矩陣的秩及其應(yīng)用

1、矩陣的秩及其應(yīng)用摘要：本文主要介紹了矩陣的秩的概念及其應(yīng)用。首先是在解線性方程組中的應(yīng)用，當(dāng)矩陣的秩為1時(shí)求特征值；其次是在多項(xiàng)式中的應(yīng)用，最后是關(guān)于矩陣的秩在解析幾何中的應(yīng)用。對(duì)于每一點(diǎn)應(yīng)用，本文都給出了相應(yīng)的具體的實(shí)例，通過(guò)例題來(lái)加深對(duì)這部分知識(shí)的理解。關(guān)鍵詞：矩陣的秩； 線性方程組； 特征值； 多項(xiàng)式引言：陣矩的秩是線性代數(shù)中的一個(gè)概念，它描述了矩陣的一個(gè)數(shù)值特征。它是矩陣的一個(gè)重要性質(zhì)。在判定向量組的線性相關(guān)性，線性方程組是否有解，求矩陣的特征值，在多項(xiàng)式、空間幾何中等多個(gè)方面都有廣泛的應(yīng)用。由于矩陣的秩的重要作用和地位，需要我們認(rèn)真學(xué)習(xí)。1矩陣的秩及其求法1.1矩陣的秩的定義定義1.

2、1.1 矩陣的行（列）向量組的秩稱為矩陣的行（列）秩。定義1.1.2 矩陣的列向量組（或行向量組）的任一極大線性無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為矩陣的秩。定義1.1.3 設(shè)在矩陣中有一個(gè)不等于零的階子式，且所有的子式（如果存在的話）全等于零，則稱矩陣的秩為，記為或秩。零矩陣的秩規(guī)定為零。 注：由定義可以看出(1)若為矩陣，則，也，即(2) , ,為非零數(shù) 1.2 矩陣的秩的求法定義法和初等變換法是我們常用的求矩陣的秩的兩種方法，下面就來(lái)比較一下這兩種方法。方法1 按定義 例1.2.1 求矩陣=的秩 解 按定義3解答，容易算出二階子式，而矩陣的所有三階子式=0，=0，=0，=0 所以 方法2 初等變換法

3、引理1.2.1 初等變換不改變矩陣的秩。 例1.2.1求矩陣的秩 解 用“”表示對(duì)A作初等變換，則有=B，在矩陣B中易知,所有三階子式全為零，且有一個(gè)二階子式0. 所以, 可得。即矩陣的秩為22矩陣的秩的應(yīng)用21矩陣的秩在解線性方程組中的應(yīng)用 解線性方程組常用的方法是消元法和利用矩陣的秩。消元法多用于方程組比較簡(jiǎn)單時(shí)。當(dāng)方程組的計(jì)算量較大時(shí)運(yùn)用矩陣的秩來(lái)求解時(shí)就顯現(xiàn)出其明顯的優(yōu)勢(shì)。 引理2.1.1 如果齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的行秩，那么它有非零解。 例2.1.1 求齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系并用它表示出全部解 解 對(duì)上面方程組的系數(shù)矩陣做初等變換可以得，由于，可知.方程組的基礎(chǔ)解系含有一個(gè)

4、線性無(wú)關(guān)的解向量，題目所給方程組的同解方程組為 ，可以令可推出 ，是原方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，因此齊次線性方程組的全部解可以表示為（為任意常數(shù)）引理2.1.2 判別線性方程組 （1）有解的條件是 與增廣矩陣有相同的秩。這說(shuō)明當(dāng)系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等時(shí)，方程組有解，當(dāng)增廣矩陣的秩等于系數(shù)矩陣的秩加1方程組無(wú)解。 例2.1.1.1 解方程組 解 用上述引理，將增廣矩陣化為階梯形。所以很顯然可得 例2.1.1.2 解方程組 解 對(duì)進(jìn)行初等行變換。=所以可知所以方程組有解。得出同解方程組，取=0，則。方程組的一個(gè)解是，原式對(duì)應(yīng)的齊次方程組的通解為。所以由以上可以求得方程組的通解為2.2：矩陣的秩在求

