九年級數學中考復習拋物線與存在性問題5

1、拋物線與存在性-5一、解答題（共30小題）1、（2008濟南）已知：拋物線y=ax2+bx+c（a0），頂點C（1，3），與x軸交于A，B兩點，A（1，0）（1）求這條拋物線的解析式；（2）如圖，以AB為直徑作圓，與拋物線交于點D，與拋物線對稱軸交于點E，依次連接A，D，B，E，點P為線段AB上一個動點（P與A，B兩點不重合），過點P作PMAE于M，PNDB于N，請判斷是否為定值若是，請求出此定值；若不是，請說明理由；（3）在（2）的條件下，若點S是線段EP上一點，過點S作FGEP，FG分別與邊AE，BE相交于點F，G（F與A，E不重合，G與E，B不重合），請判斷是否成立若成立，請給出證明；若

2、不成立，請說明理由2、（2008昆明）如圖，在直角坐標系中，以點M（3，0）為圓心，以6為半徑的圓分別交x軸的正半軸于點A，交x軸的負半軸交于點B，交y軸的正半軸于點C，過點C的直線交x軸的負半軸于點D（9，0）（1）求A，C兩點的坐標；（2）求證直線CD是M的切線；（3）若拋物線y=x2+bx+c經過M，A兩點，求此拋物線的解析式；（4）連接AC，若（3）中拋物線的對稱軸分別與直線CD交于點E，與AC交于點F如果點P是拋物線上的動點，是否存在這樣的點P，使得SPAM：SCEF=：3，若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由（注意：本題中的結果均保留根號）3、（2008臨沂）如圖，已

3、知拋物線與x軸交于A（1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3）（1）求拋物線的解析式；（2）設拋物線的頂點為D，在其對稱軸的右側的拋物線上是否存在點P，使得PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）點M是拋物線上一點，以B，C，D，M為頂點的四邊形是直角梯形，試求出點M的坐標4、（2008遼寧）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=ax2x+c（a0）經過A，B，C三點（1）求過A，B，C三點拋物線的解析式并求出頂點F的坐標；（2）在拋物線上是否存在點P，使ABP為直角三角形，若存在，直接寫出P點坐標；

4、若不存在，請說明理由；（3）試探究在直線AC上是否存在一點M，使得MBF的周長最小，若存在，求出M點的坐標；若不存在，請說明理由5、（2008連云港）如圖，現有兩塊全等的直角三角形紙板，它們兩直角邊的長分別為1和2將它們分別放置于平面直角坐標系中的AOB，COD處，直角邊OB，OD在x軸上一直尺從上方緊靠兩紙板放置，讓紙板沿直尺邊緣平行移動當紙板移動至PEF處時，設PE，PF與OC分別交于點M，N，與x軸分別交于點G，H（1）求直線AC所對應的函數關系式；（2）當點P是線段AC（端點除外）上的動點時，試探究：點M到x軸的距離h與線段BH的長是否總相等？請說明理由；兩塊紙板重疊部分（圖中的陰影部

5、分）的面積S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及S取最大值時點P的坐標；若不存在，請說明理由6、（2008茂名）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+bx+c經過A（0，4）、B（x1，0）、C（x2，0）三點，且x2x1=5（1）求b、c的值；（2）在拋物線上求一點D，使得四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形；（3）在拋物線上是否存在一點P，使得四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形？若存在，求出點P的坐標，并判斷這個菱形是否為正方形；若不存在，請說明理由7、（2008南平）如圖，平面直角坐標系中有一矩形紙片OABC，O為原點，點A，C分別在x軸，y軸上，點B坐標為（m，）（其中m0）

6、，在BC邊上選取適當的點E和點F，將OCE沿OE翻折，得到OGE；再將ABF沿AF翻折，恰好使點B與點G重合，得到AGF，且OGA=90度（1）求m的值；（2）求過點O，G，A的拋物線的解析式和對稱軸；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得OPG是等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，直接答出所有滿足條件的點P的坐標（不要求寫出求解過程）8、（2008莆田）如圖：拋物線經過A（3，0）、B（0，4）、C（4，0）三點（1）求拋物線的解析式（2）已知AD=AB（D在線段AC上），有一動點P從點A沿線段AC以每秒1個單位長度的速度移動；同時另一個動點Q以某一速度從點B沿線段BC移動，經過t

7、秒的移動，線段PQ被BD垂直平分，求t的值；（3）在（2）的情況下，拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使MQ+MC有最小值？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由（注：拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=）9、（2008青島）已知：如圖，在RtACB中，C=90，AC=4 cm，BC=3 cm，點P由B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，速度為1cm/s；點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s；連接PQ若設運動的時間為t（s）（0t2），解答下列問題：（1）當t為何值時，PQBC；（2）設AQP的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關系式；（3）是否存在某一時刻t，使線段

