華中科技大學(xué)線(xiàn)性代數(shù)第四節(jié)向量空間ppt課件

1、矩陣運(yùn)算矩陣運(yùn)算 加法加法數(shù)乘數(shù)乘矩陣與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣伴隨矩陣伴隨矩陣方陣的行列式方陣的行列式共軛矩陣共軛矩陣矩陣的冪矩陣的冪ABBA?AMAN MN ?ABO .AO orBO ?.EAAAAA 乘法運(yùn)算中的，乘法運(yùn)算中的，111,aaa a 在數(shù)的運(yùn)算中，當(dāng)數(shù)在數(shù)的運(yùn)算中，當(dāng)數(shù)時(shí)，時(shí)，11aa 那么那么 稱(chēng)為稱(chēng)為 的倒數(shù)，的倒數(shù)，a個(gè)矩陣個(gè)矩陣 ，1A 在矩陣的運(yùn)算中，在矩陣的運(yùn)算中，11,AAA AE 那么矩陣稱(chēng)為的可逆矩陣，那么矩陣稱(chēng)為的可逆矩陣，a或稱(chēng)為或稱(chēng)為 的逆；的逆；有有單位陣相當(dāng)于數(shù)的單位陣相當(dāng)于數(shù)的那么，對(duì)于矩陣，假設(shè)存在一那么，對(duì)于矩陣，假設(shè)存在一

2、有有1A A稱(chēng)為稱(chēng)為 的逆陣的逆陣. .11111221221122221122nnnnnnnnnnya xa xa xya xa xaxya xaxax 它的系數(shù)矩陣是一個(gè)它的系數(shù)矩陣是一個(gè)n n階矩陣，階矩陣， 假設(shè)記假設(shè)記1112111212222212,nnnnnnnnaaaxyaaaxyAXYaaaxy.YAX 那么上述線(xiàn)性變換可表示為那么上述線(xiàn)性變換可表示為按按CramerCramer法那么，假設(shè)法那么，假設(shè) ，0A 那么由上述線(xiàn)性變換可那么由上述線(xiàn)性變換可111211212222121nninnnnnaayaaayaxAaaya 解出解出 11221iiininxA yA yA

3、yA在按第在按第 列展開(kāi)得列展開(kāi)得i即即1212iiniinAAAxyyyAAA 那么那么 可用可用 線(xiàn)性表示為線(xiàn)性表示為12,nxxx12,nyyy11111221221122221122nnnnnnnnnnxb yb yb yxb yb ybyxb ybyb y 假設(shè)令假設(shè)令,jiijAbA 易知這個(gè)表達(dá)式是獨(dú)一的易知這個(gè)表達(dá)式是獨(dú)一的.12,nxxx12,nyyy這是從這是從 到到 的線(xiàn)性變換，稱(chēng)為的線(xiàn)性變換，稱(chēng)為原線(xiàn)性變換的逆變換原線(xiàn)性變換的逆變換.假設(shè)把此逆變換的系數(shù)記作假設(shè)把此逆變換的系數(shù)記作 ，B那么此逆變換也可以記作那么此逆變換也可以記作XBY ()()YAXA BYAB Y

4、AB為恒等變換所對(duì)應(yīng)的矩陣，故為恒等變換所對(duì)應(yīng)的矩陣，故ABE ()()XBYB AXBA X 因此因此BAE 于是有于是有ABBAE 由此，可得由此，可得可見(jiàn)可見(jiàn)又又例例111122,111122AB ,ABBAE,ABBAE 使得使得的逆矩陣記作的逆矩陣記作1.A A對(duì)于對(duì)于 階矩陣階矩陣 ，假設(shè)有一個(gè)，假設(shè)有一個(gè) 階矩陣階矩陣 ，nABnA那么稱(chēng)矩陣那么稱(chēng)矩陣 是可逆的，是可逆的，BA是是 的逆矩陣的逆矩陣. .BA并把矩陣并把矩陣 稱(chēng)為稱(chēng)為 的逆矩陣的逆矩陣. .假設(shè)設(shè)假設(shè)設(shè) 和和 是是 可逆矩陣，可逆矩陣，BCA那么那么有有,ABBAEACCAE B所以所以 的逆矩陣是獨(dú)一的的逆矩陣

5、是獨(dú)一的, ,即即A1.BCA 闡明闡明 假設(shè)假設(shè) 是可逆矩陣，那么是可逆矩陣，那么 的逆矩陣是獨(dú)一的的逆矩陣是獨(dú)一的. .AA證明證明于是于是例例1 12110A 設(shè)設(shè), ,求求 的逆的逆. .A解解abBcd 設(shè)設(shè)那么那么ABBAE 2110abcd B01 12()CA B ()C AB CE C EB 22acbdab 1001 證明證明0.A1.AAE ，使得，使得11,AAE 兩邊求行列式，有兩邊求行列式，有假設(shè)矩陣假設(shè)矩陣 可逆，那么可逆，那么0.A A1A A假設(shè)矩陣假設(shè)矩陣 可逆，那么即有可逆，那么即有矩陣矩陣 可逆的充要條件是可逆的充要條件是 ，且，且A0A 11,AAA

