對(duì)數(shù)公式的運(yùn)算

1、下載可編輯對(duì)數(shù)公式的運(yùn)用1 .對(duì)數(shù)的概念如果a（a0,且awl）的b次哥等于N,即ab=N,那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作：logaNMb,其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).由定義知：負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)；a0且aw1,N0；logai=0,logaa=l,alogaN=N（對(duì)數(shù)恒等式），logaab=b。特別地，以10為底的對(duì)數(shù)叫常用對(duì)數(shù)，記作log10N,簡(jiǎn)記為lgN；以無(wú)理數(shù)e（e=2.71828）為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，記作logeN,簡(jiǎn)記為lnN.2 .對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化式子名稱ab=N指數(shù)式ab=N（底數(shù)）（指數(shù)）（哥彳1）對(duì)數(shù)式logaN=b（底數(shù)）（真數(shù)）（對(duì)數(shù)）3 .對(duì)數(shù)的

2、運(yùn)算性質(zhì)如果a0,aw1,M0,N0,那么(1) loga(MN=logaM+logaN.(2) loga(MN)=logaMlogaN.logaM=nlogaM(nC吊.問(wèn)：公式中為什么要加條件a0,aw1,M0,N0?logaan=?(nR)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的比較.(學(xué)生填表)式子 ab=NI, log aN=b名稱：a一哥的底數(shù)b-a一對(duì)數(shù)的底數(shù)bNN-運(yùn)算性質(zhì)：mnm+nmna(a0 且 aw 1, nC Rlog aMN=log aM+log aNlog aMN=log aMn=(ne F) ( a0, aw1, M0, N0)難點(diǎn)疑點(diǎn)突破對(duì)數(shù)定義中，為什么要規(guī)定a0,且aw1?理由如

3、下：a=2-2=1/4.(2) log5x=20=1,x=51=5.(3) logx27=3X至，=3X2=6,-x6=27=33=(V-)6,故x=：.3.(4)丑+序=x-1=1/x,x=1/(2+,3)=2.解題技巧轉(zhuǎn)化的思想是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，對(duì)數(shù)式與指數(shù)式有著密切的關(guān)系，在解決有關(guān)問(wèn)題時(shí),經(jīng)常進(jìn)行著兩種形式的相互轉(zhuǎn)化.熟練應(yīng)用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=Mlogaan=n.3.已知logax=4,logay=5,求A=x5/12y-1/3的值.解析：思路一，已知對(duì)數(shù)式的值，要求指數(shù)式的值，可將對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，再利用指數(shù)式的運(yùn)算求值；思路二，對(duì)指數(shù)式的兩邊

4、取同底的對(duì)數(shù)，再利用對(duì)數(shù)式的運(yùn)算求值？解答：解法一lOgaX=4,lOgay=5, .x=a4,y=a5,A=x(5/12)y(-1=(a4)5/12(a5)-1/3=a5/3-a-5/3=a0=1.解法二對(duì)所求指數(shù)式兩邊取以a為底的對(duì)數(shù)得logaA=loga(X(5/12)y(-1/3)=(5/12)logaX-(1/3)logay=(5/12)X4-(1/3)X5=0,.A=1.解題技巧有時(shí)對(duì)數(shù)運(yùn)算比指數(shù)運(yùn)算來(lái)得方便，因此以指數(shù)形式出現(xiàn)的式子，可利用取對(duì)數(shù)的方法，把指數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)運(yùn)算.4.設(shè)x,y均為正數(shù)，且Xy1+lgX=1(xw1/10),求lg(xy)的取值范圍.解析一個(gè)等式中含

