專題與球相關(guān)的外接與內(nèi)切問題玩轉(zhuǎn)壓軸題突破分之高三數(shù)學(xué)選填題高端

1、一方法綜述如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內(nèi)接多面體，這個球稱為多面體的外接球.有關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一個重點，也是高考考查的一個熱點. 考查學(xué)生的空間想象能力以及化歸能力.研究多面體的外接球問題，既要運用多面體的知識，又要運用球的知識，解決這類問題的關(guān)鍵是抓住內(nèi)接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關(guān)重要的作用。當(dāng)三棱錐有三條棱垂直或棱長相等時，可構(gòu)造長方體或正方體。與球的外切問題主要是指球外切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時首先要找準(zhǔn)切點，通過

2、作截面來解決.如果外切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作.當(dāng)球與多面體的各個面相切時，注意球心到各面的距離相等即球的半徑，求球的半徑時，可用球心與多面體的各頂點連接，球的半徑為分成的小棱錐的高，用體積來求球的半徑。二解題策略類型一 構(gòu)造法（補(bǔ)形法）【答案】 【指點迷津】當(dāng)一三棱錐的三側(cè)棱兩兩垂直時，可將三棱錐補(bǔ)成一個長方體，將問題轉(zhuǎn)化為長方體（正方體）來解。長方體的外接球即為該三棱錐的外接球?！纠?】一個四面體的所有棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（ ）【答案】A【解析】【指點迷津】當(dāng)一四面體或三棱錐的棱長相等時，可以構(gòu)造正方體，在正方體中構(gòu)造三棱錐或四面體

3、，利用三棱錐或四面體與正方體的外接球相同來解即可?！九e一反三】1、如圖所示，設(shè)A，B，C，D為球O上四點，AB，AC，AD兩兩垂直，且ABAC，若ADR(R為球O的半徑)，則球O的表面積為()A B2 C4 D8【答案】D【解析】因為AB，AC，AD兩兩垂直，所以以AB，AC，AD為棱構(gòu)建一個長方體，如圖所示，則長方體的各頂點均在球面上，ABAC，所以AE，ADR，DE2R，則有R26(2R)2，解得R，所以球的表面積S4R28.故選D。2、如圖所示，已知三棱錐A­BCD的四個頂點A，B，C，D都在球O的表面上，AC平面BCD，BCCD，且AC，BC2，CD，則球O的表面積為()A1

4、2 B7 C9 D8【答案】A【解析】由AC平面BCD，BCCD知三棱錐A­BCD可以補(bǔ)成以AC，BC，CD為三條棱的長方體，設(shè)球O的半徑為R，則有(2R)2AC2BC2CD234512，所以S球4R212.故選A。3、在三棱錐A­BCD中，ABCD6，ACBDADBC5，則該三棱錐的外接球的表面積為_【答案】43【解析】依題意得，該三棱錐的三組對棱分別相等，因此可將該三棱錐補(bǔ)形成一個長方體，設(shè)該長方體的長、寬、高分別為a、b、c，且其外接球的半徑為R，則得a2b2c243，即(2R)2a2b2c243，易知R即為該三棱錐的外接球的半徑，所以該三棱錐的外接球的表面積為4R2

5、43. 類型二 正棱錐與球的外接【例3】正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為 （ ）A B C D【答案】A【指點迷津】求正棱錐外接球的表面積或體積，應(yīng)先求其半徑，在棱錐的高上取一點作為外接球的球心，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求半徑?！九e一反三】1、在三棱錐PABC中，PAPB=PC=,側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60°，則該三棱錐外接球的體積為（ ）A B. C. 4D.【答案】D2、球O的球面上有四點S，A，B，C，其中O，A，B，C四點共面，ABC是邊長為2的正三角形，平面SAB平面ABC，則棱錐S­ABC的體積的最大值為

6、()A. B. C2 D4【答案】A【解析】 (1)由于平面SAB平面ABC，所以點S在平面ABC上的射影H落在AB上，根據(jù)球的對稱性可知，當(dāng)S在“最高點”，即H為AB的中點時，SH最大，此時棱錐S­ABC的體積最大因為ABC是邊長為2的正三角形，所以球的半徑rOCCH××2.在RtSHO中，OHOC，所以SH1，故所求體積的最大值為××22×1.3、把一個皮球放入如圖10所示的由8根長均為20 cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點，則皮球的半徑為（）A. B. C. D. 【答案】B 類型三 直棱柱的外接