8、PQ恰好把RtACB的周長和面積同時平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由；（4）如圖，連接PC，并把PQC沿QC翻折，得到四邊形PQPC，那么是否存在某一時刻t，使四邊形PQPC為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長；若不存在，說明理由10、（2008沈陽）如圖所示，在平面直角坐標系中，矩形ABOC的邊BO在x軸的負半軸上，邊OC在y軸的正半軸上，且AB=1，OB=，矩形ABOC繞點O按順時針方向旋轉60后得到矩形EFOD點A的對應點為點E，點B的對應點為點F，點C的對應點為點D，拋物線y=ax2+bx+c過點A，E，D（1）判斷點E是否在y軸上，并說明理由；（2）求拋物線的函數表達式

9、；（3）在x軸的上方是否存在點P，點Q，使以點O，B，P，Q為頂點的平行四邊形的面積是矩形ABOC面積的2倍，且點P在拋物線上，若存在，請求出點P，點Q的坐標；若不存在，請說明理由11、（2008蘇州）如圖，拋物線y=a（x+1）（x5）與x軸的交點為M，N直線y=kx+b與x軸交于P（2，0），與y軸交于C若A，B兩點在直線y=kx+b上，且AO=BO=，AOBOD為線段MN的中點，OH為RtOPC斜邊上的高（1）OH的長度等于_；k=_，b=_；（2）是否存在實數a，使得拋物線y=a（x+1）（x5）上有一點E，滿足以D，N，E為頂點的三角形與AOB相似？若不存在，說明理由；若存在，求所有

10、符合條件的拋物線的解析式，同時探索所求得的拋物線上是否還有符合條件的E點（簡要說明理由）；并進一步探索對符合條件的每一個E點，直線NE與直線AB的交點G是否總滿足PBPG10，寫出探索過程12、（2008十堰）已知拋物線y=ax2+2ax+b與x軸的一個交點為A（1，0），與y軸的正半軸交于點C（1）直接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；（2）當點C在以AB為直徑的P上時，求拋物線的解析式；（3）坐標平面內是否存在點M，使得以點M和（2）中拋物線上的三點A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由13、（2008烏蘭察布）兩個直角邊

11、為6的全等的等腰直角三角形RtAOB和RtCED，按如圖一所示的位置放置，點O與E重合（1）RtAOB固定不動，RtCED沿x軸以每秒2個單位長度的速度向右運動，當點E運動到與點B重合時停止，設運動x秒后，RtAOB和RtCED的重疊部分面積為y，求y與x之間的函數關系式；（2）當RtCED以（1）中的速度和方向運動，運動時間x=2秒時，RtCED運動到如圖二所示的位置，若拋物線y=x2+bx+c過點A，G，求拋物線的解析式；（3）現有一動點P在（2）中的拋物線上運動，試問點P在運動過程中是否存在點P到x軸或y軸的距離為2的情況，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由14、（2008西

12、寧）如圖，已知半徑為1的O1與x軸交于A，B兩點，OM為O1的切線，切點為M，圓心O1的坐標為（2，0），二次函數y=x2+bx+c的圖象經過A，B兩點（1）求二次函數的解析式；（2）求切線OM的函數解析式；（3）線段OM上存在一點P，使得以P，O，A為頂點的三角形與OO1M相似請問有幾個符合條件的點P并分別求出它們的坐標15、（2008武漢）如圖1，拋物線y=ax23ax+b經過A（1，0），C（3，2）兩點，與y軸交于點D，與x軸交于另一點B（1）求此拋物線的解析式；（2）若直線y=kx1（k0）將四邊形ABCD面積二等分，求k的值；（3）如圖2，過點E（1，1）作EFx軸于點F，將AEF

13、繞平面內某點旋轉180后得MNQ（點M，N，Q分別與點A，E，F對應），使點M，N在拋物線上，求點M，N的坐標16、（2008烏魯木齊）如圖，在平面直角坐標系中，以點C（1，1）為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A，B兩點，開口向下的拋物線經過點A，B，且其頂點P在C上（1）求ACB的大??；（2）寫出A，B兩點的坐標；（3）試確定此拋物線的解析式；（4）在該拋物線上是否存在一點D，使線段OP與CD互相平分？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由17、（2008湘西州）已知拋物線y=（x+2）2+k與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，C點在y軸的正半軸上，線段OB、

14、OC的長（OBOC）是方程x210x+16=0的兩個根（1）求A、B、C三點的坐標；（2）在平面直角坐標系內畫出拋物線的大致圖象并標明頂點坐標；（3）連AC、BC，若點E是線段AB上的一個動點（與A、B不重合），過E作EFAC交BC于F，連CE，設AE=m，CEF的面積為S，求S與m的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；（4）在（3）的基礎上說明S是否存在最大值，并求出此時點E的坐標，判斷此時BCE的形狀；若不存在，請說明理由18、（2008湘潭）已知拋物線y=ax2+bx+c經過點A（5，0）、B（6，6）和原點（1）求拋物線的函數關系式；（2）若過點B的直線y=kx+b與拋物線交于點C（

