頻域濾波器設(shè)計(數(shù)字圖像處理實驗報告)

1、數(shù)字圖像處理作業(yè) 頻域濾波器設(shè)計 摘要在圖像處理的過程中,消除圖像的噪聲干擾是一個非常重要的問題。本文利用matlab軟件,采用頻域濾波的方式,對圖像進(jìn)行低通和高通濾波處理。低通濾波是要保留圖像中的低頻分量而除去高頻分量，由于圖像中的邊緣和噪聲都對應(yīng)圖像傅里葉頻譜中的高頻部分，所以低通濾波可以除去或消弱噪聲的影響并模糊邊緣輪廓；高通濾波是要保留圖像中的高頻分量而除去低頻分量，所以高通濾波可以保留較多的邊緣輪廓信息。本文使用的低通濾波器有巴特沃斯濾波器和高斯濾波器，使用的高通濾波器有巴特沃斯濾波器、高斯濾波器、Laplacian高通濾波器以及Unmask高通濾波器。實際應(yīng)用中應(yīng)該根據(jù)實際圖像中包

2、含的噪聲情況靈活地選取適當(dāng)?shù)臑V波算法。1、 頻域低通濾波器：設(shè)計低通濾波器包括 butterworth and Gaussian (選擇合適的半徑，計算功率譜比),平滑測試圖像test1和2。實驗原理分析根據(jù)卷積定理，兩個空間函數(shù)的卷積可以通過計算兩個傅立葉變換函數(shù)的乘積的逆變換得到，如果f(x, y)和h(x, y)分別代表圖像與空間濾波器，F(xiàn)(u, v)和H(u, v)分別為響應(yīng)的傅立葉變換（H(u, v)又稱為傳遞函數(shù)），那么我們可以利用卷積定理來進(jìn)行頻域濾波。在頻域空間，圖像的信息表現(xiàn)為不同頻率分量的組合。如果能讓某個范圍內(nèi)的分量或某些

3、頻率的分量受到抑制，而讓其他分量不受影響，就可以改變輸出圖的頻率分布，達(dá)到不同的增強目的。頻域空間的增強方法的步驟：（1）將圖像從圖像空間轉(zhuǎn)換到頻域空間；（2）在頻域空間對圖像進(jìn)行增強；（3）將增強后的圖像再從頻域空間轉(zhuǎn)換到圖像空間。 低通濾波是要保留圖像中的低頻分量而除去高頻分量。圖像中的邊緣和噪聲都對應(yīng)圖像傅里葉頻譜中的高頻部分，所以低通濾波可以除去或消弱噪聲的影響并模糊邊緣輪廓。理想低通濾波器具有傳遞函數(shù)： 其中D0為制定的非負(fù)數(shù)，D(u,v)為點(u,v)到濾波器中心的距離。功率譜比的定義： 其中，為濾波前圖像的功率譜，為濾波后圖像的功率譜。頻率計算公式為：，。 Butterworth

4、濾波器設(shè)計：理想低通濾波器在數(shù)學(xué)上定義得很清楚，在計算機模擬中也可實現(xiàn)，但在截斷頻率處直上直下的理想低通濾波器是不能用實際的電子器件實現(xiàn)的。n階Butterworth低通濾波器（BLPF）的傳遞函數(shù)（截止頻率距原點的距離為 ）定義如下： （1）其中，。 （2）不同于ILPF,BLPF變換函數(shù)在通帶與被濾除的頻率之間沒有明顯的截斷。對于有平滑傳遞函數(shù)的濾波器，定義一個截止頻率的位置并使H(u，v)幅度降到其最大值的一部分。在式（1）中，當(dāng)D（u，v）=D0時，H（u，v）=0.5（從最大值降到它的50%）。一階的巴特沃斯濾波器沒有振鈴，在二階中振鈴?fù)ǔ：芪⑿?，這是因為與理想低通濾波器相比，它的通

