線性代數(shù)知識點匯總(共6頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第一章 矩陣矩陣的概念：（零矩陣、負矩陣、行矩陣、列矩陣、n階方陣、相等矩陣)矩陣的運算：加法（同型矩陣）-交換、結合律 數(shù)乘-分配、結合律 乘法 （一般AB=BA，不滿足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0） 轉置： 方冪： 逆矩陣：設A是N階方陣，若存在N階矩陣B的AB=BA=I則稱A是可逆的， 且矩陣的逆矩陣滿足的運算律： 1、可逆矩陣A的逆矩陣也是可逆的，且 2、可逆矩陣A的數(shù)乘矩陣kA也是可逆的，且 3、可逆矩陣A的轉置也是可逆的，且 4、兩個可逆矩陣A與B的乘積AB也是可逆的，且，但是兩個可逆矩陣A與B的和A+B不一定可逆，即使可逆，但。A為N階方陣，

2、若|A|=0，則稱A為奇異矩陣，否則為非奇異矩陣。 5、若A可逆，則逆矩陣注：AB=BA=I則A與B一定是方陣 BA=AB=I則A與B一定互逆； 不是所有的方陣都存在逆矩陣；若A可逆，則其逆矩陣是唯一的。分塊矩陣：加法，數(shù)乘，乘法都類似普通矩陣轉置：每塊轉置并且每個子塊也要轉置 注：把分出來的小塊矩陣看成是元素初等變換：1、交換兩行（列）2.、非零k乘某一行（列）3、將某行（列）的K倍加到另一行（列）初等變換不改變矩陣的可逆性，初等矩陣都可逆初等矩陣：單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣等價標準形矩陣第二章 行列式N階行列式的值：行列式中所有不同行、不同列的n個元素的乘積的和 行列式的性質(zhì)：行列

3、式行列互換，其值不變。（轉置行列式） 行列式中某兩行（列）互換，行列式變號。 推論：若行列式中某兩行（列）對應元素相等，則行列式等于零。 常數(shù)k乘以行列式的某一行（列），等于k乘以此行列式。 推論：若行列式中兩行（列）成比例，則行列式值為零； 推論：行列式中某一行（列）元素全為零，行列式為零。 行列式具有分行（列）可加性 將行列式某一行（列）的k倍加到另一行（列）上，值不變行列式依行（列）展開：余子式、代數(shù)余子式 定理：行列式中某一行的元素與另一行元素對應余子式乘積之和為零。 克萊姆法則： 非齊次線性方程組 ：當系數(shù)行列式時，有唯一解：齊次線性方程組 ：當系數(shù)行列式時，則只有零解 （逆否命題：

4、若方程組存在非零解，則D等于零） 特殊行列式：轉置行列式：對稱行列式:反對稱行列式: 奇數(shù)階的反對稱行列式值為零三階線性行列式: 解法：用把化為零，?；癁槿切涡辛惺缴希ㄏ拢┤切涡辛惺降谌?矩陣的秩與線性方程組矩陣的秩r(A)： 若A可逆，則滿秩 若A是非奇異矩陣，則r（AB）=r（B） 初等變換不改變矩陣的秩 求法：1.定義；2.轉化為標準式或階梯形伴隨矩陣：A為N階方陣，伴隨矩陣： 特殊矩陣的逆矩陣： 1、分塊矩陣 則 2、準對角矩陣， 則 3、 4、（A可逆） 5、 6、（A可逆） 7、 8、判斷矩陣是否可逆：充要條件是，此時求逆矩陣的方法：定義法伴隨矩陣法初等變換法 ,只能是行變換

5、。初等矩陣與矩陣乘法的關系： 設是m*n階矩陣，則對A的行實行一次初等變換得到的矩陣，等于用同等的m階初等矩陣左乘以A：對A的列實行一次初等變換得到的矩陣，等于用同種n階初等矩陣右乘以A （行變左乘，列變右乘） 線性方程組解的判定：非齊次線性方程組：增廣矩陣簡化階梯型矩陣 r(AB)=r(B)=r 當r=n時，有唯一解；當時，有無窮多解 r(AB)r(B)，無解齊次線性方程組：僅有零解充要r(A)=n有非零解充要r(A)<n 當齊次線性方程組方程個數(shù)<未知量個數(shù)，一定有非零解 當齊次線性方程組方程個數(shù)=未知量個數(shù)，有非零解充要|A|=0 齊次線性方程組若有零解，一定是無窮多個N維向

6、量：由n個實數(shù)組成的n元有序數(shù)組。希臘字母表示（加法數(shù)乘）特殊的向量：行（列）向量，零向量，負向量，相等向量，轉置向量向量間的線性關系: 線性組合或線性表示向量組的秩： 定理：如果是向量組的線性無關的部分組，則它是 極大無關組的充要條件是：中的每一個向量都可由線性表出。 秩:極大無關組中所含的向量個數(shù)。 定理：設A為m*n矩陣，則的充要條件是：A的列（行）秩為r。線性組合或線性表示注：兩個向量，若則是的線性組合 任意向量都是單位向量組的線性組合零向量是任意向量組的線性組合任意向量組中的一個都是他本身的線性組合向量組間的線性相關注：1. n個n維單位向量組一定是線性無關2. 一個非零向量是線性無

7、關，零向量是線性相關3含有零向量的向量組一定是線性相關4.若兩個向量成比例，則他們一定線性相關向量可由線性表示的充要條件是 判斷向量組是否線性相關的方法：1、定義法：設，求2、 向量間關系法：部分相關則整體相關，整體無關則部分無關3、 分量法（n個m維向量組）：4、 線性相關（充要） 線性無關（充要） 推論當m=n時，相關，則；無關，則 當m<n時，線性相關推廣：若向量組線性無關，則當s為奇數(shù)時，向量組 也線性無關；當s為偶數(shù)時，向量組也線性相關。 定理：如果向量組線性相關，則向量可由向量組線性表出，且 表示法唯一的充分必要條件是線性無關。極大無關組注：向量組的極大無關組不是唯一的，但他

8、們所含向量的個數(shù)是確定的； 不全為零的向量組的極大無關組一定存在； 無關的向量組的極大無關組是其本身； 向量組與其極大無關組是等價的。第四章 向量空間向量的內(nèi)積 定義：（，）=性質(zhì)：非負性、對稱性、線性性 (,k)=k(,); (k,k)=(,); (+,)=(,)+(,)+(,)+(,); ,向量的長度： 的充要條件是=0；是單位向量的充要條件是（，）=1正交向量：，是正交向量的充要條件是（，）=0正交的向量組必定線性無關正交矩陣：階矩陣性質(zhì)：1、若A為正交矩陣，則可逆，且，且也是正交矩陣；、若A為正交矩陣，則；、若A、為同階正交矩陣，則也是正交矩陣；、階矩陣（）是正交矩陣的充要條件是的列（行）向量組是 標準正交向量；線性方程組解的結構：齊次非齊次、基礎解系齊次線性方程組（I）解的結構：解為 （I）的兩個解的和仍是它的解； （I）解的任意倍數(shù)還是它的解； （I）解的線性組合也是它的解，是任意常數(shù)。非齊次線性方程組（II）解的結構：解為 （II）的兩個解的差仍是它的解； 若是非齊次線性方程組AX=B的一個解，v是其導出