同濟大學高等數(shù)學課后答案詳解全集

1、 同濟六版高等數(shù)學課后答案全集第一章習題1-1 1. 設A=(-¥, -5)È(5, +¥), B=-10, 3), 寫出AÈB, AÇB, AB及A(AB)的表達式. 解 AÈB=(-¥, 3)È(5, +¥), AÇB=-10, -5), AB=(-¥, -10)È(5, +¥), A(AB)=-10, -5). 2. 設A、B是任意兩個集合, 證明對偶律: (AÇB)C=AC ÈBC . 證明 因為 xÎ(AÇB)C&#

2、219;xÏAÇBÛ xÏA或xÏBÛ xÎAC或xÎBC Û xÎAC ÈBC, 所以 (AÇB)C=AC ÈBC . 3. 設映射f : X ®Y, AÌX, BÌX . 證明 (1)f(AÈB)=f(A)Èf(B); (2)f(AÇB)Ìf(A)Çf(B). 證明 因為 yÎf(AÈB)Û$xÎAÈB, 使f(x)=y Û

3、(因為xÎA或xÎB) yÎf(A)或yÎf(B) Û yÎf(A)Èf(B), 所以 f(AÈB)=f(A)Èf(B). (2)因為 yÎf(AÇB)Þ$xÎAÇB, 使f(x)=yÛ(因為xÎA且xÎB) yÎf(A)且yÎf(B)Þ yÎ f(A)Çf(B),所以 f(AÇB)Ìf(A)Çf(B). 4. 設映射f : X®Y, 若

4、存在一個映射g: Y®X, 使, , 其中IX、IY分別是X、Y上的恒等映射, 即對于每一個xÎX, 有IX x=x; 對于每一個yÎY, 有IY y=y. 證明: f是雙射, 且g是f的逆映射: g=f -1. 證明 因為對于任意的yÎY, 有x=g(y)ÎX, 且f(x)=fg(y)=Iy y=y, 即Y中任意元素都是X中某元素的像, 所以f為X到Y的滿射. 又因為對于任意的x1¹x2, 必有f(x1)¹f(x2), 否則若f(x1)=f(x2)Þg f(x1)=gf(x2) Þ x1=x2. 因此f

5、既是單射, 又是滿射, 即f是雙射. 對于映射g: Y®X, 因為對每個yÎY, 有g(y)=xÎX, 且滿足f(x)=fg(y)=Iy y=y, 按逆映射的定義, g是f的逆映射. 5. 設映射f : X®Y, AÌX . 證明: (1)f -1(f(A)ÉA; (2)當f是單射時, 有f -1(f(A)=A . 證明 (1)因為xÎA Þ f(x)=yÎf(A) Þ f -1(y)=xÎf -1(f(A), 所以 f -1(f(A)ÉA. (2)由(1)知f -1(f(A

6、)ÉA. 另一方面, 對于任意的xÎf -1(f(A)Þ存在yÎf(A), 使f -1(y)=xÞf(x)=y . 因為yÎf(A)且f是單射, 所以xÎA. 這就證明了f -1(f(A)ÌA. 因此f -1(f(A)=A . 6. 求下列函數(shù)的自然定義域: (1); 解 由3x+2³0得. 函數(shù)的定義域為. (2); 解 由1-x2¹0得x¹±1. 函數(shù)的定義域為(-¥, -1)È(-1, 1)È(1, +¥). (3); 解 由x&

7、#185;0且1-x2³0得函數(shù)的定義域D=-1, 0)È(0, 1. (4); 解 由4-x2>0得 |x|<2. 函數(shù)的定義域為(-2, 2). (5); 解 由x³0得函數(shù)的定義D=0, +¥). (6) y=tan(x+1); 解 由(k=0, ±1, ±2, × × ×)得函數(shù)的定義域為(k=0, ±1, ±2, × × ×). (7) y=arcsin(x-3); 解 由|x-3|£1得函數(shù)的定義域D=2, 4. (8);

8、 解 由3-x³0且x¹0得函數(shù)的定義域D=(-¥, 0)È(0, 3). (9) y=ln(x+1); 解 由x+1>0得函數(shù)的定義域D=(-1, +¥). (10). 解 由x¹0得函數(shù)的定義域D=(-¥, 0)È(0, +¥). 7. 下列各題中, 函數(shù)f(x)和g(x)是否相同？為什么？ (1)f(x)=lg x2, g(x)=2lg x; (2) f(x)=x, g(x)=; (3),. (4)f(x)=1, g(x)=sec2x-tan2x . 解 (1)不同. 因為定義域不同. (2)

