第十九章 多元函數(shù)積分學(xué)基礎(chǔ)

1、l第一節(jié) 二重積分的概念與性質(zhì)l第二節(jié) 二重積分的計算l第三節(jié) 二重積分的應(yīng)用l第四節(jié) 數(shù)學(xué)實驗五 用Mathematica求偏導(dǎo)和計算二重積分第七章 多元函數(shù)積分學(xué)基礎(chǔ) 在本章中，將把一元函數(shù)定積分的概念及其性質(zhì)推廣到多元函數(shù)的情形，這就是二重積分、三重積分和曲線積分，積分的范圍不再是定積分中x軸上的一個區(qū)間，而分別是一個平面區(qū)域、一個空間區(qū)域與一條曲線.下面首先學(xué)習(xí)有關(guān)二重積分知識.二重積分是本章基礎(chǔ)部分，同是也是本章的重點內(nèi)容.一、實例1.曲頂柱體的體積,( , )( , )0,(7-1)OxyzxOyDDzzfx ySf x yDSD 在空間直角坐標(biāo)系中 以在平面上的有界閉區(qū)域 為底

2、以 的邊界曲線為準(zhǔn)線 母線平行于 軸的柱面為側(cè)面 以表示的曲面 為頂 這里且在 上連續(xù) 的幾何體稱為以曲面 為頂 區(qū)域 為底的曲頂住體 見圖圖7-1 曲頂柱體Oxyz( , )zf x yD( , ),f x y由于曲頂柱體的高是變動的 因此它的體積不能直接用公式體積=底面積 高來計算.為此,可采用類似于求曲邊梯形面積的方法來研究曲頂柱體的體積123(1),(1,2, ),(1,2, ),(1,2, ).niiiDniniinniVin用有限條曲線把閉區(qū)域 任意分割為 個小閉區(qū)域同時表示第 個小閉區(qū)域的面積 再以每個小閉區(qū)域為底將曲頂柱體劃分為 個小曲頂柱體 其中第 個小曲頂體的體積記為(2)

3、( ,)(72),( ,)iiiiiiiP x yVf x y 在每個小閉區(qū)域中任取一點見圖可以近似地等于以為底 以為高的平頂柱體的體積,即( ,)iiiiVf x y1(3)(,),niiiinf x yV 把 個小平頂柱體體積相加得它就是曲頂柱體體積 的近似值 即圖7-2 曲頂柱體劃分Di()iiP x y( , )zf x yxyzO1( ,)niiiiVf x y11(4),( ,)()0,( ,),niiiiniiiiDf x yVnf x yV對閉區(qū)域 的分割不斷加細(xì)加密就越來越近曲頂柱體的體積 .當(dāng) 個小閉區(qū)域的最大直徑 指有界閉區(qū)域上任意兩點的最大距離時的極限就是即01lim(

4、 ,)niiiiVf x y2.非均勻薄片的質(zhì)量,( , )( , ),.DP x yx ym設(shè)有一塊密度不均勻的薄片在它上面任一點處的面密度為求這塊薄片的質(zhì)量對于面密度均勻的薄片的質(zhì)量有計算公式質(zhì)量=面積 面密度,m現(xiàn)在面密度是變量.因此,所求質(zhì)量 不能直接由上述公式來計算 但因為在很小的區(qū)域內(nèi)面密度變化很小 近似于均勻密度,所以采用劃分的方法來計算.123(1),(1,2, ),.niiDninim用有限條曲線把閉區(qū)域 任意分割為 個小閉區(qū)域同時表示第 個小閉區(qū)域的面積 其對應(yīng)質(zhì)量為(2)( ,),( ,)( ,),iiiiiiiiiiP x ymP x yx y在每個小閉區(qū)域中任取一點可

5、以近似地等于以為面積以處密度為的均勻面密度的質(zhì)量 即( ,)iiiimx y1(3)( ,),niiiinx ym把 塊小閉區(qū)域的質(zhì)量近似值相加得它就是非均勻薄片的質(zhì)量 近似值 即1( ,)niiiimx y11(4),( ,),0,( ,),niiiiniiiiDx ymnx ym對閉區(qū)域 的分割不斷加細(xì)加密就越來越接近于薄片的質(zhì)量當(dāng) 個小閉區(qū)域的最大直徑時的極限就是即01lim( ,)niiiimx y,在許多實際問題的研究中 像上面兩實例一樣 最終都可歸為和式極限 所以有必要對這一形式的極限進(jìn)行討論 從而抽象出二重積分的定義.二、二重積分的定義1( , )(1,2, ).( ,)( ,)

