2 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)習(xí)題

1、第二章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)（習(xí)題）質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為求質(zhì)點(diǎn)軌跡并用圖表示。解，.軌跡方程為y=5消去時(shí)間參量t得：   質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為，（1）. 求質(zhì)點(diǎn)的軌跡；（2）.求自t=-1至t=1質(zhì)點(diǎn)的位移。解，消去t得軌跡：xy=1,z=2,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為，（1）. 求質(zhì)點(diǎn)的軌跡；（2）.求自t=0至t=1質(zhì)點(diǎn)的位移。解，.消去t得軌跡方程雷達(dá)站于某瞬時(shí)測(cè)得飛機(jī)位置為，0.75s后測(cè)得均在鉛直平面內(nèi)。求飛機(jī)瞬時(shí)速率的近似值和飛行方向（角）。解，代入數(shù)值得：利用正弦定理可解出一小圓柱體沿拋物線軌道運(yùn)動(dòng)，拋物線軌道為（長(zhǎng)度mm）。第一次觀察到圓柱體在x=249mm處，經(jīng)過時(shí)間2ms后圓柱

2、體移到x=234mm處。求圓柱體瞬時(shí)速度的近似值。解，一人在北京音樂廳內(nèi)聽音樂，離演奏者17m。另一人在廣州聽同一演奏的轉(zhuǎn)播，廣州離北京2320km，收聽者離收音機(jī)2m，問誰先聽到聲音？聲速為340m/s,電磁波傳播的速度為。解，在廣州的人先聽到聲音。如果不允許你去航空公司問訊處，問你乘波音747飛機(jī)自北京不著陸飛行到巴黎，你能否估計(jì)大約用多少時(shí)間？如果能，試估計(jì)一下（自己找所需數(shù)據(jù)）。解，火車進(jìn)入彎道時(shí)減速，最初列車向正北以90km/h速率行駛，3min后以70km/h速率向北偏西方向行駛。求列車的平均加速度。解，（1）R為正常數(shù)。求t=0,/2時(shí)的速度和加速度。（2）求t=0,1時(shí)的速度和

3、加速度（寫出正交分解式）。解：（1）當(dāng)t=0時(shí)，當(dāng)t=/2時(shí)，（2）當(dāng)t=0時(shí)，當(dāng)t=1時(shí)，圖中a、b和c表示質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)三種不同情況下的x-t圖，試說明三種運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)（即速度，計(jì)時(shí)起點(diǎn)時(shí)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)，位于坐標(biāo)原點(diǎn)的時(shí)刻）。 解，a 直線的斜率為速度b直線的斜率為速度c 直線的斜率為速度質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為x=acost, a為正常數(shù)。求質(zhì)點(diǎn)速度和加速度并討論運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)（有無周期性，運(yùn)動(dòng)范圍，速度變化情況等）。解，質(zhì)點(diǎn)受力，是線性恢復(fù)力，質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為a，運(yùn)動(dòng)范圍在，速度具有周期性。跳傘運(yùn)動(dòng)員的速度為v鉛直向下，、q為正常量。求其加速度。討論當(dāng)時(shí)間足夠長(zhǎng)時(shí)（即t），速度和

4、加速度的變化趨勢(shì)。解，直線運(yùn)動(dòng)的高速列車在電子計(jì)算機(jī)控制下減速進(jìn)站。列車原行駛速度為，其速度變化規(guī)律如圖所示。求列車行駛至x=1.5km時(shí)加速度的大小。解，當(dāng)x=1.5km時(shí)， 在水平桌面上放置A、B兩物體，用一不可伸長(zhǎng)的繩索按圖示的裝置把它們連接起來。C點(diǎn)與桌面固定。已知物體A的加速度，求物體B的加速度。解，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立一維坐標(biāo)系o-x。設(shè)繩的總長(zhǎng)度為，B的坐標(biāo)為，A的坐標(biāo)為，則得兩端對(duì)t求導(dǎo)質(zhì)點(diǎn)沿直線的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為。（1）將坐標(biāo)原點(diǎn)沿ox軸正方向移動(dòng)2m，運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如何？初速度有無變化？（2）將計(jì)時(shí)起點(diǎn)前移1s，運(yùn)動(dòng)學(xué)方程如何？初始坐標(biāo)和初始速度都發(fā)生怎樣的變化？加速度變

