第27屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽的試卷和答案解析

1、 .wd.2010年全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試卷第二十七屆本卷共九題，總分值 160 分計(jì)算題的解容許寫出必要的文字說(shuō)明、方程式和重要的演算步驟只寫出最后結(jié)果的不能得分有數(shù)字計(jì)算的題答案中必須明確寫出數(shù)值和單位填空題把答案填在題中的橫線上，只要給出結(jié)果，不需寫出求解的過(guò)程一、 15 分蛇形擺是一個(gè)用于演示單擺周期與擺長(zhǎng)關(guān)系的實(shí)驗(yàn)儀器見(jiàn)圖假設(shè)干個(gè)擺球位于同一高度并等間距地排成一條直線，它們的懸掛點(diǎn)在不同的高度上，擺長(zhǎng)依次減小設(shè)重力加速度 g = 9 . 80 m/ s2 , 1 試設(shè)計(jì)一個(gè)包含十個(gè)單擺的蛇形擺即求出每個(gè)擺的擺長(zhǎng)，要求滿足： ( a 每個(gè)擺的擺長(zhǎng)不小于 0 . 450m ，不大于1.

2、00m ; ( b 初始時(shí)將所有擺球由平衡點(diǎn)沿 x 軸正方向移動(dòng)一樣的一個(gè)小位移 xo ( xo <<0.45m ) ，然后同時(shí)釋放，經(jīng)過(guò) 40s 后，所有的擺能夠同時(shí)回到初始狀態(tài) 2 在上述情形中，從所有的擺球開場(chǎng)擺動(dòng)起，到它們的速率首次全部為零所經(jīng)過(guò)的時(shí)間為_.二、 20 分距離我們?yōu)?L 處有一恒星，其質(zhì)量為 M ，觀測(cè)發(fā)現(xiàn)其位置呈周期性擺動(dòng)，周期為 T ，擺動(dòng)范圍的最大張角為 假設(shè)該星體的周期性擺動(dòng)是由于有一顆圍繞它作圓周運(yùn)動(dòng)的行星引起的，試給出這顆行星的質(zhì)量m所滿足的方程假設(shè) L=10 光年， T =10 年， = 3 毫角秒， M = Ms Ms為太陽(yáng)質(zhì)量，那么此行星的

3、質(zhì)量和它運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r各為多少？分別用太陽(yáng)質(zhì)量 Ms 和國(guó)際單位 AU 平均日地距離作為單位，只保存一位有效數(shù)字 1 毫角秒=角秒，1角秒=度，1AU=1.5×108km,光速 c = 3.0×105km/s.三、 22 分如圖，一質(zhì)量均勻分布的剛性螺旋環(huán)質(zhì)量為m，半徑為 R ，螺距H =R ，可繞豎直的對(duì)稱軸OO，無(wú)摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)，連接螺旋環(huán)與轉(zhuǎn)軸的兩支撐桿的質(zhì)量可忽略不計(jì)一質(zhì)量也為 m 的小球穿在螺旋環(huán)上并可沿螺旋環(huán)無(wú)摩擦地滑動(dòng),首先扶住小球使其靜止于螺旋環(huán)上的某一點(diǎn) A ，這時(shí)螺旋環(huán)也處于靜止?fàn)顟B(tài)然后放開小球，讓小球沿螺旋環(huán)下滑，螺旋環(huán)便繞轉(zhuǎn)軸 OO，轉(zhuǎn)動(dòng)求當(dāng)小球下滑到

4、離其初始位置沿豎直方向的距離為 h 時(shí)，螺旋環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和小球?qū)β菪h(huán)作用力的大小四、 12 分如下圖，一質(zhì)量為m、電荷量為 q ( q > 0 的粒子作角速度為、半徑為 R 的勻速圓周運(yùn)動(dòng).一長(zhǎng)直細(xì)導(dǎo)線位于圓周所在的平面內(nèi)，離圓心的距離為d ( d > R ) ，在導(dǎo)線上通有隨時(shí)間變化的電流I, t= 0 時(shí)刻，粒子速度的方向與導(dǎo)線平行，離導(dǎo)線的距離為d+ R .假設(shè)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力等于電流 i ,的磁場(chǎng)對(duì)粒子的作用力，試求出電流 i 隨時(shí)間的變化規(guī)律不考慮變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生的感生電場(chǎng)及重力的影響長(zhǎng)直導(dǎo)線電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度表示式中的比例系數(shù) k 五、20分如下圖，兩個(gè)固定的