9、不同. 因為對應法則不同, x<0時, g(x)=-x. (3)相同. 因為定義域、對應法則均相相同. (4)不同. 因為定義域不同. 8. 設, 求, , , j(-2), 并作出函數(shù)y=j(x)的圖形. 解 , , , . 9. 試證下列函數(shù)在指定區(qū)間內的單調性: (1), (-¥, 1); (2)y=x+ln x, (0, +¥). 證明 (1)對于任意的x1, x2Î(-¥, 1), 有1-x1>0, 1-x2>0. 因為當x1<x2時, , 所以函數(shù)在區(qū)間(-¥, 1)內是單調增加的. (2)對于任意的x1,

10、x2Î(0, +¥), 當x1<x2時, 有 , 所以函數(shù)y=x+ln x在區(qū)間(0, +¥)內是單調增加的. 10. 設 f(x)為定義在(-l, l)內的奇函數(shù), 若f(x)在(0, l)內單調增加, 證明f(x)在(-l, 0)內也單調增加. 證明 對于"x1, x2Î(-l, 0)且x1<x2, 有-x1, -x2Î(0, l)且-x1>-x2. 因為f(x)在(0, l)內單調增加且為奇函數(shù), 所以f(-x2)<f(-x1), -f(x2)<-f(x1), f(x2)>f(x1), 這就證

11、明了對于"x1, x2Î(-l, 0), 有f(x1)< f(x2), 所以f(x)在(-l, 0)內也單調增加. 11. 設下面所考慮的函數(shù)都是定義在對稱區(qū)間(-l, l)上的, 證明: (1)兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù), 兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù); (2)兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù), 兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù), 偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù). 證明 (1)設F(x)=f(x)+g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函數(shù), 則 F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x), 所以F(x)為偶函數(shù), 即兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù). 如果f(x)和g(x)都是

12、奇函數(shù), 則 F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-F(x), 所以F(x)為奇函數(shù), 即兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù). (2)設F(x)=f(x)×g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函數(shù), 則 F(-x)=f(-x)×g(-x)=f(x)×g(x)=F(x), 所以F(x)為偶函數(shù), 即兩個偶函數(shù)的積是偶函數(shù). 如果f(x)和g(x)都是奇函數(shù), 則 F(-x)=f(-x)×g(-x)=-f(x)-g(x)=f(x)×g(x)=F(x), 所以F(x)為偶函數(shù), 即兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù). 如果f(x)是偶函數(shù), 而g(

13、x)是奇函數(shù), 則 F(-x)=f(-x)×g(-x)=f(x)-g(x)=-f(x)×g(x)=-F(x), 所以F(x)為奇函數(shù), 即偶函數(shù)與奇函數(shù)的積是奇函數(shù). 12. 下列函數(shù)中哪些是偶函數(shù), 哪些是奇函數(shù), 哪些既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)？ (1)y=x2(1-x2); (2)y=3x2-x3; (3); (4)y=x(x-1)(x+1); (5)y=sin x-cos x+1; (6). 解 (1)因為f(-x)=(-x)21-(-x)2=x2(1-x2)=f(x), 所以f(x)是偶函數(shù). (2)由f(-x)=3(-x)2-(-x)3=3x2+x3可見f(x)既非奇

14、函數(shù)又非偶函數(shù). (3)因為, 所以f(x)是偶函數(shù). (4)因為f(-x)=(-x)(-x-1)(-x+1)=-x(x+1)(x-1)=-f(x), 所以f(x)是奇函數(shù). (5)由f(-x)=sin(-x)-cos(-x)+1=-sin x-cos x+1可見f(x)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù). (6)因為, 所以f(x)是偶函數(shù). 13. 下列各函數(shù)中哪些是周期函數(shù)？對于周期函數(shù), 指出其周期: (1)y=cos(x-2); 解 是周期函數(shù), 周期為l=2p. (2)y=cos 4x; 解 是周期函數(shù), 周期為. (3)y=1+sin px; 解 是周期函數(shù), 周期為l=2. (4)y=xco

