五年級下冊數(shù)學專項訓練奧數(shù)第十二講容斥原理 _ 全國版 (含答案）

1、.第十二講 容斥原埋在很多計數(shù)問題中常用到數(shù)學上的一個包含與排除原理，也稱為容斥原理.為了說明這個原理，我們先介紹一些集合的初步知識。在討論問題時，常常需要把具有某種性質的同類事物放在一起考慮.如：A=五1班全體同學.我們稱一些事物的全體為一個集合.A五1班全體同學就是一個集合。例1 B全體自然數(shù)=1，2，3，4，是一個詳細有無限多個元素的集合。例2 C=在1，2，3，100中能被3整除的數(shù)3，6，9，12，99是一個具有有限多個元素的集合。集合通常用大寫的英文字母A、B、C、表示.構成這個集合的事物稱為這個集合的元素.如上面例子中五1班的每一位同學均是集合A的一個元素.又如在例1中任何一個自

2、然數(shù)都是集合B的元素.像集合B這種含有無限多個元素的集合稱為無限集.像集合C這樣含有有限多個元素的集合稱為有限集.有限集合所含元素的個數(shù)常用符號|A|、|B|、|C|、表示。記號AB表示所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合.就是右邊示意圖中兩個圓所覆蓋的部分.集合AB叫做集合A與集合B的并集.“讀作“并，“AB讀作“A并B。例3 設集合A=1，2，3，4，集合B=2，4，6，8，那么AB=1，2，3，4，6，8.元素2、4在集合A、B中都有，在并集中只寫一個。記號AB表示所有既屬于集合A也屬于集合B中的元素的全體.就是上頁圖中陰影部分所表示的集合.即是由集合A、B的公共元素所組成的集合

3、.它稱為集合A、B的交集.符號“讀作“交，“AB讀作“A交B.如例3中的集合A、B，那么AB=2，4。下面再舉例介紹補集的概念。例4 設集合I=1，3，5，7，9，集合A=3，5，7。補集或余集，如圖中陰影部分表示的集合整個長方形表示集合I.對于兩個沒有公共元素的集合A和B，顯然有|AB|=|A|+|B|。例如，A=1，2，100，B=101，那么所以|AB|1011001=|A|B|。假如集合A與B有公共元素，例如A1，2，100，B90，91，101，那么AB90，91，100，AB=1，2，101.此時，|AB|與|A|+|B|有什么關系呢？在這個例中，|AB|=101，|A|B|100

4、12=112。所以|AB|=|A|+|B|-11我們注意到，11恰為AB的元素個數(shù).這是合理的，因為在求|AB|時，90，91，100這11個數(shù)各被計入一次，而在求|A|B|時，這11個數(shù)各被計入兩次即多算了一次，并且這11個數(shù)組成的集合恰為AB.因此得到|AB|=|A|+|B|-|AB|，1這就是關于兩個集合的容斥原理：集合A與B的并的元素個數(shù)，等于集合A的元素個數(shù)與集合B的元素個數(shù)的和，減去集合A與B的交的元素個數(shù)。1是容斥原理的第一個公式.我們還可以用右圖來說明.如圖我們用N1、N2、N3分別表示AB中互不重疊的部分的元素個數(shù)?？梢姡簗A|=N1N3，|B|=N2N3，|AB|=N3.因

5、此|AB|=N1N2N3N1N3+N2N3-N3=|A|+|B|-|AB|。我們知道，當集合A與B沒有公共元素時，有|AB|A|+|B|.實際上這是公式1的特殊情形，因為此時例5 桌上有兩張圓紙片A、B.假設圓紙片A的面積為30平方厘米，圓紙片B的面積為20平方厘米.這兩張圓紙片重疊部分的面積為10平方厘米.那么這兩張圓紙片覆蓋桌面的面積由容斥原理的公式1可以算出為：AB=3020-1040平方厘米。例6 求在1至100的自然數(shù)中能被3或7整除的數(shù)的個數(shù)。分析 解這類問題時首先要知道在一串連續(xù)自然數(shù)中能被給定整數(shù)整除的數(shù)的個數(shù)規(guī)律是：在n個連續(xù)自然數(shù)中有且僅有一個數(shù)能被n整除.根據(jù)這個規(guī)律我們

6、可以很容易地求出在1至100中能被3整除的數(shù)的個數(shù)為33個，被7整除的數(shù)的個數(shù)為14個，而其中被3和7都能整除的數(shù)有4個，因此得到解：設A=在1100的自然數(shù)中能被3整除的數(shù)，B在1100的自然數(shù)中能被7整除的數(shù)，那么AB=在1100的自然數(shù)中能被21整除的數(shù)。100÷3331，A33。100÷7142，B=14。100÷21416，AB=4。由容斥原理的公式1：AB3314-4=43。答：在1100的自然數(shù)中能被3或7整除的數(shù)有43個。例7 求在1100的自然數(shù)中不是5的倍數(shù)也不是6的倍數(shù)的數(shù)有多少個？分析 假如在1100的自然數(shù)中去掉5的倍數(shù)、6的倍數(shù)，剩下的

