電磁場(chǎng)與電磁波 課后答案馮恩信 著

1、第一章 矢量場(chǎng)1.1 求:(a) A ； (b) ； (c) ； (d) ； (e) (f)解：(a) ; (b) ( c) ; (d) (e)(f)1.2 ; 求:(a) A ； (b) ； (c) ； (d) ; (e) 解：(a) ;(b) ;(c) (d)(e)1.3 ; 求:(a) A ； (b) ； (c) ； (d) ; (e) 解：(a) ； (b) ； (c) ；(d) ; (e) 1.4 ; 當(dāng)時(shí)，求。解：當(dāng)時(shí)，=0, 由此得 1.5 將直角坐標(biāo)系中的矢量場(chǎng)分別用圓柱和圓球坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分量表示。解：(1)圓柱坐標(biāo)系由(1.2-7)式，;(2)圓球坐標(biāo)系由(1.2-14)式

2、, 1.6 將圓柱坐標(biāo)系中的矢量場(chǎng)用直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分量表示。解：由(1.2-9)式，1.7將圓球坐標(biāo)系中的矢量場(chǎng)用直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分量表示。解：由(1.2-15)式，1.8求以下函數(shù)的梯度：(a) f(x,y,z)=5x+10xy-xz+6(b) (c)解：(a) (b)(c)1.9 求標(biāo)量場(chǎng)在點(diǎn)(1,1,1)沿方向的變化率。解：1.10 在球坐標(biāo)中，矢量場(chǎng)為其中為常數(shù)，證明矢量場(chǎng)對(duì)任意閉合曲線的環(huán)量積分為零，即解：由斯托克斯定理, 因?yàn)?所以 1.11證明(1.3-8e)、(1.3-8f)式。1.12由(1.4-3)式推導(dǎo)(1.4-4a)式。1.13由(1.5-2)式推導(dǎo)(1.5-3a

3、)式。1.14計(jì)算下列矢量場(chǎng)的散度a) b) c)解：(a) (b)(c)1.15計(jì)算下列矢量場(chǎng)的旋度a) b) c)解： (a) (b) (c) 1.16計(jì)算a) b)c)解：(a) (b)(c)1.17已知，計(jì)算解：1.18已知計(jì)算解：根據(jù)亥姆霍茲定理，因?yàn)?，所?.19已知計(jì)算解：根據(jù)亥姆霍茲定理，因?yàn)?，所?.20求矢量場(chǎng)穿過(guò)由確定的區(qū)域的封閉面的通量。解：根據(jù)高斯定理，矢量場(chǎng)穿過(guò)由確定的區(qū)域的封閉面的通量因?yàn)?所以第二章習(xí)題解2-1.已知真空中有四個(gè)點(diǎn)電荷，分別位于(1,0,0)，(0,1,0)，(-1,0,0,)，(0,-1,0)點(diǎn)，求(0,0,1)點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：設(shè),2-2.已

4、知線電荷密度為的均勻線電荷圍成如圖所示的幾種形狀，求P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。(a) (b) (c)題2-2圖解：(a) 由對(duì)稱性(b) 由對(duì)稱性(c) 兩條半無(wú)限長(zhǎng)線電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)為半徑為a的半圓環(huán)線電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)為總電場(chǎng)為2-3.真空中無(wú)限長(zhǎng)的半徑為a的半邊圓筒上電荷密度為，求軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度。解:在無(wú)限長(zhǎng)的半邊圓筒上取寬度為的窄條,此窄條可看作無(wú)限長(zhǎng)的線電荷,電荷線密度為,對(duì)積分,可得真空中無(wú)限長(zhǎng)的半徑為a的半邊圓筒在軸線上的電場(chǎng)強(qiáng)度為題2-3圖 題2-4圖2-4.真空中無(wú)限長(zhǎng)的寬度為a的平板上電荷密度為，求空間任一點(diǎn)上的電場(chǎng)強(qiáng)度。解: 在平板上處取寬度為的無(wú)限長(zhǎng)窄條，可看成無(wú)限長(zhǎng)的線電荷，電荷線

5、密度為，在點(diǎn)處產(chǎn)生的電場(chǎng)為其中 ；對(duì)積分可得無(wú)限長(zhǎng)的寬度為a的平板上的電荷在點(diǎn)處產(chǎn)生的電場(chǎng)為2-5.已知電荷分布為r為場(chǎng)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，a，b為常數(shù)。求電場(chǎng)強(qiáng)度。解： 由于電荷分布具有球?qū)ΨQ性，電場(chǎng)分布也具有球?qū)ΨQ性，取一半徑為 r 的球面，利用高斯定理等式左邊為 半徑為 r 的球面內(nèi)的電量為因此，電場(chǎng)強(qiáng)度為2-6.在圓柱坐標(biāo)系中電荷分布為r為場(chǎng)點(diǎn)到z軸的距離，a為常數(shù)。求電場(chǎng)強(qiáng)度。解: 由于電荷分布具有軸對(duì)稱性，電場(chǎng)分布也具有軸對(duì)稱性，取一半徑為 r ,單位長(zhǎng)度的圓柱面，利用高斯定理等式左邊為 半徑為 r 的圓柱面內(nèi)的電量為因此，電場(chǎng)強(qiáng)度為2-7. 在直角坐標(biāo)系中電荷分布為求電場(chǎng)強(qiáng)度。解