15、s x; 解 不是周期函數(shù). (5)y=sin2x. 解 是周期函數(shù), 周期為l=p. 14. 求下列函數(shù)的反函數(shù): (1); 解 由得x=y3-1, 所以的反函數(shù)為y=x3-1. (2); 解 由得, 所以的反函數(shù)為. (3)(ad-bc¹0); 解 由得, 所以的反函數(shù)為. (4) y=2sin3x; 解 由y=2sin 3x得, 所以y=2sin3x的反函數(shù)為. (5) y=1+ln(x+2); 解 由y=1+ln(x+2)得x=ey-1-2, 所以y=1+ln(x+2)的反函數(shù)為y=ex-1-2. (6). 解 由得, 所以的反函數(shù)為. 15. 設函數(shù)f(x)在數(shù)集X上有定義

16、, 試證: 函數(shù)f(x)在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界. 證明 先證必要性. 設函數(shù)f(x)在X上有界, 則存在正數(shù)M, 使|f(x)|£M, 即-M£f(x)£M. 這就證明了f(x)在X上有下界-M和上界M. 再證充分性. 設函數(shù)f(x)在X上有下界K1和上界K2, 即K1£f(x)£ K2 . 取M=max|K1|, |K2|, 則 -M£ K1£f(x)£ K2£M , 即 |f(x)|£M. 這就證明了f(x)在X上有界. 16. 在下列各題中, 求由所給函數(shù)復合而

17、成的函數(shù), 并求這函數(shù)分別對應于給定自變量值x1和x2的函數(shù)值: (1) y=u2, u=sin x, , ; 解 y=sin2x, ,. (2) y=sin u, u=2x, ,; 解 y=sin2x, ,. (3), u=1+x2, x1=1, x2= 2; 解 , , . (4) y=eu, u=x2, x1 =0, x2=1; 解 , , . (5) y=u2 , u=ex , x1=1, x2=-1. 解 y=e2x, y1=e2×1=e2, y2=e2×(-1)=e-2. 17. 設f(x)的定義域D=0, 1, 求下列各函數(shù)的定義域: (1) f(x2); 解

18、 由0£x2£1得|x|£1, 所以函數(shù)f(x2)的定義域為-1, 1. (2) f(sinx); 解 由0£sin x£1得2np£x£(2n+1)p (n=0, ±1, ±2× × ×), 所以函數(shù)f(sin x)的定義域為2np, (2n+1)p (n=0, ±1, ±2× × ×) . (3) f(x+a)(a>0); 解 由0£x+a£1得-a£x£1-a, 所以函數(shù)f(

19、x+a)的定義域為-a, 1-a. (4) f(x+a)+f(x-a)(a>0). 解 由0£x+a£1且0£x-a£1得: 當時, a£x£1-a; 當時, 無解. 因此當時函數(shù)的定義域為a, 1-a, 當時函數(shù)無意義. 18. 設, g(x)=ex , 求fg(x)和gf(x), 并作出這兩個函數(shù)的圖形. 解 , 即. , 即. 19. 已知水渠的橫斷面為等腰梯形, 斜角j=40°(圖1-37). 當過水斷面ABCD的面積為定值S0時, 求濕周L(L=AB+BC+CD)與水深h之間的函數(shù)關系式, 并指明其定義域.

20、圖1-37 解 , 又從得, 所以. 自變量h的取值范圍應由不等式組h>0, 確定, 定義域為. 20. 收斂音機每臺售價為90元, 成本為60元. 廠方為鼓勵銷售商大量采購, 決定凡是訂購量超過100臺以上的, 每多訂購1臺, 售價就降低1分, 但最低價為每臺75元. (1)將每臺的實際售價p表示為訂購量x的函數(shù); (2)將廠方所獲的利潤P表示成訂購量x的函數(shù); (3)某一商行訂購了1000臺, 廠方可獲利潤多少？ 解 (1)當0£x£100時, p=90. 令0.01(x0-100)=90-75, 得x0=1600. 因此當x³1600時, p=75.

21、當100<x<1600時, p=90-(x-100)´0.01=91-0. 01x. 綜合上述結果得到 . (2). (3) P=31´1000-0.01´10002=21000(元). 習題1-2 1. 觀察一般項xn如下的數(shù)列xn的變化趨勢, 寫出它們的極限: (1); 解 當n®¥時, ®0, . (2); 解 當n®¥時, ®0, . (3); 解 當n®¥時, ®2, . (4); 解 當n®¥時, ®0, . (5) xn

