[原創(chuàng)]高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)099抽樣方法、總體分布的估計(jì)

1、高考資源網(wǎng)（） 您身邊的高考專家12.3 抽樣方法、總體分布的估計(jì)一、知識(shí)梳理（一）抽樣1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：設(shè)一個(gè)總體的個(gè)體數(shù)為N如果通過逐個(gè)抽取的方法從中抽取一個(gè)樣本，且每次抽取時(shí)各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從含有N個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為的樣本時(shí)，每次抽取一個(gè)個(gè)體時(shí)任一個(gè)體被抽到的概率為；在整個(gè)抽樣過程中各個(gè)個(gè)體被抽到的概率為； 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)是，逐個(gè)抽取，且各個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等； 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，體現(xiàn)了抽樣的客觀性與公平性，是其他更復(fù)雜抽樣方法的基礎(chǔ)（4）.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)：它是不放回抽樣；它是逐個(gè)地進(jìn)行抽??；它是一種等概率抽樣簡(jiǎn)單

2、抽樣常用方法：（1）抽簽法：先將總體中的所有個(gè)體（共有N個(gè)）編號(hào)（號(hào)碼可從1到N），并把號(hào)碼寫在形狀、大小相同的號(hào)簽上（號(hào)簽可用小球、卡片、紙條等制作），然后將這些號(hào)簽放在同一個(gè)箱子里，進(jìn)行均勻攪拌，抽簽時(shí)每次從中抽一個(gè)號(hào)簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個(gè)容量為n的樣本 適用范圍：總體的個(gè)體數(shù)不多時(shí) 優(yōu)點(diǎn)：抽簽法簡(jiǎn)便易行，當(dāng)總體的個(gè)體數(shù)不太多時(shí)適宜采用抽簽法 （2）隨機(jī)數(shù)表法： 隨機(jī)數(shù)表抽樣“三步曲”：第一步，將總體中的個(gè)體編號(hào)；第二步，選定開始的數(shù)字；第三步，獲取樣本號(hào)碼 2.系統(tǒng)抽樣:當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)較多時(shí)，可將總體分成均衡的幾個(gè)部分，然后按預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取一個(gè)個(gè)體，得到需要的樣本

3、，這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣系統(tǒng)抽樣的步驟：采用隨機(jī)的方式將總體中的個(gè)體編號(hào)為簡(jiǎn)便起見，有時(shí)可直接采用個(gè)體所帶有的號(hào)碼，如考生的準(zhǔn)考證號(hào)、街道上各戶的門牌號(hào)，等等 為將整個(gè)的編號(hào)分段（即分成幾個(gè)部分），要確定分段的間隔k當(dāng)（N為總體中的個(gè)體的個(gè)數(shù)，n為樣本容量）是整數(shù)時(shí)，k=;當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，通過從總體中剔除一些個(gè)體使剩下的總體中個(gè)體的個(gè)數(shù)能被n整除，這時(shí)k=.在第一段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定起始的個(gè)體編號(hào) 按照事先確定的規(guī)則抽取樣本（通常是將加上間隔k，得到第2個(gè)編號(hào)+k,第3個(gè)編號(hào)+2k，這樣繼續(xù)下去，直到獲取整個(gè)樣本） 系統(tǒng)抽樣適用于總體中的個(gè)體數(shù)較多的情況，它與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的聯(lián)系在于：將總體均分后的

4、每一部分進(jìn)行抽樣時(shí)，采用的是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣一樣，系統(tǒng)抽樣是等概率抽樣，它是客觀的、公平的總體中的個(gè)體數(shù)恰好能被樣本容量整除時(shí)，可用它們的比值作為系統(tǒng)抽樣的間隔；當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)不能被樣本容量整除時(shí)，可用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣先從總體中剔除少量個(gè)體，使剩下的個(gè)體數(shù)能被樣本容量整除在進(jìn)行系統(tǒng)抽樣 3.分層抽樣: 當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，為了使樣本更充分地反映總體的情況，常將總體分成幾部分，然后按照各部分所占的比例進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，所分成的部分叫做層 常用的抽樣方法及它們之間的聯(lián)系和區(qū)別：類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽取的概率是相同