6、: 由于電荷分布具有面對(duì)稱性，電場(chǎng)分布也具有面對(duì)稱性，取一對(duì)稱的方形封閉面,利用高斯定理,穿過(guò)面積為 S的電通量為,方形封閉面內(nèi)的電量為 因此，電場(chǎng)強(qiáng)度為 題2-9圖題2-7圖2-8. 在直角坐標(biāo)系中電荷分布為求電場(chǎng)強(qiáng)度。解: 由于電荷分布具有面對(duì)稱性，電場(chǎng)分布也具有面對(duì)稱性，取一對(duì)稱的方形封閉面,利用高斯定理,穿過(guò)面積為 S的電通量為,方形封閉面內(nèi)的電量為 因此，電場(chǎng)強(qiáng)度為 2-9.在電荷密度為（常數(shù)）半徑為a的帶電球中挖一個(gè)半徑為b的球形空腔，空腔中心到帶電球中心的距離為c(b+ca對(duì)于r0半空間為介電常數(shù)為的介質(zhì)，z0半空間為介電常數(shù)為的介質(zhì)，當(dāng)(1)電量為q的點(diǎn)電荷放在介質(zhì)分界面(2)

7、電荷線密度為的均勻線電荷放在介質(zhì)分界面求電場(chǎng)強(qiáng)度。解：（1）電量為q的點(diǎn)電荷放在介質(zhì)分界面以點(diǎn)電荷為中心作以半徑為r的球，利用高斯定理設(shè)上、下半球面上的電位移矢量分別、，根據(jù)對(duì)稱性，在上、下半球面上大小分別相等，有=根據(jù)邊界條件，因此（2）電荷線密度為的均勻線電荷放在介質(zhì)分界面以線電荷為軸線作以半徑為r單位長(zhǎng)度的圓柱面，利用高斯定理設(shè)上、下半柱面上的電位移矢量分別、，根據(jù)對(duì)稱性，在上、下半柱面上大小分別相等，有=根據(jù)邊界條件，因此2-30.面積為A，間距為d的平板電容器電壓為V，介電常數(shù)為厚度為t的介質(zhì)板分別按如圖a、b所示的方式放置在兩導(dǎo)電平板之間。分別計(jì)算兩種情況下電容器中的電容、電場(chǎng)及電

8、荷分布。題2-30圖解：（a）設(shè)導(dǎo)體板之間介質(zhì)與空氣中的電場(chǎng)分別為、，那么、滿足關(guān)系 （邊界條件）求解以上兩式得； 根據(jù)導(dǎo)體表面上的邊界條件，在上、下導(dǎo)體表面上的電荷面密度為電容為 (b) 由圖可見(jiàn)，導(dǎo)體板之間介質(zhì)與空氣中的電場(chǎng)為根據(jù)導(dǎo)體表面上的邊界條件，在上、下導(dǎo)體板與空氣的界面上的電荷面密度為在上、下導(dǎo)體板與介質(zhì)的界面上的電荷面密度為電容為 2-31.電荷分布為在x=0處電位為0，求電位分布。解：由電荷分布可知，電位僅是x的函數(shù)，電位滿足的方程為其通解為在 在 在 設(shè)，根據(jù)邊界條件;當(dāng)時(shí)，電荷分布可看成薄層，薄層外電場(chǎng)具有對(duì)稱分布，即得即 2-32.兩塊電位分別為0和V的半無(wú)限大的導(dǎo)電平板

9、構(gòu)成夾角為的角形區(qū)域，求該角形區(qū)域中的電位分布。解：由題意，在圓柱坐標(biāo)系中，電位僅是的函數(shù)，在導(dǎo)電平板之間電位方程為其通解為 由邊界條件，得 c b a題2.32圖 題2.31圖2-33.由導(dǎo)電平板制作的金屬盒如圖所示，除盒蓋的電位為V外，其余盒壁電位為0，求盒內(nèi)電位分布。解：用分離變量法，可得電位的通解為利用邊界條件，可求出系數(shù) （m、n為奇數(shù)） （m、n為偶數(shù)）題2-33圖 題2-34圖2-34.在的勻強(qiáng)電場(chǎng)中沿z軸放一根半徑為a的無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)電圓柱后，求電位及電場(chǎng)。解：由分離變量法，無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)電圓柱外的電位的通解為 （1）設(shè)，當(dāng)時(shí)的電位等于無(wú)導(dǎo)電圓柱的電位，即 （2）要使式（1）的電位在時(shí)等于

10、式（2），可得到系數(shù)，再由導(dǎo)體界面的邊界條件得因此，電位的特解為2-35.在無(wú)限大的導(dǎo)電平板上方距導(dǎo)電平板h處平行放置無(wú)限長(zhǎng)的線電荷，電荷線密度為，求導(dǎo)電平板上方的電場(chǎng)。解:用鏡像法,導(dǎo)電平板的影響等效為鏡像位置的一個(gè)電荷線密度為-的線電荷, 導(dǎo)電平板上方的電場(chǎng)為式中、分別為線電荷及其鏡像線電荷到場(chǎng)點(diǎn)的距離矢量。2-36.由無(wú)限大的導(dǎo)電平板折成的角形區(qū)，在該角形區(qū)中某一點(diǎn)()有一點(diǎn)電荷q，用鏡像法求電位分布。解：如圖將空間等分為8個(gè)區(qū)，在每個(gè)區(qū)中以原來(lái)的導(dǎo)電面為鏡面可以依次找到鏡像位置，原電荷的位置為()，在圓柱坐標(biāo)系中為，另外7個(gè)鏡像電荷在圓柱坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為 鏡像電荷為對(duì)于場(chǎng)點(diǎn)，電荷到場(chǎng)點(diǎn)