15、2，m），請求出OBC的面積S的值；（3）過點C作平行于x軸的直線交y軸于點D，在拋物線對稱軸右側位于直線DC下方的拋物線上，任取一點P，過點P作直線PF平行于y軸交x軸于點F，交直線DC于點E直線PF與直線DC及兩坐標軸圍成矩形OF圖），是否存在點P，使得OCD與CPE相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由19、（2008重慶）已知：如圖，拋物線y=ax22ax+c（a0）與y軸交于點C（0，4），與x軸交于點A、B，點A的坐標為（4，0）（1）求該拋物線的解析式；（2）點Q是線段AB上的動點，過點Q作QEAC，交BC于點E，連接CQ當CQE的面積最大時，求點Q的坐標；（3）若平

16、行于x軸的動直線l與該拋物線交于點P，與直線AC交于點F，點D的坐標為（2，0）問：是否存在這樣的直線l，使得ODF是等腰三角形，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由20、（2009長沙）如圖，二次函數y=ax2+bx+c（a0）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸相交于點C連接AC、BC，A、C兩點的坐標分別為A（3，0）、C（0，），且當x=4和x=2時二次函數的函數值y相等（1）求實數a，b，c的值；（2）若點M、N同時從B點出發(fā)，均以每秒1個單位長度的速度分別沿BA、BC邊運動，其中一個點到達終點時，另一點也隨之停止運動當運動時間為t秒時，連接MN，將BMN沿MN翻折，B點恰好

17、落在AC邊上的P處，求t的值及點P的坐標；（3）在（2）的條件下，二次函數圖象的對稱軸上是否存在點Q，使得以B，N，Q為項點的三角形與ABC相似？如果存在，請求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由21、（2009赤峰）如圖，RtABC的頂點坐標分別為A（0，），B（，），C（1，0），ABC=90，BC與y軸的交點為D，D點坐標為（0，），以點D為頂點y軸為對稱軸的拋物線過點B（1）求該拋物線的解析式（2）將ABC沿AC折疊后得到點B的對應點B，求證：四邊形AOCB是矩形，并判斷點B是否在（1）的拋物線上（3）延長BA交拋物線于點E，在線段BE上取一點P，過點P作x軸的垂線，交拋物線于點F，是

18、否存在這樣的點P，使四邊形PADF是平行四邊形？若存在，求出點P的坐標，若不存在，說明理由22、（2009成都）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=a（x+1）2+c（a0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，其頂點為M，若直線MC的函數表達式為y=kx3，與x軸的交點為N，且cosBCO=（1）求此拋物線的函數表達式；（2）在此拋物線上是否存在異于點C的點P，使以N、P、C為頂點的三角形是以NC為一條直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）過點A作x軸的垂線，交直線MC于點Q若將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線與線段NQ總有公共點，

19、則拋物線向上最多可平移多少個單位長度？向下最多可平移多少個單位長度？23、（2009朝陽）如圖，點A，B的坐標分別為（2，0）和（0，4），將ABO繞點O按逆時針方向旋轉90后得ABO，點A的對應點是點A，點B的對應點是點B（1）寫出A，B兩點的坐標，并求出直線AB的解析式；（2）將ABO沿著垂直于x軸的線段CD折疊，（點C在x軸上，點D在AB上，點D不與A，B重合）如圖，使點B落在x軸上，點B的對應點為點E設點C的坐標為（x，0），CDE與ABO重疊部分的面積為S試求出S與x之間的函數關系式（包括自變量x的取值范圍）；當x為何值時，S的面積最大，最大值是多少？是否存在這樣的點C，使得ADE為

20、直角三角形？若存在，直接寫出點C的坐標；若不存在，請說明理由24、（2009定西）如圖1，拋物線y=x22x+k與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，3）圖2、圖3為解答備用圖（1）k=_，點A的坐標為_，點B的坐標為_；（2）設拋物線y=x22x+k的頂點為M，求四邊形ABMC的面積；（3）在x軸下方的拋物線上是否存在一點D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；（4）在拋物線y=x22x+k上求點Q，使BCQ是以BC為直角邊的直角三角形25、（2009德城區(qū)）如圖所示，已知拋物線y=x21與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（1）求A、B、C三點的

