數(shù)學必修②點直線平面之間的位置關(guān)系全部講練學案

1、第9講 § 平面¤學習目標：能夠從日常生活實例中抽象出數(shù)學中所說的“平面”；理解平面的無限延展性；正確地用圖形和符號表示點、直線、平面以及它們之間的關(guān)系；初步掌握文字語言、圖形語言與符號語言三種語言之間的轉(zhuǎn)化；理解可以作為推理依據(jù)的三條公理.¤知識要點：1. 點在直線上,記作；點在平面內(nèi),記作；直線在平面內(nèi),記作.2. 平面基本性質(zhì)即三條公理的“文字語言”、“符號語言”、“圖形語言”列表如下：公理1公理2公理3圖形語言文字語言如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它

2、們有且只有一條過該點的公共直線.符號語言3.公理2的三條推論：推論1 經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面； 推論2 經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；推論3 經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面.¤例題精講：【例1】如果一條直線與兩條平行直線都相交,那么這三條直線是否共面？（P56 A組5題）解：根據(jù)公理2的推論3，可知兩條平行直線確定一個平面，又由公理1可知，與兩條平行直線相交的第三條直線在這個平面內(nèi)，所以一條直線與兩條平行直線都相交時，這三條直線是共面的關(guān)系.【例2】空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點，已知EF和GH交于P點，求證

3、：EF、GH、AC三線共點. （同P58 B組3題）解：PEF，EF面ABC，P面ABC. 同理P面ADC. P在面ABC與面ADC的交線上，又 面ABC面ADC=AC， PAC，即EF、HG、AC三線共點.【例3】求證：兩兩相交且不過同一個點的三條直線必在同一平面內(nèi).已知：直線兩兩相交，交點分別為，求證：直線共面. 證明：因為A，B，C三點不在一條直線上，所以過A，B，C三點可以確定平面 因為A，B，所以AB 同理BC ，AC .所以AB，BC，CA三直線共面點評：先依據(jù)公理2, 由不共線的三點確定一個平面，再依據(jù)公理1, 證三條直線在平面內(nèi). 注意文字語言給出的證明題，先根據(jù)題意畫出圖形，

4、然后給出符號語言表述的已知與求證. 常根據(jù)三條公理，進行“共面”問題的證明.【例4】在正方體中，（1）與是否在同一平面內(nèi)？（2）點是否在同一平面內(nèi)？（3）畫出平面與平面的交線，平面與平面的交線. 解：（1）在正方體中， 由公理2的推論可知，與可確定平面，與在同一平面內(nèi). （2）點不共線，由公理3可知，點可確定平面， 點在同一平面內(nèi). （3）， 點平面，平面，又平面，平面， 平面平面，同理平面平面點評：確定平面的依據(jù)有公理2（不在同一條直線上的三點）和一些推論（兩條平行直線、兩條相交直線、直線和直線外一點）. 對幾條公理的作用，我們必須十分熟練.第9練 § 平面基礎(chǔ)達標1兩個平面若有三

5、個公共點，則這兩個平面（ ）. A相交 B重合 C相交或重合 D以上都不對2下列推斷中，錯誤的是（ ）.ABCD，且A、B、C不共線重合3E、F、G、H是三棱錐A-BCD棱AB、AD、CD、CB上的點，延長EF、HG交于P，則點P（ ）. A. 一定在直線AC上 B. 一定在直線BD上 C. 只在平面BCD內(nèi) D. 只在平面ABD內(nèi)4用一個平面截一個正方體，其截面是一個多邊形，則這個多邊形邊數(shù)最多是（ ）. A. 三 B. 四 C. 六 D. 八 5下列說法中正確的是（ ）. A. 空間不同的三點確定一個平面 B. 空間兩兩相交的三條直線確定一個平面 C. 空間有三個角為直角的四邊形一定是平面

6、圖形 D. 和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi)6給出下列說法： 梯形的四個頂點共面； 三條平行直線共面； 有三個公共點的兩個平面重合； 每兩條都相交并且交點全部不同的四條直線共面. 其中說法正確的序號依次是 .7已知空間四點中無任何三點共線，那么這四點可以確定平面的個數(shù)是 . 能力提高8正方體中,E、F、G、H、K、L分別是 的中點. 求證：這六點共面9（1）在平面外，求證：P，Q，R三點共線. （2）已知四邊形ABCD中，ABCD，四條邊AB，BC，DC，AD（或其延長線）分別與平面相交于E，F(xiàn)，G，H四點，求證：四點E，F(xiàn)，G，H共線. 探究創(chuàng)新10在一封閉的正方體容器內(nèi)裝滿水

