高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例設(shè)計(jì)匯編(下)

1、高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例設(shè)計(jì)匯編（下 部）19、正弦定理（2） 一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容安排在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修5（人教A版）第一章，正弦定理第一課時(shí)，是在高二學(xué)生學(xué)習(xí)了三角等知識(shí)之后，顯然是對(duì)三角知識(shí)的應(yīng)用；同時(shí)，作為三角形中的一個(gè)定理，也是對(duì)初中解直角三角形內(nèi)容的直接延伸，因而定理本身的應(yīng)用又十分廣泛。根據(jù)實(shí)際教學(xué)處理，正弦定理這部分內(nèi)容共分為三個(gè)層次：第一層次教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)際問(wèn)題的探索，并大膽提出猜想；第二層次由猜想入手，帶著疑問(wèn)，以及特殊三角形中邊角的關(guān)系的驗(yàn)證，通過(guò)“作高法”、“等積法”、“外接圓法”、“ 向量法”等多種方法證明正弦定理，驗(yàn)證猜想的正確性，并得到三角形面

2、積公式；第三層次利用正弦定理解決引例，最后進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。學(xué)生通過(guò)對(duì)任意三角形中正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)和證明，感受“觀察實(shí)驗(yàn)猜想證明應(yīng)用”這一思維方法，養(yǎng)成大膽猜想、善于思考的品質(zhì)和勇于求真的精神。二、學(xué)情分析對(duì)普高高二的學(xué)生來(lái)說(shuō)，已學(xué)的平面幾何，解直角三角形，三角函數(shù)，向量等知識(shí)，有一定觀察分析、解決問(wèn)題的能力，但對(duì)前后知識(shí)間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。根據(jù)以上特點(diǎn)，教師恰當(dāng)引導(dǎo)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性，多加以前后知識(shí)間的聯(lián)系，帶領(lǐng)學(xué)生直接參與分析問(wèn)題、解決問(wèn)題并品嘗勞動(dòng)成果的喜悅。三、設(shè)計(jì)思想：本節(jié)課采用探究式課堂教學(xué)模式，即在教學(xué)過(guò)程中，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生獨(dú)立

3、自主和合作交流為前提，以問(wèn)題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)教學(xué)情境，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明”為基本探究?jī)?nèi)容，為學(xué)生提供充分自由表達(dá)、質(zhì)疑、探究、討論問(wèn)題的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生通過(guò)個(gè)人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動(dòng)，在知識(shí)的形成、發(fā)展過(guò)程中展開(kāi)思維，逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探索問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)造性思維的能力。四、教學(xué)目標(biāo)：1讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā), 通過(guò)對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的探索，共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，實(shí)驗(yàn)，猜想，驗(yàn)證，證明，由特殊到一般歸納出正弦定理，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法，理解三角形面積公式，并學(xué)會(huì)運(yùn)用正弦定理解決解斜三角形的兩類(lèi)基本問(wèn)題。2通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題

4、的探索，培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的協(xié)作能力和交流能力，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維的能力。3通過(guò)學(xué)生自主探索、合作交流，親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于發(fā)現(xiàn)、不畏艱辛的創(chuàng)新品質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的成功心理，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。4培養(yǎng)學(xué)生合情合理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)平面幾何、三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來(lái)體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明；正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的猜想提出過(guò)程。教學(xué)準(zhǔn)備：制作多媒體課件，學(xué)生準(zhǔn)備計(jì)算器，直尺，量角器。六、教學(xué)過(guò)程：（一）

5、結(jié)合實(shí)例，激發(fā)動(dòng)機(jī)師生活動(dòng)：教師：展示情景圖如圖1，船從港口B航行到港口C，測(cè)得BC的距離為，船在港口C卸貨后繼續(xù)向港口A航行，由于船員的疏忽沒(méi)有測(cè)得CA距離，如果船上有測(cè)角儀我們能否計(jì)算出A、B的距離？學(xué)生：思考提出測(cè)量角A，C 教師：若已知測(cè)得， ，要計(jì)算A、B兩地距離，你 （圖1）有辦法解決嗎？學(xué)生：思考交流，畫(huà)一個(gè)三角形，使得為6cm， ，量得距離約為4.9cm，利用三角形相似性質(zhì)可知AB約為490m。老師：對(duì)，很好，在初中，我們學(xué)過(guò)相似三角形，也學(xué)過(guò)解直角三角形，大家還記得嗎？師生：共同回憶解直角三角形，直角三角形中，已知兩邊，可以求第三邊及兩個(gè)角。直角三角形中，已知一邊和一角，可以

6、求另兩邊及第三個(gè)角。教師：引導(dǎo)，是斜三角形，能否利用解直角三角形，精確計(jì)算AB呢？學(xué)生：思考，交流，得出過(guò)作于如圖2，把分為兩個(gè)直角三角形，解題過(guò)程，學(xué)生闡述，教師板書(shū)。解：過(guò)作于（圖2）在中，在中，教師：表示對(duì)學(xué)生贊賞，那么剛才解決問(wèn)題的過(guò)程中，若，能否用、表示呢？教師：引導(dǎo)學(xué)生再觀察剛才解題過(guò)程。學(xué)生：發(fā)現(xiàn)，教師：引導(dǎo)，在剛才的推理過(guò)程中，你能想到什么？你能發(fā)現(xiàn)什么？學(xué)生：發(fā)現(xiàn)即然有，那么也有，。教師：引導(dǎo)，我們習(xí)慣寫(xiě)成對(duì)稱(chēng)形式，因此我們可以發(fā)現(xiàn)，是否任意三角形都有這種邊角關(guān)系呢？設(shè)計(jì)意圖：興趣是最好的老師。如果一節(jié)課有良好的開(kāi)頭，那就意味著成功的一半。因此，我通過(guò)從學(xué)生日常生活中的實(shí)際問(wèn)

7、題引入，激發(fā)學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)生的求知欲，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題，在解決問(wèn)題后，對(duì)特殊問(wèn)題一般化，得出一個(gè)猜測(cè)性的結(jié)論猜想，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般思想意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力。（二）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證猜想教師：給學(xué)生指明一個(gè)方向，我們先通過(guò)特殊例子檢驗(yàn)是否成立，舉出特例。（1）在ABC中，A，B，C分別為，對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)a：b：c為1：1：1，對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為，引導(dǎo)學(xué)生考察，的關(guān)系。（學(xué)生回答它們相等） （2）、在ABC中，A，B，C分別為，對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)a：b：c為1：1：，對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為，1；（學(xué)生回答它們相等） （3）、在ABC中，A，B，C分別為，對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)a：b：c為1：2，

8、對(duì)應(yīng)角的正弦值分別為，1。（學(xué)生回答它們相等）（圖3） （圖3）教師：對(duì)于呢？BaACcb(圖4)學(xué)生：思考交流得出，如圖4，在RtABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,則有，又,則從而在直角三角形ABC中，教師：那么任意三角形是否有呢？學(xué)生按事先安排分組，出示實(shí)驗(yàn)報(bào)告單，讓學(xué)生閱讀實(shí)驗(yàn)報(bào)告單，質(zhì)疑提問(wèn)：有什么不明白的地方或者有什么問(wèn)題嗎？（如果學(xué)生沒(méi)有問(wèn)題，教師讓學(xué)生動(dòng)手計(jì)算，附實(shí)驗(yàn)報(bào)告單。）學(xué)生：分組互動(dòng)，每組畫(huà)一個(gè)三角形，度量出三邊和三個(gè)角度數(shù)值，通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)計(jì)算，比較、的近似值。 教師：借助多媒體演示隨著三角形任意變換，、值仍然保持相等。我們猜想：=設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，激

