牛頓萊布尼茨公式

1、裝訂線教學(xué)過程1、復(fù)習(xí)舊知識，引入課題（1）復(fù)習(xí)：定積分的概念及幾何意義 原函數(shù)的概念 導(dǎo)數(shù)的定義（2）課題引入：從上節(jié)的例題和習(xí)題中可以看到利用定積分的定義計算定積分的值是十分繁瑣且易出錯的，有時甚至無法計算。下面將通過對定積分與原函數(shù)關(guān)系的討論，到出一種計算定積分的簡便有效的方法牛頓-萊布尼茨公式。2、講解新課2.1 定積分與不定積分的聯(lián)系若質(zhì)點以速度作變速直線運動，由定積分的定義，質(zhì)點從時刻到所經(jīng)過的路程為。另一方面，質(zhì)點從某時刻到時刻 經(jīng)過的路程記為，則，于是注意到路程函數(shù)是速度函數(shù)的原函數(shù)，因此把定積分與不定積分聯(lián)系起來了，這就是下面要介紹的牛頓-萊布尼茨公式。2.2牛頓-萊布尼茨公

2、式定理：若函數(shù)在上連續(xù)，且存在原函數(shù),即，則在上可積，且裝訂線 （1）則上式稱為牛頓-萊布尼茨公式，也稱為微積分基本公式，它也常寫成 證明：由定積分定義，任給，要證明存在，當(dāng)時，有下面證明滿足如此要求的確實是存在的。事實上，對于的任一分割，在每個小區(qū)間上對使用拉格朗日中值定理，則分別存在，使得（2）因為在上連續(xù)，從而一致連續(xù)，所以對上述，存在，當(dāng)且時有于是，當(dāng)時，任取便有，這就證得裝訂線所以在上可積，且有公式（1）成立。公式使用說明：（1）在應(yīng)用公式求時，的原函數(shù)必須是初等函數(shù)，否則使用公式求失效。即的原函數(shù)可由求出。（2）定理的條件還可以適當(dāng)減弱，如：1） 對的要求可減弱為：在上連續(xù)，在內(nèi)可

3、導(dǎo)，且，不影響定理的證明。 2）對的要求可減弱為：在上可積（不一定連續(xù)），這時公式（2）仍成立。2.3 例題講解例1 利用牛頓-萊布尼茨公式計算下列定積分（1）（為正整數(shù)）（2）（3）（4）裝訂線（5）解：其中（1）（3）即為上節(jié)的例題和習(xí)題，現(xiàn)在用牛頓-萊布尼茨公式來計算就十分方便了。（1）（2）（3）（4）（5）先用不定積分法求出的任一原函數(shù)，然后完成定積分計算：例2 利用定積分求極限：解：把極限式化為某個積分和的極限式，并轉(zhuǎn)化為計算定積分。為此作如下變形：不難看出，其中的和式是函數(shù)在區(qū)間上的一個積分和（這里所取得是等分分割，），所以裝訂線當(dāng)然，也可把J看作在上定積分，同樣有注意：這類問題的解題思想，是要把所求的極限轉(zhuǎn)化為某個函數(shù)在某一區(qū)間上的積分和的極限，然后利用牛頓-萊布尼茨公式計算的值。3、課堂小結(jié)微積分基本公式：若函數(shù)在上連續(xù)，且存在原函數(shù),即，則在上可積，且 4、課后作業(yè) 習(xí)題4-3裝訂線裝訂線裝訂線裝訂線 裝訂線山西水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院教案紙 裝訂線山西水利職業(yè)技術(shù)學(xué)院教案紙裝訂線山西水利職業(yè)