7、，M，N分別是AA1與C1D1的中點，由于某種原因，在D，M，N三點處各有一個小洞，為使此容器內(nèi)存水最多，問應(yīng)將此容器如何放置？此時水的上表面的形狀怎樣？第10講 § 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系¤學習目標：了解空間兩條直線的三種位置關(guān)系，理解異面直線的定義，掌握平行公理，掌握等角定理，掌握兩條異面直線所成角的定義及垂直.¤知識要點：1. 空間兩條直線的位置關(guān)系：2. 已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點作直線，把所成的銳角（或直角）叫異面直線所成的角（或夾角）. 所成的角的大小與點的選擇無關(guān)，為了簡便，點通常取在異面直線的一條上；異面直線所成的角的范圍為，如果兩條

8、異面直線所成的角是直角，則叫兩條異面直線垂直，記作. 求兩條異面直線所成角的步驟可以歸納為四步：選點平移定角計算.¤例題精講：【例1】已知異面直線a和b所成的角為50°，P為空間一定點，則過點P且與a、b所成角都是30°的直線有且僅有（ ）. A. 1條 B. 2條 C. 3條 D. 4條解：過P作a，b，若Pa，則取a為，若Pb，則取b為這時，相交于P點，它們的兩組對頂角分別為50°和130°. 記，所確定的平面為，那么在平面內(nèi)，不存在與，都成30°的直線 過點P與，都成30°角的直線必在平面外，這直線在平面的射影是，所成

9、對頂角的平分線其中射影是50°對頂角平分線的直線有兩條l和，射影是130°對頂角平分線的直線不存在故答案選B.【例2】如圖正方體中，E、F分別為D1C1和B1C1的中點，P、Q分別為AC與BD、A1C1與EF的交點. （1）求證：D、B、F、E四點共面；（2）若A1C與面DBFE交于點R，求證：P、Q、R三點共線.證明：（1） 正方體中，. 又 中，E、F為中點， . , 即D、B、F、E四點共面.（2） ， .又 ， ， . 即P、Q、R三點共線【例3】已知直線a/b/c，直線d與a、b、c分別相交于A、B、C，求證：a、b、c、d四線共面.證明：因為a/b，由公理2的推

10、論，存在平面，使得.又因為直線d與a、b、c分別相交于A、B、C，由公理1，.假設(shè)，則, 在平面內(nèi)過點C作，因為b/c，則，此與矛盾. 故直線.綜上述，a、b、c、d四線共面.點評：證明一個圖形屬于平面圖形，需要緊扣公理2及其三條推論，尋找題中能確定平面的已知條件. 此例拓展的證明先構(gòu)建出一個平面，然后從假設(shè)出發(fā)，推出矛盾，矛盾的原因是假設(shè)不成立，這就是證明問題的一種反證法的思路.【例4】如圖中，正方體ABCDA1B1C1D1，E、F分別是AD、AA1的中點.（1）求直線AB1和CC1所成的角的大小；（2）求直線AB1和EF所成的角的大小.解：（1）如圖，連結(jié)DC1 ， DC1AB1， DC1

11、 和CC1所成的銳角CC1D就是AB1和CC1所成的角. CC1D=45°， AB1 和CC1所成的角是45°.（2）如圖，連結(jié)DA1、A1C1， EFA1D，AB1DC1， A1DC1是直線AB1和EF所成的角. A1DC1是等邊三角形， A1DC1=60º，即直線AB1和EF所成的角是60º.點評：求解異面直線所成角時，需緊扣概念，結(jié)合平移的思想，發(fā)揮空間想象力，把兩異面直線成角問題轉(zhuǎn)化為與兩相交直線所成角，即將異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題，運用化歸思想將難化易. 解題中常借助正方體等幾何模型本身的性質(zhì)，依照選點、平移、定角、計算的步驟，逐步尋找出解答思路

12、.第10練 § 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系基礎(chǔ)達標1分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線間的位置關(guān)系是（ ）. A. 異面 B. 平行 C. 相交 D. 以上都有可能2教室內(nèi)有一把尺子，無論怎樣放置，地面上總有這樣的直線與該直尺所在直線（ ）.A平行 B垂直 C相交但不垂直 D異面3兩條直線a,b分別和異面直線c, d都相交，則直線a，b的位置關(guān)系是（ ）.A. 一定是異面直線 B. 一定是相交直線C. 可能是平行直線 D. 可能是異面直線，也可能是相交直線4把兩條異面直線稱作“一對”，在正方體的十二條棱中，異面直線的對數(shù)為（ ）.A. 12 B. 24 C. 36 D. 485正方體中，

