高等代數(shù)教案

1、高等代數(shù)教案第一章 多項(xiàng)式關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)：最大公因式,互素,不可約多項(xiàng)式,重因式(重根）,本原多項(xiàng)式,對(duì)稱多項(xiàng)式;最大公因式存在性定理(定理2，P13）,因式分解及唯一性定理(P20),高斯引理(定理10，P30),艾森斯坦因判別定理(定理13，P33),對(duì)稱多項(xiàng)式基本定理(定理15). 1.1 設(shè)的最大公因式是一個(gè)二次多項(xiàng)式,求的值. 詳解 作輾轉(zhuǎn)相除得如下關(guān)系式:,其中,(注:?).為使最大公因式是二次,必須:,解得. 1.2 證明:,(的首項(xiàng)系數(shù)等于1). 略證 ,又設(shè),則.1.3 證明:若,則. 提示 (相乘所得).1.4 設(shè),求證:.詳證 先證.對(duì)作歸納.時(shí)成立.假設(shè)時(shí)成立.下證時(shí)也成立

2、,設(shè),由歸納假設(shè),則,由題1.3,則成立.同理,.最后,對(duì)于,仍用最先所證方法即得要證問(wèn)題. 或提示 反證,設(shè),存在不可約多項(xiàng)式,推出矛盾. 1.5 證明:若,則. 提示 證. 問(wèn)題 ?(參見(jiàn)題1.2). 1.6 求多項(xiàng)式有重根的條件. 詳解 ,由于是一個(gè)三次多項(xiàng)式,那么有重根有重因式. 作輾轉(zhuǎn)相除得:,其中,.上述運(yùn)算中,若,則必須(否則),若,可運(yùn)算到最后,為使,必須,即. 總之,必須. 1.7 證明:不能有重根.略證 反證,設(shè)有重根為,矛盾.問(wèn)題 (1)是否有重根? (2)(素?cái)?shù))在上是否不可約?(利用艾森斯坦因判別定理). 1.8 若是的一個(gè)重根,證明:是的一個(gè)重根,其中.略證 ,則有

3、重根,設(shè)重?cái)?shù)為重根,又由題設(shè),則重根,則,. 問(wèn)題 重根重根?1.9 證明:是的重根,而.略證 由定理6推論1(P23). ,則為的重根,設(shè)重?cái)?shù)為,則為的重根(由什么保證?),又由條件,為的0重根, 所以,即. 1.10 證明:如果,那么,.詳證 設(shè)是的一根(三次單位根),則是其另一根.由于,并且,那么,則,即,所以,即,.問(wèn)題 (1)? (2)?(為非負(fù)整數(shù)).提示 利用4(或3)次單位根討論.1.11 判定多項(xiàng)式(奇素?cái)?shù))在有理數(shù)域上是否可約?略解 作變換(存在逆變換),則 ,又(為什么?素?cái)?shù)),利用艾森斯坦因判別法即可. 1.12 求多項(xiàng)式的有理根. 詳解 設(shè)其有理根為,則,那么可能的有

4、理根為-1,1,-3,3.由綜合除法-1 1 1 -6 -14 -11 -3-1 1 0 -6 -8 -3 ( 0-1 1 -1 -5 -3 ( 0-1 1 -2 -3 ( 0 1 -3 ( 0則知的有理根為-1(4重),3.問(wèn)題 試在上分解多項(xiàng)式.1.13 用初等對(duì)稱多項(xiàng)式表示如下對(duì)稱多項(xiàng)式:.詳解 是3元6次齊次對(duì)稱多項(xiàng)式,首項(xiàng)為,利用基本定理的作法,則中間產(chǎn)生的序列其首項(xiàng)相應(yīng)的數(shù)組有(4,1,1),(3,3,0),(3,2,1),(2,2,2).那么的首項(xiàng)只有,可設(shè).取為1,1,0,代入上式,解得=-4,取為2,-1,-1,代入上式解得=-27, 取為2,2,-1,代入上式,解得=-4,

5、取為1,1,1,代入上式,解得=18.那么.第二章 行列式關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)：逆序數(shù),行列式的定義,矩陣及其初等行變換,元素的余子式及代數(shù)余子式,子式的余子式及代數(shù)余子式;行列式的基本運(yùn)算性質(zhì),行列式的行(列)展開(kāi)性質(zhì)(定理3,P78),克蘭姆法則;利用運(yùn)算性質(zhì)化三角形法,利用展開(kāi)性質(zhì)降(升)階法,歸納與遞歸法等.2.1 設(shè)排列的逆序數(shù)為,問(wèn)排列的逆序數(shù)是多少?略證 在原排列和倒排列中,任意兩個(gè)元素之間均存在唯一一個(gè)逆序,因此二者的逆序數(shù)之和必為,則所求的逆序數(shù)為.2.2 由行列式定義計(jì)算中的系數(shù),并說(shuō)明理由.詳解 由行列式定義,中的一般乘積項(xiàng)可設(shè)為,只有當(dāng)二三四行中所取的元素恰好有兩個(gè)含時(shí),上述乘積