6、AA 其中其中為矩陣為矩陣的伴隨矩陣的伴隨矩陣. .證明證明由于矩陣與其伴隨矩陣有由于矩陣與其伴隨矩陣有*AAA AA E ，故有，故有11AAAAEAA 0A 又由于又由于所以，按逆矩陣的定義，即有所以，按逆矩陣的定義，即有11.AAA 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 稱(chēng)為奇特矩陣；稱(chēng)為奇特矩陣；0A A證明證明推論推論ABE 假設(shè)假設(shè)1BA BAE 或或，那么，那么B 1.A 0A 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 稱(chēng)為非奇特矩陣稱(chēng)為非奇特矩陣. .A1ABE易知易知1A 0A 于是于是EB 1()A A B 1()AAB 1A E ABE 只證只證時(shí)，時(shí)，設(shè)設(shè) 均是均是 階可逆方陣階可逆方陣A Bn1A 11,A 1 1

7、假設(shè)假設(shè) 11.AA 且且 111111ABB AA BBAAEAAAE 證明證明 111.ABB A 由推論，即有由推論，即有 1,A 1,0A 2 2假設(shè)假設(shè) 111.AA 且且 1,AB 111.ABAB 且且11,AB 3 3假設(shè)假設(shè) ，且，且 同階，同階，,A B推行推行 11112211.nnAA AAAA 11TTTAAA A TEE 11.TTAA 證明證明 1,TA 1A 4 4假設(shè)假設(shè) 11.TTAA 且且1AAE 11,A A 11.AA 11AA 1A 5 5假設(shè)假設(shè) 1,A 6 6假設(shè)假設(shè) 證明證明 1,A 11.AAAA且且證明證明1AA A 1AAA 1111AA

8、AAA而而11AAA 由于由于 111AA A 所以所以 11.AAAA為整數(shù)為整數(shù), ,k 其中其中7 7其它的一些公式其它的一些公式 1nAA AAA AA E 2nAAA 1.AA A 1AA A ABB A 0AE 1kkAA A AA AA 8 8一些規(guī)定一些規(guī)定 111nnkAkA AkA 例例2 2 1122,0innaaaaABaaa 求以下矩陣的逆，其中求以下矩陣的逆，其中解解1 1111121naaAa 依對(duì)角矩陣的性質(zhì)知：依對(duì)角矩陣的性質(zhì)知：0iAa 1A 12111naaa 依矩陣的逆的定義，必有依矩陣的逆的定義，必有111211naBaa 易知：易知： 1210n n

9、iBa 1B 解解2 211BBB BE11a 12a 1na ?即即 124416TEAEAEA 計(jì)算計(jì)算其中其中例例的行列式的行列式.100120 .302A 解解 124416TEAEAEA 14444TEAEAEAEA 44TEAEEA E 44TEAEA 24EA 2500120306 2603600 例例300110 ,114A 求求解解2,AXAX設(shè)設(shè)且滿(mǎn)足且滿(mǎn)足2,AXAX .X有有 2AE XA 1002110112AE而而220AE 12AE 1200122202211AE 12,XAEA 20030012201102211114 300210212 1AXBXA B 1X

10、ABXBA 11AXBCXA CB 3 3,A 設(shè)設(shè)求求例例5 5 132.AA AA 其中其中為矩陣為矩陣的伴隨矩陣的伴隨矩陣. .12A 解解 132AA 11132AA A123A 111AA 1BB B nBB 3123A 1627 例例6 6 解矩陣方程解矩陣方程142031121101X 解解11143120120111X 243110112 110112 6610112 3012 11104 0,kA 設(shè)設(shè)例例7 7證明證明 121.kEAEAAA 方法三方法三0kA 2211kkkEEAAAAAAA 2211kkkEAAAAAAA 21kEAEAAA 21kEA EEA AEA

11、 AEA A 121.kEAEAAA 方法一方法一kEAE 21kEAEAAA 121.kEAEAAA 方法二方法二0kA kEEA 21kEAEAAA 121.kEAEAAA A所以所以 可逆可逆. .0,A 2AEAE 12AEA 1A 220AAE 由由 2A AEE，得，得例例8 8,2A AE 可逆，并求它們的逆矩陣可逆，并求它們的逆矩陣. . 2340AEAEE 11.2AAE 220AAE 由由設(shè)方陣設(shè)方陣A滿(mǎn)足方程滿(mǎn)足方程，證明，證明220AAE 1234AEAEE 12AE 12314AEAE證明證明2AE 所以所以 可逆可逆. . 132.4EAAE 20,AE 由由Ax=bAx=b，1A bxA bA 利用逆矩陣求解線(xiàn)性方程組利用逆矩陣求解線(xiàn)性方程組. .設(shè)設(shè)A A為為n n階可逆矩陣，求解線(xiàn)性方程組階可逆矩陣，求