5、均勻帶電球面，所帶電荷量分別為+Q和-Q (Q >0) ，半徑分別為R和R/2，小球面與大球面內(nèi)切于C點(diǎn)，兩球面球心O和O的連線MN沿豎直方在MN與兩球面的交點(diǎn)B、0和C 處各開有足夠小的孔因小孔損失的電荷量忽略不計(jì)，有一質(zhì)量為m，帶電荷為q(q>0的質(zhì)點(diǎn)自MN線上離B點(diǎn)距離為R的A點(diǎn)豎直上拋。設(shè)靜電力常量為k，重力加度為g. 1要使質(zhì)點(diǎn)從 A 點(diǎn)上拋后能夠到達(dá)B點(diǎn)，所需的最小初動(dòng)能為多少？ 2要使質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)上拋后能夠到達(dá)O點(diǎn)，在不同條件下所需的最小初動(dòng)能各為多少？六、 20 分由單位長(zhǎng)度電阻為r的導(dǎo)線組成如下圖的正方形網(wǎng)絡(luò)系列n=1時(shí)，正方形網(wǎng)絡(luò)邊長(zhǎng)為L(zhǎng),n= 2時(shí)，小正方形網(wǎng)絡(luò)

6、的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)/3；n=3 時(shí)，最小正方形網(wǎng)絡(luò)的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)/9當(dāng) n=1、2、3 時(shí)，各網(wǎng)絡(luò)上A、B兩點(diǎn)間的電阻分別為多少？七、15分地球上的能量從源頭上說(shuō)來(lái)自太陽(yáng)輻射到達(dá)地面的太陽(yáng)輻射假定不計(jì)大氣對(duì)太陽(yáng)輻射的吸收一局部被地球外表反射到太空，其余局部被地球吸收被吸收的局部最終轉(zhuǎn)換成為地球熱輻射紅外波段的電磁波熱輻射在向外傳播過(guò)程中，其中一局部會(huì)被溫室氣體反射回地面，地球以此方式保持了總能量平衡。作為一個(gè)簡(jiǎn)單的理想模型，假定地球外表的溫度處處一樣，且太陽(yáng)和地球的輻射都遵從斯忒蕃一玻爾茲曼定律：?jiǎn)挝幻娣e的輻射功率 J與外表的熱力學(xué)溫度 T 的四次方成正比，即 J=T4 ,其中是一個(gè)常量太陽(yáng)外表溫度Ts=

7、5.78×103 K ，太陽(yáng)半徑 Rs=6.69×105 km ,地球到太陽(yáng)的平均距離d=1.50×108 km 假設(shè)溫室氣體在大氣層中集中形成一個(gè)均勻的薄層，并設(shè)它對(duì)熱輻射能量的反射率為=0.38 . 1如果地球外表對(duì)太陽(yáng)輻射的平均反射率=0.30 ，試問(wèn)考慮了溫室氣體對(duì)熱輻射的反射作用后，地球外表的溫度是多少？ 2如果地球外表一局部被冰雪覆蓋，覆蓋局部對(duì)太陽(yáng)輻射的反射率為1=0.85 ，其余局部的反射率處2=0.25 間冰雪被蓋面占總面積多少時(shí)地球外表溫度為 273K .八、20分正午時(shí)太陽(yáng)的入射光與水平面的夾角=450 有一座房子朝南的墻上有一個(gè)直徑 W =

8、10cm 的圓窗，窗口中心距地面的高度為 H 試設(shè)計(jì)一套采光裝置，使得正午時(shí)刻太陽(yáng)光能進(jìn)人窗口，并要求進(jìn)入的光為充滿窗口、垂直墻面、且光強(qiáng)是進(jìn)人采光裝置前 2 倍的平行光可供選用的光學(xué)器件如下：一個(gè)平面鏡，兩個(gè)凸透鏡，兩個(gè)凹透鏡；平面鏡的反射率為 80 % ，透鏡的透射率為 70 % ，忽略透鏡外表對(duì)光的反射要求從這些器件中選用最少的器件組成采光裝置試畫出你所設(shè)計(jì)的采光裝置中所選器件的位置及該裝置的光路圖，并求出所選器件的最小尺寸和透鏡焦距應(yīng)滿足的條件.九、 16 分粒子 1 和粒子 2 的靜止質(zhì)量都是 m0 ，粒子 1 靜止，粒子 2 以速度v0與粒子 1 發(fā)生彈性碰撞1.假設(shè)碰撞是斜碰，考