9、起學(xué)生的好奇心和求知欲望。學(xué)生自己進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，體會(huì)到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的歸納和演繹推理的兩個(gè)側(cè)面。（三）證明猜想，得出定理師生活動(dòng)：教師：我們雖然經(jīng)歷了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，多媒體技術(shù)支持，對(duì)任意的三角形，如何用數(shù)學(xué)的思想方法證明呢？前面探索過(guò)程對(duì)我們有沒(méi)有啟發(fā)？學(xué)生分組討論，每組派一個(gè)代表總結(jié)。（以下證明過(guò)程，根據(jù)學(xué)生回答情況進(jìn)行敘述）學(xué)生：思考得出在中，成立，如前面檢驗(yàn)。在銳角三角形中，如圖5設(shè)，作：，垂足為在中，（圖5）在中，同理，在中， 在鈍角三角形中，如圖6設(shè)為鈍角，作交的延長(zhǎng)線于（圖6）在中，在中，同銳角三角形證明可知 教師：我們把這條性質(zhì)稱(chēng)為正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即還有

10、其它證明方法嗎？學(xué)生：思考得出，分析圖形（圖7），對(duì)于任意ABC，由初中所學(xué)過(guò)的面積公式可以得出：，而由圖中可以看出：，=等式中均除以后可得， 即。教師邊分析邊引導(dǎo)學(xué)生，同時(shí)板書(shū)證明過(guò)程。(圖7)ABCDEFbac（圖7） 在剛才的證明過(guò)程中大家是否發(fā)現(xiàn)三角形高，三角形的面積：，能否得到新面積公式學(xué)生：得到三角形面積公式教師：大家還有其他的證明方法嗎？比如：、都等于同一個(gè)比值，那么它們也相等，這個(gè)到底有沒(méi)有什么特殊幾何意義呢？（圖8）學(xué)生：在前面的檢驗(yàn)中，中，恰為外接接圓的直徑，即，所以作的外接圓，為圓心，連接并延長(zhǎng)交圓于，把一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形。證明：連續(xù)并延長(zhǎng)交圓于， 在中，即同理可

11、證：，教師：從剛才的證明過(guò)程中, ，顯示正弦定理的比值等于三角形外接圓的直徑，我們通過(guò)“作高法”、“等積法”、“外接圓法”等平面幾何方法證明正弦定理，能否利用其他知識(shí)來(lái)證明正弦定理？比如，在向量中，我也學(xué)過(guò)，這與邊的長(zhǎng)度和三角函數(shù)值有較為密切的聯(lián)系，是否能夠利用向量積來(lái)證明正弦定理呢？學(xué)生：思考（聯(lián)系作高的思想）得出：在銳角三角形中，作單位向量垂直于，（圖9）即同理：對(duì)于鈍角三角形，直角三角形的情況作簡(jiǎn)單交代。教師：由于時(shí)間有限，對(duì)正弦定理的證明到此為止，有興趣的同學(xué)回家再探索。設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)歷證明猜想的過(guò)程，進(jìn)一步引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)論證猜想，力圖讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程。（四）利用

12、定理，解決引例師生活動(dòng)：教師：現(xiàn)在大家再用正弦定理解決引例中提出的問(wèn)題。學(xué)生：馬上得出在中，（五）了解解三角形概念設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生了解解三角形概念，形成知識(shí)的完整性教師：一般地，把三角形的三個(gè)角、和它們的對(duì)邊、叫做三角形的元素，已知，三角形的幾個(gè)元素，求其他元素的過(guò)程叫做解三角形。設(shè)計(jì)意圖：利用正弦定理，重新解決引例，讓學(xué)生體會(huì)用新的知識(shí)，新的定理，解決問(wèn)題更方便，更簡(jiǎn)單，激發(fā)學(xué)生不斷探索新知識(shí)的欲望。（六）運(yùn)用定理，解決例題師生活動(dòng)：教師：引導(dǎo)學(xué)生從分析方程思想分析正弦定理可以解決的問(wèn)題。學(xué)生：討論正弦定理可以解決的問(wèn)題類(lèi)型：如果已知三角形的任意兩個(gè)角與一邊，求三角形的另一角和另兩邊，如；如

13、果已知三角形任意兩邊與其中一邊的對(duì)角，求另一邊與另兩角，如。師生：例1的處理，先讓學(xué)生思考回答解題思路，教師板書(shū)，讓學(xué)生思考主要是突出主體，教師板書(shū)的目的是規(guī)范解題步驟。例1：在中，已知，解三角形。分析“已知三角形中兩角及一邊，求其他元素”，第一步可由三角形內(nèi)角和為求出第三個(gè)角C，再由正弦定理求其他兩邊。例2：在中，已知，解三角形。例2的處理，目的是讓學(xué)生掌握分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，可先讓中等學(xué)生講解解題思路，其他同學(xué)補(bǔ)充交流學(xué)生：反饋練習(xí)（教科書(shū)第5頁(yè)的練習(xí)）用實(shí)物投影儀展示學(xué)生中解題步驟規(guī)范的解答。設(shè)計(jì)意圖：自己解決問(wèn)題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和動(dòng)力，使學(xué)生體驗(yàn)到成功的愉悅感，變“要我學(xué)”為“我要

14、學(xué)”，“我要研究”的主動(dòng)學(xué)習(xí)。（七）嘗試小結(jié)：教師：提示引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容。學(xué)生：思考交流，歸納總結(jié)。師生：讓學(xué)生嘗試小結(jié)，教師及時(shí)補(bǔ)充，要體現(xiàn)：（1）正弦定理的內(nèi)容（）及其證明思想方法。（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：已知三角形中兩角及一邊，求其他元素；已知三角形中兩邊和其中一邊所對(duì)的角，求其他元素。（3）分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生的總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)能力和語(yǔ)言表達(dá)能力。（八）作業(yè)設(shè)計(jì)作業(yè)：第10頁(yè)習(xí)題1.1A組第1、2題。思考題：例2：在中，已知，解三角形。例2中分別改為，并解三角形，觀察解的情況并解釋出現(xiàn)一解，兩解，無(wú)解的原因。課外鏈接：課后通過(guò)查閱相關(guān)書(shū)籍，上網(wǎng)搜

