隨機波動模型及其擴展

1、7.1 基本SV模型及其統(tǒng)計性質(zhì) 隨機波動：波動率是衡量某一段時間內(nèi)金融產(chǎn)品價格變動程度的數(shù)值。隨機波動側(cè)重于指時間序列的隨機部分。在金融學(xué)中，隨機波動性定義為一個連續(xù)的差分模型中隨機維納部分的標(biāo)準(zhǔn)差或協(xié)方差。 隨機波動率模型：是把收益率的擾動項假設(shè)為不可觀測，服從一個隨機過程的變量，是一個動態(tài)波動特征的模型。離散SV模型22122,1,2,.,(7 1 )lnln(7 1 ) .(0,1).(0,)1ttttttttttttttSVytTabytiiNiiN 基本的離散模型如下：其中 表示消去均值后第 期的收益，和是相互獨立的， 是一個鞅差分序列，繞動項和可以是同期相關(guān)的。一般假定，且未知。

2、 ， 為常數(shù)， 為持續(xù)性參數(shù)，反映了當(dāng)前波動對未來波動的影響，。22121lnSV(7 1 )(7 1 )(72 ),1 (72 )tttthtttttthttttthyechhdhARMASVyeahhb如果取則以上模型可寫成：這里 可以擴展為一個過程。另一種模型的形式如下：式中 是比例參數(shù)，表示平均波動水平。SV模型的統(tǒng)計性質(zhì)2222-. . . exp()exp(/ 2) . ()tttttthhttttta yb hycEahaahdyVar y對于（7 1）和（7 2）構(gòu)成的基本隨機波動模型有如下統(tǒng)計性質(zhì)：（1）一般性質(zhì)是鞅差分過程（基于是鞅差分序列）。平穩(wěn)則意味著平穩(wěn)。如果服從正態(tài)

3、分布，則由對數(shù)正態(tài)分布的性質(zhì)有其中 為常數(shù)，是的方差。如果服從正態(tài)分布，存在有限方差，則的方差為2222exp(/ 2). () . htthtteyexpfy若具有四階矩，則的峰度為，這里 是的峰度。的所有奇數(shù)階矩為零。222,()222222,. exp() 4 exp() 141,0.5,0/ ,0,1,1,.2ttttCCChhtttCCCttChCCCtthtCayCACFCE yyE yCE yE yCCE yE yhACFC （2）自相關(guān)函數(shù)如果和相互獨立，服從正態(tài)分布，則絕對值得 次冪的為其中而表示 的。當(dāng)時，就3.Cty為的峰度，在正態(tài)分布下為22(),22(),(1/ 2)

4、 (1/ 2)/ (/ 2 1/ 2) ,0 (1/ 2) (/ 2) (1/ 2) ( / 2) (/ 2 1/ 2) (/ 2/ 2)/ 20. 1 exp() 14CtCtChhthChCCCCtCCCCCCb hACFhACFC 一般地有而當(dāng)服從自由度為 的 分布時，有其中，。的性質(zhì)當(dāng)較小，或接近 ，則的與有如下關(guān)系：22(),1exp() 14 htCCtCt當(dāng)服從 分布時，隨著 趨于無窮而遞減。對于正態(tài)的，上式的近似式使取得最大值。22222222222ln(72 )lnlnlnlnln,lnln,. . .(0,) lnlnttttttttttttttttzyazyhzyhEii

5、 dE（3）模型的線性表示隨機波動模型的一個重要的性質(zhì)是它可以轉(zhuǎn)化為一個線性表達式。令，對式兩邊平方取對數(shù)，可得或?qū)憺槠渲?。如果服從?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，服從對數(shù)分布。根據(jù)相關(guān)文獻結(jié)果此時有：2221.27,(ln)4.932ttVar 7.2 擴展的SV模型1122201(1)/ 2)( ) (2)1( / 2)243,4tttSVtSVtSVttft 模型假定模型的擾動部分服從自由度為 的 分布，則為模型，擾動部分 服從均值為 ，方差為的正規(guī)化 分布，即其中參數(shù) 為自由度。當(dāng)時， 分布的峰度大于時就變成正態(tài)分布，時其峰度不存在。厚尾SV模型1 1/2/1/2-3()011() 2( ),02(1/

