第八章 壓桿穩(wěn)定

1、第八章 壓桿穩(wěn)定學(xué)習(xí)指導(dǎo)本章分4節(jié)內(nèi)容，本章的學(xué)習(xí)目標(biāo)是：（）學(xué)習(xí)掌握壓桿穩(wěn)定的工程概念、壓桿臨界力的歐拉公式、壓桿穩(wěn)定的工程計(jì)算及提高壓桿穩(wěn)定性的措施。（）了解工程中常見的壓桿穩(wěn)定現(xiàn)象，掌握壓桿穩(wěn)定工程計(jì)算的基本方法，培養(yǎng)工作崗位有關(guān)受壓構(gòu)件設(shè)計(jì)的能力。本章重點(diǎn)難點(diǎn)為：穩(wěn)定的工程概念、壓桿穩(wěn)定的工程計(jì)算；理解兩類穩(wěn)定問題的實(shí)質(zhì)。 在某些特殊情況下（特別是桿件受壓時(shí)），盡管桿件滿足強(qiáng)度及剛度設(shè)計(jì)要求，但是，由于受力狀態(tài)的改變，使得桿件仍然處于不安全狀態(tài)，這種情形就是穩(wěn)定的范疇。§8.1壓桿穩(wěn)定的概念 物體保持靜止或勻速直線狀態(tài)稱平衡狀態(tài)。工程中的平衡狀態(tài)主要指靜止的平衡狀態(tài)。桿件受到

2、壓力后，保持靜止的平衡狀態(tài)可能是穩(wěn)定的，也可能是不穩(wěn)定的。平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性定義為：桿件在荷載作用下處于一定的位置（初始平衡位置）保持的平衡狀態(tài)稱（初始平衡狀態(tài)），受到微小外界擾動(dòng)使其偏離初始平衡位置，若外界擾動(dòng)除去后仍能回到初始平衡位置，則稱桿件的初始平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的平衡狀態(tài)；若外界擾動(dòng)除去后不能回到初始平衡位置，且偏離初始平衡位置越來越遠(yuǎn)，則稱桿件的初始平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)；若外界擾動(dòng)除去后不能回到初始平衡位置，但仍能停留在新的平衡位置，則稱桿件的初始平衡狀態(tài)是臨界平衡狀態(tài)，也稱隨遇平衡狀態(tài)。壓桿穩(wěn)定問題就是指受壓桿件處于靜止的平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性問題。 圖8.1工程中實(shí)際的壓桿，其軸線不

3、可避免的存在初彎曲，即壓桿未受力時(shí)，已呈微彎狀態(tài)，這時(shí)可簡化為具有微小彎曲的壓桿模型，如圖8.1(a)所示，稱為初彎曲壓桿。桿件所受軸向壓力的作用線，實(shí)際上也不可能與桿件軸線絕對重合，即存在初偏心，這時(shí)可簡化為具有小偏心矩的壓桿模型，如圖8.1(b)所示，稱為小偏心壓桿。初彎曲壓桿和為小偏心壓桿在軸向壓力作用下除產(chǎn)生壓縮變形外，還要產(chǎn)生彎曲變形。實(shí)質(zhì)上是偏心受壓桿件。如果小偏心壓桿的偏心距極小（近似等于零）或初彎曲壓桿的微小彎曲極?。ń频扔诹悖?，則壓桿簡化為理想軸心受壓模型，如圖8.1(c)所示。為了說明壓桿處于平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，我們?nèi)≥S心受壓的細(xì)長桿來研究。 圖8.2 圖8.2(a)為一等

