二次根式的化簡與計算的策略與方法

1、二次根式的化簡與計算的策略與方法二次根式是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點內(nèi)容，讀者在掌握二次根式有關(guān)的概念與性質(zhì)后，進行二次根式的化簡與運算時，一般遵循以下做法：先將式中的二次根式適當化簡二次根式的乘法可以參照多項式乘法進行，運算中要運用公式（，）對于二次根式的除法，通常是先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進行運算二次根式的加減法與多項式的加減法類似，即在化簡的基礎(chǔ)上去括號與合并同類項運算結(jié)果一般要化成最簡二次根式化簡二次根式的常用技巧與方法二次根式的化簡是二次根式教學(xué)的一個重要內(nèi)容，對于二次根式的化簡，除了掌握基本概念和運算法則外，還要掌握一些特殊的方法和技巧，會收到事半功倍的效果，下面通過具體的實例

2、進行分類解析1公式法【例1】計算； 【解】原式原式【解后評注】以上解法運用了“完全平方公式”和“平方差公式”，從而使計算較為簡便2觀察特征法【例2】計算：【方法導(dǎo)引】若直接運用根式的性質(zhì)去計算，須要進行兩次分母有理化，計算相當麻煩，觀察原式中的分子與分母，可以發(fā)現(xiàn)，分母中的各項都乘以，即得分子，于是可以簡解如下：【解】原式【例3】 把下列各式的分母有理化（1）；（2）（）【方法導(dǎo)引】式分母中有兩個因式，將它有理化要乘以兩個有理化因式那樣分子將有三個因式相等，計算將很繁，觀察分母中的兩個因式如果相加即得分子，這就啟示我們可以用如下解法：【解】原式 【方法導(dǎo)引】式可以直接有理化分母，再化簡但是，不

3、難發(fā)現(xiàn)式分子中的系數(shù)若為“1”，那么原式的值就等于“1”了！因此，可以解答如下：【解】原式 3運用配方法【例4】化簡【解】原式 【解后評注】注意這時是算術(shù)根，開方后必須是非負數(shù)，顯然不能等于“”4平方法【例5】化簡【解】 【解后評注】對于這類共軛根式與的有關(guān)問題，一般用平方法都可以進行化簡5恒等變形公式法【例6】化簡【方法導(dǎo)引】若直接展開，計算較繁，如利用公式，則使運算簡化【解】原式 6常值換元法【例7】化簡【解】令，則：原式 7裂項法【例8】化簡【解】原式各項分母有理化得原式 【例9】化簡 【方法導(dǎo)引】這個分數(shù)如果直接有理化分母將十分繁鎖，但我們不難發(fā)現(xiàn)每一個分數(shù)的分子等于分母的兩個因數(shù)之和

4、，于是則有如下簡解：【解】原式 8構(gòu)造對偶式法【例10】化簡【解】構(gòu)造對偶式，于是沒 ，則，原式 9由里向外，逐層化簡 【解】 而 原式【解后評注】對多重根式的化簡問題，應(yīng)采用由里向外，由局部到整體，逐層化簡的方法處理10由右到左，逐項化簡【例11】化簡 【方法導(dǎo)引】原式從右到左是層層遞進的關(guān)系，因此從右向左進行化簡【解】原式 【解后評注】平方差公式和整體思想是解答本題的關(guān)鍵，由平方差公式將多重根號逐層脫去，逐項化簡，其環(huán)節(jié)緊湊，一環(huán)扣一環(huán)，如果不具有熟練的技能是難以達到化簡之目的的返回二次根式大小比較的常用方法二次根式的化簡具有極強的技巧性，而在不求近似值的情況下比較兩個無理數(shù)（即二次根式）

5、的大小同樣具有很強的技巧性，對初中生來說是一個難點，但掌握一些常見的方法對它的學(xué)習(xí)有很大的幫助和促進作用1根式變形法【例1】比較與的大小【解】將兩個二次根式作變形得 ，即【解后評注】本解法依據(jù)是：當，時，則；若，則2平方法【例2】比較與的大小【解】，【解后評注】本法的依據(jù)是：當，時，如果，則，如果，則3分母有理化法通過運用分母有理化，利用分子的大小來判斷其倒數(shù)的大小【例3】比較與的大小【解】 又4分子有理化法在比較兩個無理數(shù)的差的大小時，我們通常要將其進行分子有理化，利用分母的大小來判斷其倒數(shù)的大小【例4】比較與的大小【解】 又而5等式的基本性質(zhì)法【例5】比較與的大小【解法1】 又 即【解后評