6、,( , )( , )iiniiiiiiDf x yDDninx yf x yf x yDf x y d義 設(shè)是有界閉區(qū)域 上的有界函數(shù),將 任意分割為個小閉域同時它也表示其面積在每個小區(qū)域上任取一點并做和式若當(dāng)各個小閉區(qū)域的直徑中的最大值 趨于零時,這個和式的極限存在,則稱此極限為函數(shù)在閉區(qū)域 上的二重積分,記作,即定01( , )lim( ,)niiiiDf x y df x y,( , ),( , ),.f x yf x y ddxyD式中叫作被積函數(shù)叫作被積表達(dá)式叫作面積元素與 叫作積分變量叫作積分區(qū)域( , ),( , ).Df x y df x yD如果存在 那么稱在區(qū)域 上可積根

7、據(jù)二重積分的定義,前面兩個實例可分別寫成二重積分形式如下.( , )Vzf x yD曲頂柱體的體積等于曲頂在其底所在閉區(qū)域上的二重積分( , )DVf x y d( , )mx yD非均勻薄片的質(zhì)量等于其密度在面積區(qū)域上的二重積分( , )Dmf x y d關(guān)于二重積分的定義的幾點說明:(1),DxyDxyx yddxdyddxdy 因為二重積分的存在與閉區(qū)域 的劃分方式無關(guān) 所以可以用平行于 軸和 軸的直線劃分區(qū)域這樣 每個小區(qū)域大體上為小矩形.若把小矩形的邊長分別記作則于是面積元素可改寫為即并且(2)( , )0,;( , )0,( , )f x yf x yxOyf x yD當(dāng)被積函數(shù)時

8、 二重積分的幾何意義是曲頂柱體的體積 當(dāng)被積函數(shù)時 柱體在平面下方二重積分為負(fù)值 而二重積分的絕對值仍然為柱體的體積.所以在閉區(qū)域上的二重積分的數(shù)值都可用它在各個部分區(qū)域上的曲頂柱體體積的代數(shù)和來表示,這就是二重積分的幾何意義.三、二重積分的性質(zhì) 由于二重積分和定積分都是和式極限,所以它們有著相似的特征,下面給出二重積分的基本性質(zhì).質(zhì) 被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到二重積分號外面,即性1( , )( , )DDkf x y dkf x y d質(zhì) 有限個函數(shù)的代數(shù)和的二重積分,等于各個函數(shù)的二重積分的代數(shù)和,例如性2 ( , )( , )( , )( , )DDDf x yg x y df x y

9、 dg x y d,DD質(zhì) 如果閉區(qū)域 被有限條曲線為有限個部分閉區(qū)域 那么在 上的二重積分等于各個部分區(qū)域上的二重積分的和.例如性31212( , )( , )( , ),()DDDf x y df x y df x y dDDD這一性質(zhì)表示二重積分對積分區(qū)域具有可加性., ( , )1,Df x yD質(zhì) 如果在閉區(qū)域 上為 的面積 那么性41DDdd,1,.這一性質(zhì)的幾何意義很明顯因為高為的平頂柱體的體積 在數(shù)值上就等于柱體的底面積,( , )( , ),Df x yg x y質(zhì) 如果在閉區(qū)域 上那么有不等式性5( , )( , )DDf x y dg x y d,特別地由于( , )(

10、, )( , )f x yf x yf x y則又有不等式( , )|( , )|DDf x y df x yd( , ),Mmf x yDD質(zhì)設(shè)和 分別為在閉區(qū)域 上的最大值和最小值是 的面積,則有不等式性6 ( , )Dmf x y dM()( , ),( , )f x yDDD 質(zhì) 二重積分的中值定理 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)域 上連續(xù)是 的面積 則在 內(nèi)至少存在一點使得下列等式成立性7( , )( , )Df x y df ( , ),. 中值定理的幾何意義為:對于任意的曲頂柱體,必存在一個以曲頂柱體的底為底,以過其底上某一點的那條高為高的平頂柱體 它的體積等于這個曲頂柱體的體積23()(),1.

