上學期高二優(yōu)化訓練數(shù)學：第六章不等式一A卷附答案

1、第六章 不等式(一)知識網(wǎng)絡范題精講【例1】 試問:與(a、b0)的大小關系，并說明理由.分析:兩個數(shù)(或式)進行大小比較時，通常用作差法，它的一般步驟是:(1)作差；(2)變形；(3)定號.作差的依據(jù)是:實數(shù)大小順序與實數(shù)運算性質間的關系，即abab0；a=b ab=0；abab0.變形的方法是:采用配方法、因式分解法將差式化為若干個因式連乘積的形式或完全平方式的和的形式.定號:由各因式的符號判斷差的符號.解:=.由于a0,b0,ab0,a+b0,a20,b20.a2+b20并且有2ab0.則(a2+b2)(a+b)0.要判斷與0的關系，需對ab與0的關系分類:(1)若0ab，則ab0，則2

2、ab(ab)0，于是0.此時，.(2)若0ba，則ab0，則2ab(ab)0，于是0.此時，.(3)若0a=b，則ab=0,則2ab(ab)=0,于是=0.此時，= .點評:此題在判斷符號時，要分類討論.分類討論是重要的數(shù)學思想，要知道為什么分類，怎樣分類.分類時，要做到不重不漏.【例2】 經過長期觀測得到:在交通繁忙的時段內,某公路段汽車的車流量y(千輛/小時)與汽車的平均速度v(km/h)之間的函數(shù)關系為y=(v>0).(1)在該時段內,當汽車的平均速度v為多少時,車流量最大?最大車流量為多少?(精確到0.1千輛/小時)(2)若要求在該時段內車流量超過10千輛/小時,則汽車的平均速度

3、應在什么范圍內?分析:本題主要考查函數(shù)、不等式等基本知識,考查應用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力.解:(1)依題意,y=,當且僅當v=,即v=40時,上式等號成立.所以ymax=11.1(千輛/小時).(2)由條件得>10,整理得v289v+1600<0,即(v25)(v64)<0.解得25<v<64.答:當v=40 km/h時,車流量最大,最大車流量約為11.1千輛/小時.如果要求在該時段內車流量超過10千輛/小時,則汽車的平均速度應大于25 km/h且小于64 km/h.【例3】 求證:(a0,b0).思路一:從結論入手，探求、分析上一步成立的充分條件.證法

4、一:(分析法)要證，只要證a+ba+b，即證+().需證()(a+b)()，即a+b，也就是要證a+b2成立.a+b2顯然成立，原不等式成立.思路二:從條件入手，利用已知不等式，逐次推理.證法二:(綜合法)a、b為正實數(shù)，a+b2.又+2,+2，+得+2+2，即成立.證法三:(作差比較法)()()=()+()=+=.a、b為正實數(shù)，0,0,()20.于是有0.試題詳解高中同步測控優(yōu)化訓練(一)第六章 不等式(一)(A卷)說明:本試卷分為第、卷兩部分，請將第卷選擇題的答案填入題后括號內，第卷可在各題后直接作答.共100分，考試時間90分鐘.第卷(選擇題 共30分)一、選擇題(本大題共10小題，每

5、小題3分，共30分)1.若a、b、c為實數(shù)，則下列命題正確的是A.若ab，則ac2bc2B.若ab0，則a2abb2C.若ab0，則D.若ab0，則解析:A.因為c20,所以只有c0時才正確.c=0時，ac2=bc2，所以A是假命題.變式:若ac2bc2,則ab，命題是真命題.B.ab,a0a2ab,ab,b0abb2，B是真命題.C.由性質定理ab0,C是假命題.D.例如320,D是假命題.答案:B2.若<<0,則下列不等式:a+b<ab；|a|>|b|；a<b；+>2.正確的不等式有A.1個B.2個C.3個D.4個分析:本題主要考查不等式的性質及均值不等

6、式的適用條件.解:由<<0可知b<a<0,不正確,不正確.a+b<0,ab>0.a+b<ab,正確.由>0, >0,而ab,+>2,正確.答案:B3.若ab1,P=,Q=(lga+lgb),R=lg(),則A.RPQB.PQRC.QPRD.PRQ分析:本題主要考查均值不等式與對數(shù)函數(shù)的單調性.解:ab1lga0,lgb0.RQP.答案:B4.角x,y滿足xy,則xy的取值范圍是A.(,0)B.(,)C.(,0)D.(,)分析:本題主要考查負數(shù)在不等式中的變化，不等式的性質.解:由xy，得xy0.又xy，xy0.答案:A5.下列命題中，

7、真命題有若a+b0且ab0,則a0且b0 若ab且ab0,則ab0 若adbc ab是成立的必要條件A.B.C.D.分析:本題主要考查不等式的性質，用排除法.解:ab0,a、b同號.又a+b0,a0且b0.正確，排除B、C.由0，得0，不能保證adbc.不正確.故應選D.答案:D6.兩次購買同一種物品,可以有兩種不同的策略.第一種是不考慮物品價格的升降,每次購買這種物品的數(shù)量一定；第二種是不考慮物品價格的升降,每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定.若兩次購買這種物品時價格不相同,則兩種策略中比較經濟的情況為A.第一種策略經濟B.第二種策略經濟C.兩種策略同樣經濟D.不能判斷分析:本題主要考查不等式的