9、慮相對(duì)論效試論證：碰后兩粒子速度方向的夾角是銳角、直角還是鈍角假設(shè)不考慮相對(duì)論效應(yīng)結(jié)果又如何？2.假設(shè)碰撞是正碰，考慮相對(duì)論效應(yīng)，試求碰后兩粒子的速度.解答一、參考解答：1以表示第i個(gè)單擺的擺長(zhǎng)，由條件b可知每個(gè)擺的周期必須是40s的整數(shù)分之一，即 Ni為正整數(shù) 1(1)式以及下面的有關(guān)各式都是在采用題給單位條件下的數(shù)值關(guān)系.由(1)可得，各單擺的擺長(zhǎng) 2依題意，由此可得 3即 4因此，第i個(gè)擺的擺長(zhǎng)為 5i12345678910li/m0.9930.9010.8210.7510.6900.6350.5880.5450.5070.4722評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：此題15分第1小問(wèn)11分2式4分，4式4分，1

10、0個(gè)擺長(zhǎng)共3分第2小問(wèn)4分二、參考解答：設(shè)該恒星中心到恒星行星系統(tǒng)質(zhì)心的距離為，根據(jù)題意有 1將有關(guān)數(shù)據(jù)代入1式，得又根據(jù)質(zhì)心的定義有 2式中為行星繞恒星做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，即行星與恒星之間的距離.根據(jù)萬(wàn)有引力定律有 3由2、3兩式得 4假設(shè)考生用表示行星到恒星行星系統(tǒng)質(zhì)心的距離，從而把(2)式寫為，把(3)式寫為，那么同樣可得到(4)式，這也是正確的. 利用1式，可得 55式就是行星質(zhì)量所滿足的方程 可以把(5)試改寫成下面的形式6因地球繞太陽(yáng)作圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力定律可得7注意到，由6和7式并代入有關(guān)數(shù)據(jù)得 (8)由8式可知由近似計(jì)算可得9由于小于1/1000，可近似使用開普勒第三定律

11、，即10代入有關(guān)數(shù)據(jù)得 11評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：此題20分1式2分，2式3分，3式4分，5式3分，9式4分，11式4分三、參考解答：圖1hqm解法一一傾角為的直角三角形薄片(如圖1所示)緊貼于半徑為的圓柱面，圓柱面的軸線與直角三角形薄片的沿豎直方向的直角邊平行，假設(shè)把此三角形薄片卷繞在柱面上，那么三角形薄片的斜邊就相當(dāng)于題中的螺線環(huán)根據(jù)題意有 1可得， 2設(shè)在所考察的時(shí)刻，螺旋環(huán)繞其轉(zhuǎn)軸的角速度為，那么環(huán)上每一質(zhì)量為的小質(zhì)元繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)線速度的大小都一樣，用u表示， 3該小質(zhì)元對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量整個(gè)螺旋環(huán)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量 4小球沿螺旋環(huán)的運(yùn)動(dòng)可視為在水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)和沿豎直方向的直線運(yùn)動(dòng)的合成在螺旋環(huán)的角速度

12、為時(shí)，設(shè)小球相對(duì)螺旋環(huán)的速度為，那么小球在水平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的速度為5沿豎直方向的速度 6對(duì)由小球和螺旋環(huán)組成的系繞，外力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為0，系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒，故有 7由4、5、7三式得 8 在小球沿螺旋環(huán)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，有 9由3、5、6、9四式得 10解8、10二式，并利用2式得 11 12由6、12以及2式得 13或有 1414式說(shuō)明，小球在豎直方向的運(yùn)動(dòng)是勻加速直線運(yùn)動(dòng)，其加速度 15假設(shè)小球自靜止開場(chǎng)運(yùn)動(dòng)到所考察時(shí)刻經(jīng)歷時(shí)間為，那么有 16由11和16式得 1717式說(shuō)明，螺旋環(huán)的運(yùn)動(dòng)是勻加速轉(zhuǎn)動(dòng)，其角加速度 18CRm圖2小球?qū)β菪h(huán)的作用力有：小球?qū)β菪h(huán)的正

13、壓力，在圖1所示的薄片平面內(nèi)，方向垂直于薄片的斜邊；螺旋環(huán)迫使小球在水平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力的反作用力向心力在水平面內(nèi)，方向指向轉(zhuǎn)軸C，如圖2所示、兩力中只有對(duì)螺旋環(huán)的轉(zhuǎn)軸有力矩，由角動(dòng)量定理有 19由4、18式并注意到得 20而21由以上有關(guān)各式得22小球?qū)β菪h(huán)的作用力 23評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：此題22分圖1hqm1、2式共3分，7式1分，9式1分，求得11式給6分，20式5分，22式4分，23式2分解法二一傾角為的直角三角形薄片(如圖1所示)緊貼于半徑為的圓柱面，圓柱面的軸線與直角三角形薄片的沿豎直方向的直角邊平行，假設(shè)把此三角形薄片卷繞在柱面上，那么三角形薄片的斜邊就相當(dāng)于題中的螺線環(huán)根據(jù)題意

