第二章隨機變量的分布和數(shù)字特征

1、 .wd.第二章 隨機變量及其數(shù)字特征一、教學(xué)要求1. 理解隨機變量的概念，掌握離散型和連續(xù)型隨機變量的描述方法，理解概率分布列和概率密度函數(shù)的概念和性質(zhì)；2. 理解分布函數(shù)的概念和性質(zhì)，會利用概率分布計算有關(guān)事件的概率；3. 會利用分布函數(shù)計算離散和連續(xù)隨機變量函數(shù)的數(shù)字特征；4. 熟練掌握退化分布、兩點分布、二項分布、幾何分布、超幾何分布、泊松分布和正態(tài)分布、指數(shù)分布、均勻分布等常用概率分布及其數(shù)字特征的計算和相關(guān)概率的求解；5. 應(yīng)用公式會求簡單隨機變量函數(shù)的概率分布及數(shù)字特征。二、重點與難點本章的重點是隨機變量概率分布及其性質(zhì)，常見的幾種分布，隨機變量函數(shù)的分布、數(shù)學(xué)期望和方差的計算；

2、難點是隨機變量函數(shù)的分布及數(shù)學(xué)期望的計算。§2.1 隨機變量及其分布一、 隨機變量1引入隨機變量的必要性1在隨機現(xiàn)象中，有很大一局部問題與數(shù)值發(fā)生關(guān)系。如：產(chǎn)品檢驗問題中，抽樣中 出現(xiàn)的廢品數(shù)；在車間供電問題中某時刻正在工作的車床數(shù)；在電訊中，某段時間的話務(wù)量等等。2有些初看起來與數(shù)值無關(guān)的隨機現(xiàn)象，也常常能聯(lián)系數(shù)值來描述。如：擲硬幣問題中，記出現(xiàn)正面時為“1，出現(xiàn)反面時為“0。注：這些例子中，試驗的 結(jié)果能用一個數(shù)字X來表示，這個數(shù)X是隨著試驗的結(jié)果的不同而變化的，也即它是樣本點的一個函數(shù)，這種量以后稱為隨機變量。2引例先看一個具體的例子:例1 袋中有3只黑球，2只白球，從中任意取

3、出3只球，觀察取出的3只球中的黑球的個數(shù)我們將3只黑球分別記作1，2，3號，2只白球分別記作4，5號，那么該試驗的樣本空間為我們記取出的黑球數(shù)為 X，那么 X 的可能取值為1，2，3因此， X 是一個變量但是， X 取什么值依賴于試驗結(jié)果，即 X的取值帶有隨機性，所以，我們稱 X 為隨機變量X 的取值情況可由下表給出：由上表可以看出，該隨機試驗的每一個結(jié)果都對應(yīng)著變量 X 的一個確定的取值，因此變量 X 是樣本空間上的函數(shù)：我們定義了隨機變量后，就可以用隨機變量的取值情況來刻劃隨機事件例如表示取出2個黑球這一事件；表示至少取出2個黑球這一事件，等等3定義 1描述性定義：定義在樣本空間上的實值函

4、數(shù)稱為隨機變量,常用大寫X,Y,Z等表示；隨機變量的取值用小寫字母x,y,z等表示。2嚴(yán)格定義：設(shè)為一概率空間，是定義在上的實值函數(shù)，假設(shè)對任一實數(shù)，那么稱為隨機變量。4.隨機變量的例子例2 上午 8:009:00 在某路口觀察，令： Y：該時間間隔內(nèi)通過的汽車數(shù) 那么 Y 就是一個隨機變量它的取值為 0，1，表示通過的汽車數(shù)小于100輛這一隨機事件；表示通過的汽車數(shù)大于 50 輛但不超過 100 輛這一隨機事件例3 觀察某生物的壽命單位：小時，令： Z：該生物的壽命那么 Z 就是一個隨機變量它的取值為所有非負(fù)實數(shù)表示該生物的壽命不超過1500小時這一隨機事件二、分布函數(shù)及其性質(zhì)1.分布函數(shù)的