6、 )2(1/ )2(3/ )223tcttccSV GEDGEDSVGEDGEDcespfccccccGEDc模型另一種峰度大于 的分布是廣義誤差分布，在模型下，擾動部分 服從均值為 方差為的正規(guī)化，這時其中這里 為自由度，當(dāng)時，為正態(tài)分布，時期峰度大于 ，為厚尾分布。一些實證研究表明，這兩種分布假設(shè)下的模型，能較好地描述許多金融序列中所表現(xiàn)出的“高峰厚尾”與平方收益的長記憶性。含有外生因素的SV模型2112211WatanabeSVexp(/ 2) ,. . .(0,1),. . .(0,1)exp(/ 2)ttttttttttttttttyab yb ycdDhii dhhDyii dh

7、金融資產(chǎn)收益的均值與波動常會受到一些外生解釋變量的影響，這些變量主要包括虛擬變量，季節(jié)成分，周末效應(yīng)，成交量等。在分析東京股市收益時，將基本模型擴展為：其中表示測度序列2110tttDcycd的波動，是表示周末效應(yīng)的虛擬變量，在周末后的第一個交易日取 ，其余時間取 。上式中的項是刻畫風(fēng)險溢價的，而是刻畫當(dāng)期收益與未來收益波動的相關(guān)性。實證表明，參數(shù) ， ， 和 都具有較高的顯著性，這與金融市場中的一些波動特性相一致。含有前期觀測影響的SV模型2211SVln ()thttnttit itittttiyehhyhnAICRMSERMSESV考慮前期觀測對當(dāng)前波動的影響，將基本模型擴展為：其中和是

8、互不相關(guān)的白噪聲序列，且和不相關(guān)。 ， ， 為常數(shù)。 為模型中待定階數(shù)，可通過準(zhǔn)則或模型的均方誤差（）準(zhǔn)則 使值最小 來確定。該模型可以很好的描述股票市場的波動集群性和波動持續(xù)性現(xiàn)象。和模型相比，在描述金融波動性方面有一定的優(yōu)越性?？紤]預(yù)期收益的SV模型1*221*,. . (0,1),. . (0,) ttttttttthttttttttttyii Nabydehhii Nytthd 為了研究風(fēng)險與預(yù)期收益的關(guān)系，引入模型如下：其中 為時刻 的超額收益， 為時刻 的預(yù)期收益， 為對數(shù)波動，是尺度因子為一個正常數(shù)， 與是互不相關(guān)的白噪聲過程， 為波動持續(xù)性參數(shù)， 度量了波動對預(yù)期收益影響的參數(shù)

9、。馬爾科夫轉(zhuǎn)換SV模型121111211211212SVMSSVexp() ,. . (0,1)2()()(),. . (0,1)()()(1)()()(1)()()(1)ttttttttttttttttthyii NhSS hSii NSSSSSS 把馬爾科夫轉(zhuǎn)換機制進入到模型中，我們得到馬爾科夫轉(zhuǎn)換隨機波動模型（）如下：其中式中， ，2112121,2,()(|), .1,1tijijttiijjStSPppP Sj Si i jSpppp，是待估參數(shù)， 用來描述系統(tǒng)在時間 的不可觀測到的狀態(tài)，它被假定為時齊的一階馬爾科夫鏈，其狀態(tài)空間為轉(zhuǎn)換矩陣，而且。長記憶SV模型（LMSV）2ARFI

10、MASVexp(/ 2) ,. . .(0,1)(1)( )( ),. . (0,)( )( )0.50.5ttttdtttyhii dLL hLii NLLdLMSV 為了刻畫波動過程中所表現(xiàn)的長記憶特征，把過程納入到基本模型中，提出了一類長記憶隨機波動模型如下：其中和為滯后算子多項式，他們的特征根都在單位圓外，且。這樣的模型極為。分整隨機波動模型FISV22LMSV,. . .(0,1)ln (1) (1),. . (0,) tttttttdtttttyii dhhLL hii NFISV 另一類模型為且，而滿足其中與香相獨立。這類模型也是一類簡單的分整隨機波動模型（）。Box-Cox S

11、V 模型22122Box-Cox-SVSV(, ) (, )- (0,1)(, )( , )10( , )0lnBox-Cox-SV()1ttttttttttyhhNhh xBoxCoxxh xx 模型是一類重要的非線性模型，基本模型如下：（7 14）和是兩個不相關(guān)的序列，是以參數(shù) 為指標(biāo)的平滑函數(shù)，這里取變換：因此，模型的波動部分可寫作：21()1(0)tt 21/211/(, )- ( , )()( , )=0(1)( , )0exp( )tttttttttttttttthhyg hghhg hgBoxCoxhgg hh如果記，則 （7 14）可以改寫為其中是變幻的逆函數(shù)，有向量SV模型1