22、=n(-1)n. 解 當n®¥時, xn=n(-1)n沒有極限. 2. 設數(shù)列xn的一般項. 問=? 求出N, 使當n>N時, xn與其極限之差的絕對值小于正數(shù)e , 當e =0.001時, 求出數(shù)N. 解 . . "e >0, 要使|x n-0|<e , 只要, 也就是. 取, 則"n>N, 有|xn-0|<e . 當e =0.001時, =1000. 3. 根據(jù)數(shù)列極限的定義證明: (1); 分析 要使, 只須, 即. 證明 因為"e>0, $, 當n>N時, 有, 所以. (2); 分析 要使,

23、只須, 即. 證明 因為"e>0, $, 當n>N時, 有, 所以. (3); 分析 要使, 只須. 證明 因為"e>0, $, 當"n>N時, 有, 所以. (4). 分析 要使|0.99 × × × 9-1|, 只須<e , 即. 證明 因為"e>0, $, 當"n>N時, 有|0.99 × × × 9-1|<e , 所以. 4. , 證明. 并舉例說明: 如果數(shù)列|xn|有極限, 但數(shù)列xn未必有極限. 證明 因為, 所以"

24、;e>0, $NÎN, 當n>N時, 有, 從而|un|-|a|£|un-a|<e . 這就證明了. 數(shù)列|xn|有極限, 但數(shù)列xn未必有極限. 例如, 但不存在. 5. 設數(shù)列xn有界, 又, 證明: . 證明 因為數(shù)列xn有界, 所以存在M, 使"nÎZ, 有|xn|£M. 又, 所以"e>0, $NÎN, 當n>N時, 有. 從而當n>N時, 有 , 所以. 6. 對于數(shù)列xn, 若x2k-1®a(k®¥), x2k ®a(k ®&

25、#165;), 證明: xn®a(n®¥). 證明 因為x2k-1®a(k®¥), x2k ®a(k ®¥), 所以"e>0, $K1, 當2k-1>2K1-1時, 有| x2k-1-a|<e ; $K2, 當2k>2K2時, 有|x2k-a|<e . 取N=max2K1-1, 2K2, 只要n>N, 就有|xn-a|<e . 因此xn®a (n®¥).習題1-3 1. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明: (1); 分析 因為 |(3

26、x-1)-8|=|3x-9|=3|x-3|, 所以要使|(3x-1)-8|<e , 只須. 證明 因為"e>0, $, 當0<|x-3|<d時, 有 |(3x-1)-8|<e , 所以. (2); 分析 因為 |(5x+2)-12|=|5x-10|=5|x-2|, 所以要使|(5x+2)-12|<e , 只須. 證明 因為"e >0, $, 當0<|x-2|<d時, 有 |(5x+2)-12|<e , 所以. (3); 分析 因為 , 所以要使, 只須. 證明 因為"e >0, $, 當0<|

27、x-(-2)|<d時, 有 , 所以. (4). 分析 因為 , 所以要使, 只須. 證明 因為"e >0, $, 當時, 有 , 所以. 2. 根據(jù)函數(shù)極限的定義證明: (1); 分析 因為 , 所以要使, 只須, 即. 證明 因為"e >0, $, 當|x|>X時, 有 , 所以. (2). 分析 因為 . 所以要使, 只須, 即. 證明 因為"e>0, $, 當x>X時, 有 , 所以. 3. 當x®2時, y=x2®4. 問d等于多少, 使當|x-2|<d時, |y-4|<0.001？ 解

28、 由于當x®2時, |x-2|®0, 故可設|x-2|<1, 即1<x<3. 要使 |x2-4|=|x+2|x-2|<5|x-2|<0.001, 只要. 取d=0.0002, 則當0<|x-2|<d時, 就有|x2-4|<0. 001. 4. 當x®¥時, , 問X等于多少, 使當|x|>X時, |y-1|<0.01? 解 要使, 只要, 故. 5. 證明函數(shù)f(x)=|x|當x®0時極限為零. 證明 因為 |f(x)-0|=|x|-0|=|x|=|x-0|, 所以要使|f(x)-0|

29、<e, 只須|x|<e. 因為對"e>0, $d=e, 使當0<|x-0|<d, 時有 |f(x)-0|=|x|-0|<e, 所以. 6. 求 當x®0時的左右極限, 并說明它們在x®0時的極限是否存在. 證明 因為 , , , 所以極限存在. 因為 , , , 所以極限不存在. 7. 證明: 若x®+¥及x®-¥時, 函數(shù)f(x)的極限都存在且都等于A, 則. 證明 因為, , 所以"e>0, $X1>0, 使當x<-X1時, 有|f(x)-A|<e ;

30、 $X2>0, 使當x>X2時, 有|f(x)-A|<e . 取X=maxX1, X2, 則當|x|>X時, 有|f(x)-A|<e , 即. 8. 根據(jù)極限的定義證明: 函數(shù)f(x)當x®x0 時極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等. 證明 先證明必要性. 設f(x)®A(x®x0), 則"e>0, $d>0, 使當0<|x-x0|<d 時, 有|f(x)-A|<e . 因此當x0-d<x<x0和x0<x<x0+d 時都有|f(x)-A|<e .