5、概念定義 設(shè)為一概率空間，X為定義在其上的隨機變量,對任意實數(shù)x,稱為隨機變量X的分布函數(shù),且稱X服從,記為X.有時也可用說明是X的分布函數(shù).2.例子例4 向半徑為r的圓內(nèi)隨機拋一點,求此點到圓心之距離X的分布函數(shù),并求P(X>).解 事件“表示所拋之點落在半徑為的圓內(nèi)，故由幾何概率知從而3.分布函數(shù)的性質(zhì)定理：任一分布函數(shù)都有如下三條根本性質(zhì):1單調(diào)性:是定義在整個實數(shù)軸上的單調(diào)非減函數(shù)，即對任意的，有；2標(biāo)準(zhǔn)性:=；=。3右連續(xù)性:是x的右連續(xù)函數(shù)，即對任意的，有，即 。證明 略。注1上述三條可以作為判斷一個函數(shù)是否為分布函數(shù)的充要條件。 2有了分布函數(shù)的定義，可以計算：，等。三、離

6、散隨機變量及其分布列1離散型隨機變量的概念 假設(shè)某個隨機變量的所有可能取值是有限多個或可列無限多個，那么稱這個隨機變量為離散型隨機變量。討論隨機變量的目的是要研究其統(tǒng)計規(guī)律性，要知道離散型隨機變量X的統(tǒng)計規(guī)律必須且只須知道X的所有可能取值以及X取每一個可能值的概率。 2分布列 設(shè)X是一個離散隨機變量，如果X的所有可能取值是，那么稱X取的概率為X的概率分布列或簡稱為分布列，記為。分布列也可用以下形式表示：或3.分布列的根本性質(zhì) (1)非負(fù)性：(2)正那么性：注 1離散隨機變量的分布函數(shù)為：。2設(shè)離散型隨機變量X的分布函數(shù)為，為其連續(xù)點，k =1, 2, , 那么X的分布律為4.例子例5 設(shè)離散隨

7、機變量X的分布列為，試求，并寫出X的分布函數(shù)。解 略。例6從110這10個數(shù)字中隨機取出5個數(shù)字，令：X：取出的5個數(shù)字中的最大值試求 X 的分布列解：X 的取值為5，6，7，8，9，10并且具體寫出，即可得 X 的分布列：例7設(shè)隨機變量 X 的分布列為解：由分布列的性質(zhì)，得，所以四、連續(xù)隨機變量及其密度函數(shù)1.連續(xù)型隨機變量的概念定義設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為，如果存在實數(shù)軸上的一個非負(fù)可積函數(shù)，使得對任意，有，那么稱X為連續(xù)隨機變量，稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱為密度函數(shù)。2.密度函數(shù)的根本性質(zhì)（） 非負(fù)性：；（） 正那么性：；反過來，假設(shè)一個函數(shù)滿足上述性質(zhì)(1)和(2),那么一定是某連續(xù)型隨

8、機變量X的概率密度函數(shù)另外，對連續(xù)型隨機變量X的分布，還具有如下性質(zhì)：1。 更一般的，對一般的區(qū)間，有2連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)是連續(xù)的,但反之不真；3連續(xù)型隨機變量X取任一確定值的概率為0；即對于任意實數(shù)，；事實上，.令注：因為連續(xù)型隨機變量取任一確定值是可能的，所以,概率為零的事件未必是不可能事件；概率為1的事件也不一定是必然事件。(4) 假設(shè)在處連續(xù)，那么有3例子例8設(shè)，求:(1)常數(shù)K；(2)X的分布函數(shù)；(3)解(1)由性質(zhì)。解之得。(2)X的分布函數(shù)為3。§2.2隨機變量的數(shù)字特征概率分布能完整、全面地刻畫隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律，但是：(1)在實際應(yīng)用中概率分布常常難以準(zhǔn)確