21、坐標；（2）過點A作APCB交拋物線于點P，求四邊形ACBP的面積；（3）在x軸上方的拋物線上是否存在一點M，過M作MGx軸于點G，使以A、M、G三點為頂點的三角形與PCA相似？若存在，請求出M點的坐標；否則，請說明理由26、（2009達州）如圖，拋物線y=a（x+3）（x1）與x軸相交于A、B兩點（點A在點B右側），過點A的直線交拋物線于另一點C，點C的坐標為（2，6）（1）求a的值及直線AC的函數關系式；（2）P是線段AC上一動點，過點P作y軸的平行線，交拋物線于點M，交x軸于點N求線段PM長度的最大值；在拋物線上是否存在這樣的點M，使得CMP與APN相似？如果存在，請直接寫出所有滿足條件

22、的點M的坐標（不必寫解答過程）；如果不存在，請說明理由27、（2009崇左）在平面直角坐標系中，現將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，且點A（0，2），點C（1，0），如圖所示：拋物線y=ax2+ax2經過點B（1）求點B的坐標；（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標；若不存在，請說明理由28、（2009鄂州）如圖所示，將矩形OABC沿AE折疊，使點O恰好落在BC上F處，以CF為邊作正方形CFGH，延長BC至M，使CM=|CEEO|，再以CM、CO為邊作矩形CMNO（1）試

23、比較EO、EC的大小，并說明理由；（2）令m=，請問m是否為定值？若是，請求出m的值；若不是，請說明理由；（3）在（2）的條件下，若CO=1，CE=，Q為AE上一點且QF=，拋物線y=mx2+bx+c經過C、Q兩點，請求出此拋物線的解析式；（4）在（3）的條件下，若拋物線y=mx2+bx+c與線段AB交于點P，試問在直線BC上是否存在點K，使得以P、B、K為頂點的三角形與AEF相似？若存在，請求直線KP與y軸的交點T的坐標；若不存在，請說明理由29、（2009鄂爾多斯）已知：t1，t2是方程t2+2t24=0的兩個實數根，且t1t2，拋物線y=x2+bx+c的圖象經過點A（t1，0），B（0，

24、t2）（1）求這個拋物線的解析式；（2）設點P（x，y）是拋物線上一動點，且位于第三象限，四邊形OPAQ是以OA為對角線的平行四邊形，求平行四邊形OPAQ的面積S與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）在（2）的條件下，當平行四邊形OPAQ的面積為24時，是否存在這樣的點P，使OPAQ為正方形？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由30、（2009海南）如圖，已知拋物線經過坐標原點O和x軸上另一點E，頂點M的坐標為（2，4）；矩形ABCD的頂點A與點O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3（1）求該拋物線所對應的函數關系式；（2）將矩形ABCD以每秒1個單位長

25、度的速度從如圖所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動，同時一動點P也以相同的速度從點A出發(fā)向B勻速移動，設它們運動的時間為t秒（0t3），直線AB與該拋物線的交點為N（如圖2所示）當t=時，判斷點P是否在直線ME上，并說明理由；設以P、N、C、D為頂點的多邊形面積為S，試問S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由答案與評分標準一、解答題（共30小題）1、（2008濟南）已知：拋物線y=ax2+bx+c（a0），頂點C（1，3），與x軸交于A，B兩點，A（1，0）（1）求這條拋物線的解析式；（2）如圖，以AB為直徑作圓，與拋物線交于點D，與拋物線對稱軸交于點E，依次連接A，D

26、，B，E，點P為線段AB上一個動點（P與A，B兩點不重合），過點P作PMAE于M，PNDB于N，請判斷是否為定值若是，請求出此定值；若不是，請說明理由；（3）在（2）的條件下，若點S是線段EP上一點，過點S作FGEP，FG分別與邊AE，BE相交于點F，G（F與A，E不重合，G與E，B不重合），請判斷是否成立若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由考點：二次函數綜合題。專題：壓軸題。分析：（1）已知拋物線的頂點坐標就可以利用頂點式求函數的解析式（2）AB是圓的直徑，因而ADB=AEB=90，得到PNAD，得到=，同理=，這樣就可以求出的值（3）易證AEB為等腰直角三角形，過點P作PHBE與H，四

27、邊形PHEM是矩形，易證APMPBH，則，再證明MEPEGF，則因而可證解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x1）23（1分）將A（1，0）代入：0=a（11）23，解得a=（2分）所以，拋物線的解析式為y=（x1）23，即y=x2x（3分）（2）是定值，=1（4分）AB為直徑，AEB=90，PMAE，PMBE，APMABE，所以同理：（5分）+：（6分）（3）直線EC為拋物線對稱軸，EC垂直平分AB，EA=EB，AEB=90，AEB為等腰直角三角形，EAB=EBA=45（7分）如圖，過點P作PHBE與H，由已知及作法可知，四邊形PHEM是矩形PH=ME且PHME在APM和PBH中，AM