15、索，了解關(guān)于正弦定理的發(fā)展及應(yīng)用（相關(guān)網(wǎng)址：）七、設(shè)計(jì)思路：本節(jié)課，學(xué)生在不知正弦定理內(nèi)容和證明方法的前提下，在教師預(yù)設(shè)的思路中，學(xué)生積極主動(dòng)參與一個(gè)個(gè)相關(guān)聯(lián)的探究活動(dòng)過(guò)程，通過(guò)“觀察實(shí)驗(yàn)歸納猜想證明”的數(shù)學(xué)思想方法發(fā)現(xiàn)并證明定理，讓學(xué)生經(jīng)歷了知識(shí)形成的過(guò)程，感受到創(chuàng)新的快樂(lè)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。其次，以問(wèn)題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)教學(xué)情境，促使學(xué)生去思考問(wèn)題，去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，讓學(xué)生在“活動(dòng)”中學(xué)習(xí)，在“主動(dòng)”中發(fā)展，在“合作”中增知，在“探究”中創(chuàng)新。1、 結(jié)合實(shí)例，激發(fā)動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)源于現(xiàn)實(shí)，從學(xué)生日常生活中的實(shí)際問(wèn)題引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生利用已有的知識(shí)解決新的問(wèn)題，方法一通過(guò)相似三角形相似比

16、相等進(jìn)行計(jì)算，方法二轉(zhuǎn)化解直角三角形。讓學(xué)在解決問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，提出猜想，使學(xué)生在觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、推理等活動(dòng)中，逐步形成創(chuàng)新意識(shí)。2、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證猜想通過(guò)特例檢驗(yàn)，讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，提高了學(xué)生實(shí)驗(yàn)操作、分析思考和抽象概括的能，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲望，體會(huì)到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的歸納和演繹推理的兩個(gè)側(cè)面。3、證明猜想，得出定理引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生從角度進(jìn)行證明定理，展示自己的知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的興趣，愛(ài)好，在知識(shí)的形成、發(fā)展過(guò)程中展開(kāi)思維，培養(yǎng)推理的意識(shí)。附一：實(shí)驗(yàn)報(bào)告單組長(zhǎng):組員：試驗(yàn)?zāi)康难芯咳切沃懈鬟吅退鼘?duì)角的正弦值的比(，)是否相等。實(shí)驗(yàn)器材計(jì)算器，直尺，量角器，硬紙板（由

17、老師統(tǒng)一發(fā)）實(shí)驗(yàn)方法畫(huà)一個(gè)任意三角形，量取三邊和三個(gè)角的值，并計(jì)算。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容三邊：a= b= c= 三角：A= B= C= 計(jì)算：= = = （精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）結(jié)論：福安一中 陳楨仔 林旭點(diǎn)評(píng)：本節(jié)定理教學(xué)課，教師把重點(diǎn)放在定理的發(fā)現(xiàn)與證明上，符合新課標(biāo)重視過(guò)程與方法的理念，克服了傳統(tǒng)教學(xué)只注重結(jié)論的傾向。首先，利用解決一個(gè)可測(cè)量?jī)山且粚?duì)邊，求另一對(duì)邊的實(shí)際問(wèn)題引入，在解決實(shí)際問(wèn)題中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“三角形三邊與其對(duì)應(yīng)角的正弦值的比相等”的規(guī)律；通過(guò)對(duì)特殊三角形的驗(yàn)證，大膽猜想對(duì)任意三角形成立；接著證明了這個(gè)定理。在課堂上展示了定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，使學(xué)生感受到創(chuàng)新的快樂(lè)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，

18、同時(shí)讓學(xué)生體驗(yàn)了“觀察實(shí)驗(yàn)歸納猜想證明”的數(shù)學(xué)思想方法，經(jīng)歷了知識(shí)形成的過(guò)程，符合新課標(biāo)重視過(guò)程與方法的理念。其次，在解決引例中的測(cè)量問(wèn)題時(shí)利用用初中相似三角形知識(shí)、正弦定理的不同證法（轉(zhuǎn)化為直角三角形、輔助以三角形外接圓、向量）等，都體現(xiàn)了 “在已有知識(shí)體系的基礎(chǔ)上去建構(gòu)新的知識(shí)體系”的理念，加強(qiáng)了知識(shí)間的聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性。定理證明的方法一、方法二，參透了分類(lèi) 、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。但是，本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容還是偏多，在時(shí)間分配上要有規(guī)劃，突出重點(diǎn)，刪繁就簡(jiǎn)；引入的例題要注意條件更加明確直接，以免產(chǎn)生歧義，沖淡主體，浪費(fèi)時(shí)間。總之，本節(jié)課有效地采用了探究式教學(xué)，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，以學(xué)生

19、獨(dú)立自主和合作交流為前提，以問(wèn)題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)教學(xué)情境，以“正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明”為基本探究?jī)?nèi)容，為學(xué)生提供充分自由表達(dá)、質(zhì)疑、探究、討論問(wèn)題的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生通過(guò)個(gè)人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動(dòng)，感受“觀察實(shí)驗(yàn)猜想證明應(yīng)用”等環(huán)節(jié)，教學(xué)過(guò)程流暢，在知識(shí)的形成、發(fā)展過(guò)程中展開(kāi)思維，逐步培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、探索問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)造性思維的能力。20、正弦定理（3）一、教學(xué)內(nèi)容分析“正弦定理”是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書(shū)數(shù)學(xué)（必修5）（人教版）第一章第一節(jié)的主要內(nèi)容，它既是初中“解直角三角形”內(nèi)容的直接延拓，也是三角函數(shù)一般知識(shí)和平面向量等知識(shí)在三角形中的具體運(yùn)用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算問(wèn)題的

20、其它數(shù)學(xué)問(wèn)題及生產(chǎn)、生活實(shí)際問(wèn)題的重要工具，因此具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。為什么要研究正弦定理？正弦定理是怎樣發(fā)現(xiàn)的？其證明方法是怎樣想到的？還有別的證法嗎？這些都是教材沒(méi)有回答，而確實(shí)又是學(xué)生所關(guān)心的問(wèn)題。本節(jié)課是“正弦定理”教學(xué)的第一課時(shí)，其主要任務(wù)是引入并證明正弦定理，在課型上屬于“定理教學(xué)課”。因此，做好“正弦定理”的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí)，使學(xué)生掌握新的有用的知識(shí)，體會(huì)聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點(diǎn)，而且通過(guò)對(duì)定理的探究，能使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、解決問(wèn)題等研究性學(xué)習(xí)的能力。二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了解直角三角形的內(nèi)容，在必修4中，又學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的

21、基礎(chǔ)知識(shí)和平面向量的有關(guān)內(nèi)容，對(duì)解直角三角形、三角函數(shù)、平面向量已形成初步的知識(shí)框架，這不僅是學(xué)習(xí)正弦定理的認(rèn)知基礎(chǔ)，同時(shí)又是突破定理證明障礙的強(qiáng)有力的工具。正弦定理是關(guān)于任意三角形邊角關(guān)系的重要定理之一，課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)在教學(xué)中要重視定理的探究過(guò)程，并能運(yùn)用它解決一些實(shí)際問(wèn)題，可以使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也為學(xué)習(xí)正弦定理提供一種親和力與認(rèn)同感。三、設(shè)計(jì)思想培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究是全面發(fā)展學(xué)生能力的重要前提，是高中新課程改革的主要任務(wù)。如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)探究呢？建構(gòu)主義認(rèn)為：“知識(shí)不是被動(dòng)吸收的，而是由認(rèn)知主體主動(dòng)建構(gòu)的?！边@個(gè)觀點(diǎn)從教學(xué)的角度來(lái)