12、1,1SVY,Y(,.,)(),1,2,.,;1,2,.,2(,.,)1,tttNtititititttNtijitii tityyhyexpiN tTyitNhh單變量模型可以推廣到向量的情形。設(shè)有N維隨機過程這里 是觀測序列 在時刻 的值，且隨機向量為 維正態(tài)過程，具有零均值和協(xié)方差矩陣，中對角線元素為，非對角線元素為，且為對稱矩陣。1. . (0,1)(,.,)(0,)itttNttii NN取，這里的白噪聲，而是正定矩陣。,1121*1*1,. . (0,1)exp()2(ln,ln,.,ln)2(,.,)ititi titititittttNttttttttttttNthhhii N

13、hvWvvvWWWhhNNhhh 常用情況用表示為：如取令，可以表示為一個一階自回歸的形式：或其中， 是一個維系數(shù)矩陣，。12111SVNY,Y(,.,),1,.,()(0,),1,.,(,.,)Y(,.,)(,.,)tttNtitiitittttitiNtttNtttNttyyyU V iNYdiag U VUNiNUUUNVVVV向量模型更為一般的形式為：設(shè) 維隨機過程其分量可以表示為或用矩陣的形式其中為 的無條件均值，為 為白噪聲，且與相獨立，中各分量取正值。1001( )( ),. . (0,)( )()( )()( )(1) .(1)( ),.,( 0.5,0.5)ttttddNtt

14、NhARMAL hLii NLILIpqL diagLLhLddZ 推廣到長記憶情況，假定向量 服從向量過程：其中，分別為 階和 階滯后算子矩陣多項式。如果在上式引入分數(shù)差分算子矩陣多項式：其中的可以是分數(shù)，取值范圍是。這樣長記憶向量隨機波動模型為：1211.27( )(1) .(1)( )(,.,) ,ln,(1,.,1) .tttddNttttNtititlhL diagLLhLZzzzy l 其中7.3 SV模型的參數(shù)估計方法 7.3.1 偽極大似然方法222221122=() ,( | )( ,| )TTTTttttttRtttyyySVLf yf ydx 基本SV模型共有三個未知參數(shù)

15、： , ,。令, ,其中是 方差，模型似然函數(shù)為：其中f(.|.)表示條件密度，T為觀測樣本容量。由于似然函數(shù)是一個T重積分，且該積分不具有解析表達式 QML把SV基本模型轉(zhuǎn)換為線性狀態(tài)空間形式： z12222=ln,=ln.1-1.27/ 2ttttttttttttxxyxhx 其中z是不可觀測的變量， 服從自由度為的對數(shù)分布， 的均值和方差分別為和。|12|11|01|021|01|01=1.27/ 2(),| |1,1lnln2ln22ttttt ttt ttttttTtfxfPPxxPxxPTLf 和 分別為預(yù)測誤差和方差，且 z 為 的方差給定初始值和濾波就可以遞推進行。如果則 的無

16、條件均值和方差分別為 /1- 和/1- ，它們通常作為和 如果誤差項 和服從正態(tài)分布，則對數(shù)似然函數(shù)為 2112lnQMLTtttttf由于觀測誤差項 是非正態(tài)的，且均值和方差并非精確值，因此該方法稱為偽極大似然法。估計方法的優(yōu)點是容易實施，但其有限樣本的特性差。該方法的特點是必須選擇能轉(zhuǎn)化為線性狀態(tài)空間形式的模型。7.3.2 馬爾科夫鏈蒙特卡羅方法馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法來估計SV模型的幾點理由：資產(chǎn)定價模型中的價格和狀態(tài)變量一般是微分方程的解，這些方程又包含布朗運動、泊松分布等其他相互獨立容易描述的分布。離散后可以利用貝葉斯原理對模型加以估計。馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法同時可以對參數(shù)和隱含變量進行估計。馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法允許研究者對估計和建模進行量化。馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法基于條件模擬，從實證角度來看，在計算上具有速度優(yōu)勢。馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法原理 馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法的基本思路：通過構(gòu)造一個平穩(wěn)分布為 的馬爾科夫鏈得到 的抽樣，基于這些抽樣做出各種統(tǒng)計推斷。 馬爾可夫鏈蒙特卡羅算法的核心：對于一個給定的多元概率密度，通過反復(fù)從一個馬爾科夫鏈中取樣來產(chǎn)生變量，該馬爾科夫鏈需具有不變的分布。對SV模型而言，基本SV模型的似然函數(shù)表示為：x（ )x（ )1T)(, ) ()(