6、項(xiàng)才可能產(chǎn)生出的項(xiàng),所以排列可能為4231,3214,2134三種,這三種中只有第三種才真正出現(xiàn)的項(xiàng),所以相應(yīng)的項(xiàng)為,則系數(shù)為-1.2.3 由證明:奇偶排列各半.詳證 由級(jí)行列式的定義,則,其中當(dāng)排列為奇排列時(shí),被加項(xiàng)為-1,當(dāng)排列為偶排列時(shí),被加項(xiàng)為+1,而,所以在所有的級(jí)排列中,奇排列偶排列各占一半.注 也可以用“對(duì)換改變排列的奇偶性”來(lái)證明:在所有的級(jí)排列中,奇排列偶排列各占一半.2.4 設(shè),其中是互不相同的數(shù). 1)由行列式的定義,說(shuō)明是一個(gè)次多項(xiàng)式. 2)由行列式的性質(zhì),求出的根.略證 取不同于,則(范得蒙行列式),則;由行列式的定義,則每一個(gè)乘積項(xiàng)相應(yīng)的單項(xiàng)式的次數(shù)不超過(guò),那么.由

7、行列式的性質(zhì),則(兩行對(duì)應(yīng)元素一致).所以,且的根分別為.2.5 計(jì)算下面的行列式 1) ; 2) .詳解 1) .2) (范得蒙行列式).2.6 證明:. 提示 后兩列加到第一列,提取2倍,再第一列的(-1)倍加到后兩列.2.7 計(jì)算下列級(jí)行列式 1) 2) 3)略解 1) (其中第一步:按第一列展開(kāi)).2)3).(第一步:第列加到第列,第列再加到前一列,一直下去,直到第二列加到第一列)注 也可將各列均加到第一列,再求(這種行列式屬第二種“”字型).2.8 計(jì)算下列行列式 1) 2) 3) 4) 5) 詳解 1)若,將第列的()倍加到第1列,則有.若有某個(gè),不妨設(shè),由定義或按第二行展開(kāi)則有.

8、 說(shuō)明:這里是第一種“”字型,可以化為三角形行列式來(lái)作.2)將第1行的倍加到第2行,再將第2行的倍加到第3行,一直這樣做下去,最后將第行的倍加到第行,則有 .說(shuō)明:這里是第三種“”字型,可以化為三角形行列式來(lái)作或者如上那樣化,再利用定義計(jì)算.3)將行列式按第1列展開(kāi),那么 則,記,則,那么,則.若,由于行列式中是對(duì)稱的, 則也有,兩式聯(lián)立,則解得.若,則.說(shuō)明:本題所用方法是遞歸法,該方法的具體作法是:設(shè)原行列式為,需找出之間的關(guān)系(也可能不涉及第三者)如,可設(shè),比較系數(shù),定出,由此轉(zhuǎn)化出一個(gè)等比數(shù)列,則可求出,然后再設(shè)法求出即可.本題也可通過(guò)遞歸式使用第二數(shù)學(xué)歸納法求.4)將行列式按第行展開(kāi)

9、,那么 .由于,利用上述遞歸關(guān)系,則有,.說(shuō)明:也可使用第二數(shù)學(xué)歸納法證明.5)將行列式進(jìn)行擴(kuò)邊,則有(假設(shè),否則另討論) .2.9 設(shè)是數(shù)域上的互不相同的數(shù),是數(shù)域上任一組給定的數(shù),證明:存在唯一的數(shù)域上的多項(xiàng)式使.提示 是否存在唯一的多項(xiàng)式使得?也就是相當(dāng)于求如下的線性方程組(未知)是否有唯一解?第三章 線性方程組關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)：向量組與向量組的線性表出及等價(jià),向量組的線性相關(guān)及線性無(wú)關(guān),向量組的極大線性無(wú)關(guān)組及秩,矩陣的秩,齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,一般線性方程組的通解;替換定理(定理2,P110),方陣的行列式為零的充分必要條件定理(定理5,P129),矩陣秩的第二特性定理(定理6,P13