28、P=PBH=90，EAB=BPH=45，PH=BH，且APMPBH，（8分）在MEP和EGF中，PEFG，FGE+SEG=90，MEP+SEG=90，FGE=MEP，PME=FEG=90，MEPEGF，由、知：（9分）（本題若按分類證明，只要合理，可給滿分）點評：本題主要考查了待定系數法求二次函數的解析式，以及相似三角形的對應邊的比相等2、（2008昆明）如圖，在直角坐標系中，以點M（3，0）為圓心，以6為半徑的圓分別交x軸的正半軸于點A，交x軸的負半軸交于點B，交y軸的正半軸于點C，過點C的直線交x軸的負半軸于點D（9，0）（1）求A，C兩點的坐標；（2）求證直線CD是M的切線；（3）若拋物

29、線y=x2+bx+c經過M，A兩點，求此拋物線的解析式；（4）連接AC，若（3）中拋物線的對稱軸分別與直線CD交于點E，與AC交于點F如果點P是拋物線上的動點，是否存在這樣的點P，使得SPAM：SCEF=：3，若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由（注意：本題中的結果均保留根號）考點：二次函數綜合題。專題：壓軸題。分析：（1）已知了M的坐標和圓的半徑即可求出A點坐標，連接MC可在直角三角形OMC中，用勾股定理求出OC的長，即可得出C點的坐標（2）連接MC，證MCCD即可根據OD的長和OC的長，不難得出ODC=30，同理可在直角三角形OCM中，求出OMC=60，由此可得出DCM=90

30、，由此可得證（3）將M、A的坐標代入拋物線中求解即可（4）本題可先求出三角形CEF的面積，然后根據兩三角形的面積比求出三角形PAM的面積，由于AM是定值，根據三角形PAM的面積即可求出P點的縱坐標的絕對值，代入拋物線中即可求出P點的坐標解答：解：（1）連接CM，由題意得：OM=3，OB=3，OE=9，MC=6OA=OM+MA=3+6=9A（9，0）OC=3C（0，）（2）證法一：在RtDCO中，DC=6在DCM中，CM2+DC2=144DM2=（DO+OM）2=（9+3）2=122=144CM2+DC2=DM2DCM直角三角形MCDC，而MC是M的半徑CD是M的切線證法二：在RtCOM中，si

31、nMCO=，MCO=30在RtDOC中，tanDCO=，DCO=60DCM=MCO+DCO=90MCDC，而MC中的M半徑（3）由拋物線y=x2+bx+c經過點M（3，0）和點A（9，0），可得：解得：拋物線的解析式為：y=x212x+27（4）存在設拋物線的對稱軸交x軸于點H在（2）中已證：DCO=60，CDO=30拋物線的對稱軸平行于y，CEF=DCO=60OD=OA=9，CO垂直平分ADCAO=CDO=30在RtAFH中，AFH=60EFC=60CEF是等邊三角形過點C作CGEF于點G，則CG=6可得：EF=4，SCEF=EFCG=46=12；若點P在軸的上方，設點P坐標為（x，y），S

32、PAM=AMy=3y，SPAM：SCEF=：33y：12=：3，解得：y=4當y=4時，即x212x+27=4，解得x=6P（6，4）或（6+，4）若點P在x軸上，則點P與點M或與點A重合，此時構不成三角形若點P在x軸下方，設點P的坐標為（x，y）SPAM=AM（y）=3y，SPAM：SCEF=：33y：12=：3解得：y=4當y=4時，即x212x+27=4，解得解得x=6P（6，4）或（6+，4）這樣的點共有4個，P（6，4）或（6+，4）或（6，4）或（6+，4）點評：本題考查了圓和二次函數的相關知識，難度較大3、（2008臨沂）如圖，已知拋物線與x軸交于A（1，0），B（3，0）兩點，

33、與y軸交于點C（0，3）（1）求拋物線的解析式；（2）設拋物線的頂點為D，在其對稱軸的右側的拋物線上是否存在點P，使得PDC是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）點M是拋物線上一點，以B，C，D，M為頂點的四邊形是直角梯形，試求出點M的坐標考點：二次函數綜合題。專題：壓軸題。分析：（1）由于A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點均在坐標軸上，故設一般式解答和設交點式（兩點式）解答均可（2）分以CD為底和以CD為腰兩種情況討論運用兩點間距離公式建立起P點橫坐標和縱坐標之間的關系，再結合拋物線解析式即可求解（3）根據拋物線上點的坐標特點，利用勾股定理求出

34、相關邊長，再利用勾股定理的逆定理判斷出直角梯形中的直角，便可解答解答：解：（1）拋物線與y軸交于點C（0，3），設拋物線解析式為y=ax2+bx+3（a0），根據題意，得，解得，拋物線的解析式為y=x2+2x+3（2）存在由y=x2+2x+3得，D點坐標為（1，4），對稱軸為x=1若以CD為底邊，則PD=PC，設P點坐標為（x，y），根據兩點間距離公式，得x2+（3y）2=（x1）2+（4y）2，即y=4x又P點（x，y）在拋物線上，4x=x2+2x+3，即x23x+1=0，解得x=，1，應舍去，x=，y=4x=，即點P坐標為若以CD為一腰，點P在對稱軸右側的拋物線上，由拋物線對稱性知，點P與