4、截面的軸向受壓桿，此桿在F作用下保持直線狀態(tài)?，F(xiàn)對該壓桿施加一橫向力（干擾力），使桿處于彎曲狀態(tài)。當(dāng)F值較小時(shí)，橫向力去掉后，壓桿在直線平衡位置左右擺動(dòng)，最終仍能恢復(fù)到原來的直線形狀，如圖8.2（b）所示，此時(shí)稱桿的原有直線狀態(tài)的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的（稱為穩(wěn)定平衡狀態(tài)）； 當(dāng)F值較大時(shí)，橫向力去掉后，壓桿不僅不能恢復(fù)原有的直線形狀，而是在微彎的基礎(chǔ)上繼續(xù)彎曲，發(fā)生顯著的彎曲變形(甚至折斷)，如圖8.2（c）所示，此時(shí)稱桿的原有直線狀態(tài)的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的（稱為不穩(wěn)定平衡狀態(tài))；當(dāng)F值為某一數(shù)值時(shí)，橫向力去掉后，桿既不能恢復(fù)原有的直線形狀，也不增加其彎曲的程度，而是維持在微彎狀態(tài)，如圖8.2（d）所

5、示，此時(shí)稱桿的原有直線狀態(tài)的平衡是隨遇的（稱為隨遇平衡狀態(tài)）。隨遇平衡是介于穩(wěn)定平衡和不穩(wěn)定平衡之間的一種臨界狀態(tài)。 隨著荷載的逐漸增大，壓桿原始平衡狀態(tài)由穩(wěn)定的平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定的平衡狀態(tài)，這時(shí)桿件原始平衡狀態(tài)喪失其穩(wěn)定性，簡稱失穩(wěn)。受壓桿件處于直線狀態(tài)的平衡是否穩(wěn)定，決定于壓力F的大小。當(dāng)F小于某一值時(shí)，直線狀態(tài)的平衡是穩(wěn)定的，當(dāng)F大于該值時(shí)，直線狀態(tài)的平衡是不穩(wěn)的，其界限值稱為臨界力。臨界力是判別壓桿是否失穩(wěn)的界限。建筑結(jié)構(gòu)中的受壓桿件絕不允許處于不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，所以壓桿件承受的壓力必須小于臨界力（一般用表示）。 穩(wěn)定的概念不同于強(qiáng)度的概念。強(qiáng)度問題是，對軸向受壓桿來說，只要橫截面上

6、的正應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力即可。穩(wěn)定問題是，對軸向受壓桿來說，桿件承受的壓力超過臨界力Fcr，桿件一但受到微小干擾，表現(xiàn)為彎曲變形不斷加大，是一種動(dòng)態(tài)。軸向受壓桿特別是較細(xì)長的受壓桿遠(yuǎn)不能承受按強(qiáng)度計(jì)算的荷載（）。即臨界力遠(yuǎn)小于F。 壓桿失穩(wěn)現(xiàn)象常是突然發(fā)生的，所以，結(jié)構(gòu)中受壓桿件的失穩(wěn)常造成嚴(yán)重的后果，甚至導(dǎo)致整個(gè)結(jié)構(gòu)物的倒塌。鋼結(jié)構(gòu)工程上出現(xiàn)的較大的工程事故中，有相當(dāng)一部分是受壓構(gòu)件失穩(wěn)所致。§8.2 細(xì)長壓桿的臨界力在建筑工程中，常用壓桿臨界力的計(jì)算都可以采用歐拉公式，不同力學(xué)模型的壓桿，其臨界力的計(jì)算公式需要局部調(diào)整。8.2.1兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界力壓桿失穩(wěn)變形時(shí)，材料處

7、于彈性階段，這類問題稱為彈性穩(wěn)定問題。下面推導(dǎo)兩端為鉸支的細(xì)長桿的臨界力計(jì)算公式。如圖8.3(a)。圖8.3 細(xì)長的受壓桿當(dāng)F達(dá)到時(shí)，既可保持直線形式的平衡，又可保持微彎狀態(tài)的平衡。桿內(nèi)任一截面上的彎矩為，如圖8.3(b)所示。 （8-1） 彎曲后撓曲線近似微分方程式為： （8-2）將式(8-1)代入式(8-2)，得： （8-3）令： （8-4）則式(8-3)變?yōu)椋?（8-5）該式即為桿微彎后彈性曲線的微分方程式，其通解為： （8-6）式中、為待定常數(shù)，與桿的邊界條件有關(guān)。此桿的邊界條件為： ； （8-7）將邊界條件(8-7)代入式(8-6)得：于是式(8-6)變?yōu)椋?（8-8）將邊界條件(8