10、2),線性方程組有解判別定理(P135),齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系存在性定理(定理7,P140).3.1 設(shè)是互不相同的數(shù),證明:,是線性無(wú)關(guān)的. 詳證1 向量方程對(duì)應(yīng)于齊次線性方程組,考慮其前個(gè)方程組成的方程組,的系數(shù)行列式為范得蒙行列式不等于零,因此只有零解,所以也只有零解(因?yàn)榻饧癁榻饧淖蛹?,那么線性無(wú)關(guān).略證2 取向量組,證明線性無(wú)關(guān),從而線性無(wú)關(guān). 略證3 取數(shù)使兩兩不同,令,證明線性無(wú)關(guān),從而線性無(wú)關(guān).證明線性3.2 已知的秩為,證明:中任意個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都構(gòu)成它的一極大線性無(wú)關(guān)組.詳證 設(shè)為(1)的任意個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量構(gòu)成的部分組,不妨設(shè)為(1)的一極大線性無(wú)關(guān)組,任取向量

11、(在(1)中但不在(2)中),則向量組可由(3)線性表出,且,那么(4)必線性相關(guān)(定理2),所以(2)也為極大線性無(wú)關(guān)組.3.3 設(shè)的秩為,為(1)中的個(gè)向量,使得(1)中每個(gè)向量都可被(2)線性表出,證明:(2)是(1)的一極大線性無(wú)關(guān)組.提示 不妨設(shè)為(1)的一極大線性無(wú)關(guān)組,那么(3)與(2)必然等價(jià),因此它們有相同的秩,從而(2)也線性無(wú)關(guān).3.4 用消元法求下列向量組的極大線性無(wú)關(guān)組與秩:,.祥解1 向量方程對(duì)應(yīng)于如下齊次線性方程組.那么(2)同解于方程組,此(3)有非零解,則原向量組線性相關(guān).又方程對(duì)應(yīng)于方程組,而(5)又同解于,此(6)只有零解,則部分組線性無(wú)關(guān),構(gòu)成原組的極大

12、線性無(wú)關(guān)組,則原組的秩為3.略解2 作如下初等行變換,用同步的初等行變換,則,則秩()=秩()=3,那么秩=秩=3,從而部分組為極大線性無(wú)關(guān)組.3.5 證明:如果向量組可以由向量組線性表出,那么的秩不超過(guò)的秩.略證 設(shè)的一極大線性無(wú)關(guān)組為,且的一極大線性無(wú)關(guān)組為,那么可由線性表出,又線性無(wú)關(guān),則中的向量個(gè)數(shù)不超過(guò)中的向量個(gè)數(shù),即秩不超過(guò)秩.3.6 設(shè)是一組維向量,證明:線性無(wú)關(guān)任一維向量都可被線性表出.略證 任給維向量,則線性相關(guān)(個(gè)維向量),又線性無(wú)關(guān),則可被線性表出.由題設(shè),則單位向量組可由線性表出,又任一維向量都可被單位向量組線性表出,則也可由線性表出, 所以與等價(jià),那么秩=秩(單位向量

13、組線性無(wú)關(guān)), 因此線性無(wú)關(guān).問(wèn)題 設(shè)向量組線性無(wú)關(guān),線性相關(guān),證明:線性無(wú)關(guān).提示 證明兩向量組等價(jià).3.7 證明:方程組對(duì)任何都有解的充要條件是系數(shù)行列式.略證 記,那么對(duì)任何,(1)都有解任給,均可由線性表出線性無(wú)關(guān).3.8 已知與有相同的秩,證明:(1)與(2)等價(jià).略證 記秩(1)=秩(2)=,不妨設(shè)為(1)的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組,那么(3)必為(2)的一極大線性無(wú)關(guān)組(題3.2),所以(1),(2)均與(3)等價(jià),從而(1)與(2)等價(jià). 注意 若兩向量組有相同的秩,則它們未必等價(jià),如(1,0)與(0,1).3.9 討論取什么值時(shí)方程組有解,并求解.略解 系數(shù)矩陣的行列式,當(dāng)且時(shí),系