5、特征值中的應(yīng)用。矩陣的秩與特征值之間也有非常密切的聯(lián)系，下面就討論一下當(dāng)矩陣為1時(shí)特殊情形時(shí)，特征值的取值情況。引理2.2.1設(shè)是3階矩陣，則的特征多項(xiàng)式,其中，特別地，若秩，知道特征多項(xiàng)式 ，則矩陣A的特征值是。例2.2.1 求行列式的值 解 用上述引理的相關(guān)理論知識(shí)來(lái)解答， =+（=B）.,因此在A中，在中，。所以矩陣的特征值為，由以上可以求得行列式= 2.3：矩陣的秩在多項(xiàng)式中的一點(diǎn)應(yīng)用。在高等代數(shù)中矩陣?yán)碚摰膶W(xué)習(xí)在多項(xiàng)式理論之后，為了使同學(xué)們能夠把前后知識(shí)連貫起來(lái)，融會(huì)貫通，下面給出矩陣的秩在多項(xiàng)式中的一點(diǎn)運(yùn)用。引理2.3.1設(shè),且它們的次數(shù)都，令和，且nm,則的充要條件是線性方程組有

6、唯一解，其中=.令,.即 例2.3.1 已知，當(dāng)，為何值時(shí)，能整除。 解 能被整除的充要條件是矩陣的秩，。而。要使,需要使，所以當(dāng)時(shí)，能整除。2.4：矩陣的秩在解析幾何中的應(yīng)用在解析幾何中合理運(yùn)用矩陣方面的理論知識(shí)，可以使幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)換為代數(shù)問(wèn)題，從而使運(yùn)算更加簡(jiǎn)便。引理2.4.1已知兩條直線，矩陣與的秩分別是和，則（1）兩直線相交的充分必要條件是.(2)兩直線平行并且互異的充分必要條件是.(3)兩直線不平行也不相交的充分必要條件是.（4）兩直線重合的充分必要條件是.例2.4.1證明直線和直線平行：和：證明 由以上結(jié)論來(lái)證明：令, ,所以 ,V.所以,由引理4可以得出直線和直線平行。結(jié)束語(yǔ)：當(dāng)今

7、這個(gè)快速發(fā)展的社會(huì)，數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系日益密切。本文所舉的具體例子只是矩陣的秩在數(shù)學(xué)和生活中的一部分應(yīng)用。矩陣的秩作為代數(shù)的重要部分，它的引入為解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了新的探索途徑和方法。在一些實(shí)際的運(yùn)算中大大地簡(jiǎn)便了運(yùn)算過(guò)程和步驟，為我們的學(xué)習(xí)和應(yīng)用帶來(lái)了極大的便利。關(guān)于矩陣的秩的其他方面的知識(shí)還需要大家繼續(xù)學(xué)習(xí)。參考文獻(xiàn)1北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組 .高等代數(shù)M. 高等教育出版社，2007，25-36頁(yè).2牛少彰，劉吉佑.線性代數(shù)M.北京郵電大學(xué)出版社.2001,28-33頁(yè).3鄭千里 高等代數(shù)教與學(xué)指導(dǎo)M.東北師范大學(xué)出版社.2008,57-59頁(yè).4蔡光興 線性代數(shù)M.科學(xué)出版社.2002,18-30頁(yè).5羅雪梅，孟艷雙，鄭艷琳。淺析矩陣的秩J.高等數(shù)學(xué)研究。2003.26-28頁(yè).6郭竹梅， 矩陣的秩教學(xué)方法新探J.北京：北京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào).2009，第18卷第2期.7王蓮花，矩陣?yán)碚撛诙囗?xiàng)式中的某些應(yīng)用J.河南教育學(xué)院學(xué)報(bào).2009，第18卷第1期.8王振林