11、DDxydxy dDxyxy 比較二重積分與其中 由 軸軸及直線圍成例12373,01,()() ,Dxyxyxy 如圖所示 在 上任點有則由性質(zhì)5得23()()DDxy dxy d解圖7-3 例1示意圖Oxy1xy1D22(1),;01,02.DIxydDxy 利用二重積分的性質(zhì)估計積分的值其中 是矩形閉區(qū)域例222116,2,6DxyD 因為在 上有而 的面積為 所以由性質(zhì)可得22(1)12Dxyd2解思考題1.,0 ;二重積分的幾何意義是什么? 其中Df x y df x,y答案2.,1.,已知則的值為多少?Df x yf x y d答案3.應(yīng)用對稱性計算二重積分時應(yīng)注意些什么?答案課堂

12、練習(xí)題2lnln.1.根據(jù)二重積分性質(zhì)比較積分與( 是矩形閉區(qū)域35,01)的大小DDxy dxydDxy答案2.(01,01).利用二重積分的性質(zhì)估計積分I=是矩形區(qū)域的值的范圍Dxy xy dDxy答案 在實際應(yīng)用時,用二重積分的定義和性質(zhì)去計算二重積分是十分復(fù)雜和困難的.本節(jié)將介紹一種實用的計算方法,此種方法主要是把二重積分的計算化成連續(xù)計算的兩次定積分,即二次積分.一、在直角坐標(biāo)系下計算二重積分,( , )0,( , ),( , ).Df x yf x y dDf x y由二重積分的幾何意義可知當(dāng)時的值等于以區(qū)域 為底以曲面為頂?shù)那斨w的體積12( )( ),;(74)Dxyx ax

13、b設(shè)底面區(qū)域 為見圖10200010200()000()0 , ,(),()(, )()(, ),xxa bxxxxxxzf xyA xf xy dyxabxxx 在區(qū)間上任意選定一點過該點作垂直于 軸平面截曲頂柱體得一截面 此截面為一個以區(qū)間為底以曲線為曲邊的曲邊梯形(見圖7-5),由定積分的幾何意義可得截面積因為是 與 之間的任意點 所以把 記為可得在 處的截面面積為圖7-4 積分區(qū)域OOabD( )2xyabD( )2xyxyxy( )a積分區(qū)域( )b積分區(qū)域1020()()( )( ,),()xxA xfx y dyaxb由已知平行截面面積計算體積的公式可得曲頂柱體的體積為( )ba

14、VA x dx21( )( )( , )bxaxf x y dy dx xyzOb0 xa1( )yx2( )yx( , )zf x yD圖7-5 截面圖形,.,( , ),( )( )(),yxyxf x yyyxxxxabyx12 上式表明 計算二重積分時 可以化為先對再對 的二次積分來計算先對 積分時 把 看作常量只看作 的函數(shù) 并對計算從到的定積分,然后把計算結(jié)果 關(guān)于 的函數(shù) 再對 計算從 到 的定積分.從而得到把二重積分化為先對再對的二次積分公式為即有21( )( )( , )( , )bbxaaxDf x y ddxf x y dy 21( )( )( , )( , )bxaxD

15、f x y dxdydxf x y dy 12,( )( ),(76),Dyxy cydxy 類似地 若底面區(qū)域 為見圖則可得到把二重積分化為先對再對 的二次積分公式圖7-6 積分區(qū)域Oxycd1( )xyD2( )xyOxycdD1( )xy2( )xy( )a積分區(qū)域( )b積分區(qū)域21( )( )( , )( , )dycyDf x y dxdydxf x y dx關(guān)于公式的幾點說明:(1),( , )0,(7 10),(711)zf x y 在上述結(jié)論中 假設(shè)實際上式式的成立不受此條件限制(2),:.DxyDDD 應(yīng)用公式時 積分區(qū)域 必須滿足以下條件 平行于 軸或軸的直線與區(qū)域 的邊