11、的距離矢量為；則場(chǎng)點(diǎn)的電場(chǎng)為題2-36圖 題2-37圖2-37.半徑為a，帶電量為Q的導(dǎo)體球附近距球心f處有一點(diǎn)電荷q，求點(diǎn)電荷q所受的力。解：點(diǎn)電荷q 受到的力（場(chǎng)）有兩部分，一部分等效為鏡像電荷的力，另一部分等效為位于球中心的點(diǎn)電荷的力。由鏡像法，鏡像電荷的大小和位置分別為由于包圍導(dǎo)體球的總電量為Q，所以位于位于球中心的點(diǎn)電荷=Q-;因此點(diǎn)電荷q 受到的力為2-38.內(nèi)外半徑分別為a、b的導(dǎo)電球殼內(nèi)距球心為d(d0半空間為介電常數(shù)為的介質(zhì)，z0半空間的場(chǎng)時(shí)，原來(lái)的問(wèn)題可等效為圖2-41(b)，計(jì)算z0半空間的場(chǎng)時(shí)，原來(lái)的問(wèn)題可等效為圖2-41(c)。這樣上半空間的電位可表示為式中為到場(chǎng)點(diǎn)的

12、距離，為的鏡像位置的電荷到場(chǎng)點(diǎn)的距離；下半空間的電位可表示為式中為到場(chǎng)點(diǎn)的距離，為的鏡像位置的電荷到場(chǎng)點(diǎn)的距離。利用邊界條件，和得由此得和所受的斥力分別為 (a) (b) (c)題2-41圖2-42.真空中半徑為a的導(dǎo)體球電位為V，求電場(chǎng)能量。解：用兩種方法求解。1） 用電位求電場(chǎng)能量2） 用電場(chǎng)強(qiáng)度求電場(chǎng)能量導(dǎo)體球內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度為零，導(dǎo)體球外的電場(chǎng)強(qiáng)度為電場(chǎng)能量為2-43.圓球形電容器內(nèi)導(dǎo)體的外半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，內(nèi)外導(dǎo)體之間填充兩層介電常數(shù)分別為、的介質(zhì)，界面半徑為c，電壓為V。求電容器中的電場(chǎng)能量。解：設(shè)圓球形電容器內(nèi)導(dǎo)體上的電荷為 q，由高斯定理可求得在內(nèi)外導(dǎo)體之間從而可求得內(nèi)

13、外導(dǎo)體之間的電壓為圓球形電容器的電容為電場(chǎng)能量為2-44. 長(zhǎng)度為d的圓柱形電容器內(nèi)導(dǎo)體的外半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，內(nèi)外導(dǎo)體之間填充兩層介電常數(shù)分別為、的介質(zhì)，界面半徑為c，電壓為V。求電容器中的電場(chǎng)能量。解：設(shè)圓柱形電容器內(nèi)導(dǎo)體上的電荷為q，用高斯定理，在內(nèi)外導(dǎo)體之間內(nèi)外導(dǎo)體之間的電壓為內(nèi)外導(dǎo)體之間的電容為電場(chǎng)能量為 2-45.兩尺寸為aa的平行導(dǎo)電平板之間距離為d，帶電量分別為,當(dāng)將介電常數(shù)為的介質(zhì)板插入導(dǎo)電板之間深度為x時(shí)，分別求介質(zhì)板所受的電場(chǎng)力。ax題2.45圖解：設(shè)空氣填充部分和介質(zhì)填充部分導(dǎo)電平板上的電荷密度分別為、由導(dǎo)體邊界條件得，；由介質(zhì)邊界條件得或，因此空氣填充部分和

14、介質(zhì)填充部分導(dǎo)電平板上的電量分別為，。由及得 平行導(dǎo)電平板之間的電場(chǎng)能量為由虛功原理，對(duì)于常電荷系統(tǒng)，介質(zhì)所受的沿x方向電場(chǎng)力為第三章 恒定電流場(chǎng)3-1 半徑為的薄圓盤(pán)上電荷面密度為，繞其圓盤(pán)軸線以角頻率旋轉(zhuǎn)形成電流，求電流面密度。解：3-2 平板電容器兩導(dǎo)電平板之間為三層非理想介質(zhì)，厚度分別為電導(dǎo)率分別為，平板面積為S，如果給平板電容器加電壓V，求平板之間的電場(chǎng)。解：設(shè)導(dǎo)電平板之間三層非理想介質(zhì)中的電場(chǎng)均為勻強(qiáng)電場(chǎng)，分別為、，根據(jù)電壓關(guān)系和邊界條件，、滿足以下關(guān)系解此方程組得3-3 在3.3例2中，如果在弧形導(dǎo)電體兩弧面之間加電壓，求該導(dǎo)電體沿徑向的電阻。解：設(shè)流過(guò)兩弧面的電流為I。作以與兩