5、帶與阻帶之間沒有明顯的跳躍，在高低頻率間的過渡比較光滑。巴特沃斯低通濾波器的處理結(jié)果比理想濾波器的要好，但階數(shù)增高時振鈴便成為一個重要因素。本次實驗中設(shè)計實現(xiàn)了二階巴特沃斯濾波器。根據(jù)以上原理設(shè)計Butterworth低通濾波器，其處理結(jié)果如下圖示： 理想低通濾波器有明顯的振鈴現(xiàn)象，而巴特沃斯濾波器的效果較好。計算得test1的功率譜比L=0.9939。test2的功率譜比為0.9902。Gaussian濾波器設(shè)計：二維高斯低通濾波器，其傳遞函數(shù)的形式為： （3）其中，。表示高斯曲線擴展的程度。使=D0，可以將濾波器表示為： （4）其中，D0是截止頻率。當(dāng)D（u，v）=D0時，濾波器下降到它最

6、大值的0.607倍處。由于高斯低通濾波器的傅里葉反變換也是高斯的，這就是說通過式（3）或式（4）的傅里葉反變換而得到的空間高斯濾波器將沒有振鈴。根據(jù)以上分析，設(shè)計Gaussian低通濾波器，處理結(jié)果如下： 可見，當(dāng)濾波器的半徑不同時，對應(yīng)的濾波效果也不同。半徑越小，平滑效果越明顯，但半徑過小，會使得圖像變得模糊不清。計算得test1（r=5）的功率譜比L= 0.4674。test2（r=5）的功率譜比為L=0.2930。2、 頻域高通濾波器：設(shè)計高通濾波器包括butterworth and Gaussian，在頻域增強邊緣。選擇半徑和計算功率譜比，測試圖像test3,4：實驗原理分析高通濾波是

7、要保留圖像中的高頻分量而除去低頻分量。理想高通濾波器傳遞函數(shù)表示為： Butterworth濾波器設(shè)計：n階Butterworth高通濾波器（BLPF）的傳遞函數(shù)（截止頻率距原點的距離為 ）定義如下： （5）其中， 。 （6）不同于ILPF,BLPF變換函數(shù)在通帶與被濾除的頻率之間沒有明顯的截斷。對于有平滑傳遞函數(shù)的濾波器，定義一個截止頻率的位置并使H(u，v)幅度降到其最大值的一部分。在式（1）中，當(dāng)D（u，v）=D0時，H（u，v）=0.5（從最大值降到它的50%）。根據(jù)以上原理設(shè)計Butterworth高通濾波器，其處理結(jié)果如下圖示： 計算得test3的功率譜比為0.0851。test4

8、的功率譜比為0.0547。Gaussian濾波器設(shè)計：二維高斯高通濾波器，其傳遞函數(shù)的形式為： （7）其中，。表示高斯曲線擴展的程度。使=D0，可以將濾波器表示為： （8）其中，D0是截止頻率。當(dāng)D（u，v）=D0時，濾波器下降到它最大值的0.607倍處。由于高斯低通濾波器的傅里葉反變換也是高斯的，這就是說通過式（7）或式（8）的傅里葉反變換而得到的空間高斯濾波器將沒有振鈴。根據(jù)以上分析，設(shè)計Gaussian高通濾波器，處理結(jié)果如下： 可見，當(dāng)濾波器的半徑不同時，對應(yīng)的濾波效果也不同。半徑越小，邊緣效果越明顯。 一般圖像中的大部分能量集中在低頻分量里，高通濾波會將很多低頻分量濾除，導(dǎo)致增強圖中

9、邊緣得到加強但光滑區(qū)域灰度減弱變暗甚至接近黑色。為解決這個問題，可對頻域里的高通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)加一個常數(shù)以將一些低頻分量加回去，獲得既保持光滑區(qū)域又改善邊緣區(qū)域?qū)Ρ榷鹊男Ч?。這樣得到的濾波器稱為高頻增強濾波器。 計算得test3（r=5）的功率譜比L= 0.0591，test4（r=5）的功率譜比為L= 0.4449。3、其他高通濾波器：拉普拉斯和Unmask，對測試圖像test3,4濾波；比較并討論空域低通高通濾波（Project3）與頻域低通和高通的關(guān)系；實驗原理分析拉普拉斯高通濾波器 公式表示如下： （9）從這個簡單的表達(dá)式可以得到： （10）所以， （11）即頻域的拉普拉斯算子可以有