7、球【例4】直三棱柱的各頂點都在同一球面上，若,，則此球的表面積等于 。【答案】【解析】在中,可得,由正弦定理,可得外接圓半徑r=2,設(shè)此圓圓心為，球心為，在中，易得球半徑，故此球的表面積為. 【指點迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圓的圓心的連線上，確定球心，用球心、一底面的外接圓的圓心，一頂點構(gòu)成一個直角三角形，用勾股定理得關(guān)于外接球半徑的關(guān)系式，可球的半徑。【舉一反三】1、已知直三棱柱ABC­A1B1C1的各頂點都在同一球面上，若ABACAA12，BAC90°，則該球的體積等于_【答案】4【解析】設(shè)該球的球心為O，ABC所在圓面的圓心為O1，則OO1平面ABC

8、且OO11.在ABC中，因為ABAC2，BAC90°，所以ABC外接圓的半徑rBC，所以該球的半徑R，所以該球的體積VR34. 2、已知三棱柱的6個頂點都在球的球面上,若,則球的半徑為（）ABCD 【答案】C【解析】由球心作面ABC的垂線，則垂足為BC中點M。計算AM=，由垂徑定理，OM=6，所以半徑R=,選C.3、 正四棱柱的各頂點都在半徑為的球面上，則正四棱柱的側(cè)面積有最 值，為 .【答案】大 三強(qiáng)化訓(xùn)練1、矩形中，沿將矩形折成一個直二面角,則四面體的外接球的體積是( )A. B. C. D.【答案】 C2、棱長為1的正方體的8個頂點都在球的表面上，分別是棱，的中點，則直線被球截

9、得的線段長為（ ）A B CD【答案】 D 3、如圖,有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器,容器高8cm,將一個球放在容器口,再向容器內(nèi)注水,當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6cm,如果不計容器的厚度,則球的體積為 （）ABCD【答案】A 【解析】設(shè)正方體上底面所在平面截球得小圓M，則圓心M為正方體上底面正方形的中心如圖設(shè)球的半徑為R，根據(jù)題意得球心到上底面的距離等于（R2）cm，而圓M的半徑為4，由球的截面圓性質(zhì)，得R2=（R2）2+42，解出R=5，所以根據(jù)球的體積公式，該球的體積V=故選A4、如圖是一個幾何體的三視圖， 則這個幾何體外接球的表面積為()A8 B16 C32 D64【答案】C

10、【解析】 該幾何體為一個四棱錐，其外接球的球心為底面正方形的中心，所以半徑為2，表面積為4×(2)232.故選C。5、已知四棱錐S ­ABCD的所有頂點在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面內(nèi)，當(dāng)四棱錐的體積取得最大值時，其表面積等于1616，則球O的體積等于()A. B. C. D.【答案】D 6、將半徑都為的四個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面體的高的最小值為 ( )A. B. 2+ C. 4+ D. 【答案】C球的外切正四面體，這個小球球心與外切正四面體的中心重合，而正四面體的中心到頂點的距離是中心到地面距離的3倍。7、 在正三棱錐中，分別是

11、棱的中點，且,若側(cè)棱,則正三棱錐外接球的表面積是 ?！敬鸢浮?、【2017課標(biāo)1，文16】已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑若平面SCA平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為_【答案】因為平面平面所以平面設(shè)所以，所以球的表面積為9、球O的球面上有四點S，A，B，C，其中O，A，B，C四點共面，ABC是邊長為2的正三角形，平面SAB平面ABC，則棱錐S­ABC的體積的最大值為()A. B. C2 D4【答案】A 10、矩形中，沿將矩形折成一個直二面角,則四面體的外接球的體積是( )A. B. C. D.【答案】 C11、在半徑為R的球內(nèi)放入大小相等的4個小球，則小球的半徑的最大值為（ ）【答案】12、如圖K38­16所示，ABCD­A1B1C1D1是邊長為1的正方體，S­ABCD是高為1的正