15、弧面同軸的半徑為的弧面，流過(guò)此弧面的電流密度為，則由 得由此得 兩弧面之間的電壓為 該導(dǎo)電體沿徑向的電阻為 4-3 球形電容器內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體內(nèi)半徑為c，內(nèi)外導(dǎo)體之間填充兩層介電常數(shù)分別為，電導(dǎo)分別為的非理想介質(zhì)，兩層非理想介質(zhì)分界面半徑為b，如果內(nèi)外導(dǎo)體間電壓為V，求電容器中的電場(chǎng)及界面上的電荷密度。解：由于圓球形電容器內(nèi)填充兩層非理想介質(zhì)，有電流流過(guò)，設(shè)電流為I。在圓球形電容器內(nèi)取一半徑為的球面，流過(guò)此球面的電流密度為，則由得 或 電場(chǎng)強(qiáng)度為 電壓為 由此求出電流與電壓的關(guān)系后，電場(chǎng)為內(nèi)導(dǎo)體表面的電荷密度為外導(dǎo)體內(nèi)表面的電荷密度為媒質(zhì)分界面的（駐立）電荷密度為3-5 求3-2題中電容

16、器的漏電導(dǎo)。解：由3-2題得流過(guò)電容器的電流為所以 3-6 求3-4題中圓球形電容器的電容及漏電導(dǎo)。解：此圓球形電容器的電容及漏電導(dǎo)是并串聯(lián)的形式如圖所示。；3-7 分別求3-2題及3-4題中電容器的損耗功率。解：（1）3-2題（2）3-4題3-8 邊長(zhǎng)均為a的正方體導(dǎo)電槽中充滿電導(dǎo)率為的電解液，除導(dǎo)電板蓋的電位為V外，槽的其余五個(gè)邊界面電位為零。求電解液中的電位。解：此題電位所滿足的方程和邊界條件與題2-33相同，因此其解也與題2-33相同。3-9 將半徑為a的半個(gè)導(dǎo)電球剛好埋入電導(dǎo)率為的大地中，如圖所示。求接地電阻。解：設(shè)從地線流出的電流為I，在大地中作與導(dǎo)體球同心，半徑為的半球面，在此半

17、球面上電流密度相同，顯然滿足關(guān)系電場(chǎng)強(qiáng)度為 導(dǎo)電球的電位為 因此導(dǎo)電球的接地電阻為題3-9圖3-10在電導(dǎo)率為的大地深處，相距d平行放置半徑均為a的無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱。求導(dǎo)體圓柱之間單位長(zhǎng)度的漏電導(dǎo)。解：用靜電比擬法。此問(wèn)題可與介質(zhì)中的平行雙導(dǎo)線比擬，其電導(dǎo)與電容的關(guān)系為因?yàn)榻橘|(zhì)中的平行雙導(dǎo)線單位長(zhǎng)度的電容為因此，埋地導(dǎo)體圓柱之間單位長(zhǎng)度的漏電導(dǎo)為第四章 恒定磁場(chǎng)4-1.真空中邊長(zhǎng)為a的正方形導(dǎo)線回路，電流為I，求回路中心的磁場(chǎng)。解：設(shè)垂直于紙面向下的方向?yàn)閦方向。由例4-1知，長(zhǎng)為a的線電流I在平分線上距離為a/2的點(diǎn)上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為因而，邊長(zhǎng)為a的正方形導(dǎo)線回路在中心點(diǎn)上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為題4-1

18、圖 題4-2圖4-2. 真空中邊長(zhǎng)為a的正三角形導(dǎo)線回路，電流為I，求回路中心的磁場(chǎng)。解：設(shè)垂直于紙面向下的方向?yàn)閦方向。由例4-1知，長(zhǎng)為a的線電流I在平分線上距離為b的點(diǎn)上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為對(duì)于邊長(zhǎng)為a的正三角形，中心到每一邊的距離為，因而，邊長(zhǎng)為a的正方形導(dǎo)線回路在中心點(diǎn)上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為4-3. 真空中導(dǎo)線繞成的回路形狀如圖所示，電流為I。求半圓中心處的磁場(chǎng)。 (c)題4-3.圖解：設(shè)垂直于紙面向內(nèi)的方向?yàn)閦方向。由例4-2知，半徑為a的半圓中心處的磁場(chǎng)為（1） 因?yàn)樵谳d流長(zhǎng)直導(dǎo)線的延長(zhǎng)線上磁場(chǎng)為零，因此（2） 由例4-1知，本題半無(wú)限長(zhǎng)的載流長(zhǎng)直導(dǎo)線在距離為a處的磁場(chǎng)為因此本題磁場(chǎng)為半圓環(huán)

19、的磁場(chǎng)與兩半無(wú)限長(zhǎng)的直導(dǎo)線的磁場(chǎng)之和（3） 本題磁場(chǎng)為電流方向相反的兩不同半徑的半圓環(huán)的磁場(chǎng)之和，即4-4. 在真空中將一個(gè)半徑為a的導(dǎo)線圓環(huán)沿直徑對(duì)折，使這兩半圓成一直角。電流為I，求半圓弧心處的磁場(chǎng)。解：本題磁場(chǎng)為兩相同半徑但平面法線垂直的半圓環(huán)的磁場(chǎng)之和、分別為兩半圓環(huán)平面的法向單位矢。4-5. 真空中半徑為a的無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)電圓筒上電流均勻分布，電流面密度為，沿軸向流動(dòng)。求圓筒內(nèi)外的磁場(chǎng)。解：由題意，電流具有軸對(duì)稱分布，磁場(chǎng)也具有軸對(duì)稱分布。因此無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)電圓筒內(nèi)的磁場(chǎng)為零；無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)電圓筒外的磁場(chǎng)可用安培環(huán)路定律計(jì)算。圍繞無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)電圓筒做一半徑為的圓環(huán)，利用安培環(huán)路定律在圓環(huán)上磁場(chǎng)相等，因此4

