九年級(jí)圓的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)、經(jīng)典例題與課后習(xí)題

1、圓一：【知識(shí)梳理】 1.圓的有關(guān)概念和性質(zhì) (1) 圓的有關(guān)概念 圓：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓，其中定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧，大于半圓的弧稱(chēng)為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱(chēng)為劣弧弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線(xiàn)段叫做弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑 （2）圓的有關(guān)性質(zhì) 圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形；其對(duì)稱(chēng)軸是任意一條過(guò)圓心的直線(xiàn)；圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心為圓心垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧 推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧說(shuō)明：根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線(xiàn)來(lái)說(shuō)，如果具備： 過(guò)圓心；垂直于弦；平分弦；平分弦

2、所對(duì)的優(yōu)?。黄椒窒宜鶎?duì)的劣弧。 上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可推出其他三個(gè)結(jié)論。弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧：?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧，用符號(hào)“”表示，以CD為端點(diǎn)的弧記為“”，讀作“圓弧CD”或“弧CD”。半圓：直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓。優(yōu)弧：大于半圓的弧叫做優(yōu)弧劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧。(為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個(gè)字母表示。)弧、弦、圓心角的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等 推論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；直徑所對(duì)的圓周角是直角；90”的圓周角所對(duì)的弦是直徑等圓：能

3、夠完全重合的兩個(gè)圓叫做等圓，半徑相等的兩個(gè)圓是等圓。等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.弦心距:從圓心到弦的距離叫做弦心距.（3）對(duì)圓的定義的理解：圓是一條封閉曲線(xiàn)，不是圓面；圓由兩個(gè)條件唯一確定：一是圓心（即定點(diǎn)），二是半徑（即定長(zhǎng)） 2.與圓有關(guān)的角 （1）圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角。圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù) （2）圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊分別和圓相交的角，叫圓周角。圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半 （3）圓心角與圓周角的關(guān)系： 同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半 （4）圓內(nèi)接四邊形：頂點(diǎn)都在圓上的四

4、邊形，叫圓內(nèi)接四邊形 圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，它的一個(gè)外角等于它相鄰內(nèi)角的對(duì)角3. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征： 如果圓的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則 點(diǎn)在圓上 <=> d=r;點(diǎn)在圓內(nèi) <=> d<r;點(diǎn)在圓外 <=> d>r.其中點(diǎn)在圓上的數(shù)量特征是重點(diǎn)，它可用來(lái)證明若干個(gè)點(diǎn)共圓，方法就是證明這幾個(gè)點(diǎn)與一個(gè)定點(diǎn)、的距離相等。4. 確定圓的條件:1. 理解確定一個(gè)圓必須的具備兩個(gè)條件: 圓心和半徑,圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小. 經(jīng)過(guò)一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓,經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)也可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓,其圓心在這個(gè)兩點(diǎn)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上.2. 經(jīng)過(guò)三點(diǎn)作圓要

5、分兩種情況:(1) 經(jīng)過(guò)同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)不能作圓.(2)經(jīng)過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn),能且僅能作一個(gè)圓.定理: 不在同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.3. 三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念: (1)三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形: 經(jīng)過(guò)一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)三角形的外接圓,這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.(2)三角形的外心: 三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心.(3)三角形的外心的性質(zhì):三角形外心到三頂點(diǎn)的距離相等.5. 直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系1. 直線(xiàn)和圓相交、相切相離的定義:(1)相交: 直線(xiàn)與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),叫做直線(xiàn)和圓相交,這時(shí)直線(xiàn)叫做圓的割線(xiàn).(2)相切: 直線(xiàn)和圓

6、有惟一公共點(diǎn)時(shí),叫做直線(xiàn)和圓相切,這時(shí)直線(xiàn)叫做圓的切線(xiàn),惟一的公共點(diǎn)做切點(diǎn).(3)相離: 直線(xiàn)和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí),叫做直線(xiàn)和圓相離.2. 直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征: 設(shè)O的半徑為r，圓心O到直線(xiàn)的距離為d；d<r <=> 直線(xiàn)L和O相交.d=r <=> 直線(xiàn)L和O相切.d>r <=> 直線(xiàn)L和O相離.3. 切線(xiàn)的總判定定理: 經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這個(gè)條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn).4. 切線(xiàn)的性質(zhì)定理: 圓的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.推論1 經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)切點(diǎn).推論2 經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心.分析性質(zhì)定理及兩個(gè)推論的條

7、件和結(jié)論間的關(guān)系,可得如下結(jié)論:如果一條直線(xiàn)具備下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè),就可推出第三個(gè).垂直于切線(xiàn); 過(guò)切點(diǎn); 過(guò)圓心.5. 三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的概念. 和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心, 這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形.6. 三角形內(nèi)心的性質(zhì): (1)三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等.(2)過(guò)三角形頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線(xiàn)平分三角形的內(nèi)角.由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線(xiàn): 連接內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn),該線(xiàn)平分三角形的這個(gè)內(nèi)角.6. 圓和圓的位置關(guān)系.1. 外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含(包括同心圓)這五種位置關(guān)系的定義.(1)外離: 兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn),并且