5、兩個(gè)變量X、y,對(duì)每一個(gè)確定的正數(shù)X由等式都有惟一的正數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，故y是x的函數(shù)，從而lg(xy)也是x的函數(shù).因此求lg(xy)的取值范圍實(shí)際上是一個(gè)求函數(shù)值域的問(wèn)題，怎樣才能建立這種函數(shù)關(guān)系呢？能否對(duì)已知的等式兩邊也取對(duì)數(shù)？解答x0,y0,xy1+lgX=1,兩邊取對(duì)數(shù)得：lgx+(1+lgx)lgy=0.即lgy=-lgx/(1+lgx)(XW1/10,lgxw-1).令lgx=t，貝Ulgy=-t/(1+t)(tw-1). lg(xy)=lgx+lgy=t-t/(1+t)=t2/(1+t)(tw-1).(解題規(guī)律：對(duì)一個(gè)等式兩邊取對(duì)數(shù)是解決含有指數(shù)式和對(duì)數(shù)式問(wèn)題的常用的有效方法；而變

6、量替換可把較復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的問(wèn)題.)設(shè)S=t2/(1+t),得關(guān)于t的方程12-St-S=0因?yàn)樗欢ㄓ袑?shí)數(shù)解.A=S2+4S0,得S0,故lg(xy)的取值范圍是(-巴-4U0,+8).5.求值：(1)lg25+lg2lg50+(lg2)2;(2)2log32-log3(32/9)+log38-5210g53;(3)設(shè)lga+lgb=2lg(a-2b),求log2a-log2b的值；(4)求71g20(1/2)lg0.7的值.解析：(1)25=52,50=5X10。都化成lg2與lg5的關(guān)系式.(2)轉(zhuǎn)化為log32的關(guān)系式.(3)所求log2a-log2b=log2(a/b),由已知

7、等式給出了a,b之間的關(guān)系，能否從中求出a/b的值呢？(4)71g20(1/2)lg0.7是兩個(gè)指數(shù)哥的乘積，且指數(shù)含常用對(duì)數(shù)，設(shè)X=，g2(1/2)lg0.7能否先求出lgx,再求X?解答(1)原式=lg52+lg21g(10X5)+(lg2)2=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)22=lg5-(2+lg2)+lg2+(lg2)=(lg(10/2)(2+lg2)+lg2+(lg2)22=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2.(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59=2log32

8、-5log32+2+3log32-9=-7.(3)由已知lgab=lg(a-2b)2(a-2b0),ab=(a-2b)2,即a2-5ab+4b2=0.，a/b=1或a/b=4,這里a0,b0.若a/b=1,貝Ua-2b0,aw1,c0,cw1,N0)；(2) logab-logbc=logac；(3) logab=1/logba(b0,bw1)；(4) loganbm=(mn)logab.解析：(1)設(shè)logaN=b得ab=N,兩邊取以c為底的對(duì)數(shù)求出b就可能得證.(2)中10gbe能否也換成以a為底的對(duì)數(shù).應(yīng)用(1)將logab換成以b為底的對(duì)數(shù).(4)應(yīng)用將loganbm換成以a為底的對(duì)數(shù)

9、.解答：設(shè)logaN=b,則ab=NI,兩邊取以c為底的對(duì)數(shù)得：b-logca=logcN,b=logcNlogca.1,logaN=logcNlogca.(2)由(1)10gbe=logac/logab.所以logab,logbc=logab,logac10gab=logac.(3)由(1)logab=logbb/logba=1/logba.解題規(guī)律(1)中l(wèi)ogaN=logcNlogca叫做對(duì)數(shù)換底公式，(2)(3)(4)是(1)的推論，它們?cè)趯?duì)數(shù)運(yùn)算和含對(duì)數(shù)的等式證明中經(jīng)常應(yīng)用.對(duì)于對(duì)數(shù)的換底公式，既要善于正用，也要善于逆用(4)由loganbm=logabm/loga3n=ml0gab