10、如下濾波器實現(xiàn)： （12）前提是F(u，v)的原點在進(jìn)行圖像變換之前已通過執(zhí)行運算中心化了，使得變換中心（u,v）=(0,0)就是頻率矩形的中點（M/2，N/2）。因此。根據(jù)以上分析，設(shè)計拉普拉斯算子高通濾波器，處理結(jié)果如下：由于拉普拉斯高通濾波器將原始圖像完全加回到濾波后的結(jié)果中，因此解決了Butterworth濾波器和Gaussian濾波器除去了傅里葉變換的零頻率成分的問題，從而使得濾波后的圖像其背景的平均強度增加、變亮。但同時引入了噪聲干擾，使得濾波后的圖像有一定程度的失真。Unsharp masking高通濾波器 Unsharp masking高通濾波器模板由以下公式確定： （13）

11、（14） （15）當(dāng)K=1時，為鈍化模板；K>1時，為高頻提升濾波器。由以上算法設(shè)計Unsharp masking高通濾波器，其中使用Butterworth濾波算法實現(xiàn)，處理結(jié)果如下圖示： 可見，反銳化掩膜后的圖像邊緣信息更加清晰，但同時帶來了過度銳化的問題，出現(xiàn)了多重輪廓?？沼虻屯ǜ咄V波與頻域低通和高通的關(guān)系： 空域濾波主要包括平滑濾波和銳化濾波。平滑濾波是要濾除不規(guī)則的噪聲或干擾的影響，從頻域角度看，不規(guī)則噪聲具有較高的頻率，所以可用具有低通能力的頻域濾波器來濾除。由此可見，空域的平滑濾波對應(yīng)頻域的低通濾波。銳化濾波是要增強邊緣和輪廓處的強度，從頻域角度看，邊緣和輪廓處都具有較高的

12、頻率，所以可用具有高通能力的頻域濾波器來增強，由此可見空域的銳化濾波對應(yīng)頻域的高通濾波。附錄一、 參考文獻(xiàn)1 岡薩雷斯著.數(shù)字圖像處理(第三版).北京：電子工業(yè)出版社，20102 楊杰 李慶著.數(shù)字圖像處理及MATLAB實現(xiàn)學(xué)習(xí)與實驗指導(dǎo).北京：電子工業(yè)出版社，20103 蘇金明 王永利著.MATLAB圖形圖像. 北京：電子工業(yè)出版社，20054 朱習(xí)軍 隋思漣等著.MATLAB在信號與圖像處理中的應(yīng)用. 北京：電子工業(yè)出版社，20095 百度文庫.，2012/5/206 百度文庫.二、源代碼：頻域低通濾波器1. Butterworth低通濾波器（以處理test1.pgm為例） I= imre

13、ad('E:大三下圖像處理英文課件作業(yè)第五次作業(yè)test1.pgm','pgm');figure;subplot(1,2,1);imshow(I);title('源圖像test1.pgm');f=double(I);g=fft2(f); % 傅立葉變換g=fftshift(g); % 轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)矩陣M,N=size(g);nn=2; % 二階巴特沃斯(Butterworth)低通濾波器d0=50;m=fix(M/2); n=fix(N/2);for i=1:M for j=1:N d=sqrt(i-m)2+(j-n)2); h1=1/(1+0.41

14、4*(d/d0)(2*nn); % 計算低通濾波器傳遞函數(shù) result1(i,j)=h1*g(i,j); endendresult1=ifftshift(result1);J2=ifft2(result1);J3=uint8(real(J2);subplot(1,2,2);imshow(J3);title('低通濾波圖test1.pgm'); % 顯示濾波處理后的圖像S=0;S1=0;for i=1:M for j=1:N L=(abs(result1(I,j)2; %計算結(jié)果圖像的功率譜 S=S+L; endendfor i=1:M for j=1:N L1=(abs(g(

15、I,j)2; %計算源圖像的功率譜 S1=S1+L1; endendL=S/S1 %計算功率譜比2、Gaussian低通濾波器（以處理test1.pgm為例）I=imread('E:大三下圖像處理英文課件作業(yè)第五次作業(yè)test1.pgm');subplot(1,2,1);imshow(I);title('源圖像test1.pgm');r=5;Im=double(I);F=fft2(Im);F_result=fftshift(F);g=F_result;m,n=size(F_result);M=fix(m/2);N=fix(n/2);for u=1:m for v

