五年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)專項(xiàng)訓(xùn)練奧數(shù)第十二講容斥原理 _ 全國(guó)版 (含答案）

1、.第十二講 容斥原埋在很多計(jì)數(shù)問(wèn)題中常用到數(shù)學(xué)上的一個(gè)包含與排除原理，也稱為容斥原理.為了說(shuō)明這個(gè)原理，我們先介紹一些集合的初步知識(shí)。在討論問(wèn)題時(shí)，常常需要把具有某種性質(zhì)的同類事物放在一起考慮.如：A=五1班全體同學(xué).我們稱一些事物的全體為一個(gè)集合.A五1班全體同學(xué)就是一個(gè)集合。例1 B全體自然數(shù)=1，2，3，4，是一個(gè)詳細(xì)有無(wú)限多個(gè)元素的集合。例2 C=在1，2，3，100中能被3整除的數(shù)3，6，9，12，99是一個(gè)具有有限多個(gè)元素的集合。集合通常用大寫的英文字母A、B、C、表示.構(gòu)成這個(gè)集合的事物稱為這個(gè)集合的元素.如上面例子中五1班的每一位同學(xué)均是集合A的一個(gè)元素.又如在例1中任何一個(gè)自

2、然數(shù)都是集合B的元素.像集合B這種含有無(wú)限多個(gè)元素的集合稱為無(wú)限集.像集合C這樣含有有限多個(gè)元素的集合稱為有限集.有限集合所含元素的個(gè)數(shù)常用符號(hào)|A|、|B|、|C|、表示。記號(hào)AB表示所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合.就是右邊示意圖中兩個(gè)圓所覆蓋的部分.集合AB叫做集合A與集合B的并集.“讀作“并，“AB讀作“A并B。例3 設(shè)集合A=1，2，3，4，集合B=2，4，6，8，那么AB=1，2，3，4，6，8.元素2、4在集合A、B中都有，在并集中只寫一個(gè)。記號(hào)AB表示所有既屬于集合A也屬于集合B中的元素的全體.就是上頁(yè)圖中陰影部分所表示的集合.即是由集合A、B的公共元素所組成的集合

3、.它稱為集合A、B的交集.符號(hào)“讀作“交，“AB讀作“A交B.如例3中的集合A、B，那么AB=2，4。下面再舉例介紹補(bǔ)集的概念。例4 設(shè)集合I=1，3，5，7，9，集合A=3，5，7。補(bǔ)集或余集，如圖中陰影部分表示的集合整個(gè)長(zhǎng)方形表示集合I.對(duì)于兩個(gè)沒(méi)有公共元素的集合A和B，顯然有|AB|=|A|+|B|。例如，A=1，2，100，B=101，那么所以|AB|1011001=|A|B|。假如集合A與B有公共元素，例如A1，2，100，B90，91，101，那么AB90，91，100，AB=1，2，101.此時(shí)，|AB|與|A|+|B|有什么關(guān)系呢？在這個(gè)例中，|AB|=101，|A|B|100

4、12=112。所以|AB|=|A|+|B|-11我們注意到，11恰為AB的元素個(gè)數(shù).這是合理的，因?yàn)樵谇髚AB|時(shí)，90，91，100這11個(gè)數(shù)各被計(jì)入一次，而在求|A|B|時(shí)，這11個(gè)數(shù)各被計(jì)入兩次即多算了一次，并且這11個(gè)數(shù)組成的集合恰為AB.因此得到|AB|=|A|+|B|-|AB|，1這就是關(guān)于兩個(gè)集合的容斥原理：集合A與B的并的元素個(gè)數(shù)，等于集合A的元素個(gè)數(shù)與集合B的元素個(gè)數(shù)的和，減去集合A與B的交的元素個(gè)數(shù)。1是容斥原理的第一個(gè)公式.我們還可以用右圖來(lái)說(shuō)明.如圖我們用N1、N2、N3分別表示AB中互不重疊的部分的元素個(gè)數(shù)?？梢?jiàn)：|A|=N1N3，|B|=N2N3，|AB|=N3.因

5、此|AB|=N1N2N3N1N3+N2N3-N3=|A|+|B|-|AB|。我們知道，當(dāng)集合A與B沒(méi)有公共元素時(shí)，有|AB|A|+|B|.實(shí)際上這是公式1的特殊情形，因?yàn)榇藭r(shí)例5 桌上有兩張圓紙片A、B.假設(shè)圓紙片A的面積為30平方厘米，圓紙片B的面積為20平方厘米.這兩張圓紙片重疊部分的面積為10平方厘米.那么這兩張圓紙片覆蓋桌面的面積由容斥原理的公式1可以算出為：AB=3020-1040平方厘米。例6 求在1至100的自然數(shù)中能被3或7整除的數(shù)的個(gè)數(shù)。分析 解這類問(wèn)題時(shí)首先要知道在一串連續(xù)自然數(shù)中能被給定整數(shù)整除的數(shù)的個(gè)數(shù)規(guī)律是：在n個(gè)連續(xù)自然數(shù)中有且僅有一個(gè)數(shù)能被n整除.根據(jù)這個(gè)規(guī)律我們

6、可以很容易地求出在1至100中能被3整除的數(shù)的個(gè)數(shù)為33個(gè)，被7整除的數(shù)的個(gè)數(shù)為14個(gè)，而其中被3和7都能整除的數(shù)有4個(gè)，因此得到解：設(shè)A=在1100的自然數(shù)中能被3整除的數(shù)，B在1100的自然數(shù)中能被7整除的數(shù)，那么AB=在1100的自然數(shù)中能被21整除的數(shù)。100÷3331，A33。100÷7142，B=14。100÷21416，AB=4。由容斥原理的公式1：AB3314-4=43。答：在1100的自然數(shù)中能被3或7整除的數(shù)有43個(gè)。例7 求在1100的自然數(shù)中不是5的倍數(shù)也不是6的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？分析 假如在1100的自然數(shù)中去掉5的倍數(shù)、6的倍數(shù)，剩下的