31、 這說明f(x)當x®x0時左右極限都存在并且都等于A . 再證明充分性. 設f(x0-0)=f(x0+0)=A, 則"e>0, $d1>0, 使當x0-d1<x<x0時, 有| f(x)-A<e ; $d2>0, 使當x0<x<x0+d2時, 有| f(x)-A|<e . 取d=mind1, d2, 則當0<|x-x0|<d 時, 有x0-d1<x<x0及x0<x<x0+d2 , 從而有| f(x)-A|<e , 即f(x)®A(x®x0). 9. 試給出x

32、®¥時函數(shù)極限的局部有界性的定理, 并加以證明. 解 x®¥時函數(shù)極限的局部有界性的定理: 如果f(x)當x®¥時的極限存在, 則存在X>0及M>0, 使當|x|>X時, |f(x)|<M. 證明 設f(x)®A(x®¥), 則對于e =1, $X>0, 當|x|>X時, 有|f(x)-A|<e =1. 所以 |f(x)|=|f(x)-A+A|£|f(x)-A|+|A|<1+|A|. 這就是說存在X>0及M>0, 使當|x|>X時

33、, |f(x)|<M, 其中M=1+|A|. 習題1-4 1. 兩個無窮小的商是否一定是無窮??？舉例說明之. 解 不一定. 例如, 當x®0時, a(x)=2x, b(x)=3x都是無窮小, 但, 不是無窮小. 2. 根據(jù)定義證明: (1)當x®3時為無窮小; (2)當x®0時為無窮小. 證明 (1)當x¹3時. 因為"e>0, $d=e , 當0<|x-3|<d時, 有, 所以當x®3時為無窮小. (2)當x¹0時. 因為"e>0, $d=e , 當0<|x-0|<d時,

34、 有, 所以當x®0時為無窮小. 3. 根據(jù)定義證明: 函數(shù)為當x®0時的無窮大. 問x應滿足什么條件, 能使|y|>104？ 證明 分析, 要使|y|>M, 只須, 即. 證明 因為"M>0, $, 使當0<|x-0|<d時, 有, 所以當x®0時, 函數(shù)是無窮大. 取M=104, 則. 當時, |y|>104. 4. 求下列極限并說明理由: (1); (2). 解 (1)因為, 而當x®¥ 時是無窮小, 所以. (2)因為(x¹1), 而當x®0時x為無窮小, 所以. 5.

35、根據(jù)函數(shù)極限或無窮大定義, 填寫下表:f(x)®Af(x)®¥f(x)®+¥f(x)®-¥x®x0"e>0, $d>0, 使當0<|x-x0|<d時, 有恒|f(x)-A|<e. x®x0+x®x0-x®¥"e>0, $X>0, 使當|x|>X時, 有恒|f(x)|>M.x®+¥x®-¥解f(x)®Af(x)®¥f(x)®+

36、¥f(x)®-¥x®x0"e>0, $d>0, 使當0<|x-x0|<d時, 有恒|f(x)-A|<e. "M>0, $d>0, 使當0<|x-x0|<d時, 有恒|f(x)|>M."M>0, $d>0, 使當0<|x-x0|<d時, 有恒f(x)>M."M>0, $d>0, 使當0<|x-x0|<d時, 有恒f(x)<-M.x®x0+"e>0, $d>0, 使當0

37、<x-x0<d時, 有恒|f(x)-A|<e. "M>0, $d>0, 使當0<x-x0<d時, 有恒|f(x)|>M."M>0, $d>0, 使當0<x-x0<d時, 有恒f(x)>M."M>0, $d>0, 使當0<x-x0<d時, 有恒f(x)<-M.x®x0-"e>0, $d>0, 使當0<x0-x<d時, 有恒|f(x)-A|<e. "M>0, $d>0, 使當0<x0-