16、=1:n D=sqrt(u-M)2+(v-N)2); H=exp(-D2/(2*r2); F_result(u,v)=F_result(u,v)*H; endendG_result=ifftshift(F_result);g_result=ifft2(G_result);f=real(g_result);f=uint8(f);subplot(1,2,2);imshow(f);title('Gaussian低通濾波后的test1.pgm(r=5)');S=0;S1=0;for i=1:M for j=1:N L=(abs(F_result(i,j)2; %計算結(jié)果圖像的功率譜 S

17、=S+L; endendfor i=1:M for j=1:N L1=(abs(g(i,j)2; %計算源圖像的功率譜 S1=S1+L1; endendL=S/S1 %計算功率譜比頻域高通濾波器 1、 Butterworth濾波器（以處理test3_corrupt.pgm為例）I= imread('E:大三下圖像處理英文課件作業(yè)第五次作業(yè)test3_corrupt.pgm','pgm');figure;subplot(1,2,1);imshow(I); title('源圖像test3_corrupt.pgm');f=double(I); % 數(shù)據(jù)

18、類型轉(zhuǎn)換，MATLAB不支持圖像的無符號整型的計算g=fft2(f); % 傅立葉變換g=fftshift(g); % 轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)矩陣M,N=size(g);nn=2; % 二階巴特沃斯(Butterworth)高通濾波器d0=5;m=fix(M/2);n=fix(N/2);for i=1:M for j=1:N d=sqrt(i-m)2+(j-n)2); if (d=0) h2=0; else h2=1/(1+0.414*(d0/d)(2*nn);% 計算傳遞函數(shù) endresult2(i,j)=h2*g(i,j);endendresult3=ifftshift(result2);J4=iff

19、t2(result3);J5=uint8(real(J4);subplot(1,2,2);imshow(J5);title('高通濾波圖test3_corrupt.pgm'); % 濾波后圖像顯示S=0;S1=0;for i=1:M for j=1:N L=(abs(result2 (i,j)2; %計算結(jié)果圖像的功率譜 S=S+L; endendfor i=1:M for j=1:N L1=(abs(g(i,j)2; %計算源圖像的功率譜 S1=S1+L1; endendL=S/S1 %計算功率譜比2、Gaussian濾波器（以處理test3_corrupt.pgm為例）I=

20、imread('E:大三下圖像處理英文課件作業(yè)第五次作業(yè)test3_corrupt.pgm'); subplot(1,2,1);imshow(I);title('源圖像test1.pgm');r=5;Im=double(I);F=fft2(Im);F_result=fftshift(F);g= F_result；m,n=size(F_result);M=fix(m/2);N=fix(n/2);for u=1:m for v=1:n D=sqrt(u-M)2+(v-N)2); H=1-exp(-D2/(2*r2); F_result(u,v)=F_result(u

21、,v)*H; endendG_result=ifftshift(F_result);g_result=ifft2(G_result);f=real(g_result);f=uint8(f);subplot(1,2,2);imshow(f);title('Gaussian低通濾波后的test3_corrupt.pgm (r=5)');S=0;S1=0;for i=1:M for j=1:N L=(abs(F_result (i,j)2; %計算結(jié)果圖像的功率譜 S=S+L; endendfor i=1:M for j=1:N L1=(abs(g(i,j)2; %計算源圖像的功率譜

22、 S1=S1+L1; endendL=S/S1 %計算功率譜比3、 Laplacian濾波器（以處理test3_corrupt.pgm為例）I= imread('E:大三下圖像處理英文課件作業(yè)第五次作業(yè)test3_corrupt.pgm','pgm');figure;subplot(1,2,1);imshow(I);title('源圖像test3_corrupt.pgm');f=double(I);g=fft2(f); % 傅立葉變換g=fftshift(g); % 轉(zhuǎn)換數(shù)據(jù)矩陣M,N=size(g);m=fix(M/2); n=fix(N/2);for i=1:M for j=1:N H=1+4*pi2*(i-m)2+(j-n)2); % 計算高通濾波器傳遞函數(shù) result1(i,j)=H*g(i,j); e