8、每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí),叫做這兩個(gè)圓外離.(2)外切: 兩個(gè)圓有惟一的公共點(diǎn),并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外,每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí), 叫做這兩個(gè)圓外切.這個(gè)惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).(3)相交: 兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)叫做這個(gè)兩個(gè)圓相交.(4)內(nèi)切: 兩個(gè)圓有惟一的公共點(diǎn),并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外,一個(gè)圓上的都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí),叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切.這個(gè)惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).(5)內(nèi)含: 兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn), 并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí),叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含.兩圓同心是兩圓內(nèi)的一個(gè)特例.2. 兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定:(1)兩圓外離 <=> d>R+r(2)兩圓外

9、切 <=> d=R+r(3)兩圓相交 <=> R-r<d<R+r (Rr)(4)兩圓內(nèi)切 <=> d=R-r (R>r)(5)兩圓內(nèi)含 <=> d<R-r (R>r)3. 相切兩圓的性質(zhì): 如果兩個(gè)圓相切,那么切點(diǎn)一定在連心線(xiàn)上.4. 相交兩圓的性質(zhì):相交兩圓的連心線(xiàn)垂直平分公共弦.7. 圓內(nèi)接四邊形若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上,這個(gè)四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形,這個(gè)圓叫做這個(gè)四邊形的外接圓.圓內(nèi)接四邊形的特征: 圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ); 圓內(nèi)接四邊形任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)錯(cuò)角.8. 弧長(zhǎng)及扇形的面積1. 圓周長(zhǎng)公式:

10、 圓周長(zhǎng)C=2R (R表示圓的半徑)2. 弧長(zhǎng)公式: 弧長(zhǎng) (R表示圓的半徑, n表示弧所對(duì)的圓心角的度數(shù))3. 扇形定義:一條弧和經(jīng)過(guò)這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.4. 弓形定義:由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形. 弓形弧的中點(diǎn)到弦的距離叫做弓形高.5. 圓的面積公式.圓的面積 (R表示圓的半徑)6. 扇形的面積公式:扇形的面積 (R表示圓的半徑, n表示弧所對(duì)的圓心角的度數(shù))弓形的面積公式:(如圖5)圖5(1)當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時(shí), (2)當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時(shí), (3)當(dāng)弓形所含的弧是半圓時(shí), 二、例題解析【例題1】如圖1，是的外接圓，是直徑，若，則等于（ ） A60&

11、#186; B50º C40º D30º 圖1 圖2 圖3【例題2】如圖2，以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于點(diǎn)C，若大圓半徑為10cm，小圓半徑為6cm，則弦AB的長(zhǎng)為 cm【例題3】如圖3，ABC內(nèi)接于O，AB=BC，ABC=120°，AD為O的直徑，AD6，那么BD_【例題4】如圖4已知O的兩條弦AC，BD相交于點(diǎn)E，A=70o，c=50o，那么sinAEB的值為（） A. B. C. D. 圖4PBCEA（圖8）【例題5】如圖5，半圓的直徑，點(diǎn)C在半圓上，（1）求弦的長(zhǎng)；（2）若P為AB的中點(diǎn)，交于點(diǎn)E，求的長(zhǎng) 三、課堂練習(xí) 1、

12、如圖6，在O中，ABC=40°，則AOC 度CABS1S2BCAO 圖6 圖7 圖82、如圖7，AB是O的直徑，AC是弦，若ACO = 32°，則COB的度數(shù)等于 3、已知O的直徑AB=8cm，C為O上的一點(diǎn)，BAC=30º，則BC=_cm.4、如圖8，已知在中，分別以，為直徑作半圓，面積分別記為，則+的值等于 5、如圖9，O的半徑OA10cm，P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到圓心O的最短距離為_(kāi)cm。 圖96、如圖10，在O中，ACB=BDC=60°，AC=，（1）求BAC的度數(shù)； （2）求O的周長(zhǎng)7、已知：如圖11，O的直徑AB與弦CD相交于，弧BC弧BD

13、，O的切線(xiàn)BF與弦AD的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)F(1)求證:CDBF(2)連結(jié)BC,若O的半徑為4,cosBCD=,求線(xiàn)段AD、CD的長(zhǎng) 8、如圖12，在ABC中，AB=BC，以AB為直徑的O與AC交于點(diǎn)D，過(guò)D作DFBC，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，垂足為F(1)求證：直線(xiàn)DE是O的切線(xiàn)；(2)當(dāng)AB=5，AC=8時(shí)，求cosE的值 圖12 四、經(jīng)典考題解析 1.如圖13，在O中，已知A CBCDB60 ，AC3，則ABC的周長(zhǎng)是_. 圖13 圖14 圖152.“圓材埋壁”是我國(guó)古代九章算術(shù)中的問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁沖，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，間徑幾何”用數(shù)學(xué)語(yǔ)言可表述為如圖14，CD為O