14、有 1可得， 2螺旋環(huán)繞其對(duì)稱軸無(wú)摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，環(huán)上每點(diǎn)線速度的大小等于直角三角形薄片在光滑水平地面上向左移動(dòng)的速度小球沿螺旋環(huán)的運(yùn)動(dòng)可視為在豎直方向的直線運(yùn)動(dòng)和在水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)的合成在考察圓周運(yùn)動(dòng)的速率時(shí)可以把圓周運(yùn)動(dòng)看做沿水平方向的直線運(yùn)動(dòng)，結(jié)果小球的運(yùn)動(dòng)等價(jià)于小球沿直角三角形斜邊的運(yùn)動(dòng)小球自靜止開場(chǎng)沿螺旋環(huán)運(yùn)動(dòng)到在豎直方向離初始位置的距離為的位置時(shí)，設(shè)小球相對(duì)薄片斜邊的速度為，沿薄片斜邊的加速度為薄片相對(duì)地面向左移動(dòng)的速度為，向左移動(dòng)的加速度為就是螺旋環(huán)上每一質(zhì)元繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度，假設(shè)此時(shí)螺旋環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，那么有3而就是螺旋環(huán)上每一質(zhì)元繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的切向加速度，假設(shè)此時(shí)螺旋環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)

15、的角加速度為，那么有 4小球位于斜面上的受力情況如圖2所示：重力，方向豎直向下，斜面的支持力，方向與斜面垂直，以薄片為參考系時(shí)的慣性力，方向水平向右，其大小5由牛頓定律有678解5、6、7、8四式得 9 10 11利用2式可得12 13 14由4式和14式，可得螺旋環(huán)的角加速度15假設(shè)小球自靜止開場(chǎng)運(yùn)動(dòng)到所考察時(shí)刻經(jīng)歷時(shí)間為，那么此時(shí)螺旋環(huán)的角速度 16因小球沿螺旋環(huán)的運(yùn)動(dòng)可視為在水平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)和沿豎直方向的直線運(yùn)動(dòng)的合成，而小球沿豎直方向的加速度17故有 18由15、16、17、18、以及2式得 19小球在水平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由螺旋環(huán)提供，向心力位于水平面內(nèi)，方向指向轉(zhuǎn)軸，故向心力

16、與圖2中的紙面垂直，亦即與垂直向心力的大小 20式中是小球相對(duì)地面的速度在水平面內(nèi)的分量.假設(shè)為小球相對(duì)地面的加速度在水平面內(nèi)的分量，那么有21令為在水平面內(nèi)的分量，有 22由以上有關(guān)各式得 23小球作用于螺旋環(huán)的力的大小 24由13、23和24式得 25評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：此題22分dRqwtOxyi1、2式共3分，9或12式1分，10或13式5分，11或14式1分，19式6分，23式4分，25式2分四、參考解答：以v表示粒子的速率，以B表示電流i產(chǎn)生磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，根據(jù)題意粒子作圓周運(yùn)動(dòng)的向心力為粒子受到的磁場(chǎng)洛侖茲力，因此有 1而 2由1、2兩式得3如圖建立坐標(biāo)系，那么粒子在時(shí)刻的位置，4取電流

17、的正方向與y軸的正向一致，設(shè)時(shí)刻t長(zhǎng)直導(dǎo)線上的電流為，它產(chǎn)生的磁場(chǎng)在粒子所在處磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 5方向垂直圓周所在的平面.由4、5式，可得 6評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：此題12分3式4分，4式2分，5式4分，6式2分五、參考解答：OCABRRQMqN圖11質(zhì)點(diǎn)在應(yīng)作減速運(yùn)動(dòng)參看圖1設(shè)質(zhì)點(diǎn)在A點(diǎn)的最小初動(dòng)能為，那么根據(jù)能量守恒，可得質(zhì)點(diǎn)剛好能到達(dá)B點(diǎn)的條件為 1由此可得 22 質(zhì)點(diǎn)在的運(yùn)動(dòng)有三種可能情況：i質(zhì)點(diǎn)在作加速運(yùn)動(dòng)參看圖1，對(duì)應(yīng)條件為 3此時(shí)只要質(zhì)點(diǎn)能過(guò)B點(diǎn)，也必然能到達(dá)O點(diǎn)，因此質(zhì)點(diǎn)能到達(dá)O點(diǎn)所需的最小初動(dòng)能由2式給出，即 4假設(shè)3式中取等號(hào)，那么最小初動(dòng)能應(yīng)比4式給出的略大一點(diǎn)ii質(zhì)點(diǎn)在作減速運(yùn)動(dòng)參