16、界曲線的交點不多于兩個若不具備此條件,把區(qū)域 分成若干小閉區(qū)域(見圖7-7),使每個小閉區(qū)域都能滿足上述條件,然后應(yīng)用公式算得各部分區(qū)域上的二重積分,則它們的和就為閉區(qū)域 上的二重積分.圖8-7 積分區(qū)域分割xyO323(3),1,01.Dxx yy dxdyDxy 計算其中 是矩形閉區(qū)域:0例11132332300(3)(3)Dxx yy dxdydxxx yy dy ()D畫出積分區(qū)域見圖7-8113224003124x yx yydx13203124xxdxx解圖7-8 例1示意圖O11xyD,.,yxxyyx在把二重積分化為二次積分時 可以先對 積分 再對 積

17、分 也可以先對 積分 再對 積分當(dāng)積分區(qū)域為矩形時由于兩次分限均為常量 所以先對 積分還是先對 積分,在計算時都很方便.但當(dāng)積分區(qū)域為其他形狀時,選擇積分次序是否恰當(dāng)將直接影響計算的難易程度.(32 ),2.Dxy dxdyDxy 計算其中 是由兩坐標(biāo)軸及直線所圍成的閉區(qū)域例2(79)2,02,Dyxx 畫出積分區(qū)域見圖可表示為:0解x圖7-9 例2示意Oy2xy222200(32 )(32 )xDxy dxdydxxy dy 222003xxyydx220( 224)xxdx2320220433xxx (123 ),:,2 ,2.Dxy dxdyDyx yxx 計算其中 是由三條直線所圍成的

18、區(qū)域例3(7 10):2 ,02.Dxyxx畫出積分區(qū)域見圖可表示為220(123 )(123 )xxDxy dxdydxxy dy 22203122xxxyydx22230033114422x dxx解O242yxyx2x (2,4)(2,2)2xy710圖 例3示意圖22(),:2,2.Dxyx dxdyDyyxyx 計算其中 是由三條直線所圍成的區(qū)域例4(7 11)D畫出積分區(qū)域見圖:,02.2yDxyy區(qū)域 可表示為2222202()()yyDxyx dxdydyxyx dx 2322021132yyxy xxdy2320193248yydy224300191169683yy方法一解圖

19、7-11 例4示意圖a121xy2yx2y yxDO1212,(712).:2 ,01,:2,12.DD DDxyxxDxyx 區(qū)域 分成兩部分見圖表示為表示為方法二圖7-12 例4示意圖b xy12122yxyx(1,2)(2,2)2y 2D1DO22()Dxyx dxdy122222()()DDxyx dxdyxyx dxdy1222222201()()xxxdxxyx dydxxyx dy 22122323011133xxxx yyxydxx yyxydx12323201104832333xxdxxxxdx12434320151186333xxxxxx 1513236由此可見,計算時恰當(dāng)

20、選擇積分次序?qū)⑹惯\算簡便.二、在極坐標(biāo)系下計算二重積分在計算二重積分時,如果其被積函數(shù)和積分區(qū)域的邊界曲線用極坐標(biāo)表示比較簡單,那么應(yīng)考慮在極坐標(biāo)系下進(jìn)行計算.cossinxryr由極坐標(biāo)變換公式( ),( , )( cos , sin ),.Drrf x yf rrd 積分區(qū)域 的邊界曲線可化為被積函數(shù)可變?yōu)橄旅嫜芯咳绾斡脴O坐標(biāo)表示面積元素,.Dxyddxdy由于二得積分的值與區(qū)域 的劃分式無關(guān),因此在直角坐標(biāo)系中采用了平行于 軸和 軸的直線劃分區(qū)域 使得面積元素,()( =),(7-13),ODDrn 在極坐標(biāo)系下,可采用相似方法,假設(shè)從極點 出發(fā)且穿過區(qū)域內(nèi)部的射線與區(qū)域 的交點不多于兩

21、點 用一族以極點為心的同心圓常量 和一族從極點出發(fā)的射線常量 將區(qū)域分成 個小閉區(qū)域 見圖這些小閉區(qū)域的面積可近似地看作小矩形面積,即713D圖 在極坐標(biāo)系下分割1( )rr2( )rrrrrr ()rrr r drdrd所以面積元素為,這樣 就可把直角坐標(biāo)系下的二重積分化為極坐標(biāo)系下的二重積分( , )( cos , sin )DDf x y dxdyf rrrdrd,.,.r在計算時 仍然要把它化為二次積分下面介紹先對 積分 再對 積分的方法(1)(7 14),:DD極點在區(qū)域 之外 見圖這時閉區(qū)域 可表示為圖7-14 極點在D之外AB1( )rr2( )rrD12( )( ),rrr 則