38、x<d時, 有恒|f(x)|>M."M>0, $d>0, 使當0<x0-x<d時, 有恒f(x)>M."M>0, $d>0, 使當0<x0-x<d時, 有恒f(x)<-M.x®¥"e>0, $X>0, 使當|x|>X時, 有恒|f(x)-A|<e. "e>0, $X>0, 使當|x|>X時, 有恒|f(x)|>M."e>0, $X>0, 使當|x|>X時, 有恒f(x)>M.&quo

39、t;e>0, $X>0, 使當|x|>X時, 有恒f(x)<-M.x®+¥"e>0, $X>0, 使當x>X時, 有恒|f(x)-A|<e. "e>0, $X>0, 使當x>X時, 有恒|f(x)|>M."e>0, $X>0, 使當x>X時, 有恒f(x)>M."e>0, $X>0, 使當x>X時, 有恒f(x)<-M.x®-¥"e>0, $X>0, 使當x<-X時,

40、有恒|f(x)-A|<e. "e>0, $X>0, 使當x<-X時, 有恒|f(x)|>M."e>0, $X>0, 使當x<-X時, 有恒f(x)>M."e>0, $X>0, 使當x<-X時, 有恒f(x)<-M. 6. 函數(shù)y=xcos x在(-¥, +¥)內是否有界？這個函數(shù)是否為當x®+¥ 時的無窮大？為什么？ 解 函數(shù)y=xcos x在(-¥, +¥)內無界. 這是因為"M>0, 在(-¥, +

41、¥)內總能找到這樣的x, 使得|y(x)|>M. 例如y(2kp)=2kp cos2kp=2kp (k=0, 1, 2, × × ×), 當k充分大時, 就有| y(2kp)|>M. 當x®+¥ 時, 函數(shù)y=xcos x不是無窮大. 這是因為"M>0, 找不到這樣一個時刻N, 使對一切大于N的x, 都有|y(x)|>M. 例如(k=0, 1, 2, × × ×), 對任何大的N, 當k充分大時, 總有, 但|y(x)|=0<M. 7. 證明: 函數(shù)在區(qū)間(0, 1

42、上無界, 但這函數(shù)不是當x®0+時的無窮大. 證明 函數(shù)在區(qū)間(0, 1上無界. 這是因為 "M>0, 在(0, 1中總可以找到點xk, 使y(xk)>M. 例如當(k=0, 1, 2, × × ×)時, 有, 當k充分大時, y(xk)>M. 當x®0+ 時, 函數(shù)不是無窮大. 這是因為 "M>0, 對所有的d>0, 總可以找到這樣的點xk, 使0<xk<d, 但y(xk)<M. 例如可取(k=0, 1, 2, × × ×), 當k充分大時, x

43、k<d, 但y(xk)=2kpsin2kp=0<M. 習題1-5 1. 計算下列極限: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4); 解 . (5); 解 . (6); 解 . (7); 解 . (8); 解 (分子次數(shù)低于分母次數(shù), 極限為零). 或 . (9); 解 . (10); 解 . (11); 解 . (12); 解 . (13); 解 (分子與分母的次數(shù)相同, 極限為最高次項系數(shù)之比). 或 . (14); 解 . 2. 計算下列極限: (1); 解 因為, 所以. (2); 解 (因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)). (3). 解 (因為分子次數(shù)高于分母次

44、數(shù)). 3. 計算下列極限: (1); 解 (當x®0時, x2是無窮小, 而是有界變量). (2). 解 (當x®¥時, 是無窮小, 而arctan x是有界變量). 4. 證明本節(jié)定理3中的(2).習題1-5 1. 計算下列極限: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4); 解 . (5); 解 . (6); 解 . (7); 解 . (8); 解 (分子次數(shù)低于分母次數(shù), 極限為零). 或 . (9); 解 . (10); 解 . (11); 解 . (12); 解 . (13); 解 (分子與分母的次數(shù)相同, 極限為最高次項系數(shù)之比).

45、 或 . (14); 解 . 2. 計算下列極限: (1); 解 因為, 所以. (2); 解 (因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)). (3). 解 (因為分子次數(shù)高于分母次數(shù)). 3. 計算下列極限: (1); 解 (當x®0時, x2是無窮小, 而是有界變量). (2). 解 (當x®¥時, 是無窮小, 而arctan x是有界變量). 4. 證明本節(jié)定理3中的(2).習題 1-7 1. 當x®0時, 2x-x2 與x2-x3相比, 哪一個是高階無窮??？ 解 因為, 所以當x®0時, x2-x3是高階無窮小, 即x2-x3=o(2x-x2). 2.