22、理解就是：知識(shí)不是通過(guò)教師傳授得到的，而是學(xué)生在一定的情境中，運(yùn)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，并通過(guò)與他人（在教師指導(dǎo)和學(xué)習(xí)伙伴的幫助下）協(xié)作，主動(dòng)建構(gòu)而獲得的，建構(gòu)主義教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心，視學(xué)生為認(rèn)知的主體，教師只對(duì)學(xué)生的意義建構(gòu)起幫助和促進(jìn)作用。本節(jié)“正弦定理”的教學(xué)，將遵循這個(gè)原則而進(jìn)行設(shè)計(jì)。四、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能：通過(guò)對(duì)任意三角形的邊與其對(duì)角的關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法。2、過(guò)程與方法：讓學(xué)生從已有的知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、歸納、猜想、證明，由特殊到一般得到正弦定理等方法，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：在平等

23、的教學(xué)氛圍中，通過(guò)學(xué)生之間、師生之間的交流、合作和評(píng)價(jià)，實(shí)現(xiàn)共同探究、教學(xué)相長(zhǎng)的教學(xué)情境。五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：正弦定理的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)難點(diǎn)：正弦定理的推導(dǎo)六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）設(shè)置情境利用投影展示：如圖1，一條河的兩岸平行，河寬。因上游暴發(fā)特大洪水，在洪峰到來(lái)之前，急需將碼頭A處囤積的重要物資及留守人員用船盡快轉(zhuǎn)運(yùn)到正對(duì)岸的碼頭B處或其下游的碼頭C處，請(qǐng)你確定轉(zhuǎn)運(yùn)方案。已知船在靜水中的速度，水流速度?！驹O(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)起源于生活，運(yùn)用于生活”的思想意識(shí)，同時(shí)情境問(wèn)題的圖形及解題思路均為研究正弦定理做鋪墊。（二）提出問(wèn)題師：為了確定轉(zhuǎn)運(yùn)方案，請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)身處地地考慮有關(guān)的問(wèn)題，將各自的問(wèn)

24、題經(jīng)小組（前后4人為一小組）匯總整理后交給我。待各小組將問(wèn)題交給老師后，老師篩選了幾個(gè)問(wèn)題通過(guò)投影向全班展示，經(jīng)大家歸納整理后得到如下的五個(gè)問(wèn)題：1、船應(yīng)開(kāi)往B處還是C處？2、船從A開(kāi)到B、C分別需要多少時(shí)間？3、船從A到B、C的距離分別是多少？4、船從A到B、C時(shí)的速度大小分別是多少？5、船應(yīng)向什么方向開(kāi)，才能保證沿直線到達(dá)B、C？【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)小組交流，提供一定的研究學(xué)習(xí)與情感交流的時(shí)空，培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的能力；問(wèn)題源于學(xué)生，突出學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣；問(wèn)題通過(guò)老師的篩選，確定研究的方向，體現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用。師：誰(shuí)能幫大家講解，應(yīng)該怎樣解決上述問(wèn)題？大家經(jīng)過(guò)討論達(dá)成如下共

25、識(shí)：要回答問(wèn)題1，需要解決問(wèn)題2，要解決問(wèn)題2，需要先解決問(wèn)題3和4，問(wèn)題3用直角三角形知識(shí)可解，所以重點(diǎn)是解決問(wèn)題4，問(wèn)題4與問(wèn)題5是兩個(gè)相關(guān)問(wèn)題。因此，解決上述問(wèn)題的關(guān)鍵是解決問(wèn)題4和5。師：請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)平行四邊形法則，先在練習(xí)本上做出與問(wèn)題對(duì)應(yīng)的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。生1：船從A開(kāi)往B的情況如圖2，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及解直角三角形的知識(shí)，可求得船在河水中的速度大小及與的夾角：， 用計(jì)算器可求得船從A開(kāi)往C的情況如圖3，易求得，還需求及，我還不知道怎樣解這兩個(gè)問(wèn)題。師：請(qǐng)大家思考，這兩個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是什么？部分學(xué)生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)

26、角和第三邊?！驹O(shè)計(jì)意圖】將問(wèn)題數(shù)學(xué)化，有助于加深學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解，有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)。師：請(qǐng)大家討論一下，如何解決這兩個(gè)問(wèn)題？生3：不知道。師：圖2的情形大家都會(huì)解，但圖3的情形卻有困難，那么圖2與圖3有何異同點(diǎn)？生4：圖2和圖3的情形都是已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角和第三邊。但圖2中是直角三角形，而圖3中不是直角三角形，不能象在直角三角形中可直接利用邊角的關(guān)系求解。師：圖3的情形能否轉(zhuǎn)化成直角三角形來(lái)解呢？【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)教師的問(wèn)題引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想，同時(shí)為下一步用特例作為突破口來(lái)研究正弦定理以及用作高的方法來(lái)證明正弦定理做好鋪墊。生5

27、：能，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)G（如圖4）， ，師：很好！采取分割的方法，將一般三角形化為兩個(gè)直角三角形求解。但在生活中有許多三角形不是直角三角形，如果每個(gè)三角形都劃分為直角三角形求解，很不便。能不能象直角三角形一樣直接利用邊角關(guān)系求解呢？三角形中，任意兩邊與其對(duì)角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)教師對(duì)學(xué)生的肯定評(píng)價(jià)，創(chuàng)造一個(gè)教與學(xué)的和諧環(huán)境，既激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使緊接著的問(wèn)題能更好地得到學(xué)生的認(rèn)同，又有利于學(xué)生和教師的共同成長(zhǎng)。（三）解決問(wèn)題1、正弦定理的引入師：請(qǐng)同學(xué)們想一想，我們以前遇到這種一般問(wèn)題時(shí)，是怎樣處理的？眾學(xué)生：先從特殊事例入手，尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法?？梢砸灾苯侨切螢樘乩?，先在直

28、角三角形中試探一下。師：如果一般三角形具有某種邊角關(guān)系，對(duì)于特殊的三角形直角三角形也是成立的，因此我們先研究特例，請(qǐng)同學(xué)們對(duì)直角三角形進(jìn)行研究，尋找一般三角形的各邊及其對(duì)角之間有何關(guān)系？同學(xué)們可以參與小組共同研究。（1）學(xué)生以小組為單位進(jìn)行研究；教師觀察學(xué)生的研究進(jìn)展情況或參與學(xué)生的研究。（2）展示學(xué)生研究的結(jié)果?！驹O(shè)計(jì)意圖】教師參與學(xué)生之間的研究，增進(jìn)師生之間的思維與情感的交流，并通過(guò)教師的指導(dǎo)與觀察，及時(shí)掌握學(xué)生研究的情況，為展示學(xué)生的研究結(jié)論做準(zhǔn)備；同時(shí)通過(guò)展示研究結(jié)論，強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)，增進(jìn)學(xué)生的成功感及學(xué)習(xí)的信心。師：請(qǐng)說(shuō)出你研究的結(jié)論？生7：師：你是怎樣想出來(lái)的？生7：因?yàn)樵谥苯?/p>