6、注】本解法利用了下面兩個性質(zhì)：都加上同一個數(shù)后，兩數(shù)的大小關(guān)系不變非負底數(shù)和它們的二次冪的大小關(guān)系一致【解法2】將它們分別乘以這兩個數(shù)的有理化因式的積，得 又【解后評注】本解法的依據(jù)是：都乘以同一個正數(shù)后，兩數(shù)的大小關(guān)系不變6利用媒介值傳遞法【例6】比較與的大小【解】 又 【解后評注】適當選擇介于兩個無理數(shù)之間的媒介法，利用數(shù)值的傳遞性進行比較7作差比較法在對兩數(shù)進行大小比較時，經(jīng)常運用如下性質(zhì)：；【例7】比較與的大小【解】 8求商比較法與求差比較法相對應(yīng)的還有一種比較的方法，即作商比較法，它運用的是如下性質(zhì)，當，時，則：；【例8】比較與的大小【解】【解后評注】得上所述，含有根式的無理數(shù)大小的

7、比較往往可采用多種方法，來求解有時還需各種方法配合使用，其中根式變形法，平方法是最基本的，對于具體的問題要作具體分析，以求用最佳的方法解出正確的結(jié)果二次根式的化簡與計算的策略與方法二次根式是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的難點內(nèi)容，讀者在掌握二次根式有關(guān)的概念與性質(zhì)后，進行二次根式的化簡與運算時，一般遵循以下做法：先將式中的二次根式適當化簡二次根式的乘法可以參照多項式乘法進行，運算中要運用公式（，）對于二次根式的除法，通常是先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進行運算二次根式的加減法與多項式的加減法類似，即在化簡的基礎(chǔ)上去括號與合并同類項運算結(jié)果一般要化成最簡二次根式化簡二次根式的常用技巧與方法二次根式的化簡是

8、二次根式教學(xué)的一個重要內(nèi)容，對于二次根式的化簡，除了掌握基本概念和運算法則外，還要掌握一些特殊的方法和技巧，會收到事半功倍的效果，下面通過具體的實例進行分類解析1公式法【例1】計算； 【解】原式原式【解后評注】以上解法運用了“完全平方公式”和“平方差公式”，從而使計算較為簡便2觀察特征法【例2】計算：【方法導(dǎo)引】若直接運用根式的性質(zhì)去計算，須要進行兩次分母有理化，計算相當麻煩，觀察原式中的分子與分母，可以發(fā)現(xiàn)，分母中的各項都乘以，即得分子，于是可以簡解如下：【解】原式【例3】 把下列各式的分母有理化（1）；（2）（）【方法導(dǎo)引】式分母中有兩個因式，將它有理化要乘以兩個有理化因式那樣分子將有三個

9、因式相等，計算將很繁，觀察分母中的兩個因式如果相加即得分子，這就啟示我們可以用如下解法：【解】原式 【方法導(dǎo)引】式可以直接有理化分母，再化簡但是，不難發(fā)現(xiàn)式分子中的系數(shù)若為“1”，那么原式的值就等于“1”了！因此，可以解答如下：【解】原式 3運用配方法【例4】化簡【解】原式 【解后評注】注意這時是算術(shù)根，開方后必須是非負數(shù)，顯然不能等于“”4平方法【例5】化簡【解】 【解后評注】對于這類共軛根式與的有關(guān)問題，一般用平方法都可以進行化簡5恒等變形公式法【例6】化簡【方法導(dǎo)引】若直接展開，計算較繁，如利用公式，則使運算簡化【解】原式 6常值換元法【例7】化簡【解】令，則：原式 7裂項法【例8】化簡

10、【解】原式各項分母有理化得原式 【例9】化簡 【方法導(dǎo)引】這個分數(shù)如果直接有理化分母將十分繁鎖，但我們不難發(fā)現(xiàn)每一個分數(shù)的分子等于分母的兩個因數(shù)之和，于是則有如下簡解：【解】原式 8構(gòu)造對偶式法【例10】化簡【解】構(gòu)造對偶式，于是沒 ，則，原式 9由里向外，逐層化簡 【解】 而 原式【解后評注】對多重根式的化簡問題，應(yīng)采用由里向外，由局部到整體，逐層化簡的方法處理10由右到左，逐項化簡【例11】化簡 【方法導(dǎo)引】原式從右到左是層層遞進的關(guān)系，因此從右向左進行化簡【解】原式 【解后評注】平方差公式和整體思想是解答本題的關(guān)鍵，由平方差公式將多重根號逐層脫去，逐項化簡，其環(huán)節(jié)緊湊，一環(huán)扣一環(huán)，如果不

