矩陣函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用_第1頁
矩陣函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用_第2頁
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1、7 矩陣函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用一、矩陣函數(shù)的性質(zhì)：設(shè)1proof: 由 對任何收斂。因而可以逐項求導(dǎo)。 可見，A與使可以交換的，由此可得到如下n個性質(zhì)2設(shè)，則proof：，由而 76 / 9令由于 為常數(shù)矩陣因而當(dāng)時， . （）特別地 有有 同理有代入（）式 因而有3.利用絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)，可得4.二、矩陣函數(shù)在微分方程組中的應(yīng)用常用于線性監(jiān)測系統(tǒng)中1. 一階線性常系數(shù)齊次方程組的通解 其中則有，其中解方程：解：原方程變?yōu)榫仃囆问?由 得 2. 一階線性常系數(shù)微分方程組的定解問題：:一階線性常數(shù)微分方程組的定解問題：有唯一解proof:實際上，由的通解為將初值代入，得由可的定解問題的唯一解為求定

2、解問題：,的解解：由 得對應(yīng)的特征向量記為： 則，于是矩陣：練習(xí)：求微分方程組滿足初始條件的解。解：令可求得，而的最小多項式?？稍O(shè)，由；3.一階常系數(shù)非齊次方程組的定解問題： 其中兩邊同乘以得：從到上積分得：.求：非齊次微分方程組的解：其中 解：由 對應(yīng)特征向量為： 得可逆矩陣 練習(xí)：求微分方程組滿足初始條件的解。解：令可求得。可設(shè)，由；，。故：三、矩陣分析在求方程組最小二乘解等問題的應(yīng)用。例4 設(shè)，證明：為函數(shù)：的極小值點(diǎn)的充要條件是為方程組的解或方程組 *的最小二乘解。證明：必要性：由于由于為的極小點(diǎn)，則應(yīng)有即 這就是說是方程組*的代數(shù)方程組的解，也就是方程組*的最小二乘解。 充分性：是方程組*的最小二乘解，根據(jù)定義，它應(yīng)該是函數(shù)的極小點(diǎn)。練習(xí)：設(shè)，且，方程有解，試求約束極小化問題的解，也就是求函數(shù)在約束下的極小點(diǎn)和極小值。解：引入Lagrange乘子，化成等價的無約束極值問題。令若為的極值點(diǎn)，則應(yīng)有這說明極值點(diǎn)應(yīng)滿足方程 （*）注意到為正定矩陣，故必為的極小值點(diǎn)。在方程（*）兩邊左乘矩陣： 即 解該方程組便得其中為的逆。注：關(guān)于線性系統(tǒng)的能控性與能觀測性，同學(xué)們根據(jù)需要自己學(xué)習(xí)。 友情提示：方案范本是經(jīng)

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