9、地求出；(2)在實際問題中,有時關(guān)心的問題僅是隨機變量的某些統(tǒng)計特征，而不是隨機變量全面的變化規(guī)律,如測量誤差的平均誤差,評定射擊手的穩(wěn)定性的離散度等；(3)對很多重要分布，只要知道它的某些數(shù)字特征，就可以完全確定其概率分布。數(shù)字特征通常是指與隨機變量有關(guān)的，雖然不能完整地刻劃隨機變量，但卻能較為集中地反映隨機變量某些方面的重要特征的一些數(shù)值。一、隨機變量的數(shù)學(xué)期望1引例某人參加一個擲骰子游戲，規(guī)那么如下：擲得點數(shù)1點2，3點4，5，6點獲得元124求：一次游戲平均得多少錢？解：假設(shè)做了n次游戲，。每次平均得：當(dāng)n很大時，2.離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望1定義設(shè)離散隨機變量X的分布列為如果 ，那么

10、稱 為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，或稱為該分布的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值。假設(shè)級數(shù)不收斂，那么稱X的數(shù)學(xué)期望不存在。注：離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望由分布律唯一決定，其與X 取值順序無關(guān)。2例子例9設(shè)服從幾何分布，求解：由于故例10設(shè)X取(k=1,2,)對應(yīng)的概率為，證明E(X)不存在。證明且。但級數(shù)發(fā)散所以E(X)不存在，但級數(shù)(交織級數(shù)滿足Leibniz條件)(收斂) 要注意數(shù)學(xué)期望的條件：“絕對收斂。 2 連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望1） 定義設(shè)連續(xù)隨機變量X的密度函數(shù)為p(x),如果，那么稱 為X的數(shù)學(xué)期望，或稱為該分布的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望或均值。假設(shè)不收斂，那么稱X的數(shù)學(xué)期望不存在。2例子例11設(shè)

11、隨機變量X服從(-<x<+)試討論E(X)。此分布稱為Cauchy分布。解即不絕對收斂，因此數(shù)學(xué)期望E(X)不存在。設(shè)X服從區(qū)間上的均勻分布，求。例12設(shè)隨機變量X的密度函數(shù)為：求數(shù)學(xué)期望EX。解：例13 設(shè)為僅取非負(fù)整數(shù)的離散型隨機變量，假設(shè)其數(shù)學(xué)期望存在，證明：證明：由于而例14 設(shè)連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為且數(shù)學(xué)期望存在，證明證明：由均值存在得于是有以此代入的計算式即得二、隨機變量函數(shù)的分布及數(shù)學(xué)期望1.隨機變量函數(shù)的分布1離散型隨機變量函數(shù)的分布列設(shè)X一個隨機變量，分布列為 , k1, 2, 那么當(dāng)Yg(X)的所有取值為(j1, 2, )時，隨機變量Y有如下分布列：, j1

12、, 2, 其中是所有滿足的對應(yīng)的X的概率的和，即例15 設(shè)離散型隨機變量X有如下分布列，試求隨機變量的分布列。X 1357P0.50.10.150.25解Y的所有可能取值為1，5，17，。故Y的分布列為Y1517P0.10.650.252連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布(1)一般方法 設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為，(-¥<x<+¥), Y=g(X)為隨機變量X的函數(shù)，那么Y的分布函數(shù)為。從而Y的概率密度函數(shù)為例16設(shè)隨機變量求Y=3X+5的概率密度。解先求Y=3X+5的分布函數(shù)。Y的概率密度函數(shù)為例17設(shè)XU(-1,1),求的分布函數(shù)與概率密度。解當(dāng)y<0時