18、看圖1，對(duì)應(yīng)條件為 5此時(shí)質(zhì)點(diǎn)剛好能到達(dá)O點(diǎn)的條件為 6由此可得OCABRRQMqDxN圖2 7iii質(zhì)點(diǎn)在之間存在一平衡點(diǎn)D參看圖2，在質(zhì)點(diǎn)作減速運(yùn)動(dòng)，在質(zhì)點(diǎn)作加速運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)條件為 8設(shè)D到O點(diǎn)的距離為，那么 9即 10根據(jù)能量守恒，質(zhì)點(diǎn)剛好能到達(dá)D點(diǎn)的條件為 11由10、11兩式可得質(zhì)點(diǎn)能到達(dá)D點(diǎn)的最小初動(dòng)能為 12只要質(zhì)點(diǎn)能過(guò)D點(diǎn)也必然能到達(dá)O點(diǎn)，所以，質(zhì)點(diǎn)能到達(dá)O點(diǎn)的最小初動(dòng)能也就是12式嚴(yán)格講應(yīng)比12式給出的略大一點(diǎn)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：此題20分第1小問(wèn)5分求得2式給5分第2小問(wèn)15分算出第i種情況下的初動(dòng)能給2分；算出第ii種情況下的初動(dòng)能給5分；算出第iii種情況下的初動(dòng)能給8分，其中10

19、式占3分rLrLrLrLAB圖1六、參考解答：時(shí)，A、B間等效電路如圖1所示， A、B間的電阻 1AB圖2時(shí)，A、B間等效電路如圖2所示，A、B間的電阻2由1、2兩式得 (3)AB圖3時(shí)，A、B間等效電路如圖3所示，A、B間的電阻4 由3、4式得 5評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：此題20分1式4分，3式6分，5式10分七、參考解答：根據(jù)題意，太陽(yáng)輻射的總功率太陽(yáng)輻射各向同性地向外傳播設(shè)地球半徑為，可以認(rèn)為地球所在處的太陽(yáng)輻射是均勻的，故地球接收太陽(yáng)輻射的總功率為 1地球外表反射太陽(yáng)輻射的總功率為設(shè)地球外表的溫度為，那么地球的熱輻射總功率為 2考慮到溫室氣體向地球外表釋放的熱輻射，那么輸入地球外表的總功率為當(dāng)?shù)竭_(dá)熱

20、平衡時(shí)，輸入的能量與輸出的能量相等，有3由以上各式得 4代入數(shù)值，有 52當(dāng)?shù)厍蛲獗硪痪植勘槐└采w后，以表示地球外表對(duì)太陽(yáng)輻射的平均反射率，根據(jù)題意這時(shí)地球外表的平均溫度為利用4式，可求得 6設(shè)冰雪覆蓋的地外表積與總面積之比為x，那么 7由6、7兩式并代入數(shù)據(jù)得 8評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：此題15分第1小問(wèn)11分1式3分，2式1分，3式4分，4式2分，5式1分第2小問(wèn)4分6式2分，8式2分H南圖1M八、參考解答：方案一：采光裝置由平面鏡M和兩個(gè)凸透鏡L1、L2組成透鏡組置于平面鏡M后面，裝置中各元件的相對(duì)方位及光路圖如圖1所示L1、L2的直徑分別用D1、D2表示，其焦距的大小分別為f1、f2兩透鏡的距離1直徑與焦距應(yīng)滿足關(guān)系2設(shè)射入透鏡L1的光強(qiáng)為，透過(guò)透鏡L1的光強(qiáng)為，考慮到透鏡L1對(duì)光的吸收有3從透鏡L1透出的光通量等于進(jìn)入L2的光通量，對(duì)應(yīng)的光強(qiáng)與透鏡的直徑平方成反比，進(jìn)入L2的光強(qiáng)用表示，即故有4透過(guò)L2的光強(qiáng)，考慮到3式，得 5由于進(jìn)入透鏡L1的光強(qiáng)是平面鏡M的反射光的光強(qiáng)，反射光是入射光的，設(shè)射入裝置的太陽(yáng)光光強(qiáng)為，那么代入5式有 6按題設(shè)要求代入6式得從而可求得兩透鏡的焦距比為 7L2的直徑應(yīng)等于圓形窗戶的直徑W，即，由2式得 8由圖可知，