46、 當x®1時, 無窮小1-x和(1)1-x3, (2)是否同階？是否等價？ 解 (1)因為, 所以當x®1時, 1-x和1-x3是同階的無窮小, 但不是等價無窮小. (2)因為, 所以當x®1時, 1-x和是同階的無窮小, 而且是等價無窮小. 3. 證明: 當x®0時, 有: (1) arctan xx; (2). 證明 (1)因為(提示: 令y=arctan x, 則當x®0時, y®0), 所以當x®0時, arctanxx. (2)因為, 所以當x®0時, . 4. 利用等價無窮小的性質, 求下列極限: (1

47、); (2)(n, m為正整數(shù)); (3); (4). 解 (1). (2). (3). (4)因為 (x®0), (x®0), (x®0),所以 . 5. 證明無窮小的等價關系具有下列性質: (1) a a (自反性); (2) 若a b, 則ba(對稱性); (3)若a b, bg, 則ag(傳遞性). 證明 (1), 所以a a ; (2) 若a b, 則, 從而. 因此ba ; (3) 若a b, bg, . 因此ag.習題1-8 1. 研究下列函數(shù)的連續(xù)性, 并畫出函數(shù)的圖形: (1); 解 已知多項式函數(shù)是連續(xù)函數(shù), 所以函數(shù)f(x)在0, 1)和(1

48、, 2內是連續(xù)的. 在x=1處, 因為f(1)=1, 并且 , . 所以, 從而函數(shù)f(x)在x=1處是連續(xù)的. 綜上所述，函數(shù)f(x)在0, 2上是連續(xù)函數(shù). (2). 解 只需考察函數(shù)在x=-1和x=1處的連續(xù)性. 在x=-1處, 因為f(-1)=-1, 并且 , , 所以函數(shù)在x=-1處間斷, 但右連續(xù). 在x=1處, 因為f(1)=1, 并且 =f(1), =f(1), 所以函數(shù)在x=1處連續(xù). 綜合上述討論, 函數(shù)在(-¥, -1)和(-1, +¥)內連續(xù), 在x=-1處間斷, 但右連續(xù). 2. 下列函數(shù)在指出的點處間斷, 說明這些間斷點屬于哪一類, 如果是可去間

49、斷點, 則補充或改變函數(shù)的定義使它連續(xù): (1), x=1, x=2; 解 . 因為函數(shù)在x=2和x=1處無定義, 所以x=2和x=1是函數(shù)的間斷點. 因為, 所以x=2是函數(shù)的第二類間斷點; 因為, 所以x=1是函數(shù)的第一類間斷點, 并且是可去間斷點. 在x=1處, 令y=-2, 則函數(shù)在x=1處成為連續(xù)的. (2), x=k, (k=0, ±1, ±2, × × ×); 解 函數(shù)在點x=kp(kÎZ)和(kÎZ)處無定義, 因而這些點都是函數(shù)的間斷點. 因(k¹0), 故x=kp(k¹0)是第二類間斷

50、點; 因為, (kÎZ), 所以x=0和(kÎZ) 是第一類間斷點且是可去間斷點. 令y|x=0=1, 則函數(shù)在x=0處成為連續(xù)的; 令時, y=0, 則函數(shù)在處成為連續(xù)的. (3), x=0; 解 因為函數(shù)在x=0處無定義, 所以x=0是函數(shù)的間斷點. 又因為不存在, 所以x=0是函數(shù)的第二類間斷點. (4), x =1. 解 因為, 所以x=1是函數(shù)的第一類不可去間斷點. 3. 討論函數(shù)的連續(xù)性, 若有間斷點, 判別其類型. 解 . 在分段點x=-1處, 因為, , 所以x=-1為函數(shù)的第一類不可去間斷點. 在分段點x=1處, 因為, , 所以x=1為函數(shù)的第一類不可去

51、間斷點. 4. 證明: 若函數(shù)f(x)在點x0連續(xù)且f(x0)¹0, 則存在x0的某一鄰域U(x0), 當xÎU(x0)時, f(x)¹0. 證明 不妨設f(x0)>0. 因為f(x)在x0連續(xù), 所以, 由極限的局部保號性定理, 存在x0的某一去心鄰域, 使當xÎ時f(x)>0, 從而當xÎU(x0)時, f(x)>0. 這就是說, 則存在x0的某一鄰域U(x0), 當xÎU(x0)時, f(x)¹0. 5. 試分別舉出具有以下性質的函數(shù)f(x)的例子: (1)x=0, ±1, ±2,