13、AB的中點為M，的中點為N，異面直線 與CN所成的角是（ ）.A30° B90° C45° D60°EAFBCMND6如圖，正方體中，直線與所成角為_度.7右圖是正方體平面展開圖，在這個正方體中： BM與ED平行； CN與BE是異面直線； CN與BM成60º角； DM與BN垂直. 以上四個說法中，正確說法的序號依次是 . 能力提高8已知空間四邊形ABCD各邊長與對角線都相等，求AB和CD所成的角的大小. 9空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點，已知EF和GH交于P點，求證：EF、GH、AC三線共點. 探究創(chuàng)新1

14、0設(shè)異面直線a與b所成角為50°，O為空間一定點，試討論，過點O與a、b所成的角都是的直線l有且僅有幾條?第11講 § 直線與平面、平面與平面位置關(guān)系¤學習目標：了解直線與平面的三種位置關(guān)系，理解直線在平面外的概念，了解平面與平面的兩種位置關(guān)系.¤知識要點：1. 直線與平面的位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)（有無數(shù)個公共點）；（2）直線與平面相交（有且只有一個公共點）；（3）直線與平面平行（沒有公共點）. 分別記作：；.2. 兩平面的位置關(guān)系：平行（沒有公共點）；相交（有一條公共直線）.分別記作；.¤例題精講：【例1】已知空間邊邊形ABCD各邊長與

15、對角線都相等，求異面直線AB和CD所成的角的大小. 解：分別取AC、AD、BC的中點P、M、N連接PM、PN，由三角形的中位線性質(zhì)知PNAB，PMCD，于是MPN就是異面直線AB和CD成的角（如圖所示）.連結(jié)MN、DN，設(shè)AB=2， PM=PN=1.而AN=DN=，由MNAD，AM=1，得MN=，MN2=MP2+NP2，MPN=90°.異面直線AB、CD成90°角.【例2】在空間四邊形ABCD中，E、H分別是AB、AD的中點，F(xiàn)、G分別是CB、CD的中點，若AC + BD = a ，ACBD =b，求.解：四邊形EFGH是平行四邊形， =2=.ABCDEFGH【例3】已知空

16、間四邊形ABCD中，E、H分別是AB、AD的中點，F(xiàn)、G分別是BC、CD上的點，且.求證：（1）E、F、G、H四點共面；（2）三條直線EF、GH、AC交于一點. 證明：（1） 在ABD和CBD中， E、H分別是AB和CD的中點， EHBD.又 ， FGBD. EHFG. 所以，E、F、G、H四點共面.（2）由（1）可知，EHFG ，且EHFG，即直線EF，GH是梯形的兩腰，所以它們的延長線必相交于一點P. AC是EF和GH分別所在平面ABC和平面ADC的交線，而點P是上述兩平面的公共點， 由公理3知PAC. 所以，三條直線EF、GH、AC交于一點.點評：一般地，證明三線共點，可證明兩條直線的交

17、點在第三條直線上，而第三條直線又往往是兩平面的交線.【例4】如下圖，設(shè)ABC和A1B1C1的三對對應(yīng)頂點的連線AA1、BB1、CC1相交于一點O，且= .試求的值. 解：依題意，因為AA1、BB1、CC1相交于一點O，且=，所以ABA1B1，ACA1C1，BCB1C1.由平移角定理得BAC=B1A1C1，ABC=A1B1C1，ABCA1B1C1，所以=（）2=.點評：利用平移角定理，可證明空間兩個角相等或兩個三角形相似、全等；利用平行公理，可證明空間兩條直線平行，從而解決相關(guān)問題.第11練 § 直線與平面、平面與平面位置關(guān)系基礎(chǔ)達標1直線與平面不平行，則（ ）. A. 與相交 B.

18、C. 與相交或 D. 以上結(jié)論都不對2正方體各面所在平面將空間分成（ ）個部分. A. 7 B. 15 C. 21 D. 273若兩個平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，則這兩個平面的公共點個數(shù)（ ）. A. 有限個 B. 無限個C. 沒有 D. 沒有或無限個4E、F、G、H是棱錐A-BCD棱AB、AD、CD、CB上的點，延長EF、HG交于P點，則點P（ ）. A. 一定在直線AC上 B. 一定在直線BD上 C. 只在平面BCD內(nèi) D. 只在平面ABD內(nèi)5一個平面內(nèi)不共線的三點到另一個平面的距離相等且不為零，則這兩個平面（ ）. A. 平行B. 相交C. 平行或垂合D. 平行或相交6若一