20、-6.如果上題中電流沿圓周方向流動(dòng)，求圓筒內(nèi)外的磁場(chǎng)。解：由于導(dǎo)電圓筒內(nèi)為無(wú)限長(zhǎng)，且電流沿圓周方向流動(dòng)，因此導(dǎo)電圓筒外磁場(chǎng)為零，導(dǎo)電圓筒內(nèi)磁場(chǎng)為勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且方向沿導(dǎo)電圓筒軸向，設(shè)為 z方向。利用安培環(huán)路定律，取閉合回路為如圖所示的矩形，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則因此 題4-6圖4-7.真空中一半徑為a的無(wú)限長(zhǎng)圓柱體中，電流沿軸向流動(dòng)，電流分布為，求磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：由題意，電流具有軸對(duì)稱分布，磁場(chǎng)也具有軸對(duì)稱分布，因此無(wú)限長(zhǎng)載流導(dǎo)電圓柱的磁場(chǎng)可用安培環(huán)路定律計(jì)算。圍繞無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)電圓柱軸線做一半徑為的圓環(huán)，利用安培環(huán)路定律左邊 右邊 因此有 4-8.在真空中，電流分布為 求磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：由題意，電流具有軸對(duì)稱分

21、布，磁場(chǎng)也具有軸對(duì)稱分布，因此磁場(chǎng)可用安培環(huán)路定律計(jì)算。圍繞z軸線做一半徑為的圓環(huán)，利用安培環(huán)路定律左邊 右邊 因此有4-9.已知無(wú)限長(zhǎng)導(dǎo)體圓柱半徑為a，其內(nèi)部有一圓柱形空腔半徑為b，導(dǎo)體圓柱的軸線與圓柱形空腔的軸線相距為c，如圖所示。若導(dǎo)體中均勻分布的電流密度為，試求空腔中的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：利用疊加原理，空腔中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為為電流均勻分布的實(shí)圓柱的磁感應(yīng)強(qiáng)度；為與此圓柱形空腔互補(bǔ)而電流密度與實(shí)圓柱的電流密度相反的載流圓柱的磁感應(yīng)強(qiáng)度。利用安培環(huán)流定律式中、分別為從圓柱中心軸和圓柱空腔中心軸指向場(chǎng)點(diǎn)的矢量。因此為從圓柱中心軸指向圓柱空腔中心軸的矢量。習(xí)題圖4-94-10.已知真空中位于xy平面

22、的表面電流為，求磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：由于在無(wú)限大的平面上有均勻電流，因此產(chǎn)生勻強(qiáng)磁場(chǎng)。磁場(chǎng)方向在y方向，跨電流面取一長(zhǎng)為L(zhǎng)的矩形回路，利用安培環(huán)路定律得因此 寫(xiě)成矢量形式為題4-10圖4-11.寬度為w的導(dǎo)電平板上電流面密度為，如圖所示，求磁感應(yīng)強(qiáng)度。題4-11圖解：在空間取場(chǎng)點(diǎn)，在導(dǎo)電平板上位置取寬度為的細(xì)長(zhǎng)電流，在場(chǎng)點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)為導(dǎo)電平板上的電流產(chǎn)生的總場(chǎng)為4-12.半徑為a的均勻帶電圓盤(pán)上電荷密度為，圓盤(pán)繞其軸以角速度旋轉(zhuǎn)，求軸線上任一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：帶電圓盤(pán)繞其軸以角速度旋轉(zhuǎn)，其上電流密度為。在帶電圓盤(pán)上取寬度為的小環(huán)，電流為，由例4-2知，在軸線上產(chǎn)生的磁場(chǎng)為旋轉(zhuǎn)帶電圓盤(pán)在軸線上產(chǎn)生

23、的磁場(chǎng)為4-13.計(jì)算題4-2中電流的矢量磁位。解：首先計(jì)算載電流為I、長(zhǎng)度為的直線在距離為d處的矢量磁位。設(shè)電流方向?yàn)?，如圖所示。題4-13圖矢量磁位為對(duì)于等邊三角形，。其中等邊三角形的一條邊在等邊三角形中心的矢量磁位為等邊三角形的三條邊在等邊三角形中心的矢量磁位為4-14. 計(jì)算題4-3中電流的矢量磁位。4-15. 一塊半徑為a長(zhǎng)為d的圓柱形導(dǎo)磁體沿軸向均勻磁化，磁化強(qiáng)度為，求磁化電流及磁化電流在軸線上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：由于均勻磁化，圓柱形導(dǎo)磁體中的磁化體電流為零。圓柱形導(dǎo)磁體側(cè)面的磁化面電流密度為在圓柱形導(dǎo)磁體表面取一寬度為的電流環(huán)帶，先計(jì)算此電流環(huán)帶在軸線上的磁場(chǎng)（例4-2），然后