10、/nlOgaa=(m/n)logat).7 .已知log67=a,3b=4,求log127.解析依題意a,b是常數(shù)，求log127就是要用a,b表示log127,又3b=4即log34=b,能否將log127轉(zhuǎn)化為以6為底的對(duì)數(shù)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為以3為底呢？解答已知log67=a,log34=b,-log127=log67/log612=a/(1+log62).又log62=log32/log36=log32/(1+log32),由log34=b,得2log32=b.log32=b/2,log62=(b/2)/(1+b/2)=b/(2+b).log127=a/(1+b/(2+b)尸a(2+b)/(2

11、+2b).解題技巧利用已知條件求對(duì)數(shù)的值，一般運(yùn)用換底公式和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，把對(duì)數(shù)用已知條件表示出來(lái)，這是常用的方法技巧。8 .已知x,y,zCF+,且3x=4y=6z.求滿足2x=py的p值；(2)求與p最接近的整數(shù)值；求證：(1/2)/y=1/z-1/x.解析：已知條件中給出了指數(shù)哥的連等式，能否引進(jìn)中間量m再用m分別表示x,v,z?又想，對(duì)于指數(shù)式能否用對(duì)數(shù)的方法去解答？解答：(1)解法一3x=4y,log33x=log34y,x=ylog34,2x=2ylog34=ylog316,p=log316.解法二設(shè)3x=4y=ni取對(duì)數(shù)得：x-lg3=lgm,ylg4=lgm,-x=lgm/lg

12、3,y=lgm/lg4,2x=2lgm/lg3,py=plgm/lg4.由2x=py,得2lgm/lg3=plgm/lg4,p=2lg4/lg3=lg42/lg3=log316.(2) -2=log39,3-p=log327-log316=log3(27/16),p-2=log316-log39=log3(16/9),而27/161真數(shù)大則對(duì)數(shù)大1- p-23-p,p2.5與p最接近的整數(shù)是3.解題思想提倡一題多解.不同的思路，不同的方法，應(yīng)用了不同的知識(shí)或者是相同知識(shí)的靈活運(yùn)用，既發(fā)散了思維，又提高了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，何樂(lè)而不為呢？(2)中涉及比較兩個(gè)對(duì)數(shù)的大小.這是同底的兩個(gè)對(duì)數(shù)比

13、大小.因?yàn)榈?1,所以真數(shù)大的對(duì)數(shù)就大，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較兩個(gè)真數(shù)的大小，這里超前應(yīng)用了對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以鼓勵(lì)學(xué)生超前學(xué)習(xí)，自覺(jué)學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)積極性.(3)解法一令3x=4y=6z=m由于x,y,zCF+,1.k1,貝Ux=lgm/lg3,y=lgm/lg4,z=lgm/lg6,所以1/z-1/x=lg6/lgm-lg3/lgm=(lg6-lg3)/lgm=lg2/lgm,(1/2)/y=(1/2)-lg4/lgm=lg2/lgm,故(1/2)/y=1/z-1/x.解法二3x=4y=6z=mi則有3=mT，4=iri/y,6=m1i/z，/，得褚=6/3=2=m1/2)/y.1/z-1/x=(1/2

14、)/y.9.已知正數(shù)a,b滿足a2+b2=7ab.求證：loga+b)/3=(1/2)(log舊+logmb)(m0且mr51).解析：2一2已知a0,b0,a+b=7ab.求證式中真數(shù)都只含a,b的一次式，想：能否將真數(shù)中的一次式也轉(zhuǎn)化為二次，進(jìn)而應(yīng)用a2+b2=7ab；解題技巧(a+b)/3向二次轉(zhuǎn)化以利于應(yīng)用a2+b2=7ab是技巧之一.應(yīng)用a2+b2=7ab將真數(shù)的和式轉(zhuǎn)化為ab的乘積式，以便于應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)是技巧之二.解答：2/210gm(a+b)/3=log(a+b)/3)=2.2.(1/2)log*a+b)/3)2=(1/2)10gm(a+b+2ab)/9.a2+b2=7ab,