11、具有熟練的技能是難以達到化簡之目的的返回二次根式大小比較的常用方法二次根式的化簡具有極強的技巧性，而在不求近似值的情況下比較兩個無理數(shù)（即二次根式）的大小同樣具有很強的技巧性，對初中生來說是一個難點，但掌握一些常見的方法對它的學(xué)習(xí)有很大的幫助和促進作用1根式變形法【例1】比較與的大小【解】將兩個二次根式作變形得 ，即【解后評注】本解法依據(jù)是：當，時，則；若，則2平方法【例2】比較與的大小【解】，【解后評注】本法的依據(jù)是：當，時，如果，則，如果，則3分母有理化法通過運用分母有理化，利用分子的大小來判斷其倒數(shù)的大小【例3】比較與的大小【解】 又4分子有理化法在比較兩個無理數(shù)的差的大小時，我們通常要

12、將其進行分子有理化，利用分母的大小來判斷其倒數(shù)的大小【例4】比較與的大小【解】 又而5等式的基本性質(zhì)法【例5】比較與的大小【解法1】 又 即【解后評注】本解法利用了下面兩個性質(zhì)：都加上同一個數(shù)后，兩數(shù)的大小關(guān)系不變非負底數(shù)和它們的二次冪的大小關(guān)系一致【解法2】將它們分別乘以這兩個數(shù)的有理化因式的積，得 又【解后評注】本解法的依據(jù)是：都乘以同一個正數(shù)后，兩數(shù)的大小關(guān)系不變6利用媒介值傳遞法【例6】比較與的大小【解】 又 【解后評注】適當選擇介于兩個無理數(shù)之間的媒介法，利用數(shù)值的傳遞性進行比較7作差比較法在對兩數(shù)進行大小比較時，經(jīng)常運用如下性質(zhì)：；【例7】比較與的大小【解】 8求商比較法與求差比較

13、法相對應(yīng)的還有一種比較的方法，即作商比較法，它運用的是如下性質(zhì)，當，時，則：；【例8】比較與的大小【解】【解后評注】得上所述，含有根式的無理數(shù)大小的比較往往可采用多種方法，來求解有時還需各種方法配合使用，其中根式變形法，平方法是最基本的，對于具體的問題要作具體分析，以求用最佳的方法解出正確的結(jié)果二次根式大小比較的常用方法二次根式的化簡具有極強的技巧性，而在不求近似值的情況下比較兩個無理數(shù)（即二次根式）的大小同樣具有很強的技巧性，對初中生來說是一個難點，但掌握一些常見的方法對它的學(xué)習(xí)有很大的幫助和促進作用1根式變形法【例1】比較與的大小【解】將兩個二次根式作變形得 ，即【解后評注】本解法依據(jù)是：

14、當，時，則；若，則2平方法【例2】比較與的大小【解】，【解后評注】本法的依據(jù)是：當，時，如果，則，如果，則3分母有理化法通過運用分母有理化，利用分子的大小來判斷其倒數(shù)的大小【例3】比較與的大小【解】 又4分子有理化法在比較兩個無理數(shù)的差的大小時，我們通常要將其進行分子有理化，利用分母的大小來判斷其倒數(shù)的大小【例4】比較與的大小【解】 又而5等式的基本性質(zhì)法【例5】比較與的大小【解法1】 又 即【解后評注】本解法利用了下面兩個性質(zhì)：都加上同一個數(shù)后，兩數(shù)的大小關(guān)系不變非負底數(shù)和它們的二次冪的大小關(guān)系一致【解法2】將它們分別乘以這兩個數(shù)的有理化因式的積，得 又【解后評注】本解法的依據(jù)是：都乘以同一個正數(shù)后，兩數(shù)的大小關(guān)系不變6利用媒介值傳遞法【例6】比較與的大小【解】 又 【解后評注】適當選擇介于兩個