13、， ；當(dāng)y1時；當(dāng)0y<1時，。(2公式法一般地, 假設(shè)是嚴(yán)格單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)，那么其中h(y)為yg(x)的反函數(shù)。注：1、只有當(dāng)g(x)是x的單調(diào)可導(dǎo)函數(shù)時，才可用以上公式推求Y的密度函數(shù)；2、注意定義域的選擇。例18設(shè)X U(0,1)，求Y=aX+b的概率密度。(a0)解Y=ax+b關(guān)于x嚴(yán)格單調(diào)，反函數(shù)為，故，而，所以。補充定理：假設(shè)g(x)在不相疊的區(qū)間上逐段嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)分別為均為連續(xù)函數(shù)，那么Y=g(X)是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為例19假設(shè)，計算的密度函數(shù)。解：分段單調(diào)，在中反函數(shù)而在中反函數(shù)為故的密度函數(shù)為即。2.隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)隨機變量X 的分布，我們需要計

14、算的不是X的期望，而是X 的某個函數(shù)g(X)的期望.那么應(yīng)該如何計算呢？定理設(shè)( g為連續(xù)函數(shù) )設(shè)X為離散型隨機變量，其分布律為假設(shè)級數(shù)絕對收斂,那么g(X)的數(shù)學(xué)期望為。設(shè)X為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為,假設(shè)絕對收斂，那么g(X)的數(shù)學(xué)期望為注：該公式的重要性在于:當(dāng)我們求Eg(X )時,不必知道g ( X )的分布，而只需知道X的分布就可以了。這給求隨機變量函數(shù)的期望帶來很大方便。例20設(shè)隨機變量，求E(Y).解，分布列為其中p+q=1例21設(shè)隨機變量X 的概率密度為，求E ( 1 / X )。解：三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)性質(zhì)1.假設(shè)C是常數(shù)，那么E(C)=C. 性質(zhì)2.對任意的常數(shù)a，E(

15、aX)=aE(X)性質(zhì)3.對任意的兩個函數(shù)，有。四、隨機變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差1.方差與標(biāo)準(zhǔn)差的定義1引例甲乙兩部機床生產(chǎn)同一種機軸，軸的直徑為10mm，公差為0.2mm，即直徑在9.8mm到10.2mm的為合格品，超出范圍的均為廢品?，F(xiàn)從甲乙兩機床的產(chǎn)品中各隨機地抽取6件進(jìn)展測試，機軸的直徑的測試尺寸如下：(mm)甲9.89.910.010.010.110.2乙9.09.29.410.610.811.0易知，甲乙兩組產(chǎn)品的直徑的均值都為10.0mm，但兩組的質(zhì)量顯然差異很大，甲組全為合格品，乙組全為廢品。這里光看均值無差異，質(zhì)量的差異的原因在于兩組產(chǎn)品關(guān)于均值的離散程度不同。甲組離散程度小，質(zhì)量

16、較穩(wěn)定，乙組的離散程度大，質(zhì)量不穩(wěn)定。為衡量一個隨機變量X關(guān)于均值的離散程度，可用|X-EX|的均值來表示，稱為X的絕對離差，記作E|X-EX|，這在實際統(tǒng)計中有一定的作用。但由于絕對值得均值不易計算，常用隨機變量與均值差的平方的均值來描述離散程度。2定義假設(shè)隨機變量的數(shù)學(xué)期望存在，那么稱為隨機變量X的方差，記為稱方差的正平方根為X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為或。注：在實際計算中，通常使用如下公式3例子例22隨機變量X的分布列如下，求D(X)。解數(shù)學(xué)期望E(X)=7/8，。例23設(shè)隨機變量，求D(X)。解，。2.方差的根本性質(zhì)性質(zhì)1,其中c為常數(shù);性質(zhì)2是常數(shù)。性質(zhì)3方差最小性X為隨機變量，方差存在，那么對