24、對(duì)積分積分得 4-16. 一段截面為長(zhǎng)為d的方柱形導(dǎo)磁體沿長(zhǎng)度方向均勻磁化，磁化強(qiáng)度為，求磁化電流及磁化電流在軸線上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：由于均勻磁化，方柱形導(dǎo)磁體中的磁化體電流為零。方柱形形導(dǎo)磁體側(cè)面的磁化面電流密度為，圍繞方柱形導(dǎo)磁體表面作如圖所示的平行與xy面的矩形回路，電流沿此矩形回路流動(dòng)。先求高度為dz的矩形回路電流在軸線上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度4-17.在磁導(dǎo)率為的媒質(zhì)1及磁導(dǎo)率為的媒質(zhì)2中距邊界面為h處分別平行于邊界平面放置相互平行的電流、，如圖所示，求單位長(zhǎng)度的載流導(dǎo)線所受的力。題4-17圖解：用鏡像法。在計(jì)算媒質(zhì)1中的磁場(chǎng)時(shí)，在2區(qū)的鏡像位置放置鏡像電流；在計(jì)算媒質(zhì)2中的磁場(chǎng)時(shí)，在

25、1區(qū)的鏡像位置放置鏡像電流。利用邊界條件、，可得方程解此方程得電流所受的力為 電流所受的力為 為引力方向。4-18.在截面為正方形半徑為的磁環(huán)上，密繞了兩個(gè)線圈，一個(gè)線圈為m匝，另一個(gè)線圈為n匝。磁芯的磁導(dǎo)率為100，分別近似計(jì)算兩線圈的自感及互感。解：近似認(rèn)為密繞在磁環(huán)上的線圈無(wú)漏磁，磁環(huán)中磁場(chǎng)相等。用安培環(huán)路定律N為線圈匝數(shù)。取閉合回路沿磁環(huán)中心線，則磁環(huán)中 即 由于，穿過(guò)磁環(huán)截面的磁通近似為因此 4-19.在一長(zhǎng)直導(dǎo)線旁放一矩形導(dǎo)線框，線框繞其軸線偏轉(zhuǎn)一角度為，如圖所示。求長(zhǎng)直導(dǎo)線與矩形導(dǎo)線框之間的互感并在圖上畫(huà)出互感為正時(shí)的電流方向。解：長(zhǎng)直導(dǎo)線到線框兩邊的距離分別為長(zhǎng)直導(dǎo)線通過(guò)線框中

26、的磁場(chǎng)為長(zhǎng)直導(dǎo)線的磁場(chǎng)通過(guò)線框兩邊之間的磁通等于通過(guò)半徑分別為、的圓弧之間的磁通，因此穿過(guò)線框的磁通可用下式計(jì)算 互感為題4-19圖 題4-20圖4-20. 在一長(zhǎng)直導(dǎo)線旁放一等邊三角形導(dǎo)線框，如圖所示。求長(zhǎng)直導(dǎo)線與等邊三角形導(dǎo)線框之間的互感并在圖上畫(huà)出互感為正時(shí)的電流方向。解：如圖所示，長(zhǎng)直導(dǎo)線在等邊三角形導(dǎo)線框面上的磁場(chǎng)為穿過(guò)三角形導(dǎo)線框中的磁通為互感為 4-21.在4-20題中如果兩導(dǎo)線回路的電流分別為、，求等邊三角形載流導(dǎo)線框所受的磁場(chǎng)力。解：系統(tǒng)的磁場(chǎng)能量為對(duì)于常電流系統(tǒng)，磁場(chǎng)力為4-22.在4-19題中如果兩導(dǎo)線回路的電流分別為、，求矩形載流導(dǎo)線框所受的磁場(chǎng)力矩。解：系統(tǒng)的磁場(chǎng)能量

27、為對(duì)于常電流系統(tǒng)，磁場(chǎng)力為第五章 時(shí)變電磁場(chǎng)5.1如圖所示的電路中,電容器上的電壓為,電容為C, 證明電容器中的位移電流等于導(dǎo)線中的傳導(dǎo)電流。解：設(shè)電容器極板面積為S，電容器中的位移電流為,傳導(dǎo)電流為5.2由麥克斯韋方程組推導(dǎo)（5.3-4b）式。解：對(duì)麥克斯韋方程兩邊取旋度得上式左邊利用矢量恒等式，并考慮到對(duì)于均勻介質(zhì)，上式右端代入麥克斯韋方程，得5.3已知導(dǎo)電媒質(zhì)中求：（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）由麥克斯韋方程（2）（3）（4）5.4 在和兩種理想介質(zhì)分界面上求。解：由兩種理想介質(zhì)分界面的邊界條件 得 ，5.5在理想導(dǎo)體面上求導(dǎo)體表面上的。（設(shè)理想導(dǎo)體表面的法向?yàn)椋┙猓河衫硐雽?dǎo)體