19、條直線與兩個平行平面中的一個平面平行，則這條直線與另一平面的位置關(guān)系是 . 7一個平面把空間分成 部分，兩個平面可以把空間分成 部分，三個平面可以把空間分成 部分能力提高8A是BCD平面外的一點，E、F分別是BC、AD的中點，（1）求證：直線EF與BD是異面直線；（2）若ACBD，AC=BD，求EF與BD所成的角.9已知空間四邊形ABCD，E、H分別是AB、AD的中點，F(xiàn)、G分別是邊BC、DC的三等分點（如右圖），求證：（1）對角線AC、BD是異面直線；（2）直線EF和HG必交于一點，且交點在AC上.探究創(chuàng)新10空間四邊形ABCD中，P、Q、R、H分別是AB、BC、CD、DA的中點. （1）求

20、證：四邊形PQRH是平行四邊形； （2）若AC=BD，則四邊形PQRH是什么四邊形？（3）若ACBD，則四邊形PQRH是什么四邊形？（4）空間四邊形ABCD滿足什么條件時，PQRH是正方形？第12講 § 直線與平面平行的判定¤學習目標：以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中線面平行的判定，掌握直線與平面平行判定定理，掌握轉(zhuǎn)化思想“線線平行線面平行”.¤知識要點：1. 定義：直線和平面沒有公共點，則直線和平面平行.2. 判定定理：平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行. 符號表示為：. 圖形如

21、右圖所示.¤例題精講：【例1】已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，E、F分別為AB、PD的中點，求證：AF平面PEC證明：設(shè)PC的中點為G，連接EG、FG. F為PD中點， GFCD且GF=CD. ABCD， AB=CD， E為AB中點， GFAE， GF=AE， 四邊形AEGF為平行四邊形. EGAF， 又 AF平面PEC， EG平面PEC， AF平面PEC.【例2】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為棱BC、C1D1的中點. 求證：EF平面BB1D1D. 證明：連接AC交BD于O，連接OE，則OEDC， OE=DC. DCD1C1， DC=D1C1 ， F為D

22、1C1的中點， OED1F， OE=D1F， 四邊形D1FEO為平行四邊形. EFD1O. 又 EF平面BB1D1D， D1O平面BB1D1D， ABC D E F GM O EF平面BB1D1D.【例3】如圖，已知、分別是四面體 的棱、的中點，求證：平 面. 證明：如右圖，連結(jié)，交于點，連結(jié)，在中，、分別是、中點， ，為中點， 為中點，在中，、為、中點， ，又平面，平面， 平面.點評：要證明直線和平面平行，只須在平面內(nèi)找到一條直線和已知直線平行就可以了. 注意適當添加輔助線，重視中位線在解題中的應(yīng)用.【例4】如圖，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，M、N分別是AB、PC的中點（1）求

23、證：MN/平面PAD；（2）若，求異面直線PA與MN所成的角的大小.解：（1）取PD的中點H，連接AH，由N是PC的中點， NH. 由M是AB的中點， NHAM， 即AMNH為平行四邊形. . 由， .（2） 連接AC并取其中點為O，連接OM、ON， OMBC，ONPA， 所以就是異面直線PA與MN所成的角，且MONO.由，, 得OM=2，ON=所以，即異面直線PA與MN成30°的角點評：已知中點，牢牢抓住中位線得到線線平行，通過線線平行轉(zhuǎn)化為線面平行. 求兩條異面直線所成角，方法的關(guān)鍵也是平移其中一條或者兩條直線，得到相交的線線角，通過解三角形而得.第12練 § 直線與平

24、面平行的判定基礎(chǔ)達標1已知直線、, 平面, , , 那么與平面的關(guān)系是（ ）. A. B. C. 或 D. 與相交2以下說法（其中a，b表示直線，a表示平面） 若ab，bÌa，則aa 若aa，ba，則ab 若ab，ba，則aa 若aa，bÌa，則ab 其中正確說法的個數(shù)是（ ）. A. 0個 B. 1個C. 2個 D. 3個3已知a，b是兩條相交直線，aa，則b與a的位置關(guān)系是（ ）. A. ba B. b與a相交C. bD. ba或b與a相交4如果平面a外有兩點A、B，它們到平面a的距離都是a，則直線AB和平面a的位置關(guān)系一定是（ ）. A. 平行 B. 相交 C. 平行