29、三角形中，它們的比值都等于斜邊。師：有沒(méi)有其它的研究結(jié)論？（根據(jù)實(shí)際情況，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析判斷結(jié)論正確與否，或留課后進(jìn)一步深入研究。）師：對(duì)一般三角形是否成立呢？眾學(xué)生：不一定，可以先用具體例子檢驗(yàn)，若有一個(gè)不成立，則否定結(jié)論：若都成立，則說(shuō)明這個(gè)結(jié)論很可能成立，再想辦法進(jìn)行嚴(yán)格的證明。師：這是個(gè)好主意。那么對(duì)等邊三角形是否成立呢？生9：成立。師：對(duì)任意三角形是否成立，現(xiàn)在讓我們借助于幾何畫(huà)板做一個(gè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生的思維逐步形成“情境思考”“提出問(wèn)題”“研究特例”“歸納猜想”“實(shí)驗(yàn)探究”“理論探究”“解決問(wèn)題”的思維方式，進(jìn)而形成解決問(wèn)題的能力。2、正弦定理的探究（1）實(shí)驗(yàn)探究正

30、弦定理師：借助于電腦與多媒體，利用幾何畫(huà)板軟件，演示正弦定理教學(xué)課件。邊演示邊引導(dǎo)學(xué)生觀察三角形形狀的變化與三個(gè)比值的變化情況。結(jié)論：對(duì)于任意三角形都成立?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過(guò)幾何畫(huà)板軟件的演示，使學(xué)生對(duì)結(jié)論的認(rèn)識(shí)從感性逐步上升到理性。師：利用上述結(jié)論解決情境問(wèn)題中圖3的情形，并檢驗(yàn)與生5的計(jì)算結(jié)果是否一致。生10：（通過(guò)計(jì)算）與生5的結(jié)果相同。師：如果上述結(jié)論成立，則在三角形中利用該結(jié)論解決“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角和第三邊?！钡膯?wèn)題就簡(jiǎn)單多了?！驹O(shè)計(jì)意圖】與情境設(shè)置中的問(wèn)題相呼應(yīng)，間接給出了正弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，并強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)探究、應(yīng)用正弦定理的心理需求。（2）點(diǎn)明課題：正弦定理

31、（3）正弦定理的理論探究師：既然是定理，則需要證明，請(qǐng)同學(xué)們與小組共同探究正弦定理的證明。探究方案：直角三角形已驗(yàn)證；銳角三角形課堂探究；鈍角三角形課后證明?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過(guò)分析，確定探究方案。課堂只讓學(xué)生探究銳角三角形的情形，有助于在不影響探究進(jìn)程的同時(shí)，為探究銳角三角形的情形騰出更多的時(shí)間。鈍角三角形的情形以課后證明的形式，可使學(xué)生鞏固課堂的成果。師：請(qǐng)你（生11）到講臺(tái)上，講講你的證明思路？生11：（走上講臺(tái)），設(shè)法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直角三角形中的問(wèn)題進(jìn)行解決。通過(guò)作三角形的高，與生5的辦法一樣，如圖5作BC邊上的高AD，則，所以，同理可得師：因?yàn)橐C明的是一個(gè)等式，所以應(yīng)從銳角三角形的條件出

32、發(fā)，構(gòu)造等量關(guān)系從而達(dá)到證明的目的。注意： 表示的幾何意義是三角形同一邊上的高不變。這是一個(gè)簡(jiǎn)捷的證明方法！【設(shè)計(jì)意圖】點(diǎn)明此證法的實(shí)質(zhì)是找到一個(gè)可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系，為后續(xù)兩種方法的提出做鋪墊，同時(shí)適時(shí)對(duì)學(xué)生作出合情的評(píng)價(jià)。師：在三角形中還有哪些可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系呢？學(xué)生七嘴八舌地說(shuō)出一些等量關(guān)系，經(jīng)討論后確定如下一些與直角三角形有關(guān)的等量關(guān)系可能有利用價(jià)值：三角形的面積不變；三角形外接圓直徑不變。在教師的建議下，學(xué)生分別利用這兩種關(guān)系作為基礎(chǔ)又得出了如下兩種證法：證法二：如圖6，設(shè)AD、BE、CF分別是的三條高。則有，。證法三：如圖7，設(shè)是外接圓的直徑，則，同理可證：【設(shè)計(jì)意

33、圖】在證明正弦定理的同時(shí)，將兩邊及其夾角的三角形面積公式及一并牽出，使知識(shí)的產(chǎn)生自然合理。師：前面我們學(xué)習(xí)了平面向量，能否運(yùn)用向量的方法證明呢？師：任意中，三個(gè)向量、間有什么關(guān)系？生12：師：正弦定理體現(xiàn)的是三角形中邊角間的數(shù)量關(guān)系，由轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系？生13：利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。師：在兩邊同乘以向量,有,這里的向量可否任意？又如何選擇向量?生14：因?yàn)閮蓚€(gè)垂直向量的數(shù)量積為0，可考慮讓向量與三個(gè)向量中的一個(gè)向量（如向量）垂直，而且使三個(gè)項(xiàng)的關(guān)系式轉(zhuǎn)化成兩個(gè)項(xiàng)的關(guān)系式。師：還是先研究銳角三角形的情形，按以上思路，請(qǐng)大家具體試一下，看還有什么問(wèn)題？教師參與學(xué)生的小組研究

34、，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生注意兩個(gè)向量的夾角，最后讓學(xué)生通過(guò)小組代表作完成了如下證明。證法四：如圖8，設(shè)非零向量與向量垂直。因?yàn)?，所以即所以，同理可得師：能否?jiǎn)化證法四的過(guò)程？（留有一定的時(shí)間給學(xué)生思考）師：有什么幾何意義？生15：把移項(xiàng)可得，由向量數(shù)量積的幾何意義可知與在方向上的投影相等。生16：我還有一種證法師：請(qǐng)你到講臺(tái)來(lái)給大家講一講。（學(xué)生16上臺(tái)板書(shū)自己的證明方法。）證法五：如圖9，作，則與在方向上的投影相等,即 故，同理可得 師：利用向量在邊上的高上的射影相等，證明了正弦定理，方法非常簡(jiǎn)捷明了！【設(shè)計(jì)意圖】利用向量法來(lái)證明幾何問(wèn)題，學(xué)生相對(duì)比較生疏，不容易馬上想出來(lái)，教師通過(guò)設(shè)計(jì)一些遞進(jìn)式的問(wèn)

35、題給予適當(dāng)?shù)膯l(fā)引導(dǎo)，將很難想到的方法合理分解，有利于學(xué)生理解接受。（四）小結(jié)師：本節(jié)課我們是從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)猜想、實(shí)驗(yàn)，歸納等思維方法，最后發(fā)現(xiàn)了正弦定理，并從不同的角度證明了它。本節(jié)課，我們研究問(wèn)題的突出特點(diǎn)是從特殊到一般，利用了幾何畫(huà)板進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。我們不僅收獲著結(jié)論，而且整個(gè)探索過(guò)程我們也掌握了研究問(wèn)題的一般方法。（五）作業(yè)1、回顧本節(jié)課的整個(gè)研究過(guò)程，體會(huì)知識(shí)的發(fā)生過(guò)程；2、思考：證法五與證法一有何聯(lián)系？3、思考：能否借助向量的坐標(biāo)的方法證明正弦定理？4、當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí)，證明正弦定理?！驹O(shè)計(jì)意圖】為保證學(xué)生有充足的時(shí)間來(lái)完成觀察、歸納、猜想、探究和證明，小結(jié)的時(shí)間花得少且