5、的從總體中逐個(gè)抽取總體中的個(gè)數(shù)比較少系統(tǒng)抽樣將總體均勻分成幾個(gè)部分，按照事先確定的規(guī)則在各部分抽取在起始部分抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣總體中的個(gè)數(shù)比較多分層抽樣將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取各層抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單抽樣或者相同抽樣總體由差異明顯的幾部分組成不放回抽樣和放回抽樣:在抽樣中，如果每次抽出個(gè)體后不再將它放回總體，稱這樣的抽樣為不放回抽樣；如果每次抽出個(gè)體后再將它放回總體，稱這樣的抽樣為放回抽樣隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣都是不放回抽樣（二）總體分布1.總體：在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，通常把被研究的對(duì)象的全體叫做總體.2.頻率分布：用樣本估計(jì)總體，是研究統(tǒng)計(jì)問題的基本思想方法，樣本中所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻數(shù)

6、和樣本容量的比，就是該數(shù)據(jù)的頻率.所有數(shù)據(jù)（或數(shù)據(jù)組）的頻率的分布變化規(guī)律叫做樣本的頻率分布.可以用樣本頻率表、樣本頻率分布條形圖或頻率分布直方圖來表示.3.總體分布：從總體中抽取一個(gè)個(gè)體，就是一次隨機(jī)試驗(yàn)，從總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本，就是進(jìn)行了n次試驗(yàn)，試驗(yàn)連同所出現(xiàn)的結(jié)果叫隨機(jī)事件，所有這些事件的概率分布規(guī)律稱為總體分布.4.總體密度曲線:樣本容量越大，所分組數(shù)越多，各組的頻率就越接近于總體在相應(yīng)各組取值的概率設(shè)想樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分布直方圖就會(huì)無限接近于一條光滑曲線,這條曲線叫做總體密度曲線它反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的概率根據(jù)這條曲線，可求出總體在區(qū)間(

7、a，b)內(nèi)取值的概率等于總體密度曲線，直線x=a，x=b及x軸所圍圖形的面積二、基礎(chǔ)訓(xùn)練1.一個(gè)總體中共有10個(gè)個(gè)體，用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從中抽取一容量為3的樣本，則某特定個(gè)體入樣的概率是CA.B.C.D. 2.（2004年江蘇，6）某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生，得到他們?cè)谀骋惶旄髯哉n外閱讀所用時(shí)間的數(shù)據(jù)，結(jié)果用下面的條形圖表示.根據(jù)條形圖可得這50名學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時(shí)間為B0.5人數(shù)(人)時(shí)間(小時(shí))2010501.01.52.015 A.0.6 hB.0.9 hC.1.0 hD.1.5 h3.一個(gè)年級(jí)有12個(gè)班，每個(gè)班有50名同學(xué)，隨機(jī)編號(hào)為150號(hào)，為

8、了了解他們?cè)谡n外的興趣愛好，要求每班的33號(hào)學(xué)生留下來參加閱卷調(diào)查，這里運(yùn)用的抽樣方法是DA.分層抽樣法 B.抽簽法C.隨機(jī)數(shù)表法 D.系統(tǒng)抽樣法4.為調(diào)查參加運(yùn)動(dòng)會(huì)的1000名運(yùn)動(dòng)員的年齡情況，從中抽查了100名運(yùn)動(dòng)員的年齡，就這個(gè)問題來說，下列說法正確的是A.1000名運(yùn)動(dòng)員是總體B.每個(gè)運(yùn)動(dòng)員是個(gè)體C.抽取的100名運(yùn)動(dòng)員是樣本D.樣本容量是100解析：這個(gè)問題我們研究的是運(yùn)動(dòng)員的年齡情況.因此應(yīng)選D.答案：D5.一個(gè)容量為n的樣本，分成若干組，已知某數(shù)的頻數(shù)和頻率分別為40、0.125，則n的值為A.640 B.320 C.240 D.160解析：=0.125，n=320.故選B.答案

9、：B6.某單位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，為了調(diào)查他們的健康狀況，需從他們中抽取一個(gè)容量為36的樣本，在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣這三種方法中較合適的抽樣方法是_.解析：要研究的總體里各部分情況差異較大，因此用分層抽樣.答案：分層抽樣5.某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中成績(jī)分布如下表：分?jǐn)?shù)段0，80）80，90）90，100）人數(shù)2）56分?jǐn)?shù)段100，110）110，120 120，130）人數(shù)8126分?jǐn)?shù)段130，140）140，150）人數(shù)42那么分?jǐn)?shù)在100，110）中的頻率和分?jǐn)?shù)不滿110分的累積頻率分別是_、_（精確到0.01）.解析：由頻率計(jì)算方法知：總?cè)藬?shù)=45.分