22、有21( )( )( cos , sin )( cos , sin )rrDf rrrdrddf rrrdr(2)(7 15)D極點在區(qū)域 的邊界上 見圖( ),Drr 這時,閉區(qū)域 可表示為0則有圖7-15 極點在邊界上rOD( )rr(3)(7 16)D極點在區(qū)域 之內(nèi) 見圖,:( ),02 ,Drr這時閉區(qū)域 可表示為 0則有2( )00( cos , sin )( cos , sin )rDf rrrdrddf rrrdr圖7-16 極點在D內(nèi)DOr( )rr( cos , sin )Df rrrdrd( )0( cos , sin )rdf rrrdr2222,:4.xyDedDxy

23、 計算其中 是圓形區(qū)域例52,:re被積函數(shù)用極坐標(biāo)表示為積分區(qū)域用極坐標(biāo)表示為2,02 .r0所以22222200 xyrrDDedre ddre dr2220012red224400111(1)222ede4(1)e解222222,:,(0)Dxy dDaxybba計算其中 是環(huán)形閉區(qū)域例6 , r被積函數(shù)用極坐標(biāo)表示為,02 ,rb積分區(qū)域用極坐標(biāo)表示所以222220baDDxy dr drddr dr223220011()33bardba d22222012()()33baba解思考題1.重積分化為累次積分后,其上限是否可以小于下限?為什么?答案2.當(dāng)二重積分的被積函數(shù)是絕對值函數(shù)時,

24、如何計算它的值?答案,.3.試由二重積分公式寫出極坐標(biāo)系下二重積分公式Dfx y d答案課堂練習(xí)題221.,14. 將二重積分化為極坐標(biāo)系下二次積分 其 為圓環(huán)域Df x y dDxy答案2.1,: 22, 11.43計算二重積分DxydDxy 答案二重積分在實際在有著廣泛的應(yīng)用.本節(jié)將介紹它在求幾何體的體積,平面薄片的質(zhì)量以及平面薄片的重心等方面的應(yīng)用.一、體積由二重積分的幾何意義可知,曲頂柱體的體積可以用二重積分表示.因此可以利用二重積分計算幾何體的體積.2229,(0).xyzz 求半球體的體積例1,(7 17) 由對稱性可知 所求體積為它位于第一卦限部分 見圖的體積的4倍.解229,z

25、xyxOyD它在第一卦限部分可以看作以為頂 以其在平面投影 為底的曲頂柱體.所以,半球體半體積為2249DVxy dxdy圖7-17 例1示意圖OxyzD2,.03,0.2rr這時 被積函數(shù)用極坐標(biāo)表示為 9-積分區(qū)域用極坐標(biāo)表示為則32220044DVr rdrddr rdr9-9-333222222000042(9)(9)3dr drrd 9-220042736183d220,0106.xyxyzxyz 求由平面及所圍成的柱體被平面及拋物面截得的幾何體的體積例2227 18,6,:01,01zxyDyxx 如見圖所示 該幾何體可以看作以為曲頂 以區(qū)域為底的曲頂柱體.所以解圖7-18 例2示

26、意圖zxyOD1111123320001417625333xyx yydxxxxdx14320125171733236xxxx11222200(6)(6)xDVxy dxdydxxy dy 求兩個截面半徑為1dm的圓柱直交時所圍成的幾何體的體積.例3222211xyxz 如 圖 7-19所 示 ,建 立 坐 標(biāo) 系 ,則 兩 個 柱 面 方 程 為和221,:01,01zxDyxx由對稱性可知,所求體積為它第一卦限部分的8倍,它在第一卦限部分可以看作以為曲頂以區(qū)域為底的曲頂柱體.所以,所求幾何體的體積為解圖7-19 例3示意圖Oxyz21122008181xDVx ddxx dy2111220