7、數(shù)就既不是5的倍數(shù)也不是6的倍數(shù)，即問(wèn)題要求的結(jié)果。解：設(shè)A在1100的自然數(shù)中5的倍數(shù)的數(shù)，B=在1100的自然數(shù)中6的倍數(shù)的數(shù)，數(shù).為此先求AB。100÷50=20，A=20又100÷6164，B=16100÷30310，AB=3，AB=A+B-AB=2016-333。答：在1100的自然數(shù)中既不是5的倍數(shù)又不是6的倍數(shù)的數(shù)共67個(gè)。我們也可以把公式1用于求幾何圖形的面積.這時(shí)，A和B是平面上的兩個(gè)點(diǎn)集即點(diǎn)的集合，都是幾何圖形.A，B，分別表示A的面積，B的面積，。例8 設(shè)下面圖中正方形的邊長(zhǎng)為1厘米，半圓均以正方形的邊為直徑，求圖中陰影部分的面積。分析 如圖

8、，四個(gè)直徑為1厘米的半圓不但蓋住了正方形，還有四個(gè)重疊部分.這正好是要求的陰影部分的面積.或者，用A表示上、下兩個(gè)半圓，用B表示左、右兩個(gè)半圓，那么AB為邊長(zhǎng)為1厘米的正方形，AB為圖中陰影部分.由1可得AB=A+B-AB，因此可求出陰影部分的面積。解法1:大正方形面積=4個(gè)直徑為1厘米的半圓面積-陰影圖形面積-1×10.57平方厘米。上頁(yè)圖a中陰影面積=0.57平方厘米。答：陰影面積為0.57平方厘米。上面的例子是把一組事物按兩種不同的性質(zhì)來(lái)分類后，求具有其中一種性質(zhì)的元素個(gè)數(shù)問(wèn)題.假如把一組事物按三種不同性質(zhì)來(lái)分類后，求具有其中一種性質(zhì)的元素個(gè)數(shù)的公式該是什么樣的呢？我們?nèi)杂脠D形

9、來(lái)說(shuō)明它具有與公式1類似的公式：ABC=ABC-AB-AC-BCABC， 2其中ABC=ABC，ABC=ABC.圖中三個(gè)圓A、B、C分別表示具有三種不同性質(zhì)的集合，并如圖用M1、M2、M3、M7表示由三個(gè)圓形成的內(nèi)部互不重疊的部分所含元素的個(gè)數(shù)，可見(jiàn)：ABCM1M2+M7M1M4M6M7+M2M4M5M7+M3M5M6M7-M4+M7+M5+M7+M6M7M7ABC-AB-BC-AC+ABC，即公式2成立。事實(shí)上這個(gè)規(guī)律還可推廣到按多種性質(zhì)來(lái)分類的情形.設(shè)集合M中的每個(gè)元素至少具有t種性質(zhì)中的一種，用n1表示各個(gè)具有1種性質(zhì)的集合中的元素個(gè)數(shù)的和，n2表示各個(gè)具有2種性質(zhì)的集合中元素個(gè)數(shù)的和，

10、nt表示具有t種性質(zhì)的集合中元素的個(gè)數(shù)，那么集合M中元素的個(gè)數(shù)m為：m=n1-n2n3-n4+±nt最后一項(xiàng)當(dāng)t為偶數(shù)時(shí)取“-號(hào)，否那么取“號(hào)。例9 某校有學(xué)生960人，其中510人訂閱“中國(guó)少年報(bào)，330人訂閱“少年文藝，120人訂閱“中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)報(bào)；其中有270人訂閱兩種報(bào)刊，有58人訂閱三種報(bào)刊.問(wèn)這個(gè)學(xué)校中沒(méi)有訂閱任何報(bào)刊的學(xué)生有多少人？解：設(shè)A訂“中國(guó)少年報(bào)的學(xué)生，B=訂“少年文藝的學(xué)生，C=訂“中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)報(bào)的學(xué)生，I=全校學(xué)生，=212人。答：全校有212名學(xué)生沒(méi)訂閱任何報(bào)刊。解：如右圖，設(shè)這次競(jìng)賽共有k道題，用集合A、B分別表示甲、乙答錯(cuò)的題目.圖中字母a、b、c

11、、d分別表示集合A、B在全部題目作成的集合I中形成的各個(gè)無(wú)重復(fù)部分的元素個(gè)數(shù)，可見(jiàn)d為問(wèn)題所求.依題意列方程：注意到a、b、c、d均表示題目的道數(shù)，應(yīng)為自然數(shù)或零，因此k為12的倍數(shù)：12、24、.k=12，b1，c2，a=1，d=12-abc=12-121=8道。答：甲、乙兩人都對(duì)的題共8道。習(xí)題十二1. 某班有50人，會(huì)游泳的有27人，會(huì)體操的有18人，都不會(huì)的有15人.問(wèn)既會(huì)游泳又會(huì)體操的有多少人？2. 在11000這1000個(gè)自然數(shù)中，不能被2、3、5中任何一個(gè)數(shù)整除的數(shù)有多少個(gè)？3. 五環(huán)圖中每一個(gè)環(huán)內(nèi)徑為4厘米，外徑為5厘米.其中兩兩相交的小曲邊四邊形圖中陰影部分的面積相等.五個(gè)圓環(huán)蓋住的總面積是