17、任意不等于EX的常數(shù)C,都有證明 由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，有由于，所以故五、隨機變量的矩和切比雪夫不等式1原點矩與中心矩1假設(shè)存在，那么稱為隨機變量X的k階原點矩，簡稱k階矩(k=1,2,)，而稱為X的k階絕對原點矩；2假設(shè)存在，那么稱為隨機變量X的k階中心矩(k=1,2,)，而稱為X的k階絕對中心矩。注：一階原點矩就是數(shù)學(xué)期望；X的二階中心矩就是X的方差。例24解：令，所以，。2.矩不等式 定理1馬爾可夫不等式設(shè)X的k階矩存在，即那么對任意的，有證明：僅對連續(xù)型隨機變量的情形證之。設(shè)X是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為p(x),那么定理2切比雪夫不等式 設(shè)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望和方差都存在，那么對任意的

18、常數(shù)，有，或。證明 令，利用馬爾可夫不等式即得。推論 假設(shè)隨機變量X的方差存在，那么的充要條件是X幾乎處處為某個常數(shù)，即。證明 充分性： ，也就是，從而故必要性：由切比雪夫不等式，有故從而§2.3 常用概率分布本節(jié)主要內(nèi)容包括二項分布、泊松分布、超幾何分布、幾何分布與負(fù)二項分布正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布、分布、-分布和對數(shù)正態(tài)分布。主要介紹二項分布、泊松分布、正態(tài)分布、均勻分布和指數(shù)分布。一、離散型隨機變量1. 退化分布假設(shè)隨機變量X以概率1取某個常數(shù)a，即，那么稱X服從a處的退化分布。201分布假設(shè)隨機變量X的分布列為：P(X=k)=， k=0，1，(0<p<1)那么

19、稱X服從以p為參數(shù)的0-1分布(或兩點分布) ，記為XB(1,p)。假設(shè)某個隨機試驗的結(jié)果只有兩個，如產(chǎn)品是否合格，試驗是否成功，擲硬幣是否出現(xiàn)正面等等，它們的樣本空間為,我們總能定義一個服從0-1分布的隨機變量 即它們都可用0-1分布來描述，只不過對不同的問題參數(shù)p的值不同而已。 易知。3超幾何分布假設(shè)隨機變量X的概率分布為(k=0, 1, ,min(n, M).那么稱X服從參數(shù)為M,N,n的超幾何分布。記作XH(n,M,N).由知設(shè)有N個產(chǎn)品，其中M個不合格品。假設(shè)從中不放回地隨機抽取n個，那么其中含有的不合格品數(shù)是一個隨機變量，由古典概率計算公式有X服從參數(shù)為M、N和n的超幾何分布。4二

20、項分布i定義假設(shè)隨機變量X的分布列為其中p+q=1，那么稱X服從以n，p為參數(shù)的二項分布，記為?？梢宰C明：正好是二項式展開式的一般項，故稱二項分布。特別地，當(dāng)n=1時 (k=0,1)即為0-1分布。 ii二項分布的概率背景進(jìn)展n重Bernoulli試驗，設(shè)在每次試驗中令X：在這n次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)那么iii二項分布的分布形態(tài)假設(shè)那么由此可知，二項分布的分布先是隨著 k 的增大而增大，到達(dá)其最大值后再隨著k 的增大而減少這個使得到達(dá)最大值的稱為該二項分布的最可能次數(shù)?？梢宰C明：iv) 二項分布是超幾何分布的極限分布設(shè)隨機變量X服從超幾何分布H(n,M,N),那么當(dāng)時，X近似的服從二項分布B