36、比較簡(jiǎn)單，這將在下一節(jié)課進(jìn)行完善，因此作業(yè)的布置也為下節(jié)課做一些必要的準(zhǔn)備。七、教學(xué)反思為了使學(xué)生真正成為提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的主體，成為知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，使教學(xué)過(guò)程成為學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí)、發(fā)展能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的過(guò)程。我想到了“情境問(wèn)題”教學(xué)模式，即構(gòu)建一個(gè)以情境為基礎(chǔ)，提出問(wèn)題與解決問(wèn)題相互引發(fā)攜手并進(jìn)的“情境問(wèn)題”學(xué)習(xí)鏈，并根據(jù)上述精神，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，具體做出了如下設(shè)計(jì)：創(chuàng)設(shè)一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境作為提出問(wèn)題的背景（注：該情境源于普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書(shū)數(shù)學(xué)（必修4）（人教版）第二章習(xí)題 B組第二題，我將其加工成一個(gè)具有實(shí)際意義的決策型問(wèn)題）；啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生提出自己關(guān)心的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，逐步將

37、現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化、抽象成過(guò)渡性數(shù)學(xué)問(wèn)題，解決過(guò)渡性問(wèn)題4與5時(shí)需要使用正弦定理，借此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探索解決問(wèn)題的動(dòng)機(jī)。然后引導(dǎo)學(xué)生抓住問(wèn)題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將過(guò)渡性問(wèn)題引伸成一般的數(shù)學(xué)問(wèn)題：已知三角形的兩條邊和一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角及第三邊。解決這兩個(gè)問(wèn)題需要先回答目標(biāo)問(wèn)題：在三角形中，兩邊與它們的對(duì)角之間有怎樣的關(guān)系？為了解決提出的目標(biāo)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標(biāo)問(wèn)題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后使用幾何畫(huà)板對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生對(duì)猜想進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯證明?？傊?，整個(gè)過(guò)程讓學(xué)生通過(guò)自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了“情

38、境思考”“提出問(wèn)題”“研究特例”“歸納猜想”“實(shí)驗(yàn)探究”“理論探究”“解決問(wèn)題”“反思總結(jié)”的歷程，使學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂(lè)，從而使三維教學(xué)目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)。大田一中 陳永民點(diǎn)評(píng)：本節(jié)課是典型合作探究課，教師先設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生討論問(wèn)題解決方案，將方案數(shù)學(xué)化，歸納出一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題“在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角和第三邊”，順利地引入新課，實(shí)現(xiàn)了從“現(xiàn)象”到“本質(zhì)”的飛躍，培養(yǎng)了學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、數(shù)學(xué)建模的能力。為尋求解決問(wèn)題的普遍方法，對(duì)三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行探索，在特殊情況（直角三角形）下得到正弦定理，又在等邊三角形和一般三

39、角形中驗(yàn)證，堅(jiān)定了結(jié)論成立的猜想，最后通過(guò)嚴(yán)格證明，得到了正弦定理，再返回到前面的引例中，利用正弦定理問(wèn)題迎仞而解。從而使學(xué)生親身經(jīng)歷了“情境思考”“提出問(wèn)題”“研究特例”“歸納猜想”“實(shí)驗(yàn)探究”“理論探究”“解決問(wèn)題”“反思總結(jié)”的歷程，學(xué)會(huì)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂(lè)。在對(duì)具體的一般三角形驗(yàn)證成立的過(guò)程中，利用幾何畫(huà)板軟件，不斷變換三角形，觀察上式成立，提高了效率，現(xiàn)代教育技術(shù)的運(yùn)用恰到好處。21、余 弦 定 理一、教學(xué)內(nèi)容分析人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)必修（五）（第2版）第一章解三角形第一單元第二課余弦定理。通過(guò)利用向量的數(shù)量

40、積方法推導(dǎo)余弦定理，正確理解其結(jié)構(gòu)特征和表現(xiàn)形式，解決“邊、角、邊”和“邊、邊、邊”問(wèn)題，初步體會(huì)余弦定理解決“邊、邊、角”，體會(huì)方程思想，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)的潛能。二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析本課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)、向量基本知識(shí)和正弦定理有關(guān)內(nèi)容，對(duì)于三角形中的邊角關(guān)系有了較進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。在此基礎(chǔ)上利用向量方法探求余弦定理，學(xué)生已有一定的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)興趣?？傮w上學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的意識(shí)不強(qiáng)，創(chuàng)造力較弱，看待與分析問(wèn)題不深入，知識(shí)的系統(tǒng)性不完善，使得學(xué)生在余弦定理推導(dǎo)方法的探求上有一定的難度，在發(fā)掘出余弦定理的結(jié)構(gòu)特征、表現(xiàn)形式的數(shù)學(xué)美時(shí)，能夠激發(fā)學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)的思想感情；從具體問(wèn)題中

41、抽象出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，應(yīng)用方程的思想去審視，解決問(wèn)題是學(xué)生學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn)。三、設(shè)計(jì)思想新課程的數(shù)學(xué)提倡學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，自主探索，合作交流，深刻地理解基本結(jié)論的本質(zhì)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，力求對(duì)現(xiàn)實(shí)世界蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考，作出判斷；同時(shí)要求教師從知識(shí)的傳授者向課堂的設(shè)計(jì)者、組織者、引導(dǎo)者、合作者轉(zhuǎn)化，從課堂的執(zhí)行者向?qū)嵤┱?、探究開(kāi)發(fā)者轉(zhuǎn)化。本課盡力追求新課程要求，利用師生的互動(dòng)合作，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，深刻地體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的潛能。四、教學(xué)目標(biāo)繼續(xù)探索三角形的邊長(zhǎng)與角度間的具體量化關(guān)系、掌握余弦定理的兩種表現(xiàn)

42、形式，體會(huì)向量方法推導(dǎo)余弦定理的思想；通過(guò)實(shí)踐演算運(yùn)用余弦定理解決“邊、角、邊”及“邊、邊、邊”問(wèn)題；深化與細(xì)化方程思想，理解余弦定理的本質(zhì)。通過(guò)相關(guān)教學(xué)知識(shí)的聯(lián)系性，理解事物間的普遍聯(lián)系性。五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)是余弦定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程及定理的應(yīng)用；教學(xué)難點(diǎn)是用向量的數(shù)量積推導(dǎo)余弦定理的思路方法及余弦定理在應(yīng)用求解三角形時(shí)的思路。六、教學(xué)過(guò)程：教學(xué)環(huán)節(jié)合作探究活動(dòng)學(xué)情分析與設(shè)計(jì)意圖知識(shí)回顧1、一般三角形全等的四種判斷方法是什么？2、三角形的正弦定理內(nèi)容，主要解決哪幾類(lèi)問(wèn)題的三角形？回顧舊知，防止遺忘創(chuàng)設(shè)引入你能判斷下列三角形的類(lèi)型嗎？1、以3，4，5為各邊長(zhǎng)的三角形是_三角形以2，3，4為各