25、或相交 D. ABÌa5如果點M是兩條異面直線外的一點，則過點M且與a，b都平行的平面（ ）. A. 只有一個B. 恰有兩個C. 或沒有，或只有一個D. 有無數(shù)個6已知P是正方體ABCD-A1B1C1D1棱DD1上任意一點，則在正方體的12條棱中，與平面ABP平行的是 . 7過三棱錐A-BCD的棱AB、BC、CD的中點M、N、P作平面MNP，三棱錐的六條棱中與平面MNP平行的是 ；若AC與BD成90°角，AC=6，BD=8，則截面四邊形的面積是 .能力提高8平面a與ABC的兩邊AB、AC分別交于D、E，且ADDB=AEEC，求證：BC平面a.9P是平行四邊形ABCD所在平面

26、外一點，E為PB的中點，O為AC，BD的交點. （1）求證：EO平面PCD ； （2）圖中EO還與哪個平面平行？探究創(chuàng)新10三角形的三條中線交于一點，該點稱為三角形的重心，且到頂點的距離等于到對邊中點距離的2倍. 這一結(jié)論叫做三角形的重心定理.在四面體ABCD中，M、N分別是面ACD、BCD的重心，在四面體的四個面中，與MN平行的是哪幾個面？試證明你的結(jié)論.第13講 § 平面與平面平行的判定¤學習目標：以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中面面平行的判定，掌握兩個平面平行的判定定理與應(yīng)用及轉(zhuǎn)化的思想.¤知識要點：面

27、面平行判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行用符號表示為：.¤例題精講：【例1】如右圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分別是C1C、B1C1、C1D1的中點，求證：平面MNP平面A1BD.證明：連結(jié)B1D1，P、N分別是D1C1、B1C1的中點， PNB1D1.又B1D1BD，PNBD. A1AB1BC1CD1DGEF又PN不在平面A1BD上，PN平面A1BD.同理，MN平面A1BD. 又PNMN=N， 平面PMN平面A1BD.【例2】正方體ABCDA1B1C1D1中（1）求證：平面A1BD平面B1D1C；（2）若E、F分別是AA

28、1，CC1的中點，求證：平面EB1D1平面FBD 證明：（1）由B1BDD1，得四邊形BB1D1D是平行四邊形，B1D1BD，又BD Ë平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，BD平面B1D1C同理A1D平面B1D1C而A1DBDD，平面A1BD平面B1CD（2）由BDB1D1，得BD平面EB1D1取BB1中點G，AEB1G從而得B1EAG，同理GFADAGDFB1EDFNMPDCQBADF平面EB1D1平面EB1D1平面FBD 【例3】已知四棱錐P-ABCD中, 底面ABCD為平行四邊形. 點M、N、Q分別在PA、BD、PD上, 且PM：MA=BN：ND=PQ：QD. 求證：平面M

29、NQ平面PBC. 證明： PM：MA=BN：ND=PQ：QD. MQ/AD，NQ/BP，而BP平面PBC，NQ 平面PBC, NQ/平面PBC.又ABCD為平行四邊形，BC/AD， MQ/BC，而BC平面PBC，MQ 平面PBC, MQ/平面PBC. 由MQNQ=Q，根據(jù)平面與平面平行的判定定理， 平面MNQ平面PBC.點評：由比例線段得到線線平行，依據(jù)線面平行的判定定理得到線面平行，證得兩條相交直線平行于一個平面后，轉(zhuǎn)化為面面平行. 一般證“面面平面”問題最終轉(zhuǎn)化為證線與線的平行.【例4】直四棱柱中，底面ABCD為正方形，邊長為2,側(cè)棱，M、N分別為A1B1、A1D1的中點，E、F分別是B1

30、C1、C1D1的中點. （1）求證：平面AMN平面EFDB；（2）求平面AMN與平面EFDB的距離. 證：（1）連接,分別交MN、EF于P、Q. 連接AC交BD于O，連接AP、OQ.由已知可得， .由已知可得，且. , . 平面AMN平面EFDB.解：（2）過作平面AMN與平面EFDB的垂線，垂足為H、H，易得.由, 根據(jù), 則 ，解得. 所以，平面AMN與平面EFDB的距離為.點評：第（1）問證面面平行，轉(zhuǎn)化途徑為“線線平行線面平行面面平行”. 第（2）問求面面距離，巧妙將中間兩個平面的距離，轉(zhuǎn)化為平面另一側(cè)某點到平面距離的比例，然后利用等體積法求距離. 等價轉(zhuǎn)化的思想在本題中十分突出，我們

31、可以用同樣的轉(zhuǎn)化思維，將此例中的兩個平面的距離，轉(zhuǎn)化為求點B到平面ABC的距離.第13練 § 平面與平面平行的判定基礎(chǔ)達標1下列說法正確的是（ ）. A. 一條直線和一個平面平行，它就和這個平面內(nèi)的任一條直線平行 B. 平行于同一平面的兩條直線平行 C. 如果一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行于另一個平面，則這兩個平面平行 D. 如果一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行2在下列條件中，可判斷平面與平行的是（ ）. A. 、都平行于直線l B. 內(nèi)存在不共線的三點到的距離相等 C. l、m是內(nèi)兩條直線，且l，m D. l、m是兩條異面直線，且l，m，l，m3下列說法正確的