28、表面上的邊界條件設(shè)理想導(dǎo)體表面的法向?yàn)榈脤?dǎo)體表面上的為 5.6 已知在空氣中求： v。解：由得 由得5.7 已知在空氣中在圓球坐標(biāo)系中，求。解：由5.8 已知在空氣中在圓球坐標(biāo)系中，求。解：在圓球坐標(biāo)系中利用關(guān)系式得上式代入得5.9 已知在空氣中在圓球坐標(biāo)系中，求。解：在圓球坐標(biāo)系中利用關(guān)系式得上式代入得5.10 已知在如圖所示的用理想導(dǎo)體制作的矩形管中為常數(shù)，（1） 求；（2） 求；（3） 驗(yàn)證滿足邊界條件；（4） 求各理想導(dǎo)體面上的面電流；（5） 求穿過(guò)管截面的平均功率。解：（1）由得（2）（3）在的理想導(dǎo)體面上，因此即滿足理想導(dǎo)體面邊界條件。（4）由在的理想導(dǎo)體面上在的理想導(dǎo)體面上在的理

29、想導(dǎo)體面上在的理想導(dǎo)體面上（6）5.11 如圖所示，兩個(gè)厚度為，間距為的平行導(dǎo)體長(zhǎng)板。導(dǎo)體板寬度為，板上恒定電流為構(gòu)成回路，電壓為。（1） 導(dǎo)體板近似看作理想導(dǎo)體，忽略邊緣效應(yīng)。求穿過(guò)端面的功率。（2） 證明流進(jìn)電導(dǎo)率為的單位長(zhǎng)度導(dǎo)體板中的功率正好等于歐姆定律計(jì)算出的單位長(zhǎng)度導(dǎo)體板的損耗功率。解：（1）導(dǎo)體板近似看作理想導(dǎo)體，忽略邊緣效應(yīng)，導(dǎo)體板之間的電場(chǎng)強(qiáng)度為，穿過(guò)端面的功率為 （3） 電導(dǎo)率為的導(dǎo)體中的電流密度為由，導(dǎo)體中的電場(chǎng)為 流進(jìn)電導(dǎo)率為的單位長(zhǎng)度導(dǎo)體板中的功率為式中為寬厚為的單位長(zhǎng)度導(dǎo)體板的電阻。第六章 平面電磁波1.在=2, =1的理想介質(zhì)中,頻率為=150MHz的均勻平面波沿y

30、方向傳播,y=0處, =10V/m,求, (y,t), ,(y,t) ,.解： =150MHz=10Z=120/=/12(y,t)= 10cos(2*150*10t-y)(y,t)= /6cos(2*150*10t-y)=5/62.在真空中=求,(z,t), , ,Z, .解：由得=1m ，真空中 Z=120=120=-1203.在理想介質(zhì)中(x,t)= 80cos(10*10t+2x)(x,t)= -cos(10*10t+2x)求: , , ,.解： 由得 =Hz=1m,由: ，從而 及 波阻抗 得：=9 ,=44.均勻平面電磁波在真空中沿=1/(+)方向傳播, =10,求,(y,z,t),

31、(y,z,t), .解：設(shè)已知，則k=2/,=10=1/Z*=/(24)(-)(y,z,t)= 10cos(2c/t-/(y+z)(y,z,t)= 1/(12)(-)cos(2c/t-/(y+z)=5/(6)(+)5.證明電磁波=5(+)=5/120 為均勻平面波.證明：由=5(+)即 ，=/2-1/2=0 ，=0又的方向不變，等相面為與垂直的面，顯然為平面。且，的大小也不變，故為均勻平面波。6.求=100kHz,1MHz,100MHz,10GHz時(shí)電磁波在鋁(=3.6*10/歐米, =1, =1)中的集膚深度.解：=1/=100kHz, =2.6526*10 m=1MHz, = 8.3882

32、*10m=100MHz, = 8.3882*10m=10GHz, = 8.3882*10m7.銀的=6.1*10(1/歐米),在什么頻率上, =1mm?解：由=1/得：= 4.2KHz8.電磁波的頻率為100MHz,媒質(zhì)參數(shù)為=8, =1, =0.5*10(1/歐米),求,.解：=1/= 1.0607*10m/s=3m=3/=1.0607m=2/= 5.929.設(shè)地球的=8, =1, =5*10(1/歐米),在什么頻率范圍可將地球近似看作介質(zhì)?求該頻率上的.解：當(dāng) 時(shí)，可看作介質(zhì)，工程中大于10倍即可，故：10*= 8.988*10Hz=0.333210.在真空中,均勻平面波=(-1+j2)+

33、(-2-j)求,及極化狀態(tài).解：=-，k=1, =2=-(-1+j2)+ (-2-j) 又 =(-1+2j)( +j)故為右旋圓極化波11.均勻平面波(y,t)= sin(t+4y)+ sin(t+4y-/3)是什么極化狀態(tài)?求.解：=（-j-j）為橢圓極化波。=（-j+j）12.均勻平面波=(j+j2+)是什么極化狀態(tài)?當(dāng)=50MHz時(shí),求.解：=j(+2)+, , 為右旋圓極化波由 k=2()，如果取=1,得：= 4.5613.均勻平面波從空氣中垂直投射到理想導(dǎo)體板上后,在距導(dǎo)體板=20mm,=25mm處相繼出現(xiàn)電場(chǎng)波節(jié)點(diǎn)及波腹點(diǎn),在電場(chǎng)波腹點(diǎn)上=2V/m.求及.解：由題意，電場(chǎng)波節(jié)點(diǎn)及波