43、邊長(zhǎng)的三角形是_三角形以4，5，6為各邊長(zhǎng)的三角形是_三角形2、在ABC中a8，b5，c60，你能求c邊長(zhǎng)嗎？引導(dǎo)學(xué)生從平面幾何、實(shí)踐作圖方面進(jìn)行估計(jì)判斷。學(xué)生可能比較茫然，幫助學(xué)生分析相關(guān)內(nèi)容，從多角度看待問(wèn)題，用實(shí)踐進(jìn)行檢驗(yàn)。提出問(wèn)題你能夠有更好的具體的量化方法嗎？幫助學(xué)生從平面幾何、三角函數(shù)、向量知識(shí)、坐標(biāo)法等方面進(jìn)行分析討論，選擇簡(jiǎn)潔的處理工具，引發(fā)學(xué)生的積極討論。引導(dǎo)學(xué)生從相關(guān)知識(shí)入手，選擇簡(jiǎn)潔的工具。合作探究ABC利用向量法推導(dǎo)余弦定理：如圖：設(shè)，由三角形法則有同理，讓學(xué)生利用相同方法推導(dǎo)，學(xué)生對(duì)向量知識(shí)可能遺忘，注意復(fù)習(xí)；在利用數(shù)量積時(shí)，角度可能出現(xiàn)錯(cuò)誤，出現(xiàn)不同的表示形式，讓學(xué)

44、生從錯(cuò)誤中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，鞏固向量知識(shí)，明確向量工具的作用。同時(shí)，讓學(xué)生明確數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想：化未知為已知。歸納概括余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。知識(shí)歸納比較，發(fā)現(xiàn)特征，加強(qiáng)識(shí)記結(jié)構(gòu)分析觀察余弦定理，指明了三邊長(zhǎng)與其中一角的具體關(guān)系，并發(fā)現(xiàn)a與A，b與B，C與c之間的對(duì)應(yīng)表述，同時(shí)發(fā)現(xiàn)三邊長(zhǎng)的平方在余弦定理中同時(shí)出現(xiàn)使學(xué)生明確對(duì)應(yīng)關(guān)系，樹(shù)立方程思想，解決“邊、角、邊”問(wèn)題知識(shí)聯(lián)系余弦定理的推論：解決“邊、邊、邊”問(wèn)題方法應(yīng)用怎樣準(zhǔn)確地解答引入中的兩個(gè)問(wèn)題？怎樣利用已知條件判斷三角形的形狀？用準(zhǔn)確的量化關(guān)系去解決問(wèn)題，用邊長(zhǎng)去判斷三角形形狀，

45、勾股定理是余弦定理特例。知識(shí)應(yīng)用例1：在ABC中，已知b60cm，c34cm，A41，求解三角形（角度精確到1，邊長(zhǎng)精確到1cm）例2：在ABC中，已知a134.6cm，b87.8cm，c161.7cm，解三角形（角度精確到1）應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解問(wèn)題加強(qiáng)計(jì)算器的運(yùn)算功能，同時(shí)，鞏固好正弦定理，余弦定理知識(shí)，發(fā)現(xiàn)兩種知識(shí)方法在解三角形中的綜合應(yīng)用。知識(shí)深化例3：已知ABC中求c邊長(zhǎng)分析：（1）用正弦定理分析引導(dǎo)（2）應(yīng)用余弦定理構(gòu)造關(guān)于C的方程求解。（3）比較兩種方法的利弊。能用正弦定理解決的問(wèn)題均可以用余弦定理解決，更具有優(yōu)越性。繼續(xù)深化正弦、余弦定理，尤其是余弦定理的方程思想求解問(wèn)題優(yōu)越于余弦

46、定理。并讓學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)“邊、邊、角”問(wèn)題解法，為下節(jié)學(xué)習(xí)輔墊。練習(xí)檢測(cè)1、某人站在山頂向下看一列車(chē)隊(duì)向山腳駛來(lái)，他看見(jiàn)第一輛車(chē)與第二輛車(chē)的俯角差等于他看見(jiàn)第二輛與第三輛車(chē)的俯角差，則第一輛車(chē)與第二輛車(chē)的距離與第二輛車(chē)的距離之間關(guān)系為（）A： B：= C： D：大小不確定2、銳角ABC中b1，c2，則a取值為（）A：（1,3）B：（1,）C：（，2）D：（，）3、在ABC中若有，你能判斷這個(gè)三角形的形狀嗎？若呢？用練習(xí)去鞏固所學(xué)知識(shí)，使學(xué)生逐步形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力的培養(yǎng)。課堂小結(jié)1、正弦、余弦定理各能解決哪些類(lèi)型問(wèn)題？各有什么利與弊？2、從本課中你學(xué)到了哪些知識(shí)和方法？通過(guò)知

47、識(shí)回顧，使學(xué)生各自體會(huì)收獲。板書(shū)設(shè)計(jì)1、推導(dǎo)余弦定理及其推論2、例3、例43、練習(xí)指導(dǎo)4、小結(jié)投影正弦、余弦定理，比較它們理解知識(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)1、討論余弦定理的其它解法設(shè)計(jì)思路。2、第11頁(yè)A組3、4題鞏固知識(shí)多角度看待問(wèn)題七、教學(xué)反思本課的教學(xué)應(yīng)具有承上啟下的目的。因此在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)既要兼顧前后知識(shí)的聯(lián)系，又要使學(xué)生明確本課學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，將新舊知識(shí)逐漸地融為一體，構(gòu)建比較完整的知識(shí)系統(tǒng)。所以在余弦定理的表現(xiàn)方式、結(jié)構(gòu)特征上重加指導(dǎo)，只有當(dāng)學(xué)生正確地理解了余弦定理的本質(zhì)，才能更好地應(yīng)用求解問(wèn)題。本課教學(xué)設(shè)計(jì)力求在型（模型、類(lèi)型），質(zhì)（實(shí)質(zhì)、本質(zhì)），思（思維、思想方法）上達(dá)到教學(xué)效果。本課之前學(xué)生已學(xué)習(xí)

48、過(guò)三角函數(shù)，平面幾何，平面向量、解析幾何、正弦定理等與本課緊密聯(lián)系的內(nèi)容，使本課有了較多的處理工具，也使余弦定理的探討有了更加簡(jiǎn)潔的工具。因此在本課的教學(xué)設(shè)計(jì)中抓住前后知識(shí)的聯(lián)系，重視數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，加深對(duì)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系，學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決一些實(shí)際問(wèn)題。學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)不強(qiáng)，創(chuàng)造力不足、看待問(wèn)題不深入，很大原因在于學(xué)生的知識(shí)系統(tǒng)不夠完善。因此本課運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)，從多角度看待問(wèn)題，在提出問(wèn)題、思考分析問(wèn)題、解決問(wèn)題等多方面對(duì)學(xué)生進(jìn)行示范引導(dǎo)，將舊知識(shí)與新知識(shí)進(jìn)行重組擬合及提高，幫助學(xué)生建立自己的良好知識(shí)結(jié)構(gòu)。福建漳平市第一中學(xué)李永彬點(diǎn)評(píng)：本課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了三角