7、數(shù)就既不是5的倍數(shù)也不是6的倍數(shù)，即問題要求的結果。解：設A在1100的自然數(shù)中5的倍數(shù)的數(shù)，B=在1100的自然數(shù)中6的倍數(shù)的數(shù)，數(shù).為此先求AB。100÷50=20，A=20又100÷6164，B=16100÷30310，AB=3，AB=A+B-AB=2016-333。答：在1100的自然數(shù)中既不是5的倍數(shù)又不是6的倍數(shù)的數(shù)共67個。我們也可以把公式1用于求幾何圖形的面積.這時，A和B是平面上的兩個點集即點的集合，都是幾何圖形.A，B，分別表示A的面積，B的面積，。例8 設下面圖中正方形的邊長為1厘米，半圓均以正方形的邊為直徑，求圖中陰影部分的面積。分析 如圖

8、，四個直徑為1厘米的半圓不但蓋住了正方形，還有四個重疊部分.這正好是要求的陰影部分的面積.或者，用A表示上、下兩個半圓，用B表示左、右兩個半圓，那么AB為邊長為1厘米的正方形，AB為圖中陰影部分.由1可得AB=A+B-AB，因此可求出陰影部分的面積。解法1:大正方形面積=4個直徑為1厘米的半圓面積-陰影圖形面積-1×10.57平方厘米。上頁圖a中陰影面積=0.57平方厘米。答：陰影面積為0.57平方厘米。上面的例子是把一組事物按兩種不同的性質來分類后，求具有其中一種性質的元素個數(shù)問題.假如把一組事物按三種不同性質來分類后，求具有其中一種性質的元素個數(shù)的公式該是什么樣的呢？我們?nèi)杂脠D形

9、來說明它具有與公式1類似的公式：ABC=ABC-AB-AC-BCABC， 2其中ABC=ABC，ABC=ABC.圖中三個圓A、B、C分別表示具有三種不同性質的集合，并如圖用M1、M2、M3、M7表示由三個圓形成的內(nèi)部互不重疊的部分所含元素的個數(shù)，可見：ABCM1M2+M7M1M4M6M7+M2M4M5M7+M3M5M6M7-M4+M7+M5+M7+M6M7M7ABC-AB-BC-AC+ABC，即公式2成立。事實上這個規(guī)律還可推廣到按多種性質來分類的情形.設集合M中的每個元素至少具有t種性質中的一種，用n1表示各個具有1種性質的集合中的元素個數(shù)的和，n2表示各個具有2種性質的集合中元素個數(shù)的和，

10、nt表示具有t種性質的集合中元素的個數(shù)，那么集合M中元素的個數(shù)m為：m=n1-n2n3-n4+±nt最后一項當t為偶數(shù)時取“-號，否那么取“號。例9 某校有學生960人，其中510人訂閱“中國少年報，330人訂閱“少年文藝，120人訂閱“中小學數(shù)學教學報；其中有270人訂閱兩種報刊，有58人訂閱三種報刊.問這個學校中沒有訂閱任何報刊的學生有多少人？解：設A訂“中國少年報的學生，B=訂“少年文藝的學生，C=訂“中小學數(shù)學教學報的學生，I=全校學生，=212人。答：全校有212名學生沒訂閱任何報刊。解：如右圖，設這次競賽共有k道題，用集合A、B分別表示甲、乙答錯的題目.圖中字母a、b、c

11、、d分別表示集合A、B在全部題目作成的集合I中形成的各個無重復部分的元素個數(shù)，可見d為問題所求.依題意列方程：注意到a、b、c、d均表示題目的道數(shù)，應為自然數(shù)或零，因此k為12的倍數(shù)：12、24、.k=12，b1，c2，a=1，d=12-abc=12-121=8道。答：甲、乙兩人都對的題共8道。習題十二1. 某班有50人，會游泳的有27人，會體操的有18人，都不會的有15人.問既會游泳又會體操的有多少人？2. 在11000這1000個自然數(shù)中，不能被2、3、5中任何一個數(shù)整除的數(shù)有多少個？3. 五環(huán)圖中每一個環(huán)內(nèi)徑為4厘米，外徑為5厘米.其中兩兩相交的小曲邊四邊形圖中陰影部分的面積相等.五個圓環(huán)蓋住的總面積是