14、數(shù)矩陣及增廣矩陣的秩均為3,方程組有唯一解,由克蘭姆法則,那么解為,;當(dāng)時(shí),方程組無(wú)解.當(dāng)時(shí),方程組有無(wú)窮多解,解為任取.問(wèn)題 設(shè),問(wèn)取何值有解,并在有解時(shí)求一般解. 提示 討論系數(shù)矩陣的行列式.3.10 證明:與基礎(chǔ)解系等價(jià)的線性無(wú)關(guān)向量組也是基礎(chǔ)解系.詳證 設(shè)為一已知齊次線性方程組的一基礎(chǔ)解系,向量組與(1)等價(jià),且線性無(wú)關(guān).由替換定理,則,且(2)也為一組解(基礎(chǔ)解系的線性組合仍為解);任給一解向量,則可由(1)線性表出,那么也可由(2)線性表出,所以(2)也為基礎(chǔ)解系.問(wèn)題 設(shè)方程組的系數(shù)矩陣的秩為,證明:方程組的任意個(gè)線性無(wú)關(guān)的解都是其一基礎(chǔ)解系.提示 設(shè)齊次線性方程組的個(gè)線性無(wú)關(guān)解

15、為,取其一基礎(chǔ)解系,任給解,由由替換定理, 則向量組必線性相關(guān),則可由(1)線性表出.3.11 取什么值時(shí),方程組有解?在有解的情形,并一般解.略解 .當(dāng)時(shí),則方程組有解.此時(shí)原方程組同解于,(1)的導(dǎo)出組為分別取自由未知量為(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),代入(2)則可解得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為,再取自由未知量為(0,0,0)代入(1)則可解得特解為,那么一般解為任意.3.12 證明:方程組,有解的充分必要條件是.在有解的情形,求出它的一般解.略解 對(duì)方程組的系數(shù)矩陣的增廣矩陣作初等行變換.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)秩=秩,則有解的充要條件是.一般解為任意.說(shuō)明:題目3.11及3.12一般可通過(guò)

16、討論秩=秩解決問(wèn)題,而3.9應(yīng)先分析系數(shù)行列式更合適.第四章 矩陣關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn):非退化或非奇異矩陣,矩陣的逆,伴隨矩陣,分塊矩陣,初等矩陣,矩陣的等價(jià);矩陣乘積的秩定理(定理2,P174),矩陣可逆的充要條件定理(定理3,P177),矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形定理(定理5,P188), 可逆矩陣能表成初等矩陣的乘積定理(定理6,P190). 本章的三大問(wèn)題:矩陣的求逆,矩陣的分塊,矩陣的初等變換與初等矩陣.4.1 計(jì)算:1) ; 2) ; 3) . 詳解 1)由于,且與可交換,則 .2)先不完全歸納,然后進(jìn)行歸納證明.或者,假設(shè)第次的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換為 ,則它們的合成變換為,但這次的旋轉(zhuǎn)變換的合成變換恰好相當(dāng)

17、于1次的旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)變換,那么也有,所以有.3)記,則,那么(與可交換). 4.2 設(shè),是一個(gè)矩陣,定義.若,試求. 略解 根據(jù)題目中的定義,則有.4.3 證明:任一矩陣都可表成一對(duì)稱矩陣與一反對(duì)稱矩陣之和.提示 ,前者對(duì)稱,后者反對(duì)稱.4.4 設(shè),其中.證明:與可交換的矩陣只能是對(duì)角矩陣. 略證 設(shè)與可交換,則,那么,則當(dāng)時(shí),從而也為對(duì)角矩陣. 4.5 設(shè),為級(jí)單位陣,.證明:與可交換的矩陣只能是準(zhǔn)對(duì)角陣,其中為級(jí)矩陣. 提示 設(shè)與可交換,其中為陣,則,那么當(dāng)時(shí),則只能為準(zhǔn)對(duì)角矩陣. 4.6 用表示行列的元素為1,而其余的元素全為0的矩陣,證明:1)若,則當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí);2)若,則(),(),且

18、;3)若與所有的級(jí)矩陣可交換,則必為數(shù)量矩陣,即. 略證 1)由,則,比較即可.2)同樣.3)與所有的級(jí)矩陣可交換,則與可交換, 由2)即知成立.4.7 證明:若是實(shí)對(duì)稱矩陣,且,則.略證 記,則,且,那么,則,則,那么,即.4.8 設(shè),.證明:. 略證 利用行列式的乘法規(guī)則及范得蒙行列式的結(jié)果,則有 .4.9 設(shè)是矩陣,證明:若,均有,則.略證 取維單位列向量組,則,那么,即,所以.4.10 設(shè)為陣,為陣,且. 證明:如果,那么.略證 記(按行分塊),由,那么,又,即線性無(wú)關(guān),因此有,即.另證 記(列分塊),則,那么,又,不妨設(shè)的前個(gè)向量為極大線性無(wú)關(guān)組,則有,但是可逆,所以.問(wèn)題 設(shè)分別為