35、點C關于直線x=1對稱，此時點P坐標為（2，3）符合條件的點P坐標為或（2，3）（3）由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根據勾股定理，得CB=，CD=，BD=，CB2+CD2=BD2=20，BCD=90，設對稱軸交x軸于點E，過C作CMDE，交拋物線于點M，垂足為F，在RtDCF中，CF=DF=1，CDF=45，由拋物線對稱性可知，CDM=245=90，點坐標M為（2，3），DMBC，四邊形BCDM為直角梯形，由BCD=90及題意可知，以BC為一底時，頂點M在拋物線上的直角梯形只有上述一種情況；以CD為一底或以BD為一底，且頂點M在拋物線上的直角梯形均不存在綜上所述，符合條件的點M的

36、坐標為（2，3）點評：此題是一道典型的“存在性問題”，結合二次函數圖象和等腰三角形、等腰梯形的性質，考查了它們存在的條件，有一定的開放性4、（2008遼寧）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=ax2x+c（a0）經過A，B，C三點（1）求過A，B，C三點拋物線的解析式并求出頂點F的坐標；（2）在拋物線上是否存在點P，使ABP為直角三角形，若存在，直接寫出P點坐標；若不存在，請說明理由；（3）試探究在直線AC上是否存在一點M，使得MBF的周長最小，若存在，求出M點的坐標；若不存在，請說明理由考點：二次函數綜合題。專題：壓軸題。分析：（1）拋物線解析式中有

37、兩個待定系數a，c，根據直線AC解析式求點A、C坐標，代入拋物線解析式即可；（2）分析不難發(fā)現，ABP的直角頂點只可能是P，根據已知條件可證AC2+BC2=AB2，故點C滿足題意，根據拋物線的對稱性，點C關于拋物線對稱軸的對稱點也符合題意；（3）由于B，F是定點，BF的長一定，實際上就是求BM+FM最小，找出點B關于直線AC的對稱點B，連接BF，交AC于點M，點M即為所求，由（2）可知，BCAC，延長BC到B，使BC=BC，利用中位線的性質可得B的坐標，從而可求直線BF的解析式，再與直線AC的解析式聯(lián)立，可求M點坐標解答：（1）解：直線y=x與x軸交于點A，與y軸交于點C點A（1，0），C（0

38、，）點A，C都在拋物線上，拋物線的解析式為y=x2x頂點F（1，）（2）存在：p1（0，），p2（2，）（3）存在理由：解法一：延長BC到點B，使BC=BC，連接BF交直線AC于點M，則點M就是所求的點，過點B作BHAB于點H，B點在拋物線y=x2x上，B（3，0），在RtBOC中，tanOBC=OBC=30，BC=2在RtBBH中，BH=BB=2BH=BH=6，OH=3，B（3，2）設直線BF的解析式為y=kx+b，解得，y=，解得，M（）在直線AC上存在點M，使得MBF的周長最小，此時M（）解法二：過點F作AC的垂線交y軸于點H，則點H為點F關于直線AC的對稱點，連接BH交AC于點M，則點

39、M即為所求過點F作FGy軸于點G，則OBFG，BCFH，BOC=FGH=90，BCO=FHGHFG=CBO同方法一可求得B（3，0）在RtBOC中，tanOBC=OBC=30，可求得GH=GC=GF為線段CH的垂直平分線，可證得CFH為等邊三角形AC垂直平分FH即點H為點F關于AC對稱點，H（0，）設直線BH的解析式為y=kx+b，由題意得，解得，y=，解得，M（），在直線AC上存在點M，使得MBF的周長最小，此時M（）點評：考查代數幾何的綜合運用能力，體現數學知識的內在聯(lián)系和不可分割的特點5、（2008連云港）如圖，現有兩塊全等的直角三角形紙板，它們兩直角邊的長分別為1和2將它們分別放置于平

40、面直角坐標系中的AOB，COD處，直角邊OB，OD在x軸上一直尺從上方緊靠兩紙板放置，讓紙板沿直尺邊緣平行移動當紙板移動至PEF處時，設PE，PF與OC分別交于點M，N，與x軸分別交于點G，H（1）求直線AC所對應的函數關系式；（2）當點P是線段AC（端點除外）上的動點時，試探究：點M到x軸的距離h與線段BH的長是否總相等？請說明理由；兩塊紙板重疊部分（圖中的陰影部分）的面積S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及S取最大值時點P的坐標；若不存在，請說明理由考點：二次函數綜合題。專題：操作型；探究型。分析：（1）根據直角三角板的直角邊長分別為1和2可知：AB=OD=2，OB=CD=1即A點的