32、是（ ）. A. 垂直于同一條直線的兩條直線平行 B. 平行于同一個平面的兩條直線平行 C. 平行于同一條直線的兩個平面平行 D. 平行于同一個平面的兩個平面平行4經(jīng)過平面外的兩點作該平面的平行平面可以作（ ）. A. 0個B. 1個C. 0個或1個D. 1個或2個5不在同一直線上的三點A，B，C到平面的距離相等，且A，則（ ）. A. 平面ABC B. ABC中至少有一邊平行于 C. ABC中至多有兩邊平行于 D. ABC中只可能有一條邊與平行6已知直線a、b，平面、, 且a/ b，a/，/，則直線b與平面的位置關(guān)系為 .7已知a、b、c是三條不重合直線，a、b、g是三個不重合的平面，下列說

33、法中： ac，bcab； ag，bgab； ca，cbab； ga，baab； ac，acaa； ag，agaa.其中正確的說法依次是 . 能力提高8在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，M，N，Q分別是棱A1A，A1B1，A1D1，CB，CC1，CD的中點，求證：平面EFG平面MNQ. 9兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB，且AM=FN，過M作MHAB于H，求證：（1）平面MNH/平面BCE；（2）MN平面BCE.探究創(chuàng)新10P是所在平面外一點，分別是的重心，（1）求證：平面; (2)求.第14講 § 直線與平面平行的性質(zhì)&#

34、164;學習目標：通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中線面平行的性質(zhì)，掌握直線和平面平行的性質(zhì)定理，靈活運用線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，掌握“線線”“線面”平行的轉(zhuǎn)化.¤知識要點：線面平行的性質(zhì)：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行. 即：.¤例題精講：【例1】經(jīng)過正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E，求證：E1EB1B證明： ， .又 ， .則.【例2】如圖，求證：.ABCD證明：連結(jié)，直線和可以確定一個平面，記為， 又， 四邊形為平行四邊形， .【例3】如右圖，平行四

35、邊形EFGH的分別在空間四邊形ABCD各邊上，求證：BD/平面EFGH.證明： ,平面，平面， .又 ，, .又 , .點評：轉(zhuǎn)化思維鏈是“由已知線線平行線面平行線線平行線面平行”. 此題屬于教材（必修人教A版）中第64頁的3題的演變, 同樣還可證平面.【例4】已知直線平面，直線平面，平面平面=，求證dgba_b_a證明：經(jīng)過作兩個平面和，與平面和分別相交于直線和， 平面，平面， ，又 平面，平面， 平面，又 平面，平面平面=， ， 點評：利用公理4，尋求一條直線分別與a，b均平行，從而達到ab的目的，這里借用已知條件中的a及a來實現(xiàn)證線線平行，可由公理4進行平行傳遞，也可以由線面平行的性質(zhì)及

36、后面的面面平行的性質(zhì)得到線線平行. 這里采用作輔助平面，利用線面平行的性質(zhì)得到線線平行.第14練 § 直線與平面平行的性質(zhì)基礎(chǔ)達標1已知直線l/平面，m為平面內(nèi)任一直線，則直線l與直線m的位置關(guān)系是（ ）. A. 平行B. 異面 C. 相交D. 平行或異面2梯形ABCD中AB/CD，AB平面，CD平面，則直線CD與平面內(nèi)的直線的位置關(guān)系只能是（ ）. A. 平行 B. 平行和異面 C. 平行和相交 D. 異面和相交3一條直線若同時平行于兩個相交平面，那么這條直線與這兩個平面的交線的位置關(guān)系是（ ）. A. 異面B. 相交C. 平行D. 不能確定4若直線、b均平行于平面，則與b的關(guān)系是

37、（ ）. A. 平行 B. 相交 C. 異面 D. 平行或相交或異面5已知l是過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點的平面AB1D1與下底面ABCD所在平面的交線，下列結(jié)論錯誤的是（ ）. A. D1B1l B. BD/平面AD1B1 C. l平面A1D1B1 D. lB1 C16已知正方體的棱長為1，點P是的面的中心，點Q是面的對角線上一點，且平面，則線段的長為 . 7設(shè)不同的直線a,b和不同的平面，給出下列四個說法： a，b，則ab； a, a, 則； ，則； ab,b,則a. FDBCHGEA其中說法正確的序號依次是 . 能力提高8如圖，空間四邊形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行