8、應用.本題關鍵是比較兩種不同的購買方式的平均價格的 大小.解:(1)按第一種策略購物,設第一次購物時價格為p1,購n(kg),第二次購物時價格為p2,仍購n(kg).按這種策略購物時兩次購物的平均價格為=.(2)若按第二種策略購物,第一次花m元錢,能購(kg)物品,第二次仍花m元錢,能購(kg)物品,兩次購物的平均價格為=.比較兩次購物的平均價格=>0(p1p2),第一種策略的平均價格高于第二種策略的平均價格.因而,用第二種策略比較經濟.答案:B7.函數(shù)f(x)=x+3在(，2上A.無最大值，有最小值7B.無最大值，有最小值1C.有最大值7，有最小值1D.有最大值1，無最小值解析:f(x

9、)=x+3=(x+)+34+3=1.故選D.答案:D8.一批救災物資隨26輛汽車從某市以v km/h速度勻速直達災區(qū)，已知兩地公路線長 400 km，為了安全起見，兩輛汽車的間距不得小于()2 km，那么這批物資全部到達災區(qū)，最少需要A.5 hB.10 hC.15 hD.20 h解析:時間t=400+25()2÷v=+2=10.答案:B9.已知h0，設甲:兩實數(shù)a、b滿足|ab|2h；乙:兩實數(shù)a、b滿足|a1|h且 |b1|h,則A.甲是乙的充分但不必要條件B.甲是乙的必要但不充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件分析:本題主要考查含絕對值不等式|

10、a|b|a±b|a|+|b|，充要條件.解:|ab|=|(a1)(b1)|a1|+|b1|2h.故應選B.答案:B10.若x0,y0且a·(+)成立，則a的最小值是A.B.C.2D.2分析:本題主要考查()2,參數(shù)隔離法.解:由()2，,即a,amin=.故應選A.答案:A第卷(非選擇題 共70分)二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分)11.設0x1，則a=2,b=1+x,c=中最大的一個是_.解析:bc=(1+x)=0，bc.又b=1+x2=a,c最大.答案:c12.已知不等式:a2+32a(aR)；2；a5+b5a3b2+a2b3；a2+b22(a b1)(

11、a,bR).其中正確的不等式的序號是_.分析:本題考查比較法，綜合法證明不等式，湊平方.解:a2+32a=(a1)2+20.a為負值不正確.a5+b5a3b2a2b3=a3(a2b2)b3(a2b2)=(a3b3)(a2b2)=(a+b)(ab)2(a2+ab+b2)，其值大于零不一定成立.當ab且均為負值或一負值一零值時，其值為負值，當a=b時其值為零.不正確.a2+b22a+2b+2=(a1)2+(b+1)20.答案:13.b g糖水中有a g糖(b>a>0),若再添上m g糖(m>0),則糖水就變甜了.試根據(jù)這個事實,提煉一個不等式:_.分析:本題主要考查應用數(shù)學知識解

12、決實際問題的能力.加糖以后,糖水變甜了,說明濃度變大了.解:加糖以前,糖水的濃度為,而加入m g糖以后,糖水濃度為,糖水變甜了,說明濃度變大了,即>.答案: > 14.已知三個不等式:ab0；bcad.以其中兩個作為條件，余下一個作為結論，則可以組成_個正確的命題.分析:本題考查綜合運用不等式的性質，證明不等式.解:由，0,又ab0bcad0，即bcad，說明由.同理可證明其他情況.答案:0三、解答題(本大題共5小題，共54分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15.(本小題滿分8分)設x、y、zR,比較5x2+y2+z2與2xy+4x+2z2的大小.分析:本題考查不等式的性

13、質與比較法.解:(5x2+y2+z2)(2xy+4x+2z2)=(xy)2+(2x1)2+(z1)20.5x2+y2+z22xy+4x+2z2(當且僅當x=y=且z=1時等號成立).16.(本小題滿分10分)比較下列兩個數(shù)的大小:(1) 1與2；(2)2與；(3)從以上兩小題的結論中，你能否得出更一般的結論？并加以證明.解法一:(變形后利用平方求差)(1)( +)2(2+1)2=240.故+2+1，即12.(2)(2+)2(+)2=42=220.故2+ ,即2.(3)一般結論:若n是正整數(shù)，則有.證明過程與(1)(2)類似，從略.解法二:(利用分子有理化)(1)1=,2=，而，故12.(2)2

14、=, =，而,故2.(3)同解法一.注:本題的結論可推廣到對一切nR+都成立.17.(本小題滿分12分)已知a>b>0,求證:<<.分析:本題主要考查利用分析法證明不等式.證明:要證原不等式,只需證<a+b2<()2<()2<()2<<<1<1+<2<+1 <1< <1<.(*)由題設知不等式(*)成立,以上過程可逆,原不等式成立.18.(本小題滿分12分)某單位決定投資3200元建一倉庫(長方體狀)，高度恒定，它的后墻利用舊墻不花錢，正面用鐵柵，每米長造價40元，兩側墻砌磚，每米造價45元，頂部每平方米造價20元，試算:倉庫底面積S的最大允許值是多少？此時鐵柵長為多少？分析:本題考查不等式在實際中的應用.解:設鐵柵長x m，一堵墻長y m，則有S=xy.由題意得40x+2×45y+20xy=3200.應用二元均值不等式，得32002+20xy=120+20xy=120+20S.S+6160.(10)(+16)0.由于+160,100，即S100.因此S的最大允許值是100 m2，當且僅當40x=90y,而xy=100,解得x=15，即鐵柵的長應為15 m.19.(本