10、數(shù)在100，110）中的頻率為 =0.1780.18.分?jǐn)?shù)不滿110分的累積頻率為=0.47.答案：0.18 0.47三、例題剖析【例1】 （2004年湖南，5）某公司在甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150個(gè)、120個(gè)、180個(gè)、150個(gè)銷售點(diǎn).公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為；在丙地區(qū)中有20個(gè)特大型銷售點(diǎn)，要從中抽取7個(gè)調(diào)查其銷售收入和售后服務(wù)情況，記這項(xiàng)調(diào)查為.則完成、這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是A.分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法B.分層抽樣法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法C.系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法D.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法剖析：此題為抽樣方法的

11、選取問題.當(dāng)總體中個(gè)體較多時(shí)宜采用系統(tǒng)抽樣；當(dāng)總體中的個(gè)體差異較大時(shí)，宜采用分層抽樣；當(dāng)總體中個(gè)體較少時(shí)，宜采用隨機(jī)抽樣.依據(jù)題意，第項(xiàng)調(diào)查應(yīng)采用分層抽樣法、第項(xiàng)調(diào)查應(yīng)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法.故選B.答案：B評(píng)述：采用什么樣的抽樣方法要依據(jù)研究的總體中的個(gè)體情況來定.【例2】 （2004年福建，15）一個(gè)總體中有100個(gè)個(gè)體，隨機(jī)編號(hào)為0，1，2，99，依編號(hào)順序平均分成10個(gè)小組，組號(hào)依次為1，2，3，10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為10的樣本，規(guī)定如果在第1組隨機(jī)抽取的號(hào)碼為m，那么在第k小組中抽取的號(hào)碼個(gè)位數(shù)字與m+k的個(gè)位數(shù)字相同.若m=6，則在第7組中抽取的號(hào)碼是_.剖析：此問題總體

12、中個(gè)體的個(gè)數(shù)較多，因此采用系統(tǒng)抽樣.按題目中要求的規(guī)則抽取即可.m=6，k=7，m+k=13，在第7小組中抽取的號(hào)碼是63.答案：63評(píng)述：當(dāng)總體中個(gè)體個(gè)數(shù)較多而差異又不大時(shí)可采用系統(tǒng)抽樣.采用系統(tǒng)抽樣在每小組內(nèi)抽取時(shí)應(yīng)按規(guī)則進(jìn)行.【例3】 把容量為100的某個(gè)樣本數(shù)據(jù)分為10組，并填寫頻率分布表，若前七組的累積頻率為0.79，而剩下三組的頻數(shù)成公比大于2的整數(shù)等比數(shù)列，則剩下三組中頻數(shù)最高的一組的頻數(shù)為_.剖析：已知前七組的累積頻率為0.79，而要研究后三組的問題，因此應(yīng)先求出后三組的頻率之和為10.79=0.21，進(jìn)而求出后三組的共有頻數(shù)，或者先求前七組共有頻數(shù)后，再計(jì)算后三組的共有頻數(shù).

13、由已知知前七組的累積頻數(shù)為0.79100=79，故后三組共有的頻數(shù)為21，依題意=21，a1（1+q+q2）=21.a1=1，q=4.后三組頻數(shù)最高的一組的頻數(shù)為16.答案：16評(píng)述：此題剖析只按第二種思路給出了解答，你能按第一種思路來解嗎？【例4】 對(duì)某電子元件進(jìn)行壽命追蹤調(diào)查，情況如下：壽命（h）100200200300300400400500500600個(gè) 數(shù)2030804030（1）列出頻率分布表；（2）畫出頻率分布直方圖和累積頻率分布圖；（3）估計(jì)電子元件壽命在100400 h以內(nèi)的概率；（4）估計(jì)電子元件壽命在400 h以上的概率.剖析：通過本題可掌握總體分布估計(jì)的各種方法和步驟.

14、解：（1）頻率分布表如下：壽命（h）頻 數(shù)頻 率累積頻率100200200.100.10200300300.150.25300400800.400.65400500400.200.85500600300.151合 計(jì)2001（2）頻率分布直方圖如下：（3）由累積頻率分布圖可以看出，壽命在100400 h內(nèi)的電子元件出現(xiàn)的頻率為0.65，所以我們估計(jì)電子元件壽命在100400 h內(nèi)的概率為0.65.（4）由頻率分布表可知，壽命在400 h以上的電子元件出現(xiàn)的頻率為0.20+0.15=0.35，故我們估計(jì)電子元件壽命在400 h以上的概率為0.35.評(píng)述：畫頻率分布條形圖、直方圖時(shí)要注意縱、橫坐標(biāo)