14、的直徑，弦ABCD于點(diǎn)E，CE1寸，AB=10寸，則直徑CD的長(zhǎng)為（ ） A125寸 B13寸 C25寸 D26寸3.如圖15，已知AB是半圓O的直徑，弦AD和BC相交于點(diǎn)P，那么等于（ ） AsinBPD BcosBPD CtanBPD DcotBPD4.O的半徑是5，AB、CD為O的兩條弦，且ABCD，AB=6，CD=8，求 AB與CD之間的距離5.如圖16，在M中，弧AB所對(duì)的圓心角為1200，已知圓的半徑為2cm，并建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，點(diǎn)C是y軸與弧AB的交點(diǎn)。（1）求圓心M的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)D是弦AB所對(duì)優(yōu)弧上一動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ACBD的最大面積 圖16 五、課后訓(xùn)練 1.如圖1

15、7，在O中，弦AB=1.8cm，圓周角ACB=30 ，則 O的直徑等于_cm 圖17 圖18 圖192.如圖18，C是O上一點(diǎn)，O是圓心若C=35°，則AOB的度數(shù)為（ ） A35 B70 C105 D150 3.如圖19，O內(nèi)接四邊形ABCD中，AB=CD，則圖中和1相等的角有_ 4.在半徑為1的圓中，弦AB、AC分別是和，則 BAC的度數(shù)為多少？5.如圖20，弦AB的長(zhǎng)等于O的半徑，點(diǎn)C在O上，則C的度數(shù)是_. 圖20 圖21 圖22 6.如圖21，四邊形 ABCD內(nèi)接于O，若BOD=100°，則DAB的度數(shù)為（ ） A50° B80° C100&#

16、176; D130°7.如圖22，四邊形ABCD為O的內(nèi)接四邊形，點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上，如果BOD=120°，那么BCE等于（ ） A30° B60° C90° D120°8.如圖，O的直徑AB=10，DEAB于點(diǎn)H，AH=2 （1）求DE的長(zhǎng)； （2）延長(zhǎng)ED到P，過(guò)P作O的切線(xiàn)，切點(diǎn)為C，若PC=22，求PD的長(zhǎng)九年級(jí)數(shù)學(xué)圓練習(xí)題一、 填空題：（21分）1、 如圖，在O中，弦ABOC，則=_2、如圖，在O中，AB是直徑，則=_3、如圖，點(diǎn)O是的外心，已知，則=_BCOA（1題圖） （2題圖） （3題圖） （4題圖）4、如圖，AB是

17、O的直徑，弧BC=弧BD，則 （5題圖） （6題圖） （7題圖） 5、如圖，O的直徑為8，弦CD垂直平分半徑OA，則弦CD 6、已知O的半徑為2cm，弦AB2cm，P點(diǎn)為弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，則線(xiàn)段OP的范圍是 7、如圖，在O中，B=50º，C=20º，則BOC的=_二、解答題（70分）BD1、如圖，AB是O的直徑.若ODAC，與 的大小有什么關(guān)系？為什么？2、已知：如圖，在O中，弦AB=CD.求證：弧AC=弧BD；AOC=BOD3、如圖，已知：O中，AB、CB為弦，OC交AB于D，求證：（1）ODB>OBD，（2）ODB>OBC；4、已知如圖，AB、AC為弦，OMA

18、B于M，ONAC于N，MN是ABC的中位線(xiàn)嗎？5、已知如圖，AB、CD是O的直徑，DF、BE是弦，且DF=BE，求證：D=B6、已知如圖，AB是O的直徑，C是O上的一點(diǎn)，CDAB于D，CE平分DCO，交O于E，求證：弧AE=弧EB 7、如圖，已知ABC，AC=3，BC=4，C=90°，以點(diǎn)C為圓心作C，半徑為r.(1)當(dāng)r取什么值時(shí)，點(diǎn)A、B在C外.(2)當(dāng)r在什么范圍時(shí)，點(diǎn)A在C內(nèi)，點(diǎn)B在C外.(2)當(dāng)r在什么范圍時(shí)，C與線(xiàn)段AB相切。三、計(jì)算下列各題：（40分） 1、如圖，已知AB為O的直徑，AC為弦，ODBC交AC于D，OD =，求BC的長(zhǎng)；ABCDE2、如圖，在RtABC中，C90°，AC3，BC4，以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑的圓與AB、BC分別交于點(diǎn)D、E，求AB、AD的長(zhǎng)3、如圖，O的直徑AB和弦CD相交于點(diǎn)E，且AE=1cm，EB=5cm，DEB=60°，求CD的長(zhǎng)。4、如圖，在直徑為100 mm的半圓鐵片上切去一塊高為20 mm的弓形鐵片，求弓形的弦AB的長(zhǎng). 5、如圖所示，已知矩形ABCD的邊。（1）以點(diǎn)A為圓心，4cm為半徑作A，則點(diǎn)B、C、D與A的位置關(guān)