8、-7)代入式(8-8)得：因 (已知，如再為零，桿則為直桿，與微彎之前提相矛盾)，所以：由此得： (n=0，1，2，3，n) 所以： （8-9）帶入式（8-4）： (n=0，1，2，3，n) 式中n=0，則，此與討論前提不符，這里n應(yīng)取不為零的最小值，即取n=1，所以： （8-10）式(8-10)即為兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界力計(jì)算公式，該式又稱為歐拉公式。該式表明，臨界力與桿件抗彎剛度EI成正比，與桿長l的平方成反比。將帶入式（8-8）可得桿微彎時(shí)的彈性曲線的方程式：，此式為一半波正弦曲線，見圖8.4(a)。當(dāng)n=2時(shí)，由可知，彈性曲線將為兩個(gè)半波的正弦曲線，如圖8.4(b)所示；取n=3時(shí)，彈

9、性曲線將為三個(gè)半波的正弦曲線，如圖8.4(c)所示。只有在曲線拐點(diǎn)處施加支承的情況下只能出現(xiàn)圖8.4（a）示的形式。 圖8.48.2.2其它桿端約束下細(xì)長壓桿的臨界力 細(xì)長壓桿的兩端為其它支承形式時(shí)，由于桿端的支承對桿的變形起到約束作用，不同的支承形式對桿件變形的約束作用也不同，因此，同一受壓桿當(dāng)兩端的支承情況不同時(shí)，其臨界力值也就必然不同。細(xì)長壓桿的兩端為其它支承形式時(shí)的臨界力公式，推導(dǎo)過程與兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界力公式推導(dǎo)過程相似，這里不一一推導(dǎo)，結(jié)果見表8.1。表8.1從表中可看到，各臨界力公式中，只是分母中l(wèi)前邊的系數(shù)不同，所以臨界力公式可以寫成統(tǒng)一形式如下： (8-11)式中，稱為計(jì)

10、算長度，稱為長度系數(shù)。由各支承情況下壓桿的失穩(wěn)時(shí)撓曲線形狀可看到，計(jì)算長度都相當(dāng)于一個(gè)半波正弦曲線的弦長。例如，一端嵌固一端自由的壓桿，撓曲線為半個(gè)半波正弦曲線，其兩倍相當(dāng)于一個(gè)半波正弦曲線，故計(jì)算長度為2l；一端嵌固另一端可上下移動(dòng)但不能轉(zhuǎn)動(dòng)的情況，其撓曲線存在兩個(gè)反彎點(diǎn)(反彎點(diǎn)處彎矩為零)，反彎點(diǎn)位于距端點(diǎn)1/4處，中間0.5l部分即為一個(gè)半波正弦曲線，故計(jì)算長度為0.5l；一端嵌固一端鉸支的情況，其反彎點(diǎn)位于距鉸支端0.7l處(由計(jì)算所得)，0.7l范圍內(nèi)的撓曲線彈相當(dāng)于一個(gè)半波正弦曲線，故計(jì)算長度為0.7l。8.2.3 壓桿穩(wěn)定的計(jì)算 壓桿臨界力計(jì)算主要介紹的內(nèi)容包括：臨界應(yīng)力、歐拉公

11、式的適用范圍及拋物線公式，這些內(nèi)容對于壓桿的穩(wěn)定力學(xué)分析是非常重要的。1、臨界應(yīng)力 臨界力除以壓桿的橫截面面積，所得的應(yīng)力稱為臨界應(yīng)力，用表示，即： （8-12）式中令：稱截面的慣性半徑。 式（8-12）可寫成： 式中令： 則有： （8-13）式（10-13）是歐拉公式（8-11）的另一種表達(dá)形式。稱為長細(xì)比，又稱為柔度。由式(8-3)可知，長細(xì)比與、有關(guān)。決定于壓桿的截面形狀與尺寸，取決于壓桿的支承情況。從物理意義上看，綜合地反映了壓桿的長度、截面的形狀與尺寸以及支承情況對臨界應(yīng)力的影響。從式（10-13）可看到，當(dāng)E值一定時(shí)，與成反比，說明對于由一種材制成的壓桿，臨界應(yīng)力僅決定于長細(xì)比，值