15、1.logm(a+b)/3=(1/2)log0OKa10,nCZ.這就是用科學(xué)記數(shù)法表示真數(shù)N.其科學(xué)性體現(xiàn)在哪里？我們只要研究數(shù)N的常用對(duì)數(shù)，就能揭示其中的奧秘。解析：由已知，對(duì)N=ax10n取常用對(duì)數(shù)得，lgN=n+lga.真數(shù)與對(duì)數(shù)有何聯(lián)系？解答lgN=lg(ax10n)=n+lga.nCZ,1a10,lgaC(0,1).我們把整數(shù)n叫做N的常用對(duì)數(shù)的首數(shù)，把lga叫做N的常用對(duì)數(shù)的尾數(shù)，它是正的純小數(shù)或0.小結(jié)：lgN的首數(shù)就是N中10n的指數(shù)，尾數(shù)就是lga,0wlga1時(shí)，lgN的首數(shù)n比它的整數(shù)位數(shù)少1,當(dāng)NC(0,1)時(shí)，lgN的首數(shù)n是負(fù)整數(shù)，|n|-1與N的小數(shù)點(diǎn)后第一個(gè)不

16、是0的有效數(shù)字前的零的個(gè)數(shù)相同.師生互動(dòng)什么叫做科學(xué)記數(shù)法？N0,lgN的首數(shù)和尾數(shù)與ax10n有什么聯(lián)系？有效數(shù)字相同的不同正數(shù)其常用對(duì)數(shù)的什么相同？什么不同？2 .若lgx的首數(shù)比lg(1/x)的首數(shù)大9,lgx的尾數(shù)比lg(1/x)的尾數(shù)小0.3804,且lg0.2034=1.3083,求lgx,x,lg(1/x)的值.解析lg0.2034=1.3083,即lg0.2034=1+0.3083,1是對(duì)數(shù)的首數(shù)，0.3083是對(duì)數(shù)的尾數(shù)，是正的純小數(shù)；若設(shè)lgx=n+lga,則lg(1/x)也可表出.解答設(shè)lgx=n+lga,依題意lg(1/x)=(n-9)+(lga+0.3804).又lg

17、(1/x)=-lgx=-(n+lga),.下載可編輯.，(n-9)+(Iga+0.3804)=-n-lga,其中n-9是首數(shù)，Iga+0.3804是尾數(shù)，-n-Iga=-(n+1)+(1-lga),-(n+1)是首數(shù)1-lga是尾數(shù),所以：n-9=-(n+1),Iga+0.3804=1-Iga, .n=4,Iga=0.3083. Igx=4+0.3083=4.3083,.,1g0.2034=1.3083,.x=2.034X104. .1g(1/x)=-(4+0.3083)=5.6917.注:(10-4.3083=5.6917)解題規(guī)律把lgx的首數(shù)和尾數(shù)，lg(1/x)的首數(shù)和尾數(shù)都看成未知數(shù)

18、，根據(jù)題目的等量關(guān)系列方程.再由同一對(duì)數(shù)的首數(shù)等于首數(shù)，尾數(shù)等于尾數(shù)，求出未知數(shù)的值，是解決這類問(wèn)題的常用方法.3 .計(jì)算:地3(24冏+】“式$2+4+相;(2)2lg(lga100)/(2+lg(lga).解析（1）中.2+父與2-.，與有何關(guān)系?#&+,2一於雙重根號(hào),如何化簡(jiǎn)？（2）中分母已無(wú)法化簡(jiǎn)，分子能化簡(jiǎn)嗎？解題方法認(rèn)真審題、理解題意、抓住特點(diǎn)、找出明確的解題思路和方法，不要被表面的繁、難所嚇倒.解答原式=匕*_一三一也）T+；10g“冉+潟+J）一包=劃舟三.屐|彘R飛零）=-1+10g66=一一(2)下載可編輯=2lg(100lga)/(2+lg(lga)=2(lg100+l