5、不變？解，（1），代入上式得： 初速度不變。（2）代入上式得：初坐標(biāo)由0變?yōu)?7m.,初速度由10m/s變?yōu)?m/s.加速度不變，都是.以下四題用積分質(zhì)點(diǎn)由坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā)時(shí)開始計(jì)時(shí)，沿x軸運(yùn)動(dòng)，其加速度，求在下列兩種情況下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程、出發(fā)后6s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置、在此期間所走過的位移及路程：（1）初速度；（2）初速度的大小為9cm/s,方向與加速度方向相反。解，（1），當(dāng)t=6s時(shí)，,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程：(2) ,當(dāng)t=6s時(shí)，,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程如圖，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程：2.4.2質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)速度的變化規(guī)律為求至?xí)r間內(nèi)的位移。解，2.4.3一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其瞬時(shí)加速度的變化規(guī)律為在t=0時(shí)，其中均為

6、正常數(shù)，求此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。解，2.4.4飛機(jī)著陸時(shí)為盡快停止采用降落傘制動(dòng)。剛著陸時(shí)，t=0時(shí)速度為且坐標(biāo)為x=0.假設(shè)其加速度為，b=常量，求此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。解，解以下四題中勻變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)應(yīng)明確寫出所選的坐標(biāo)系、計(jì)時(shí)起點(diǎn)和初始條件。在195m長(zhǎng)的坡道上，一人騎自行車以18km/h的速度和-20cm/s2的加速度上坡，另一自行車同時(shí)以5.4km/h的初速度和0.2m/s2的加速度下坡。問（1）經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間兩人相遇；（2）兩人相遇時(shí)，各走過多少路程。解，建立坐標(biāo)系o-x,原點(diǎn)為質(zhì)點(diǎn)1的初始位置。對(duì)上坡的質(zhì)點(diǎn)1:t=0,v10=5m/s, x10=0, a1=-0.2m/s2,對(duì)下坡的質(zhì)

7、點(diǎn)2:t=0,v20=-1.5m/s,x20=195m, a2=-0.2m/s2,相遇時(shí)，x1=x2,所需時(shí)間設(shè)為t，則質(zhì)點(diǎn)1的速度表達(dá)式為：，所以質(zhì)點(diǎn)1的路程為兩段路程之和，如圖所式。前25s的路程：后5s的路程：質(zhì)點(diǎn)2的路程：195-62.5+2.5=135(m)站臺(tái)上送行的人，在火車開動(dòng)時(shí)站在第一節(jié)車廂的最前面?；疖囬_動(dòng)后經(jīng)過t=24s，第一節(jié)車廂的末尾從此人的面前通過。問第七節(jié)車廂駛過他面前需要多長(zhǎng)時(shí)間？火車作勻加速運(yùn)動(dòng)。解，設(shè)火車第六節(jié)末尾經(jīng)過此人的時(shí)間為t6，火車第七節(jié)末尾經(jīng)過此人的時(shí)間為t7，在同一鉛直線上相隔h的兩點(diǎn)以同樣的速率v0上拋二石子，但在高處的石子早t0秒被拋出。求此

8、二石子何時(shí)何處相遇。解，解出t得：，將t代入，得電梯以1.0m/s的勻速率下降，小孩在電梯中跳離地板0.50m高，問當(dāng)小孩再次落到地板上時(shí)，電梯下降了多長(zhǎng)距離？解，建立基本坐標(biāo)系o-x,原點(diǎn)固結(jié)在地面上，建立運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)固結(jié)在電梯的地板。小孩相對(duì)運(yùn)動(dòng)參照系（電梯）跳起到落回地板所需時(shí)間設(shè)為t，則解出td得，這段時(shí)間電梯下降的距離為,質(zhì)點(diǎn)在o-xy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，其加速度為位置和速度的初始條件為t=0時(shí)，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程并畫出軌跡（本題用積分）。解，由得 初始條件：t=0時(shí),v0x=0,v0y=1,x0=1,y0=0,軌道方程：在同豎直值面內(nèi)的同一水平線上A、B兩點(diǎn)分別以300、600為發(fā)射角同

9、時(shí)拋出兩小球欲使兩小球相遇時(shí)都在自己的軌道的最高點(diǎn)，求A、B兩點(diǎn)的距離。已知小球在A點(diǎn)的發(fā)射速率解，迫擊炮彈的發(fā)射角為600,發(fā)射速率150m/s.炮彈擊中傾角300的山坡上的目標(biāo)，發(fā)射點(diǎn)正在山腳。求彈著點(diǎn)到發(fā)射點(diǎn)的距離OA.解，由幾何關(guān)系：將(2)、(3)式代入(1)式轟炸機(jī)沿與鉛直方向成俯沖時(shí)，在763m高度投放炸彈，炸彈離開飛機(jī)5.0s時(shí)擊中目標(biāo)。不計(jì)空氣阻力。（1）轟炸機(jī)的速率是多少？（2）炸彈在飛行中經(jīng)過的水平距離是多少？（3）炸彈擊中目標(biāo)前一瞬間的速度沿水平和鉛直方向的分量是多少？解，以投放炸彈處為坐標(biāo)原點(diǎn)（1）（2）（3）雷達(dá)觀測(cè)員正在監(jiān)視一越來越近的拋射體，在某一時(shí)刻，靠他得到

