時(shí)，可得到: :有同樣的結(jié)論有同樣的結(jié)論: :實(shí)偶信號(hào)實(shí)偶信號(hào)實(shí)偶函數(shù)實(shí)偶函數(shù)見(jiàn)例題見(jiàn)例題8。52 2. .與對(duì)應(yīng)的連續(xù)時(shí)間信號(hào)比較與對(duì)應(yīng)的連續(xù)時(shí)間信號(hào)比較, 0, 1)(tx11TtTt111sin2)(TTTjX如圖所示如圖所示: :( )( )x nn1)()(njnjenxeX)(jeX10)(n0n1如圖所示如圖所示: :4.收斂條件有兩組：收斂條件有兩組：( ),nx n)jX e（)jX e（ 則則 存在，且級(jí)數(shù)一致收斂存在，且級(jí)數(shù)一致收斂 于于 。)jX e（2( ),nx n 則級(jí)數(shù)以均方誤差最小的準(zhǔn)則則級(jí)數(shù)以均方誤差最小的準(zhǔn)則 收斂于收斂于

6、。三三. DTFT的收斂問(wèn)題的收斂問(wèn)題當(dāng)當(dāng) 是無(wú)限長(zhǎng)序列時(shí)，由于是無(wú)限長(zhǎng)序列時(shí)，由于 的表達(dá)式的表達(dá)式是無(wú)窮項(xiàng)級(jí)數(shù)，當(dāng)然會(huì)存在收斂問(wèn)題。是無(wú)窮項(xiàng)級(jí)數(shù)，當(dāng)然會(huì)存在收斂問(wèn)題。)jX e（( )x n8.4 離散時(shí)間傅立葉變換的性質(zhì)離散時(shí)間傅立葉變換的性質(zhì)(2 )()()jjX eX e DTFT也有很多與也有很多與CTFT類(lèi)似的性質(zhì)，當(dāng)然也有類(lèi)似的性質(zhì)，當(dāng)然也有某些明顯的差別。某些明顯的差別。 通過(guò)對(duì)通過(guò)對(duì)DTFT性質(zhì)的討論，目的在于揭示信號(hào)時(shí)性質(zhì)的討論，目的在于揭示信號(hào)時(shí)域和頻域特性之間的關(guān)系。域和頻域特性之間的關(guān)系。則則若若一、周期性一、周期性 (periodic):比較：這是與比較：這是與C

7、TFT不同的。不同的。Properties of the Discrete-Time Fourier Transformjx nX e（ ）（），)()()()(2121jjebXeaXnbxnax二二. 線(xiàn)性線(xiàn)性 (linearity):三三. 時(shí)移與頻移時(shí)移與頻移 (shifiting):( )(),jx nX e若若則則00()( )()jnjx n eX e 00()()j njx nnX ee時(shí)移特性時(shí)移特性頻移特性頻移特性()()jxnX e若若則則四四. 時(shí)間反轉(zhuǎn)時(shí)間反轉(zhuǎn) (reflaction):( )(),jx nX e)()(),()(*jjeXnxeXnx五五. . 共軛

8、對(duì)稱(chēng)性共軛對(duì)稱(chēng)性 (symmetry properties):若若則則由此可進(jìn)一步得到以下結(jié)論由此可進(jìn)一步得到以下結(jié)論: :)2()()(11)()()1 () 1()(0keXeXekxeXenxnxjjjnkjj）je1 (六六. 差分與求和差分與求和 (Differencing and Accumulation):說(shuō)明說(shuō)明: :在在DTFT中中對(duì)應(yīng)于對(duì)應(yīng)于CTFT中的中的 。jdedXjnnxj)()(七七. 頻域微分頻域微分( Differention in Frequency ):222)(21)(deXnxjn2)(jeX八八. . Parseval定理定理: :稱(chēng)為稱(chēng)為的能量譜密

9、度函數(shù)。的能量譜密度函數(shù)。)(nx8.5 卷積特性和調(diào)制性質(zhì)卷積特性和調(diào)制性質(zhì)( The Convolution Property& the modulation property ) ( )( )* ( ),()()(),jjjy nx nh nY eX eH e若若則則即是系統(tǒng)的頻率特性。即是系統(tǒng)的頻率特性。說(shuō)明：該特性提供了對(duì)說(shuō)明：該特性提供了對(duì)LTI系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析的理論基礎(chǔ)。的理論基礎(chǔ)。()jH e由于由于 和和 都是以都是以 為周期的，為周期的，調(diào)制性質(zhì)調(diào)制性質(zhì)-相乘性質(zhì)相乘性質(zhì)（The Multiplication Property)()(21)()(21)(),()()(212)(2121jjjjjeXeXdeXeXeYnxnxny1()jX e如果如果則則因此上述卷積稱(chēng)為周期卷積。因此上述卷積稱(chēng)為周期卷積。22()jXe時(shí)域的周期性時(shí)域的周期性 頻域的離散性頻域的離散性時(shí)域的離散性時(shí)域的離散性 頻域的周期性頻域的周期性時(shí)域的非周期性時(shí)域的非周期性 頻域的連續(xù)性頻域的連續(xù)性時(shí)域的連續(xù)性時(shí)域的連續(xù)性 頻域的非周期性頻域的非周期性可以看出：信號(hào)在時(shí)域的特性和在頻域的可以看出：信號(hào)在時(shí)域的特性和在頻域的特性之間存在以下對(duì)應(yīng)關(guān)系：特性之間存在以下對(duì)應(yīng)關(guān)系：補(bǔ)充補(bǔ)充-付立葉變換對(duì)偶性付立葉變換對(duì)偶性（Duality）對(duì)偶性對(duì)偶性連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)連