21、(n,p),即下面的近似等式成立:*其中其中當(dāng)時，得所以，當(dāng)N充分大時，近似等式*成立。v)例子例25對同一目標(biāo)進(jìn)展300次獨立射擊，設(shè)每次射擊時的命中率均為0.44，試求300次射擊最可能命中幾次？其相應(yīng)的概率是多少？解：對目標(biāo)進(jìn)展300次射擊相當(dāng)于做300重Bernoulli 試驗令：X表示300次射擊命中目標(biāo)的次數(shù)。那么由題意由于它不是整數(shù)因此，最可能射擊的命中次數(shù)為其相應(yīng)的概率為例26某廠長有7個參謀，假定每個參謀奉獻(xiàn)正確意見的概率為0.6，且設(shè)參謀與參謀之間是否奉獻(xiàn)正確意見相互獨立?，F(xiàn)對某事可行與否個別征求各參謀的意見，并按多數(shù)參謀的意見作出決策，試求作出正確決策的概率。解 設(shè)X=k

22、表示事件“7個參謀中奉獻(xiàn)正確意見的人數(shù)，那么X可能取值為0，1，2，7。視作7重貝努里實驗中恰有k次發(fā)生，k個參謀奉獻(xiàn)出正確意見,XB(7,0.6)。因此X的分布列為，所求概率為VI)二項分布的數(shù)學(xué)期望與方差其中5泊松分布1定義 如果隨機變量X的分布列為，其中參數(shù)，那么稱這個分布為泊松分布，記為。易知：2泊松分布舉例 單位時間內(nèi)的 呼叫次數(shù)；候車室候車的人數(shù)；1平方米上的砂眼數(shù)等。3二項分布的極限分布 泊松(Poisson)定理 設(shè)l>0，n是正整數(shù)，假設(shè)，那么有即當(dāng)隨機變量XB(n, p)，(n0,1,2,)， n很大，p很小且np適中時，記l=np，那么對稱的，假設(shè)n很大而q=1-p

23、很小且nq適中時，有例27設(shè)每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.012，現(xiàn)射擊600次，求至少命中3次目標(biāo)的概率用Poisson分布近似計算解：設(shè) B= 600次射擊至少命中3次目標(biāo) 進(jìn)展600次射擊可看作是一600重Bernoulli試驗.X：600次射擊命中目標(biāo)的次數(shù)那么 用Poisson分布近似計算，取那么例28一批二極管的次品率為0.01,問一盒中至少裝多少只這樣的二極管才能使得至少有100個正品的概率在95%以上?解：設(shè)每箱應(yīng)裝件二極管，s是一個小整數(shù)，從而由題條件知,據(jù)題意應(yīng)有查表知故s取3符合題意，也就是說每箱應(yīng)至少裝103只二極管才能以95以上的概率正品有100個。4泊松分布的數(shù)學(xué)期望

24、與方差其中6. 幾何分布1定義設(shè)隨機變量X的可能取值是1,2,3,且其中0<p<1是參數(shù)，那么稱隨機變量X服從參數(shù)p為的幾何分布。記作2幾何分布背景隨機試驗的可能結(jié)果只有2種，A與試驗進(jìn)展到A發(fā)生為止的概率P(X=k)，即k次試驗，前k-1次失敗，第k次成功。3幾何分布的期望與方差由例9知，例29進(jìn)展獨立重復(fù)試驗，每次成功的概率為p，令X表示直到出現(xiàn)第m次成功為止所進(jìn)展的試驗次數(shù)，求X的分布列。解m=1時,m>1時，X的全部取值為：m,m+1,m+2,二、連續(xù)型隨機變量1均勻分布定義假設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為那么稱服從區(qū)間上的均勻分布，記為。均勻分布的分布函數(shù)為2均勻分布的數(shù)學(xué)期望與方差假設(shè)，那么2指數(shù)分布1定義假設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為：那么稱服從指數(shù)分布，記作。其中，參數(shù)。指數(shù)分布的分布函數(shù)為：生活中，指數(shù)分布應(yīng)用很廣像電子元件的使用壽命、 的通話時間、排隊時所需的等待時間都可用指數(shù)分布描述因此，指數(shù)分布在生存分析、可靠性理論和排隊論中有廣泛的應(yīng)用指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望與方差假設(shè)，那么。這里為失效