41、坐標是（1，2）；B點的坐標是（2，1）可根據A、B的坐標用待定系數法求出直線AC的函數解析式（2）M到x軸的距離就是M的縱坐標，而BH的長就是P的橫坐標減去OB的長，可先根據直線AC的解析式設出P點的坐標，那么可得出BH的長根據GPH的正切值，可表示出GH的長，也就求出了G點的坐標然后求點M的縱坐標可先根據OC所在直線的解析式設出M點的坐標，然后將M點的坐標代入直線PG的解析式中（可根據P，G兩點的坐標求得）可得出M縱坐標的表達式，然后同BH的表達式進行比較即可得出M到x軸的距離是否與BH相等根據我們可得出M、N、G三點的坐標，然后根據陰影部分的面積=OMN的面積OMG的面積即可得出關于S的

42、函數解析式然后根據函數的性質即可求出S的最大值以及對應的P的坐標解答：解：（1）由直角三角形紙板的兩直角邊的長為1和2，知A，C兩點的坐標分別為（1，2），（2，1）設直線AC所對應的函數關系式為y=kx+b有解得所以，直線AC所對應的函數關系式為y=x+3（2）點M到x軸距離h與線段BH的長總相等因為點C的坐標為（2，1），所以，直線OC所對應的函數關系式為y=x又因為點P在直線AC上，所以可設點P的坐標為（a，3a）過點M作x軸的垂線，設垂足為點K，則有MK=h因為點M在直線OC上，所以有M（2h，h）因為紙板為平行移動，故有EFOB，即EFGH又EFPF，所以PHGH故RtPHGRtPF

43、E，可得故GH=PH=（3a）所以OG=OHGH=a（3a）=（a1）故G點坐標為（a1），0）設直線PG所對應的函數關系式為y=cx+d，則有解得所以，直線PG所對的函數關系式為y=2x+（33a）將點M的坐標代入，可得h=4h+（33a）解得h=a1而BH=OHOB=a1，從而總有h=BH由知，點M的坐標為（2a2，a1），點N的坐標為（a，a）S=SONHSOMG=NHOHOGh=aa（a1）=a2+a當a=時，S有最大值，最大值為S取最大值時點P的坐標為點評：本題著重考查了待定系數法求函數解析式、圖形平移變換、三角形相似等重要知識點，綜合性強，考查分類討論，數形結合的數學思想方法6、（

44、2008茂名）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+bx+c經過A（0，4）、B（x1，0）、C（x2，0）三點，且x2x1=5（1）求b、c的值；（2）在拋物線上求一點D，使得四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形；（3）在拋物線上是否存在一點P，使得四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形？若存在，求出點P的坐標，并判斷這個菱形是否為正方形；若不存在，請說明理由考點：二次函數綜合題。專題：壓軸題。分析：（1）把A（0，4）代入可求c，運用兩根關系及x2x1=5，對式子合理變形，求b；（2）因為菱形的對角線互相垂直平分，故菱形的另外一條對角線必在拋物線的對稱軸上，滿足條件的D點，就是拋物線的頂

45、點；（3）四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形，PH垂直平分OB，求出OB的中點坐標，代入拋物線解析式即可，再根據所求點的坐標與線段OB的長度關系，判斷是否為正方形解答：解：（1）解法一：拋物線y=x2+bx+c經過點A（0，4），c=4又由題意可知，x1、x2是方程x2+bx+c=0的兩個根，x1+x2=b，x1x2=c由已知得（x2x1）2=25又（x2x1）2=（x2+x1）24x1x2=b224b224=25解得b=當b=時，拋物線與x軸的交點在x軸的正半軸上，不合題意，舍去b=解法二：x1、x2是方程x2+bx+c=0的兩個根，即方程2x23bx+12=0的兩個根x=，x2x1=5，

46、解得b=（以下與解法一相同）（2）四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形，根據菱形的性質，點D必在拋物線的對稱軸上，又y=x2x4=（x+）2+拋物線的頂點（，）即為所求的點D（3）四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形，點B的坐標為（6，0），根據菱形的性質，點P必是直線x=3與拋物線y=x2x4的交點，當x=3時，y=（3）2（3）4=4，在拋物線上存在一點P（3，4），使得四邊形BPOH為菱形四邊形BPOH不能成為正方形，因為如果四邊形BPOH為正方形，點P的坐標只能是（3，3），但這一點不在拋物線上點評：本題考查了拋物線解析式的求法，根據菱形，正方形的性質求拋物線上符合條件的點的方法7、（