38、四邊形. （1）求證：CD平面EFGH；（2）如果ABCD，AB=a， CD=b是定值，求截面EFGH的面積.ABCDMNN9如右圖，直線和是異面直線，求證：.探究創(chuàng)新10如下圖，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB，點E、M分別為A1B、C1C的中點，過點A1、B、M三點的平面A1BMN交C1D1于點N.（1）求證：EM平面A1B1C1D1； （2）設(shè)截面A1BMN把該正四棱柱截成兩個幾何體的體積分別為V1、V2（V1V2，求V1V2的值.第15講 § 平面與平面平行的性質(zhì)¤學習目標：通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中面面平行的性質(zhì)，掌握面面

39、平行的性質(zhì)定理，靈活運用面面平行的判定定理和性質(zhì)定理，掌握“線線”“線面”“面面”平行的轉(zhuǎn)化.¤知識要點：1. 面面平行的性質(zhì)：如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行. 用符號語言表示為：.2. 其它性質(zhì)：； ；夾在平行平面間的平行線段相等.¤例題精講：【例1】如圖，設(shè)平面平面，AB、CD是兩異面直線，M、N分別是AB、CD的中點，且A、C，B、D. 求證：MN. 證明：連接BC，取BC的中點E，分別連接ME、NE，則MEAC， ME平面，又 NEBD， NE， 又MENE=E，平面MEN平面， MN平面MEN，MN. 【例2】如圖，A，B，C，D四點都在

40、平面a，b外，它們在a內(nèi)的射影A1，B1，C1，D1是平行四邊形的四個頂點，在b內(nèi)的射影A2，B2，C2，D2在一條直線上，求證：ABCD是平行四邊形 證明： A，B，C，D四點在b內(nèi)的射影A2，B2，C2，D2在一條直線上，A，B，C，D四點共面又A，B，C，D四點在a內(nèi)的射影A1，B1，C1，D1是平行四邊形的四個頂點，平面ABB1A1平面CDD1C1AB，CD是平面ABCD與平面ABB1A1，平面CDD1C1的交線ABCD同理ADBC 四邊形ABCD是平行四邊形【例3】如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E、F、G是側(cè)面對角線上的點，且，求證：平面EFG平面ABC.證明：作于P，連接P

41、F. 在正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面中，易知，又，所以. ，平面ABC.又 ， ， ，則平面ABC. ， 平面PEF/平面ABC. 平面PEF， EF/平面ABC. 同理，GF/平面ABC. ， 平面EFG/平面ABC.點評：將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，是解決立體幾何問題的重要策略，關(guān)鍵在于選擇或添加適當?shù)钠矫婊蚓€，并抓住一些平面圖形的幾何性質(zhì)，如比例線段等. 此題通過巧作垂線，得到所作平面與底面平行，由性質(zhì)易得線面平行，進而轉(zhuǎn)化出待證的面面平行，突出了平行問題中轉(zhuǎn)化思想.【例4】如圖，已知正方體中，面對角線，上分別有兩點E、F，且. 求證：EF平面ABCD.證明：過E、F分別作AB、BC的

42、垂線，EM、FN分別交AB、BC于M、N，連接MN. BB1平面ABCD， BB1AB，BB1BC， EMBB1，F(xiàn)NBB1， EMFN， AB1=BC1，B1E=C1F，AE=BF， 又B1AB=C1BC=45°， RtAMERtBNF，EM=FN. 四邊形MNFE是平行四邊形，EFMN. 又MN平面ABCD，EF平面ABCD. 證法二：過E作EGAB交BB1于G，連接GF， ， FGB1C1BC. 又EG=G，ABBC=B，平面EFG平面ABCD. b又EF平面EFG，EF平面ABCD. 點評：在熟知線面平行、面面平行的判定與性質(zhì)之后，空間平行問題的證明，緊緊抓住“線線平行線面平

43、行面面平行”之間的互相轉(zhuǎn)化而完成證明. 第15練 § 平面與平面平行的性質(zhì)基礎(chǔ)達標1下列說法正確的是（ ）. A. 如果兩個平面有三個公共點，那么它們重合 B. 過兩條異面直線中的一條可以作無數(shù)個平面與另一條直線平行 C. 在兩個平行平面中，一個平面內(nèi)的任何直線都與另一個平面平行 D. 如果兩個平面平行，那么分別在兩個平面中的兩條直線平行2已知， 則在內(nèi)過點B的所有直線中（ ）. A不一定存在與平行的直線 B只有兩條與平行的直線 C存在無數(shù)條與平行的直線 D存在唯一一條與平行的直線3下列說法正確的是（ ）. A. 直線外一點有且只有一個平面與已知直線平行 B. 經(jīng)過兩條平行線中一條有