15、軸的意義.【例5】 某批零件共160個(gè)，其中，一級(jí)品48個(gè)，二級(jí)品64個(gè)，三級(jí)品32個(gè)，等外品16個(gè).從中抽取一個(gè)容量為20的樣本.請(qǐng)說明分別用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣法抽取時(shí)總體中的每個(gè)個(gè)體被取到的概率均相同.【例6】一個(gè)容量為100的樣本，數(shù)據(jù)的分組和各組的一些相關(guān)信息如下：分 組頻 數(shù)頻 率累積頻率12，15)615，18)0.0818，21)0.3021，24)2124，27)0.6927，30)1630，330.1033，36)1.00合 計(jì)1001.00（1）完成上表；（2）畫出頻率分布直方圖和累積頻率分布圖；（3）根據(jù)累積頻率分布圖，總體中小于22的樣本數(shù)據(jù)大約占多大的百

16、分比?四、同步練習(xí) g3.1099 抽樣方法、總體分布的估計(jì)1某公司甲、乙、丙、丁四個(gè)地區(qū)分別有150 個(gè)、120個(gè)、180個(gè)、150個(gè)銷售點(diǎn)公司為了調(diào)查產(chǎn)品銷售的情況，需從這600個(gè)銷售點(diǎn)中抽取一個(gè)容量為100的樣本，記這項(xiàng)調(diào)查為；在丙地區(qū)中有20個(gè)特大型銷售點(diǎn)，要從中抽取7個(gè)調(diào)查其收入和售后服務(wù)等情況，記這項(xiàng)調(diào)查為則完成、這兩項(xiàng)調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是 （ B ）分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法分層抽樣法，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法，分層抽樣法2已知樣本方差由，求得，則 3設(shè)有個(gè)樣本，其標(biāo)準(zhǔn)差為，另有個(gè)樣本，且，其標(biāo)準(zhǔn)差為，則下列關(guān)系正確的是 （ B ） 0.5人數(shù)(人)時(shí)

17、間(小時(shí))2010501.01.52.015 4某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況，隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生，得到他們?cè)谀骋惶旄髯哉n外閱讀所用時(shí)間的數(shù)據(jù)，結(jié)果用右側(cè)的條形圖表示. 根據(jù)條形圖可得這50名學(xué)生這一天平均每人的課外閱讀時(shí)間為 （ B ）0.6小時(shí) 0.9小時(shí) 1.0小時(shí) 1.5小時(shí)5是的平均數(shù)，是的平均數(shù)，是的平均數(shù)，則，之間的關(guān)系為6某校有老師200人，男學(xué)生1200人，女學(xué)生1000人.現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有師生中抽取一個(gè)容量為的樣本；已知從女學(xué)生中抽取的人數(shù)為80人，則 7一個(gè)總體中有100個(gè)個(gè)體，隨機(jī)編號(hào)0，1，2，99，依編號(hào)順序平均分成10個(gè)小組，組號(hào)依次為1，2，3，10.

18、現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個(gè)容量為10的樣本，規(guī)定如果在第1組隨機(jī)抽取的號(hào)碼為，那么在第組中抽取的號(hào)碼個(gè)位數(shù)字與的個(gè)位數(shù)字相同，若，則在第7組中抽取的號(hào)碼是 63 8在樣本的頻率分布直方圖中，共有個(gè)小長(zhǎng)方形，若中間一個(gè)小長(zhǎng)方形的面積等于其他個(gè)小長(zhǎng)方形的面積之和的，且樣本容量為，則中間一組的頻數(shù)為 32 9某中學(xué)有員工人，其中中高級(jí)教師人，一般教師人，管理人員人，行政人員人，從中抽取容量為的一個(gè)樣本以此例說明，無論使用三種常用的抽樣方法中的哪一種方法，總體中的每個(gè)個(gè)體抽到的概率都相同10. 現(xiàn)有30個(gè)零件，需從中抽取10個(gè)進(jìn)行檢查，問如何采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到一個(gè)容量為10的樣本？乙使用時(shí)間（h）頻數(shù)2100121101212052130221401甲使用時(shí)間（h）頻數(shù)210012110221203213032140111質(zhì)檢部門對(duì)甲、乙兩種日光燈的使用時(shí)間進(jìn)行了破壞性試驗(yàn)，10次試驗(yàn)得到的兩種日光燈的使用時(shí)間如下表所示，問：哪一種質(zhì)量相對(duì)好一些？12. 下表給出了某學(xué)校120名12歲男生的身