19、矩陣,且,.證明:若,則.提示 利用本題即可證明. 4.11 證明:.略證 記,(均按列分塊),則.又組可由組線性表出,那么 .4.12 設(shè)為陣.證明:如果,那么. 詳證 設(shè),記(按列分塊),由,那么, 則,說(shuō)明是齊次線性方程組的一組解向量, 另設(shè)方程組有一基礎(chǔ)解系,則可由線性表出, 所以,即得.4.13 設(shè),已知存在,求. 詳解 設(shè)為陣,為陣,則,那么存在,設(shè),其中陣塊分別為矩陣,由于,則, 可解得,所以.另解 由于,則,則,則,所以.問(wèn)題 設(shè),其中,并且,.求.提示 利用本題結(jié)論計(jì)算.4.14 矩陣稱為下三角矩陣,如果時(shí)有.證明:可逆的下三角矩陣的逆仍是下三角矩陣.詳證 對(duì)方陣的階數(shù)作歸納

20、.時(shí)顯然成立.假設(shè)時(shí)結(jié)論成立.下證時(shí)的情形,設(shè)為下三角陣,記(分塊),則存在,且為階可逆的下三角陣,由歸納假設(shè),那么也為下三角陣.又,那么,所以時(shí)也成立.說(shuō)明 本問(wèn)題也可設(shè)出來(lái)直接證明,對(duì)于上三角矩陣也同樣成立.4.15 設(shè)為矩陣().證明:.提示 .若,由于,則;若,則(否則,可逆,矛盾),則結(jié)論也成立.(或者當(dāng)時(shí),利用4.12討論證明).4.16 設(shè)同上.證明:略證 若,則;若,則(存在階非零子式),又,由題4.12則,則;若,則(的所有階子式均為零),則.4.17 設(shè),求.提示 由于,那么有,.說(shuō)明 本題也可對(duì)矩陣直接用初等變換求逆或用伴隨矩陣求逆.4.18 設(shè)分別為矩陣和矩陣.證明:.

21、略證 由于,那么,一方面有,兩邊取行列式并利用乘法規(guī)則及拉普拉斯定理,則;另一方面,也有,則.問(wèn)題 設(shè)如上,.證明:.提示 由于,63且,分別取行列式即可.第五章 二次型關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)：非退化線性替換,矩陣的合同,二次型的標(biāo)準(zhǔn)形定理(定理1,P215),對(duì)稱矩陣的合同標(biāo)準(zhǔn)形定理,實(shí)二次型的規(guī)范形定理即慣性定理,實(shí)對(duì)稱矩陣的合同規(guī)范形,實(shí)二次型(實(shí)對(duì)稱矩陣)的秩及正慣性指數(shù). 正定二次型,實(shí)二次型正定的判別定理,正定矩陣,實(shí)對(duì)稱矩陣正定的充要條件定理,半正定二次型及半正定矩陣. 5.1 證明:與合同,其中是的一個(gè)排列.詳證 對(duì)作歸納.時(shí),結(jié)論成立.假設(shè)時(shí)結(jié)論成立.下證時(shí)的情形.對(duì)于對(duì)角矩陣與,其中是

22、的一個(gè)排列.1)若,則是的一個(gè)排列.由歸納假設(shè),則合同于,從而合同于.2)若,設(shè),取,則,其中是的一個(gè)排列.由1)知合同于,從而也有合同于.提示 也可以按相應(yīng)的二次型來(lái)證(通過(guò)一非退化線性替換).5.2 設(shè)是一個(gè)級(jí)矩陣,證明:1)是反對(duì)稱矩陣對(duì)任一個(gè)維向量,有;2)如果是對(duì)稱矩陣,且對(duì)任一個(gè)維向量有,那么.略證 1)若,則,因此,即(為任一維向量). 取(維單位向量),則由,即得, 再取,仍由,則,即反對(duì)稱. 2)對(duì)稱,且反對(duì)稱,則.5.3 如果把實(shí)級(jí)對(duì)稱矩陣按合同分類,即兩個(gè)實(shí)級(jí)對(duì)稱矩陣屬于同一類當(dāng)且僅當(dāng)它們合同,問(wèn)共有幾類? 提示 兩實(shí)級(jí)對(duì)稱矩陣合同它們有相同的秩且有相同的正慣性指數(shù).當(dāng)秩為時(shí),正慣性指數(shù)可以是,因此秩為k時(shí)的級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣可以分為個(gè)合同類,所以共有個(gè)合同類. 5.4 證明:一個(gè)實(shí)二次型可以分解