27、00818(1)xx ydxxdx13201168()33xxdm二、平面薄片的質(zhì)量D 由第一節(jié)引例和二重積分定義可知,平面薄片的質(zhì)量等于面密度在區(qū)域 上的二重積分.因此,可以用二重積分計算平面薄片的質(zhì)量.222 (0)2,( , )=,Dx yxy 設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域 由螺線與直線 =0及 =圍成 它的密度為求這薄片的質(zhì)量.2例4.D由二重積分的物理意義可知,薄片的質(zhì)量為面密度在區(qū)域 上的二重積分所以( , )Dmx y d解,02 ,0,22又因為被積函數(shù)用極坐標(biāo)表示為積分區(qū)域為所以( , )Dmx y d2200Dd ddd 23222000144dd4452504540三、平面薄片

28、的重心.n一個物體可以看作是由 個質(zhì)點組成的質(zhì)點系由靜力學(xué)可知,這個質(zhì)點第的重心坐標(biāo)為1111,nniiiiyixinniiiim xm ymmxymmmm,.yxmmmyx式中為質(zhì)點系質(zhì)量,與分別為質(zhì)點第對 軸和 軸的靜力矩,( , ),Dx y設(shè)平面薄片的面積區(qū)域為面密度為由二重積分的概念和意義可知( , ),( , ),( , )yxDDDmx y dmxx y dmyx y d所以( , ),( , )DDxx y dxx y d( , )( , )DDyx y dyx y d,().,AAD特別地 若平面薄片是均勻的 則面密度為常量總質(zhì)量為為區(qū)域 的面積 這時 它的重心坐標(biāo)為11,D

29、DxxdyydAA,.,DD此時 它的重心完全取決于區(qū)域 的形狀因此 均勻薄片的重心也叫該薄片所點的平面圖形 的形心.22( , )( , )=,.Dyxyxx yx yx y 設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域 由拋物線及直線所圍成,它在點處的面密度為求此薄片的重心例52:,01,Dxyxx如圖7-20所示,區(qū)域 為所以解圖7-20 例5示意圖yxOD112yxyx13302( , )xyxDDmxx y dx yddxx ydy 211325700111222xxx ydxxxdx1680111121648xx22( , )xDDmyx y dx y d221122230013xxxxdxx y dy

30、x ydx 115869001111133182754xxdxxx12202xxDmx yddxx ydy 2122012xxx ydx14601122xxdx1570111101435xx3535,4854yxmmxymm故 35 35,.48 54所以該薄片的重心坐標(biāo)為6xy 求由坐標(biāo)軸與直線2所圍成的三角形均勻薄片的形心.例6:062 ,039.DyxxA 如圖7-21所示,其區(qū)域 為圖形面積所以36 200119xDxxddxxdyA 解圖7-21 例6示意圖OD26xy63xy36 20019xxydx3201(62)9xx dx3230123193xx36 200119xDyydd

31、xydyA 6 232001192xydx3201(18 122)9xx dx323012186293xxx,(1,2).所以 所求薄片的形心坐標(biāo)為思考題1.利用二重積分求體積的根據(jù)是什么?答案2.均勻薄板的質(zhì)量是如何用二重積分表示的?答案3.熟悉定積分遞推公式,并牢記.答案課堂練習(xí)題,1,0,.yx xy 1.設(shè)薄片所占的閉區(qū)域D是由 = 2所圍成 求該均勻薄片的質(zhì)量答案22222212.11,.選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)表示積分是由圓周及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域 并且將其化為二次積分DxydDxyxy答案一、學(xué)習(xí)Mathematica命令 Mathematica的求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)命令與前面

32、學(xué)習(xí)的求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)命令一樣，調(diào)用格式為(x,y,z),x( , , )(x,y,z),x,y,x,( , , )xxyzffx y zffx y zD 求D 求高階偏導(dǎo)數(shù) Mathematic求二重積分的命令與前面學(xué)習(xí)的求定積分的命令一樣,調(diào)用格式為Integrate f(x,y),x,a,b,y,c,b( , )bdacdxf x y dy 求二重積分二、偏導(dǎo)數(shù)計算2sin2zxy 求的偏導(dǎo)數(shù).例1解In1:=Dx2*Sin2y,xOut1=2xsiny2In2:=Dx2*sin2y,yOut2=2x Cos2y2222332322331,.zzzzzzx yxyxyxy xx yyx 設(shè)求及例2解2In3:=Dx3*y2-3x*y3-x*y+1,x,xOut3=6xy22In4:=Dx3*y2-3