34、腹點(diǎn)之間的距離為=-=5 mm,因此=0.02m,= c/=15GHz由式(6.5-7a) 入射波電場(chǎng)值與波腹點(diǎn)電場(chǎng)值的關(guān)系可得入射波電場(chǎng)值為=0.5*=1V/m由式(6.5-14) ，理想導(dǎo)體板上的面電流密度為 =0.0053A/m14.均勻平面波從空氣中沿y方向正投射到理想導(dǎo)電板上后在理想導(dǎo)電板上,(t)=cos(300*10),求入射波 ,.解：設(shè)入射電場(chǎng)為 合成磁場(chǎng)為 理想導(dǎo)電板上的電流密度為 與已知的理想導(dǎo)電板上電流密度比較得：=60Hz, =60=-15.均勻平面波=10從z0的介質(zhì)(=4, =1)中,求反射系數(shù),透射系數(shù),兩區(qū)域中的電磁波以及電場(chǎng)波節(jié)點(diǎn),波腹點(diǎn)的位置.解： =1m

35、,， ,16.如果上題中電磁波方向相反,即從介質(zhì)垂直投射到空氣中,重新計(jì)算各值.解：=1m, , 17.均勻平面波從空氣中垂直投射到理想的非磁性介質(zhì)中.由測(cè)量知,距離界面最近的電場(chǎng)波節(jié)點(diǎn)上電場(chǎng)的有效值為1V/m,距界面L=1m;電場(chǎng)波腹點(diǎn)上電場(chǎng)強(qiáng)度的有效值為2V/m.求電磁波的頻率,以及介質(zhì)的介電常數(shù).解：由： 得：，又： 得：；故：=4，=,18.均勻平面波=5,從空氣中垂直投射到厚度為d=0.5m, =4, =1的介質(zhì)板上.求空氣中及介質(zhì)板中的電磁場(chǎng)以及空氣介質(zhì)界面上的反射系數(shù),和空氣的駐波比.如果d=0.25m,重新計(jì)算以上各值.解：設(shè) d=0.5m 時(shí)：,=5由z=0邊界條件得由z=d

36、邊界條件得第一層：，第二層：第三層：d=0.25m時(shí)：由z=0邊界條件得,由z=d邊界條件得第一層： 第二層：第三層：19.頻率為=30GHz的均勻平面波垂直從z=0的介質(zhì)(=2,=1)中.求空氣中的駐波比.如果要使空氣中無(wú)反射波,可在介質(zhì)上覆蓋另一種非磁性介質(zhì)材料,求該介質(zhì)材料的節(jié)電常數(shù)及厚度.解：=1.4143由： 得 ，= 0.0071md= 0.0018m20.上題中如果頻率增加了10%,其他參數(shù)不便,覆蓋的介質(zhì)材料還能否消除空氣中的反射波?為什么?如果有反射波,駐波比有多大?解：不能，因?yàn)榕c頻率有關(guān), 如果頻率增加了10%,介質(zhì)材料厚度不等于四分之一波長(zhǎng)，這時(shí)，輸入阻抗為=(0.99

37、 - j0.0533)-0.0043 - 0.0269j|R|=0.027 =1.056下 圖分別是介質(zhì)板的厚度從0變化到半個(gè)波長(zhǎng)（）時(shí)，反射系數(shù)（左圖）和駐波比（右圖）的值。21.有效值為1V/m的圓極化均勻平面波,從空氣中以=/6的入射角度投射到=4,=1的理想介質(zhì)中.求反射波及折射波.解：設(shè)為z0空氣，波數(shù)為,則：, sin,0.2527，cos=0.9682 對(duì)平行極化：= 0.2828=0.6415對(duì)于垂直極化：=-0.3819 0.618122.圓極化波從空氣中斜投射到=4, =1的介質(zhì)中,為了使反射波為線極化波,入射角度應(yīng)為多少?是哪種極化方向的線極化波?解：只有平行極化波才會(huì)出

38、現(xiàn)無(wú)反射或全折射現(xiàn)象，所以反射波為垂直極化的波。=23.電場(chǎng)有效值為1V/m的垂直極化波從介質(zhì)(=1.5, =1)中斜投射到空氣中,求臨界角,并分別求入射角為,/12時(shí)的反射波及折射波.解：設(shè)空氣中波數(shù)為，則，按書(shū)中的坐標(biāo)：=sin=0.8165,cos=0.5774當(dāng)=時(shí):=1=2當(dāng)=-=39.7時(shí): sin= 0.6388 , cos=0.7694sin=0.7824 ,=51.48 , cos=0.6228 ,=0.2044=1.2044當(dāng)=+=69.7時(shí): sin= 0.9379 , cos=0.3469sin=1.1487, cos=-j0.5652由式(6.8-24) -0.5985 + 0.8011j=24.推導(dǎo)垂直極化波斜投射到理想導(dǎo)體界面上后的合成電磁場(chǎng)(7-7-9)式.略25.頻率為=300MHz的線極化均勻平面電磁波從空氣中垂直投射到的有耗媒質(zhì)中.求界面上的反射系數(shù),駐波比,反射系數(shù)及透射波.解：設(shè)空氣的特性阻抗為，有耗媒質(zhì)的特性阻抗為，入射波為則界面上的反射系數(shù),駐波比為,， 反射波及透射波為其中 ，第七章 導(dǎo)行電磁波7-1 如果已知,由無(wú)源區(qū)的麥克斯韋方