52、 , × × ×, ±n, , × × ×是f(x)的所有間斷點, 且它們都是無窮間斷點; 解 函數(shù)在點x=0, ±1, ±2, , × × ×, ±n, , × × ×處是間斷的,且這些點是函數(shù)的無窮間斷點. (2)f(x)在R上處處不連續(xù), 但|f(x)|在R上處處連續(xù); 解 函數(shù)在R上處處不連續(xù), 但|f(x)|=1在R上處處連續(xù). (3)f(x)在R上處處有定義, 但僅在一點連續(xù). 解 函數(shù)在R上處處有定義, 它只在x=0處連續(xù)

53、. 習題1-9 1. 求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間, 并求極限, 及. 解 , 函數(shù)在(-¥, +¥)內除點x=2和x=-3外是連續(xù)的, 所以函數(shù)f(x)的連續(xù)區(qū)間為(-¥, -3)、(-3, 2)、(2, +¥). 在函數(shù)的連續(xù)點x=0處, . 在函數(shù)的間斷點x=2和x=-3處, , . 2. 設函數(shù)f(x)與g(x)在點x0連續(xù), 證明函數(shù) j(x)=maxf(x), g(x), y(x)=minf(x), g(x)在點x0也連續(xù). 證明 已知, . 可以驗證 , . 因此 , . 因為 =j(x0),所以j(x)在點x0也連續(xù). 同理可證明y(x)在點x0也連

54、續(xù). 3. 求下列極限: (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7). 解 (1)因為函數(shù)是初等函數(shù), f(x)在點x=0有定義, 所以 . (2)因為函數(shù)f(x)=(sin 2x)3是初等函數(shù), f(x)在點有定義, 所以 . (3)因為函數(shù)f(x)=ln(2cos2x)是初等函數(shù), f(x)在點有定義, 所以 . (4) . (5) . (6) . (7) . 4. 求下列極限: (1); (2); (3); (4); (5); (6). 解 (1) . (2) . (3) . (4) . (5). 因為 , , 所以. (6) . 5. 設函數(shù), 應當如何選擇數(shù)a

55、, 使得f(x)成為在(-¥, +¥)內的連續(xù)函數(shù)？ 解 要使函數(shù)f(x)在(-¥, +¥)內連續(xù), 只須f(x)在x=0處連續(xù), 即只須 . 因為, , 所以只須取a=1. 習題1-10 1. 證明方程x5-3x=1至少有一個根介于1和2之間. 證明 設f(x)=x5-3x-1, 則f(x)是閉區(qū)間1, 2上的連續(xù)函數(shù). 因為f(1)=-3, f(2)=25, f(1)f(2)<0, 所以由零點定理, 在(1, 2)內至少有一點x(1<x<2), 使f(x)=0, 即x=x 是方程x5-3x=1的介于1和2之間的根. 因此方程x5-3

56、x=1至少有一個根介于1和2之間. 2. 證明方程x=asinx+b, 其中a>0, b>0, 至少有一個正根, 并且它不超過a+b. 證明 設f(x)=asin x+b-x, 則f(x)是0, a+b上的連續(xù)函數(shù). f(0)=b, f(a+b)=a sin (a+b)+b-(a+b)=asin(a+b)-1£0. 若f(a+b)=0, 則說明x=a+b就是方程x=asinx+b的一個不超過a+b的根; 若f(a+b)<0, 則f(0)f(a+b)<0, 由零點定理, 至少存在一點xÎ(0, a+b), 使f(x)=0, 這說明x=x 也是方程x=a

57、sinx+b的一個不超過a+b的根. 總之, 方程x=asinx+b至少有一個正根, 并且它不超過a+b. 3. 設函數(shù)f(x)對于閉區(qū)間a, b上的任意兩點x、y, 恒有|f(x)-f(y)|£L|x-y|, 其中L為正常數(shù), 且f(a)×f(b)<0. 證明: 至少有一點xÎ(a, b), 使得f(x)=0. 證明 設x0為(a, b)內任意一點. 因為 , 所以 , 即 . 因此f(x)在(a, b)內連續(xù). 同理可證f(x)在點a處左連續(xù), 在點b處右連續(xù), 所以f(x)在a, b上連續(xù). 因為f(x)在a, b上連續(xù), 且f(a)×f(b)<0, 由零點定理, 至少有一點xÎ(a, b), 使得f(x)=0. 4. 若f(x)在a, b上連續(xù), a&