一元二次方程復習知識點和習題(包括答案)

1、一元二次方程復習一） 一元二次方程的定義是一元二次方程的一般式，只含有一個末知數(shù)、且末知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程。這三個方程都是一元二次方程。求根公式為二）。a是二次項系數(shù)；b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項，注意的是系數(shù)連同符號的概念。這些系數(shù)與一元次方程的根之間有什么樣的關(guān)系呢？1、當>0時方程有2個不相等的實數(shù)根；2、當0時方程有兩個相等的實數(shù)根；3、當< 0時方程無實數(shù)根.4、當0時方程有兩個實數(shù)根（方程有實數(shù)根）;5、ac<0時方程必有解,且有兩個不相等的實數(shù)根; 6、c=0，即缺常數(shù)項時，方程有2個不相等的實數(shù)根，且有一個根是0.另一個根為7、當a、b、c

2、是有理數(shù)，且方程中的是一個完全平方式時，這時的一元二次方程有有理數(shù)實數(shù)根。8若,是一元二次方程的兩個實數(shù)根， 即 （注意在使用根系關(guān)系式求待定的系數(shù)時必須滿足0這個條件，否則解題就會出錯。）例：已知關(guān)于X的方程,問：是否存在實數(shù)m，使方程的兩個實數(shù)根的平方和等于56，若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由。一元二次方程可變形為的形式。可以用求根公式法分解二次三項式。9、以兩個數(shù)x1 x2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是：x2-（x1+ x2）x+ x1 x2010幾種常見的關(guān)于的對稱式的恒等變形三）例題1如果方程x2-3x+c=0有一個根為1，求另一個根及常數(shù)項的值。解法一）用方程根的

3、定義解： 解法二）用根系數(shù)關(guān)系解：2用十字相乘法解一元二次方程（一元二次方程的左邊是一個二次三項式右邊是0，這樣的題型若能用十字相乘法解題的、要盡量使用十字相乘法、因為他比用公式法解題方便得多）。十字相乘法的口訣是：右豎乘等于常數(shù)項，左豎乘等于二次項系數(shù)，對角積之和等于一次項系數(shù)。三個條件都符合，結(jié)論添字母橫寫（看成是關(guān)于誰的二次三項式就添誰）。解下面一道一元二次方程x2-110x+2925=0 1 -651 -45-65 -45= -110四）與根的關(guān)系的綜合運用（ax2+bx+c=0, a0）ax2+bx+c=0, (a>0)>0有兩個不相等的實數(shù)根C>0兩根同號b>

4、;0有兩個負根不相等b<0有兩個正根不相等C< 0兩根異號b>0負根絕對值較大(正根絕對值較小)b<0正根絕對值較大(負根絕對值較小)b =0兩根絕對值相等C=0一根為零b>0一根為0另一個根為負根b<0一根為0另一個根為正根=0有兩個相等的實數(shù)根b>0有兩個相等的負根b<0有兩個相等的正根b =0有兩個相等的根都為0五) “”,“x1.x2 ”，“ x1+x2”與“0”的關(guān)系綜合判斷一元二次方程根的情況 >01有兩個不相等的負實數(shù)根 x1.x2>0 x1+x2< 0>02有兩個不相等的正實數(shù)根 x1.x2>0 x1

5、+x2>0 >03負根的絕對值大于正根的絕對值 x1.x2< 0 x1+x2< 0 >04兩個異號根正的絕對值較大 x1.x2< 0 x1+x2>0 >05兩根異號，但絕對值相等 x1.x2< 0 x1+x20 >06一個負根，一個零根 x1.x2 0 x1+x2< 0 >07一個正根，一個零根 x1.x20 x1+x2>0 08有兩個相等的負根 x1.x2>0 x1+x2< 0 09有兩個相等的正根 x1.x2>0 x1+x2>0010有兩個相等的根都為零 x1.x20x1+x20>0

6、11兩根互為倒數(shù) x1.x21 12兩根互為相反數(shù) >0 x1+x2013兩根異號 >0 14兩根同號 0 x1.x2< 0 x1.x2>015有一根為零 >0 x1.x20 16有一根為-1 >0 a-b+c=017無實數(shù)根 < 018兩根一個根大于m，另一個小于m，（mR） >0 19 ax2+bx+c (a0)這個二次三項式是完全平方式 020方程ax2+bx+c 0 (a0)（a、b、c都是有理數(shù)）的根為有理根，則是一個完全平方式。21方程ax2+bx+c 0 (a0)的兩根之差的絕對值為：22 0,方程ax2+bx+c 0 (a0)有相