10、這樣的信息：（1）拋射體達(dá)到最大高度且以速率v沿水平方向運(yùn)動(dòng)；（2）觀察者到拋射體的直線距離為；（3）觀測(cè)員觀察拋體的視線與水平方向成角。問：（1）拋射體命中點(diǎn)到觀察者的距離D等于多少？（2）何種情況下拋體飛越觀察者的頭頂以后才擊中目標(biāo)？何種情況下拋體在未達(dá)到觀測(cè)員以前就命中目標(biāo)？ 解，（1），命中點(diǎn)，觀測(cè)者拋射體命中點(diǎn)到觀察者的距離（2）當(dāng)，飛越觀察者的頭頂擊中目標(biāo)，即當(dāng)，拋體在未達(dá)到觀測(cè)員以前就命中目標(biāo)，即列車在圓弧形軌道上自東轉(zhuǎn)向北行駛，在我們所討論的時(shí)間范圍內(nèi)，其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為（長(zhǎng)度：m時(shí)間：s）。t=0時(shí)，列車在圖中o點(diǎn)，此圓弧形軌道的半徑r=1500m.求列車駛過o點(diǎn)以后前

11、進(jìn)至1200m處的速率及加速度。 解，采用自然坐標(biāo)系，o為自然坐標(biāo)系的原點(diǎn)。由得，當(dāng)s=1200m時(shí)，由得（舍去）因?yàn)楫?dāng)t=60時(shí)，當(dāng)，即列車駛過o點(diǎn)以后前進(jìn)至1200m處的速率為40m/s.過o點(diǎn)以后前進(jìn)至1200m處的加速度：可以算出與的夾角為1520。火車以200km/h的速度駛?cè)雸A弧形軌道，其半徑為300m。司機(jī)一進(jìn)入圓弧形軌道立即減速，減速度為2g。求火車在何處的加速度最大？最大加速度是多少？解，由上式可見t=0時(shí)（剛進(jìn)入圓弧形軌道時(shí)），a最大。代入數(shù)值得斗車在位于鉛直平面內(nèi)上下起伏的軌道運(yùn)動(dòng)。當(dāng)斗車達(dá)到圖中所示位置時(shí)，軌道曲率半徑為150m，斗車速率為50km/h,切向加

12、速度a=0.4g.求斗車的加速度。 解，加速度與水平方向的夾角飛機(jī)在某高度的水平面上飛行。機(jī)身的方向是自東北向西南，與正西夾150角，風(fēng)以100km/h的速率自西南向東北方向吹來，與正南夾450角，結(jié)果飛機(jī)向正西方向運(yùn)動(dòng)。求飛機(jī)相對(duì)于風(fēng)的速度及相對(duì)地面的速度。解，基本參照系：地面運(yùn)動(dòng)參照系：風(fēng)研究對(duì)象：飛機(jī)絕對(duì)速度：，相對(duì)速度：，牽連速度：=+（1）（2）飛機(jī)在靜止空氣中的飛行速率是235km/h，它朝正北的方向飛行，使整個(gè)飛行的時(shí)間內(nèi)都保持在一條南北向的公路上空。地面觀察者利用通訊設(shè)備告訴駕駛員正在刮著速率等于70km/h的風(fēng)，但飛機(jī)仍能以235km/h的速率沿公路方向飛行。（1）

13、風(fēng)的方向是怎樣的？（2）飛機(jī)的頭部指向哪個(gè)方向？也就是說，飛機(jī)的軸線和公路成怎樣的角度？解，基本參照系：地面運(yùn)動(dòng)參照系：風(fēng)研究對(duì)象：飛機(jī)絕對(duì)速度：，相對(duì)速度：，牽連速度：=+一輛卡車在平直路面上以恒定速率30m/s行駛，在此車上射出一拋體，要求在車前進(jìn)60m時(shí)，拋體仍落回到車上原拋出點(diǎn)，問拋體射出時(shí)相對(duì)于卡車的初速度的大小和方向，空氣阻力不計(jì)。解，以卡車為參照系，以起拋點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系o-xy,如圖所示。以拋出時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)。得：由已知，代入表明：拋射體相對(duì)卡車以9.8m/s的速率豎直上拋時(shí)，當(dāng)卡車前進(jìn)了60m，拋體落回拋射點(diǎn)。2.8.4河的兩岸互相平行，一船由A點(diǎn)朝與岸垂直的方向勻速行駛，經(jīng)10min到達(dá)對(duì)岸的C點(diǎn)。若船從A點(diǎn)出發(fā)仍按第一次渡河速率不變但垂直地到達(dá)彼岸B點(diǎn)，