19、g(lga)/(2+lg(lga)=2(2+lg(lga)/(2+lg(lga)=2.4 .已知log2x=log3y=log5z0,比較收，田,蚯的大小.解析：已知是對(duì)數(shù)等式，要比較大小的是根式，根式能轉(zhuǎn)化成指數(shù)哥，所以，對(duì)數(shù)等式應(yīng)設(shè)法轉(zhuǎn)化為指數(shù)式.解答：設(shè)log2x=log3y=log5z=m0.貝Ux=2m,y=3m,z=5m.4守=()m 方=(徐：)m,=(*)1卜面只需比較山與遍，密的大小:(安)=2=8,(像)=3=9,所以,.里.又(闋10=25=32,(*)10=52=25,.岳踞.，辟2序.又m。，b0,M1),且logMo=x,貝UlogMa的值為()7 .若log63=

20、0.6731,log6X=-0.3269,則x為()8 .若log5(log3(log2X)=0,貝Ux=().9.二二()10 .如果方程lg2x+(lg2+lg3)lgx+lg2lg3=0的兩根為Xi、X2,那么Xi,X2的值為()11 .生態(tài)學(xué)指出：生物系統(tǒng)中，每輸入一個(gè)營(yíng)養(yǎng)級(jí)的能量，大約只有10%勺能量流到下一個(gè)營(yíng)養(yǎng)級(jí).H-H6這條生物鏈中(H表示第n個(gè)營(yíng)養(yǎng)級(jí)，n=1,2,3,4,5,6).已知對(duì)H輸入了106千焦的能量，問(wèn)第幾個(gè)營(yíng)養(yǎng)級(jí)能獲得100千焦的能量？12 .已知x,y,zC鼻且3X=4y=6z,比較3x,4y,6z的大小.13 .已知a,b均為不等于1的正數(shù)，且axby=ay

21、bx=1,求證x2=y2.14 .已知2M5b=2c5d=10,證明(a-1)/(d-1)=(b-1)/(c-1).15 .設(shè)集合M=x|lg(ax2-2(a+1)x-1)0,若小中空集，M=x|x0且X+1W1；真數(shù)x+10.6. A點(diǎn)撥：對(duì)ab=MIM以M為底的對(duì)數(shù).7. C點(diǎn)撥：注意0.6731+0.3269=1,log6(1/x)=0.3269,所以log63+log6(1/x)=log63x=1.，3x=6,x=2.8. x=8點(diǎn)撥：由外向內(nèi).log3(log2x)=1,log2x=3,x=23.9. 5點(diǎn)撥：10g8710g7610g65=log85,8JOfi15=5.10. 1

22、/6點(diǎn)撥：關(guān)于lgx的一元二次方程的兩根是lgX1,lgx2.由lgx1=-lg2,lgx2=-lg3,得X1=1/2,X2=1/3,X1X2=1/611. .設(shè)第n個(gè)營(yíng)養(yǎng)級(jí)能獲得100千焦的能量，依題意:106(10/100)n-1=100,化簡(jiǎn)得：107-n=102,利用同底哥相等，得7-n=2,或者兩邊取常用對(duì)數(shù)也得7-n=2.n=5,即第5個(gè)營(yíng)養(yǎng)級(jí)能獲能量100千焦.12. 設(shè)3x=4y=6z=k,因?yàn)閤,V，zCR+,所以k1.取以k為底的對(duì)數(shù)，得：x=1/logk3,y=1/logk4,z=1/logk6.-3x=3/logk3=1/logk臺(tái):3#0fcB同理得：4y=1/logk庫(kù),6z=1/log用布.而薛1婀I,1J=W,*=*卻很.logk/5logk*tlogkV$,又k1,V3V?v161,-1logk?log&*logkVf0,1-3x4y0),貝Uax2-2(a+1)x-1=10t(t0).10t1,ax2-2(a+1)x-11,ax2-2(a+1)x-20.a