44、且只有一個平面與另一條直線平行 C. 經(jīng)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面平行 D. 經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行4在正方體中，下列四對截面中，彼此平行的一對截面是（ ）. A. B. C. D. 5已知平面平面，是外一點，過點的直線與分別交于點，過點的直線與分別交于點，且，則的長為（ ）. A. B. 或 C. D. 6已知平面，有下列說法： a與內(nèi)的所有直線平行； a與內(nèi)無數(shù)條直線平行； a與內(nèi)的任意一條直線都不垂直. 其中正確的序號依次是 . 7設(shè)平面，A、C，B、D，直線AB與CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=34，則SC=_ . 能力提高8如圖，設(shè)平面平面

45、，AB、CD是兩異面直線，且A、C，B、D，ACBD，AC=6，BD=8. M是AB的中點，過點M作一個平面，交CD與N，且，求線段MN的長. 9已知平面，且，求證：探究創(chuàng)新10如圖甲，在透明塑料制成的長方體ABCDA1B1C1D1容器內(nèi)灌進一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下列四個說法：水的部分始終呈棱柱狀；水面四邊形EFGH的面積不改變；棱A1D1始終與水面EFGH平行；當容器傾斜如圖乙時，EF·BF是定值.其中正確說法的序號是_.第16講 § 直線與平面垂直的判定¤學習目標：以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，通過直觀

46、感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中線面垂直的判定，掌握直線與平面垂直的定義，理解直線與平面垂直的判定定理，并會用定義和判定定理證明直線與平面垂直的關(guān)系. 掌握線面角的定義及求解.¤知識要點：1. 定義：如果直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線與平面互相垂直，記作. 平面的垂線，直線的垂面，它們的唯一公共點叫做垂足.（線線垂直線面垂直）2. 判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這條直線與該平面垂直. 符號語言表示為：若，B，Ì，Ì，則3. 斜線和平面所成的角，簡稱“線面角”，它是平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影的夾角. 求直線和平面所成的角

47、，幾何法一般先定斜足，再作垂線找射影，然后通過解直角三角形求解，可以簡述為“作（作出線面角）證（證所作為所求）求（解直角三角形）”. 通常，通過斜線上某個特殊點作出平面的垂線段，垂足和斜足的連線是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵.¤例題精講：【例1】四面體中，分別為的中點，且，求證：平面. 證明：取的中點，連結(jié)，分別為的中點，.又，在中，又，即，平面.【例2】已知棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的中點，求直線AE與平面ABC1D1所成的角的正弦值.解：取CD的中點F，連接EF交平面于O，連AO.由已知正方體，易知平面，所以為所求.在中，.所以直線AE與平面所成的角的正弦值為.

48、【例3】三棱錐中，平面ABC，垂足為O，求證：O為底面ABC的垂心.證明：連接OA、OB、OC， 平面ABC， .又 ， ，得, O為底面ABC的垂心.點評：此例可以變式為“已知，求證”，其思路是接著利用射影是垂心的結(jié)論得到后進行證明. 三條側(cè)棱兩兩垂直時，也可按同樣的思路證出.【例4】已知，斜邊BC/平面， AB，AC分別與平面成30°和45°的角，已知BC=6，求BC到平面的距離.解：作于，于，則由，得，且就是BC到平面的距離，設(shè)，連結(jié)，則，在中，即BC到平面的距離為點評：由直線與平面的平行，直接作平面的垂線段即為線面距離. 此題通過兩條垂線段把所已知的線面角同時作出，

49、利用解直角三角形的知識和方程思想容易解決問題.第16練 § 直線與平面垂直的判定基礎(chǔ)達標1若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于（ ）. A平面OABB平面OACC平面OBCD平面ABCG2FEG3G1S2若直線平面，直線，則（ ）. ABl可能和m平行Cl和m相交D l和m不相交3在正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2、G2G3的中點，現(xiàn)沿SE、SF、EF把這個正方形折成一個四面體，使G1、G2、G3重合為點G，則有（ ）. A. SG面EFG B. EG面SEF C. GF面SEF D. SG面SEF4直線a直線b，b平面，則a與的關(guān)系是（）. AaB. aCDa或a5（04年湖南卷.理4文5）把正方形ABCD沿對角線AC折起,當以A、B、C、D四點為頂點的三棱錐體積最大時，直線BD和平面ABC所成的角的大小為（ ）. A. 90