47、2008南平）如圖，平面直角坐標系中有一矩形紙片OABC，O為原點，點A，C分別在x軸，y軸上，點B坐標為（m，）（其中m0），在BC邊上選取適當的點E和點F，將OCE沿OE翻折，得到OGE；再將ABF沿AF翻折，恰好使點B與點G重合，得到AGF，且OGA=90度（1）求m的值；（2）求過點O，G，A的拋物線的解析式和對稱軸；（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得OPG是等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，直接答出所有滿足條件的點P的坐標（不要求寫出求解過程）考點：二次函數綜合題。專題：開放型。分析：（1）根據折疊的性質可知：AB=AG=OG=，而OA=BC=m，那么在直角三角形OG

48、A中即可用勾股定理求出m的值（2）由于OGA是個等腰直角三角形，已知了OA的長，因此不難求出G點的坐標，根據O，A，G三點的坐標即可用待定系數法求出拋物線的解析式（3）本題要分情況進行討論：當OP=PG，那么P點為OG的垂直平分線與拋物線對稱軸的交點因此P與H重合，P點坐標為（1，0）當OP=OG，那么OPG為等腰直角三角形因此GH=PH=1，P點坐標為（1，1）當GP=OG時，GP=，因此P點的坐標為（1，1+），（1，1）（在G點上下各有一點）解答：解：（1）解法一：B（m，），由題意可知AG=AB=，OG=OC=，OA=m（2分）OGA=90，OG2+AG2=OA22+2=m2又m0，m

49、=2解法二：B（m，），由題意可知AG=AB=，OG=OC=，OA=mOGA=90，GOA=GAO=45m=OA=2（2）解法一：過G作直線GHx軸于H，則OH=1，HG=1，故G（1，1）又由（1）知A（2，0），設過O，G，A三點的拋物線解析式為y=ax2+bx+c拋物線過原點，c=0又拋物線過G，A兩點，解得，所求拋物線為y=x2+2x，它的對稱軸為x=1解法二：過G作直線GHx軸于H，則OH=1，HG=1，故G（1，1）又由（1）知A（2，0），點A，O關于直線l對稱，點G為拋物線的頂點于是可設過O，G，A三點的拋物線解析式為y=a（x1）2+1，拋物線過點O（0，0），0=a（01）

50、2+1，解得a=1，所求拋物線為y=（1）（x1）2+1=x2+2x它的對稱軸為x=1（3）答：存在滿足條件的點P有（1，0），（1，1），（1，1），（1，1+）點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、圖形翻折變換、三角形全等等知識點，綜合性較強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法8、（2008莆田）如圖：拋物線經過A（3，0）、B（0，4）、C（4，0）三點（1）求拋物線的解析式（2）已知AD=AB（D在線段AC上），有一動點P從點A沿線段AC以每秒1個單位長度的速度移動；同時另一個動點Q以某一速度從點B沿線段BC移動，經過t秒的移動，線段PQ被BD垂直平分，求t的值；（3）

51、在（2）的情況下，拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使MQ+MC有最小值？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由（注：拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=）考點：二次函數綜合題。專題：壓軸題；動點型。分析：（1）因為拋物線經過的三點為與兩坐標軸的交點，故有兩種方法（1）用一般式解答，（2）用交點式（兩點式）解答；（2）找到變化過程中的不變關系：CDQCAB，根據相似三角形的性質計算；（3）因為A、C關于x=對稱，所以MQ+MC的最小值即為MQ+MA的最小值，根據兩點之間線段最段，A、M、Q共線時MQ+MC可取最小值解答：解：（1）解法一：設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x4）因為

52、B（0，4）在拋物線上，所以4=a（0+3）（04）解得a=所以拋物線解析式為y=（x+3）（x4）=x2+x+4解法二：設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a0），依題意得：c=4且解得所以所求的拋物線的解析式為y=x2+x+4（2）連接DQ，在RtAOB中，AB=5所以AD=AB=5，AC=AD+CD=3+4=7，CD=ACAD=75=2因為BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQBD，所以PDB=QDB因為AD=AB，所以ABD=ADB，ABD=QDB，所以DQAB所以CQD=CBACDQ=CAB，所以CDQCAB，=即=，DQ=所以AP=ADDP=ADDQ=5=，t=1=，所以t的值是（3）答對稱軸上存在一點M，使MQ+MC的值最小理由：因為拋物線的對稱軸為x=所以A（3，0），C（4，0）兩點關于直線x=對稱連接AQ交直線x=于點M，則MQ+MC的值最小過點Q作QEx軸于E，QED=BOA=90度DQAB，BAO=QDE，DQEABO，=即=所以QE=，DE=，所以OE=OD+DE=2+=，所以Q（，）設直線AQ的解析式為y=kx+m（k0）則由此得所以直線AQ的解析式為y=x+聯(lián)立由此得所以M（，）則：在對稱軸上存在點