12、越大越小，壓桿就越容易失穩(wěn)。2、歐拉公式的適用范圍 此近似微分方程推導(dǎo)時(shí)在推導(dǎo)該公式時(shí)，應(yīng)用了撓曲線的近似微分方程：此近似微分方程推導(dǎo)時(shí)是以下式為基礎(chǔ)的 而上式是建立在胡克定律的基礎(chǔ)上，因此，歐拉公式成立的條件應(yīng)該是：當(dāng)壓桿所受的壓力達(dá)到臨界力時(shí)，材料仍服從胡克定律。也就是臨界應(yīng)力不能超過材料的比例極限。也就是：，將式子帶入可得：令上式為： (8-14) 上式就是歐拉公式的適用范圍的數(shù)學(xué)表達(dá)式。只有滿足該式時(shí)，才能用歐拉公式計(jì)算壓桿的臨界力或臨界應(yīng)力，是判別歐拉公式能否應(yīng)用的柔度，稱為判別柔度。大于的壓桿稱為大柔度桿，由此可知，歐拉公式只適用于較細(xì)長的大柔度桿。 每種材料都有自己E值和值，所以

13、，不同材料制成的壓桿值也不同。例如，Q235鋼的E和，分別為E=2.06×105MPa， =200 MPa，其則為：可見，對于用Q235鋼制成的壓桿，只有在=100時(shí)，才能用歐拉公式。§8.3 壓桿穩(wěn)定的計(jì)算 工程中壓桿穩(wěn)定的計(jì)算常見的方法有拋物線公式法、折減系數(shù)法、安全因素法，本節(jié)選取折減系數(shù)這一方法為例介紹壓桿穩(wěn)定的計(jì)算。8.3.1折減系數(shù)法 工程中常用安全系數(shù)來保證結(jié)構(gòu)的安全，前面所采用的安全系數(shù)是基本安全系數(shù)K?，F(xiàn)在考慮壓桿穩(wěn)定的安全系數(shù)處了因該考慮K外還必須考慮壓桿可能存在的初彎矩、材質(zhì)不均勻、荷載的初始偏心等因素的影響，常采用將壓桿的臨界應(yīng)力的許用值表示為用材料

14、的許用壓應(yīng)力（）乘以一個(gè)來表示，即：。稱為折減因數(shù)。因?yàn)榕R界應(yīng)力的許用值總小于材料的許用壓應(yīng)力，所以總是小于1的。壓桿的臨界應(yīng)力與構(gòu)件的長細(xì)比有關(guān)，所以臨界應(yīng)力的許用值也與構(gòu)件的長細(xì)比有關(guān)，另外臨界應(yīng)力的許用值是在壓桿的臨界應(yīng)力的基礎(chǔ)上除以一個(gè)大于1的穩(wěn)定安全因數(shù)Kw。構(gòu)件長細(xì)比不同，穩(wěn)定安全因數(shù)Kw不同。所以當(dāng)一定時(shí)，決定于壓桿的長細(xì)比和。越大，越小。工程中，為方便計(jì)算，根據(jù)不同材料，將與之間的關(guān)系列成表，由直接差得值。見表10.2。表10.2 Q235鋼16錳鋼木材Q235鋼16錳鋼木材01.0001.0001.0001100.5360.3840.248100.9950.9930.9711

15、200.4660.3250.208200.9810.9730.9321300.4010.2790.178300.9580.9400.8831400.3490.2420.153400.9270.8950.8221500.3060.2130.133500.8880.8400.7511600.2720.1880.117600.8420.7760.6681700.2430.1680.104700.7890.7050.5751800.2180.1510.093800.7310.6270.4701900.1970.1360.083900.6690.5460.3702000.1800.1240.075100

