三角形、四邊形中的動點問題

1、 §1. 三角形、四邊形中的動點問題【解題思路與方法】1.關(guān)注變化因素和不變因素以及圖形的特殊性，尋找常量和變量； 2.化動為靜 (由一般到特殊)，以靜制動；3.數(shù)學(xué)建模：確定圖形運動中的變量關(guān)系時常常建立函數(shù)模型，確定圖形運動中的特殊位置關(guān)系時常常建立方程模型；4.關(guān)注運動問題的三個要素：運動方向、速度、范圍（直線、射線、線段、折線）；5.注重分類討論，通過分別畫圖與分離圖形使問題簡單化；6.根據(jù)運動元素的不同分為動點問題、動線問題、動圖問題三大類型（包括點、線、圖同時運動）.典例解析一、三角形中的動點問題例1. 已知，如圖ABC是邊長3cm的等邊三角形.動點P以1cm/s的速度從

2、點A出發(fā)，沿線段AB向點B運動.設(shè)運動時間為t（s），（1）如圖1，當(dāng)t為何值時，PBC是直角三角形？（2）如圖2，若另一動點Q從點C出發(fā)，沿射線BC方向運動. 連接PQ交AC于D. 如果動點P、Q都以1cm/s的速度同時出發(fā).那么 當(dāng)t為何值時，DCQ是等腰三角形?（3）如圖3，若另一動點Q從點C出發(fā)，沿射線BC方向運動. 連接PQ交AC于D，連接PC. 如果動點P、Q都以1cm/s的速度同時出發(fā). 請?zhí)骄浚涸邳cP、Q的運動過程中PCD和QCD的面積是否相等？變式題：已知：如圖，ABC是邊長3cm的等邊三角形，動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動，它們的速度都是1cm

3、/s，當(dāng)點P到達(dá)點B時，P、Q兩點停止運動設(shè)點P的運動時間為t（s），解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時，PBQ是直角三角形?（2）設(shè)四邊形APQC的面積為y（cm2），求y與t的關(guān)系式；是否存在某一時刻t，使四邊形APQC的面積是ABC面積的三分之二？如果存在，求出相應(yīng)的t值；若不存在，請說明理由。例2. 如圖，已知ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，點D為AB的中點（1）若點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時點Q在線段CA上由C點向A點運動若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，1秒鐘時，BPD與CQP是否全等，請說明理由；若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，

4、當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能夠使BPDCPQ？(2)若點Q以(1)中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā)，都逆時針沿ABC三邊運動，求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在ABC的哪條邊上相遇？變式題：如圖（1）ABC為等邊三角形，動點D在邊CA上，動點P邊BC上，若這兩點分別從C、B點同時出發(fā)，以相同的速度由C向A和由B向C運動，連接AP，BD交于點Q，兩點運動過程中AP=BD?？赏ㄟ^證明 得到這個結(jié)論；（2）如果把原題中“動點D在邊CA上，動點P邊BC上，”改為“動點D，P在射線CA和射線BC上運動”，其他條件不變，如圖（2）所示，兩點運動過程中BQP的大小保持不變利用圖（2）

5、的情形，求證：BQP=60°；（3）如果把原題中“動點P在邊BC上”改為“動點P在AB的延長線上運動，連接PD交BC于E”，其他條件不變，如圖（3），則動點D，P在運動過程中，DE始終等于PE嗎？寫出證明過程二、特殊四邊形中的動點問題例3. 如圖，在等腰梯形中，,AB=12 cm,CD=6cm , 點從開始沿邊向以每秒3cm的速度移動，點從開始沿CD邊向D以每秒1cm的速度移動，如果點P、Q分別從A、C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)終點時運動停止。設(shè)運動時間為t秒。ABCDQP（1）求證：當(dāng)t=時，四邊形是平行四邊形；（2）PQ是否可能平分對角線BD？若能，求出當(dāng)t為何值時PQ平分BD；若

6、不能，請說明理由；變式題：如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，B90°，AB6cm，AD18cm，BC24cm。點p從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發(fā)，以3cm/s的速度向點B運動，規(guī)定其中一個動點到達(dá)端點時，另一個動點也隨之停止運動設(shè)運動時間為t s（1）t為何值時，四邊形ABQP為矩形？（2）t為何值時，四邊形PQCD為平行四邊形？（3）在其它條件不變的情況下，能否通過改變點Q的運動速度，使得四邊形PQCD為菱形？例4. 如圖，ABC中，點O為AC邊上的一個動點，過點O作直線MNBC，設(shè)MN交BCA的外角平分線CF于點F，交ACB內(nèi)角平分線CE于E（1）

7、試說明EO=FO；（2）當(dāng)點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形并證明你的結(jié)論；（3）若AC邊上存在點O，使四邊形AECF是正方形，猜想ABC的形狀并證明你的結(jié)論變式題：1.如圖所示，有四個動點P、Q、E、F分別從正方形ABCD的四個頂點出發(fā)，沿著AB、BC、CD、DA以同樣的速度向B、C、D、A各點移動。（1）試判斷四邊形PQEF是正方形并證明。（2）PE是否總過某一定點，并說明理由。（3）四邊形PQEF的頂點位于何處時，其面積最小，最大？各是多少？2.如圖所示，在ABC中，分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側(cè)作等邊ABD、等邊ACE、等邊BCF.CBADFE（1）求證：四邊形DAEF是平

8、行四邊形； （2）探究下列問題：（只填滿足的條件，不需證明）當(dāng)ABC滿足_條件時，四邊形DAEF是矩形；當(dāng)ABC滿足_條件時，四邊形DAEF是菱形；當(dāng)ABC滿足_條件時，以D、A、E、F為頂點的四邊形不存在. 延伸課堂1.如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作ABBD，EDBD，連接AC、EC，已知AB=5，DE=1，BD=8，設(shè)CD=x（1）用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長；（2）請問點C滿足什么條件時，AC+CE的值最??？（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論，請構(gòu)圖求出代數(shù)式+的最小值2.直線y=- 3/4x+6與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點，動點P、Q同時從O點出發(fā)，同時到達(dá)A點，運動停止點

9、Q沿線段OA運動，速度為每秒1個單位長度，點P沿路線OBA運動（1）直接寫出A、B兩點的坐標(biāo)；（2）設(shè)點Q的運動時間為t（秒），OPQ的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)S= 48/5時，求出點P的坐標(biāo)，并直接寫出以點O、P、Q為頂點的平行四邊形的第四個頂點M的坐標(biāo)3.梯形ABCD中，ADBC，B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，動點P從點A開始，沿AD邊以1厘米/秒的速度向點D運動；動點Q從點C開始，沿CB邊以3厘米/秒的速度向B點運動。已知P、Q兩點分別從A、C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)端點時，另一點也隨之停止運動。假設(shè)運動時間為t秒，問：（1）t為何值時，四邊形PQCD是平行四邊形？（2）t為何值時，線段AB與線段PQ相等？（3）在某個時刻，四邊形PQCD可能是菱形嗎？為什么？（4）是否存在t值，使PQ把直角梯形分成周長相等的兩部分？若存在，求出t的值；若不存在，請你說明理由4. 如圖，直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，動點P從B點出發(fā)，沿線段BC向點C作勻速運動；動點Q從點D出發(fā)，沿線段DA向點