49、函數(shù)、平面幾何、平面向量、正弦定理的基礎(chǔ)上而設(shè)置的教學(xué)內(nèi)容，因此本課的教學(xué)有較多的處理辦法。李老師從解三角形的問(wèn)題出發(fā)，提出解題需要，引發(fā)認(rèn)知沖突，激起學(xué)生的求知欲望，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性；在定理證明的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生從平面幾何、三角函數(shù)、向量知識(shí)、坐標(biāo)法等方面進(jìn)行分析討論，注意分析思路，揭示蘊(yùn)含在證明中的數(shù)學(xué)思想，最后引導(dǎo)學(xué)生用向量知識(shí)推導(dǎo)出公式，在給出余弦定理的三個(gè)等式和三個(gè)推論之后，又對(duì)知識(shí)進(jìn)行了歸納比較，發(fā)現(xiàn)特征，便于學(xué)生識(shí)記，同時(shí)也指出了勾股定理是余弦定理的特殊情形，提高了學(xué)生的思維層次。命題的應(yīng)用是命題教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，學(xué)習(xí)命題的重要目的是應(yīng)用命題去解決問(wèn)題。所以，例題的精選、

50、講解是至關(guān)重要的。設(shè)計(jì)中的例1、例2是常規(guī)題，讓學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解問(wèn)題，鞏固正弦定理、余弦定理知識(shí)。例3是已知兩邊一對(duì)角，求解三角形問(wèn)題，可用正弦定理求之，也可用余弦定理求解，通過(guò)比較分析，突出了正、余弦定理的聯(lián)系，深化了對(duì)兩個(gè)定理的理解，培養(yǎng)了解決問(wèn)題的能力。但李老師在對(duì)例3解法的總結(jié)時(shí)，指出“能用正弦定理解決的問(wèn)題均可以用余弦定理解決，更具有優(yōu)越性?！边@結(jié)論有點(diǎn)片面。本課在繼承了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)模式優(yōu)點(diǎn)，結(jié)合新課程的要求進(jìn)行改進(jìn)和發(fā)展，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力為主線，發(fā)揮教師的設(shè)計(jì)者，組織者作用，在使學(xué)生掌握知識(shí)的同時(shí)，幫助學(xué)生摸索自己的學(xué)習(xí)方法。22、等差數(shù)列一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課是普通高

51、中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)5（人教版）第二章數(shù)列第二節(jié)等差數(shù)列第一課時(shí)。數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用。一方面, 數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面,學(xué)習(xí)數(shù)列也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備。而等差數(shù)列是在學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)列的有關(guān)概念和給出數(shù)列的兩種方法通項(xiàng)公式和遞推公式的基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)列的知識(shí)進(jìn)一步深入和拓廣。同時(shí)等差數(shù)列也為今后學(xué)習(xí)等比數(shù)列提供了“聯(lián)想”、“類(lèi)比”的思想方法。二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析我所教學(xué)的學(xué)生是我校高二（2）班的學(xué)生，經(jīng)過(guò)一年的學(xué)習(xí)，大部分學(xué)生知識(shí)經(jīng)驗(yàn)已較為豐富，他們的智力發(fā)展已到了形式運(yùn)演階段，具備了較強(qiáng)的抽象思

52、維能力和演繹推理能力，但也有一部分學(xué)生的基礎(chǔ)較弱，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣還不是很濃，所以我在授課時(shí)注重從具體的生活實(shí)例出發(fā)，注重引導(dǎo)、啟發(fā)、研究和探討以符合這類(lèi)學(xué)生的心理發(fā)展特點(diǎn)，從而促進(jìn)思維能力的進(jìn)一步發(fā)展。三、設(shè)計(jì)思想1教法誘導(dǎo)思維法：這種方法有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu)；有利于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)；有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性。分組討論法：有利于學(xué)生進(jìn)行交流，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，解決問(wèn)題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。講練結(jié)合法：可以及時(shí)鞏固所學(xué)內(nèi)容，抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。2學(xué)法引導(dǎo)學(xué)生首先從四個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題（數(shù)數(shù)問(wèn)題、女子舉重獎(jiǎng)項(xiàng)設(shè)置問(wèn)題、水庫(kù)水位問(wèn)題、儲(chǔ)蓄問(wèn)題）概括出數(shù)組特點(diǎn)并抽象出等差數(shù)列的概念；接

53、著就等差數(shù)列概念的特點(diǎn)，推導(dǎo)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；可以對(duì)各種能力的同學(xué)引導(dǎo)認(rèn)識(shí)多元的推導(dǎo)思維方法。用多種方法對(duì)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行推導(dǎo)。在引導(dǎo)分析時(shí)，留出“空白”，讓學(xué)生去聯(lián)想、探索，同時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，圍繞中心各抒己見(jiàn)，把思路方法和需要解決的問(wèn)題弄清。四、教學(xué)目標(biāo)通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)使學(xué)生能理解并掌握等差數(shù)列的概念，能用定義判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列，引導(dǎo)學(xué)生了解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程及思想，會(huì)求等差數(shù)列的公差及通項(xiàng)公式，能在解題中靈活應(yīng)用，初步引入“數(shù)學(xué)建?！钡乃枷敕椒ú⒛苓\(yùn)用；并在此過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、推理的能力，在領(lǐng)會(huì)函數(shù)與數(shù)列關(guān)系的前提下，把研究函數(shù)的方法遷移來(lái)研究

54、數(shù)列，培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)、方法遷移能力；通過(guò)階梯性練習(xí)，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。在解決問(wèn)題的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索、勇于發(fā)現(xiàn)的求知精神；使學(xué)生認(rèn)識(shí)事物的變化形態(tài)，養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、善于總結(jié)的良好思維習(xí)慣。并通過(guò)一定的實(shí)例激發(fā)同學(xué)們的民族自豪感和愛(ài)國(guó)熱情。五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：等差數(shù)列的概念。等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程及應(yīng)用。難點(diǎn)：理解等差數(shù)列“等差”的特點(diǎn)及通項(xiàng)公式的含義。理解等差數(shù)列是一種函數(shù)模型。關(guān)鍵： 等差數(shù)列概念的理解及由此得到的“性質(zhì)”的方法。六、教學(xué)過(guò)程教學(xué)環(huán)節(jié)情境設(shè)計(jì)和學(xué)習(xí)任務(wù)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)情景上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了數(shù)列。在日常生活中，人口增長(zhǎng)、教育貸款、存款利息等等這些大家以后會(huì)接觸得比較多的實(shí)際計(jì)算問(wèn)題，都需要用到有關(guān)數(shù)列的知識(shí)來(lái)解決。今天我們就先學(xué)習(xí)一類(lèi)特殊的數(shù)列。傾聽(tīng)課堂引入探索研究由學(xué)生觀察分析并得出答案：在現(xiàn)實(shí)生活中，我們經(jīng)常這樣數(shù)數(shù)，從0開(kāi)始，