16、0.6040.4620.3008.3.2壓桿的穩(wěn)定條件 （8-15）式中：軸向壓力； A 桿件的橫截面面積； 其他符號同前面。上式通常寫成： （8-16）例8-1 如圖8.5(a）所示結(jié)構(gòu)由兩根直徑相同的圓桿組成，材料為Q235鋼，已知h=0.4m，直徑d=20mm，材料的許用應(yīng)力=170Mpa，荷載F=15kN，試校核二桿的穩(wěn)定。圖8.5解：先求二桿所受壓力，取結(jié)點(diǎn)A平衡，平衡方程為： ， ， 解得二桿所受壓力分別為： 二桿的長度分別為： 二桿的長細(xì)比分別為：由和查得折減因數(shù)：=0.515=0.272壓桿的穩(wěn)定條件公式，AB桿：MPaAC桿：MPa§8.4 提高壓桿穩(wěn)定性的措施 要

17、想提高壓桿的穩(wěn)定性，應(yīng)該考慮如何提高壓桿的臨界應(yīng)力。從壓桿的臨界應(yīng)力公式可以看出，壓桿的材料(E)與長細(xì)比()是兩個(gè)主要因素。下面分別討論如何根據(jù)這些因素達(dá)到提高壓桿穩(wěn)定性的措施。 1、合理選用材料 不同材料的彈性模量E不同，選用彈性模量E大的材料制造受壓桿件可以提高壓桿的臨界力。2、選擇合理的截面形狀構(gòu)件的長細(xì)比隨截面的慣性半徑i的增大而減小，在截面面積相同的條件下，如果截面的慣性矩大，則慣性半徑i大，要使截面的慣性矩大，可以通過使截面分布得遠(yuǎn)離形心主軸來實(shí)現(xiàn)。常采用空心截面和型鋼組合截面，如圖8.6(b)、(d)所示截面，其中圖8.6(a)與圖8.6(b)的截面面積相同，顯然，空心圓較實(shí)心

18、圓合理。需要注意的是，截面為空心圓的壓桿，其壁厚不可太薄，否則在軸向壓力作用下管壁會發(fā)生折皺而使壓桿喪失承載能力。圖8.6(c)與圖8.6(d)均為用四根等邊角鋼組合成的壓桿截面，顯然，圖8.6(d)所示方案較圖8.6(c)的合理。圖8.63、減小壓桿長度構(gòu)件的長細(xì)比除與截面的慣性半徑i有關(guān)外，還與計(jì)算長度有關(guān)。在允許的情況下，盡量減小壓桿長度，或在壓桿上增設(shè)中間支撐，都可以使桿件的計(jì)算長度減小，降低桿件的長細(xì)比，從而有效地提高穩(wěn)定性。4、改善桿端支承情況從表8.1可以看出，桿端約束越強(qiáng)，長度系數(shù)值越小。因此，可以用增強(qiáng)桿端約束的辦法減小值，達(dá)到降低長細(xì)比，提高壓桿穩(wěn)定性。知識要點(diǎn)回顧1、失穩(wěn)：壓桿原始平衡狀態(tài)由穩(wěn)定的平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定的平衡狀態(tài)，這時(shí)桿件原始平衡狀態(tài)喪失其穩(wěn)定性，簡稱。2、臨界力公式：3、臨界應(yīng)力公式：4、歐拉公式的適用范圍：5、壓桿的穩(wěn)定條件或6、提高壓桿穩(wěn)定性的措施（1）合理選用材料（2）選擇合理的截面形狀（3）減小壓桿長度（4）改善桿端支承情況技能訓(xùn)練8.1兩根細(xì)長壓桿a、b的長度，橫截面面積、約束狀態(tài)及材料均相同，若其橫截面形狀分別為正方形和圓形，則兩桿的臨界壓力和的關(guān)系為（）。 A= B C D 不能確定8.2材料和長細(xì)比相同的兩根壓桿，下列說法正確的是（）。 A臨界應(yīng)力一定相等，臨界力不一定