7、等的兩個實數(shù)根。23 < 0, 方程ax2+bx+c 0 (a0)無實數(shù)根.24方程ax2+bx+c 0 (a0)一定有一根為“1” 0 a+b+c=025方程ax2+bx+c 0 (a0)的解為26方程ax2+bx+c 0 (a0)若0則 注：凡是題中出現(xiàn)了x1.x2< 0；或；或a、c異號就能確保>0 即a、c異號方程必有解。1、 m為何值時，方程 有兩個相等的實數(shù)根；無實數(shù)根；有兩個不相等的實數(shù)根；有一根為0；兩根同號；有一個正根一個負根；兩根互為倒數(shù)。2、已知方程的兩根一個大于1，另一個根小于1，求m的值的范圍。3、已知實數(shù)a、b滿足,且求的值。4、 已知關(guān)于x的方程

8、有兩個不相等的實數(shù)根，（1） 求k的取值范圍（2）化簡5、用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?說明選用的理由） 六）“歸舊”思想在解一元二次方程中的應(yīng)用 “歸舊”就是把待解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為能用已掌握的舊知識去解決的問題。一元二次方程有直接開平方法、配方法、因式分解法和公式法，這幾種解法，都是用“歸舊”的數(shù)學思想方法求解。下面就各種方法分別加以說明。直接開平方法：適用于等號左邊是一個完全平方式，右邊是一個非負實數(shù)的形式，形如（mx+n）2=p (m0,p0)的方程。我們可以利用平方根的定義“歸舊”為兩個一元一次方程去解，即有一元一次方程為mx+n=±，分別解這兩個一元一次方程就得到原

9、方程的兩個根。用簡明圖表可表示為：直接開平方法：形如（mx+n）2=p (m0,p0)兩個一元一次方程。配方法：最適用于二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)為偶數(shù)的形式的一元二次方程，形如x2+2kx+m=0（當然一般的形如ax2+bx+c=0 a0 也可用,但不一定是最合適的方法）。這類方程我們可以通過已掌握的配方的手段，把原方程“歸舊”為上述形如（mx+n）2=p (m0,p0) 的方程，然后再用直接開平方法的方法求解。用簡明圖表可表示為：配方法：一元二次方程 形如（mx+n）2=p (m0,p0)的方程因式分解法：這種方法平時用的最多，最適用于等式左邊能分解成幾個一次因式的積、而右邊必須為零的形式

10、的一元二次方程方程。這類方程我們可以通過已掌握的因式分解的手段，把原方程轉(zhuǎn)化為形如(a1x+c1)(a2x+c2)=0方程，從而“歸舊”為a1x+c1=0 、a2x+c2=0 ，再分別求出這兩個一元一次方程的根，就得到原一元二次方程的兩個解。用簡明圖表可表示為： 因式分解法：一元二次方程兩個一元一次方程 公式法：公式法的實質(zhì)就是配方法，只不過在解題時省去了配方的過程，所以解法簡單。但計算量較大，只有在不便運用上述三種方法，且各項系數(shù)的絕對值為較小的數(shù)值情況下才考慮使用該方法。 一元二次方程練習題一、 填空1一元二次方程化為一般形式為： ，二次項系數(shù)為： ，一次項系數(shù)為： ，常數(shù)項為： 。2關(guān)于

11、x的方程,當 時為一元一次方程；當 時為一元二次方程。3已知直角三角形三邊長為連續(xù)整數(shù)，則它的三邊長是 。4. ； 。5直角三角形的兩直角邊是34，而斜邊的長是15，那么這個三角形的面積是 。6若方程的兩個根是和3，則的值分別為 。7若代數(shù)式與的值互為相反數(shù)，則的值是 。8方程與的解相同，則= 。9當 時，關(guān)于的方程可用公式法求解。10若實數(shù)滿足，則= 。11若，則= 。12已知的值是10，則代數(shù)式的值是 。二、 選擇1下列方程中，無論取何值，總是關(guān)于x的一元二次方程的是（ ）（A） （B）（C） （D）2若與互為倒數(shù)，則實數(shù)為（ ）（A）± （B）±1 （C）± （D）±3若是關(guān)于的一元二次方程的根，且0，則的值為（ ）（A） （B）1 （C） （D）4關(guān)于的一元二次方程的兩根中只有一個等于0，則下列條件正確的是（ ）（A） （B） （C） （D）5關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則（ ）（A）0 （B）0 （C）0 （D）06已知、是實數(shù)，若，則下列說